Trigonometrične formule na spletu. Najbolj potrebne trigonometrične formule

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so bile vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.

Referenčne informacije o trigonometričnih funkcijah sinus (sin x) in kosinus (cos x). Geometrijske definicije, lastnosti, grafi, formule. Tabela sinusov in kosinusov, odvodi, integrali, razširitve nizov, sekans, kosekans. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija sinusa in kosinusa

|BD|- dolžina krožnega loka s središčem v točki A.
α - kot, izražen v radianih.

Opredelitev
Sinus (sin α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino hipotenuze |AC|.

Sprejete notacije

;
;
.

;
;
.

Graf sinusne funkcije, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Lastnosti sinusa in kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = greh x in y = cos x periodično z obdobjem 2π.

Pariteta

Sinusna funkcija je liha. Kosinusna funkcija je soda.

Področje definicije in vrednosti, ekstremi, naraščanje, padanje

Funkciji sinus in kosinus sta zvezni v svoji definicijski domeni, to je za vse x (glejte dokaz zveznosti). Njihove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli (n - celo število).

Osnovne formule

Vsota kvadratov sinusa in kosinusa

Formule za sinus in kosinus iz vsote in razlike

;
;

Formule za produkt sinusov in kosinusov

Formule vsote in razlike

Izražanje sinusa skozi kosinus

;
;
;
.

Izražanje kosinusa skozi sinus

;
;
;
.

Izražanje skozi tangento

; .

Ko imamo:
; .

ob:
; .

Tabela sinusov in kosinusov, tangensov in kotangensov

Ta tabela prikazuje vrednosti sinusov in kosinusov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi skozi kompleksne spremenljivke

;

Eulerjeva formula

{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji sinusa in kosinusa sta arkusin in arkosinus.

Arksin, arcsin

Arkosinus, arkos

Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.

Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijske definicije, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija

|BD|
- dolžina krožnega loka s središčem v točki A.

α je kot, izražen v radianih. Tangenta () tan α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .) Kotangens (

ctg α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

kje
.
;
;
.

n

- cela.

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
Graf funkcije tangente, y = tan x
;
;
.

Kotangens

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:

Periodičnost

Funkcije y = Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi: in y = Graf funkcije kotangens, y = ctg x Lastnosti tangensa in kotangensa

Pariteta

tg x

Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje

Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( na dolžino nasprotnega kraka |BC| .- celota).

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela predstavlja vrednosti tangentov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Izvedeni finančni instrumenti

; .

.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>

Integrali

Razširitve serije

Če želite dobiti raztezanje tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenčni vrsti za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, .

To ustvari naslednje formule.

Ob .
ob . kje Bn
;
;
- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
kje .

Inverzne funkcije

Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzni funkciji tangensa in kotangensa sta arktangens in arkotangens.

Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

, Kje

Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.
Arkotangens, arcctg

G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012. Trigonometrične identitete

- to so enakosti, ki vzpostavljajo povezavo med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar vam omogoča, da najdete katero koli od teh funkcij, če je katera koli druga znana.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ta identiteta pravi, da je vsota kvadrata sinusa enega kota in kvadrata kosinusa enega kota enaka ena, kar v praksi omogoča izračun sinusa enega kota, ko je znan njegov kosinus in obratno .

Pri pretvorbi trigonometričnih izrazov se zelo pogosto uporablja ta identiteta, ki vam omogoča, da vsoto kvadratov kosinusa in sinusa enega kota zamenjate z enim in tudi izvedete operacijo zamenjave v obratnem vrstnem redu.

Iskanje tangensa in kotangensa z uporabo sinusa in kosinusa

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Te identitete so oblikovane iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Konec koncev, če pogledate, potem je po definiciji ordinata y sinus, abscisa x pa kosinus. Potem bo tangenta enaka razmerju\frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bo kotangens.

Dodajmo, da bodo identitete veljale samo za take kote \alpha, pri katerih so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Na primer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) velja za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kot \alpha, ki ni \pi z, je z celo število.

Razmerje med tangensom in kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ta istovetnost velja samo za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2) z. V nasprotnem primeru kotangens ali tangens ne bosta določena.

Na podlagi zgornjih točk dobimo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iz tega sledi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tako sta tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna, medsebojno inverzna števila.

Razmerja med tangensom in kosinusom, kotangensom in sinusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- vsota kvadrata tangensa kota \alpha in 1 je enaka inverznemu kvadratu kosinusa tega kota. Ta identiteta velja za vse \alpha razen \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- vsota 1 in kvadrat kotangensa kota \alpha je enaka inverznemu kvadratu sinusa danega kota. Ta identiteta je veljavna za vse \alpha, ki se razlikujejo od \pi z.

Primeri z rešitvami problemov z uporabo trigonometričnih identitet

Primer 1

Poiščite \sin \alpha in tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Pokaži rešitev

rešitev

Funkciji \sin \alpha in \cos \alpha sta povezani s formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamenjava v tej formuli \cos \alpha = -\frac12, dobimo:

\sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1

Ta enačba ima 2 rešitvi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je sinus pozitiven, torej \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Da bi našli tan \alpha, uporabimo formulo tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Primer 2

Poiščite \cos \alpha in ctg \alpha, če in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Pokaži rešitev

rešitev

Zamenjava v formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dano številko \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobimo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ta enačba ima dve rešitvi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je kosinus negativen, torej \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Za iskanje ctg \alpha uporabimo formulo ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Poznamo ustrezne vrednosti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

V tem članku si bomo podrobno ogledali. Osnovne trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo povezavo med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota in omogočajo iskanje katere koli od teh trigonometričnih funkcij prek znanega drugega.

Takoj naštejmo glavne trigonometrične identitete, ki jih bomo analizirali v tem članku. Zapišimo jih v tabelo, spodaj pa bomo podali rezultate teh formul in zagotovili potrebna pojasnila.

Navigacija po straneh.

Razmerje med sinusom in kosinusom enega kota

Včasih ne govorijo o glavnih trigonometričnih identitetah, navedenih v zgornji tabeli, ampak o eni sami osnovna trigonometrična identiteta prijazen . Razlaga tega dejstva je precej preprosta: enačbe dobimo iz glavne trigonometrične identitete, potem ko oba njena dela delimo z oz., in enakosti in izhajajo iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. O tem bomo podrobneje govorili v naslednjih odstavkih.

To pomeni, da je posebno zanimiva enakost, ki je dobila ime glavna trigonometrična identiteta.

Preden dokažemo glavno trigonometrično identiteto, damo njeno formulacijo: vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota je identično enaka ena. Zdaj pa dokažimo.

Osnovna trigonometrična identiteta se zelo pogosto uporablja, ko pretvarjanje trigonometričnih izrazov. Omogoča, da se vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota nadomesti z ena. Nič manj pogosto se osnovna trigonometrična identiteta uporablja v obratnem vrstnem redu: enota se nadomesti z vsoto kvadratov sinusa in kosinusa katerega koli kota.

Tangens in kotangens skozi sinus in kosinus

Identitete, ