Oglejmo si konkreten primer reševanja neenačbe s tangento.
Rešite neenačbo tgx<-1
Tako je rešitev neenačbe tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn).
Večina študentov ne mara trigonometričnih neenakosti. Ampak zaman. Kot je rekel en lik,
"Samo ne znaš jih skuhati"
Torej, kako "kuhati" in s čim predložiti neenakost s sinusom, bomo ugotovili v tem članku. Rešili jo bomo na najpreprostejši način – z enotskim krogom.
Torej, najprej potrebujemo naslednji algoritem.
Algoritem za reševanje neenačb s sinusom:
- na sinusno os nanesemo število $a$ in narišemo premico, vzporedno s kosinusno osjo, dokler se ne preseka s krožnico;
- točke presečišča te premice s krogom bodo osenčene, če neenakost ni stroga, in ne osenčene, če je neenakost stroga;
- območje rešitve neenačbe se nahaja nad črto in do kroga, če neenačba vsebuje znak "$>$", in pod črto in do kroga, če neenačba vsebuje znak "$<$”;
- za iskanje presečišč rešimo trigonometrično enačbo $\sin(x)=a$, dobimo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- z nastavitvijo $n=0$ najdemo prvo presečišče (nahaja se v prvi ali četrti četrtini);
- da najdemo drugo točko, pogledamo, v katero smer gremo skozi območje do druge presečne točke: če v pozitivno smer, potem moramo vzeti $n=1$, in če v negativno smer, potem $n=- 1$;
- kot odgovor je interval zapisan od manjšega presečišča $+ 2\pi n$ do večjega $+ 2\pi n$.
Omejitev algoritma
Pomembno: d danem algoritmu ne deluje za neenakosti oblike $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Posebni primeri pri reševanju neenačb s sinusom
Pomembno je tudi upoštevati naslednje primere, ki jih je veliko bolj priročno rešiti logično brez uporabe zgornjega algoritma.
Poseben primer 1. Reši neenačbo:
$\sin(x)\leq 1.$
Ker obseg vrednosti trigonometrične funkcije $y=\sin(x)$ ni večji od modula $1$, je leva stran neenakosti pri katerikoli$x$ iz domene definicije (in domena definicije sinusa so vsa realna števila) ni večji od $1$. To pomeni, da zapišemo odgovor: $x \in R$.
Posledica:
$\sin(x)\geq -1.$
Poseben primer 2. Reši neenačbo:
$\sin(x)< 1.$
Z uporabo sklepanja, podobnega posebnemu primeru 1, ugotovimo, da je leva stran neenakosti manjša od $1$ za vse $x \in R$, razen za točke, ki so rešitve enačbe $\sin(x) = 1$. Če rešimo to enačbo, bomo imeli:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
In zato v odgovor zapišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\desno\)$.
Posledica: neenačbo rešimo podobno
$\sin(x) > -1.$
Primeri reševanja neenačb z algoritmom.
Primer 1: Reši neenačbo:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Označimo koordinato $\frac(1)(2)$ na sinusni osi.
- Narišimo premico, ki je vzporedna s kosinusno osjo in poteka skozi to točko.
- Označimo presečišča. Osenčeni bodo, ker neenakost ni stroga.
- Znak neenakosti je $\geq$, kar pomeni, da pobarvamo območje nad črto, tj. manjši polkrog.
- Najdemo prvo presečišče. To naredimo tako, da neenakost spremenimo v enakost in jo rešimo: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Nadalje nastavimo $n=0$ in poiščemo prvo presečišče: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- Najdemo drugo točko. Naše območje gre v pozitivni smeri od prve točke, kar pomeni, da smo $n$ postavili na $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
Tako bo rešitev dobila obliko:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \n \in Z.$
Primer 2: Reši neenačbo:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
Označimo koordinato $-\frac(1)(2)$ na sinusni osi in narišimo premico, ki je vzporedna s kosinusno osjo in poteka skozi to točko. Označimo presečišča. Ne bodo zasenčene, saj je neenakost stroga. Znak neenakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\levo(-\frac(1)(2)\desno))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Nadalje ob predpostavki, da je $n=0$, najdemo prvo presečišče: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše območje gre v negativno smer od prve točke, kar pomeni, da smo $n$ postavili na $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Torej bo rešitev te neenakosti interval:
$x \in \levo(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\desno), \n \in Z.$
Primer 3: Reši neenačbo:
$1 – 2\sin(\levo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq 0.$
Tega primera ni mogoče takoj rešiti z uporabo algoritma. Najprej ga morate preoblikovati. Naredimo točno to, kar bi storili z enačbo, vendar ne pozabite na znak. Deljenje ali množenje z negativnim številom obrne!
Torej, premaknimo vse, kar ne vsebuje trigonometrične funkcije, na desno stran. Dobimo:
$- 2\sin(\levo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq -1.$
Levo in desno stran delimo z $-2$ (ne pozabite na znak!). Imeli bomo:
$\sin(\levo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \geq \frac(1)(2).$
Spet imamo neenačbo, ki je ne moremo rešiti z algoritmom. Toda tukaj je dovolj, da spremenite spremenljivko:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Dobimo trigonometrično neenačbo, ki jo lahko rešimo z algoritmom:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Ta neenakost je bila rešena v primeru 1, zato si sposodimo odgovor od tam:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$
S tem pa odločitev še ni končana. Moramo se vrniti k prvotni spremenljivki.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$
Predstavljajmo si interval kot sistem:
$\levo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(matrika) \right.$
Na levi strani sistema je izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), ki pripada intervalu. Za prvo neenakost je odgovorna leva meja intervala, za drugo pa desna meja. Poleg tega imajo oklepaji pomembno vlogo: če je oklepaj kvadraten, bo neenakost ohlapna, če je okrogel, pa bo stroga. naša naloga je, da dobimo $x$ z leve v obeh neenakostih.
Premaknimo $\frac(\pi)(6)$ z leve strani na desno, dobimo:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(matrika) \right.$.
Če poenostavimo, imamo:
$\levo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(matrika) \right.$
Če pomnožimo levo in desno stran s 4$, dobimo:
$\levo\(\begin(matrika)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(matrika) \desno. $
Če sistem sestavimo v interval, dobimo odgovor:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \n \in Z.$
Pri reševanju neenačb, ki vsebujejo trigonometrične funkcije, jih reduciramo na najenostavnejše neenačbe oblike cos(t)>a, sint(t)=a in podobne. In že so najpreprostejše neenakosti rešene. Oglejmo si različne primere načinov reševanja preprostih trigonometričnih neenakosti.
Primer 1. Rešite neenačbo sin(t) > = -1/2.
Nariši enotski krog. Ker je sin(t) po definiciji koordinata y, označimo točko y = -1/2 na osi Oy. Skozenj potegnemo premico vzporedno z osjo Ox. Na presečišču premice z grafom enotskega kroga označimo točki Pt1 in Pt2. Izhodišče koordinat povežemo s točkama Pt1 in Pt2 z dvema odsekoma.
Rešitev te neenakosti bodo vse točke enotskega kroga, ki se nahajajo nad temi točkami. Z drugimi besedami, rešitev bo lok l. Zdaj je treba navesti pogoje, pod katerimi bo poljubna točka pripadala loku l.
Pt1 leži v desnem polkrogu, njegova ordinata je -1/2, potem je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Za opis točke Pt1 lahko zapišete naslednjo formulo:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kot rezultat dobimo naslednjo neenakost za t:
Ohranjamo neenakosti. In ker je sinusna funkcija periodična, to pomeni, da se bodo rešitve ponovile vsakih 2*pi. Ta pogoj dodamo dobljeni neenakosti za t in zapišemo odgovor.
Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Primer 2. Rešite cos(t) neenačbo<1/2.
Narišimo enotski krog. Ker je po definiciji cos(t) koordinata x, na grafu na osi Ox označimo točko x = 1/2.
Skozi to točko narišemo premico vzporedno z osjo Oy. Na presečišču premice z grafom enotskega kroga označimo točki Pt1 in Pt2. Izhodišče koordinat povežemo s točkama Pt1 in Pt2 z dvema odsekoma.
Rešitve bodo vse točke enotskega kroga, ki pripadajo loku l. Poiščimo točki t1 in t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Dobili smo neenakost za t: pi/3
Ker je kosinus periodična funkcija, se bodo rešitve ponovile vsakih 2*pi. Ta pogoj dodamo dobljeni neenakosti za t in zapišemo odgovor.
Odgovor: pi/3+2*pi*n
Primer 3. Rešite neenačbo tg(t)< = 1.
Perioda tangente je enaka pi. Poiščimo rešitve, ki pripadajo intervalu (-pi/2;pi/2) desni polkrog. Nato s pomočjo periodičnosti tangente zapišemo vse rešitve te neenačbe. Narišimo enotski krog in na njem označimo tangento.
Če je t rešitev neenačbe, mora biti ordinata točke T = tg(t) manjša ali enaka 1. Množica takih točk bo sestavljala žarek AT. Množica točk Pt, ki bodo ustrezale točkam tega žarka, je lok l. Poleg tega točka P(-pi/2) ne pripada temu loku.
Reševanje trigonometričnih neenačb z uporabo enotskega kroga
Pri reševanju trigonometričnih neenačb oblike, kjer je --- ena od trigonometričnih funkcij, je priročno uporabiti trigonometrični krog, da najbolj nazorno predstavimo rešitve neenačbe in zapišemo odgovor. Glavna metoda za reševanje trigonometričnih neenačb je njihova redukcija na neenakosti najpreprostejšega tipa. Poglejmo primer, kako rešiti takšne neenakosti.
Primer Rešite neenačbo.
rešitev. Narišimo trigonometrični krog in na njem označimo točke, ki jim je ordinata nadrejena.
Za rešitev te neenakosti bo. Jasno je tudi, da če se določeno število razlikuje od katerega koli števila iz določenega intervala za, potem tudi ne bo nič manj. Zato morate samo dodati rešitve na konce najdenega segmenta. Končno ugotovimo, da bo vsakdo rešitev prvotne neenakosti.
Za reševanje neenakosti s tangensom in kotangensom je uporaben koncept premice tangentov in kotangensov. To so premice oziroma (na sliki (1) in (2)) tangente na trigonometrično krožnico.
Preprosto je videti, da če konstruiramo žarek z začetkom v začetku koordinat, ki tvori kot s pozitivno smerjo osi abscise, potem je dolžina odseka od točke do presečišča tega žarka z tangenta je natanko enaka tangensu kota, ki ga ta žarek sklepa z abscisno osjo. Podobno opažamo za kotangens.
Primer Rešite neenačbo.
rešitev. Označimo, potem bo neenakost imela najpreprostejšo obliko: . Vzemimo interval dolžine, ki je enaka najmanjši pozitivni periodi (LPP) tangente. Na tem segmentu s pomočjo tangente ugotovimo, da. Spomnimo se, kaj je treba dodati, ker NEK deluje. Torej, . Če se vrnemo k spremenljivki, dobimo to
Neenačbe z inverznimi trigonometričnimi funkcijami je priročno reševati z uporabo grafov inverznih trigonometričnih funkcij. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.
Grafično reševanje trigonometričnih neenačb
Upoštevajte, da če je --- periodična funkcija, je za rešitev neenačbe potrebno najti njeno rešitev na segmentu, katerega dolžina je enaka obdobju funkcije. Vse rešitve prvotne neenačbe bodo sestavljene iz najdenih vrednosti, kot tudi vse tiste, ki se od najdenih razlikujejo za poljubno celo število periodic funkcije
Razmislimo o rešitvi neenakosti ().
Ker potem neenačba nima rešitev. Če, potem je množica rešitev neenačbe množica vseh realnih števil.
Naj bo. Sinusna funkcija ima najmanjšo pozitivno periodo, zato lahko neenačbo najprej rešimo na odseku dolžine, npr. Gradimo grafe funkcij in ().
Na segmentu se sinusna funkcija poveča in enačba, kjer ima en koren. Na segmentu se sinusna funkcija zmanjšuje, enačba pa ima koren. Na numeričnem intervalu se graf funkcije nahaja nad grafom funkcije. Zato za vse iz intervala) neenakost velja, če. Zaradi periodičnosti sinusne funkcije so vse rešitve neenačbe podane z neenačbami oblike: .
Neenačbe s tangento bomo reševali z uporabo enotskega kroga.
Algoritem za reševanje neenačb s tangento:
- ponovno narišite kliše, prikazan na zgornji sliki;
- na tangenti označimo $a$ in potegnemo premico iz izhodišča do te točke;
- točka presečišča te premice s polkrogom bo osenčena, če neenačba ni stroga, in ne osenčena, če je stroga;
- območje se nahaja pod črto in navzgor do kroga, če neenakost vsebuje znak “$>$”, in pod črto in navzgor do kroga, če neenakost vsebuje znak “$<$”;
- za iskanje presečišča je dovolj, da najdemo arktangens $a$, tj. $x_(1)=(\rm arctg) a$;
- kot odgovor se nastali interval izpiše in na konce doda $+ \pi n$.
Primeri reševanja neenačb z algoritmom.
Primer 1: Reši neenačbo:
$(\rm tg)(x) \leq 1.$
Tako bo rešitev dobila obliko:
$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\desno], \ n \in Z.$
Pomembno! Točki $-\frac(\pi)(2)$ in $\frac(\pi)(2)$ na tangenti vedno (ne glede na znak neenakosti) izdolbeno!
Primer 2: Reši neenačbo:
$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$
Na tangenti označimo točko $- \sqrt(3)$ in iz izhodišča v njo narišemo premico. Točka presečišča te črte s polkrogom ne bo zasenčena, ker je neenakost stroga. Območje se nahaja nad ravno črto in do kroga, saj je znak neenakosti $>$. poiščimo presečišče:
$x_(1) = (\rm arctg)(\levo(-\sqrt(3)\desno)) = -\frac(\pi)(3).$
$t \v \levo(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\desno).$
Vrnimo se k prvotni spremenljivki:
$\levo(2x-\frac(\pi)(3)\desno) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\desno).$
Slednji je enakovreden sistemu neenakosti
$\levo\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$
ko jo rešimo, bomo dobili odgovor. res,
$\levo\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$
$\levo\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $
In končno dobimo:
$x \in \levo(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\desno), \n \in Z.$
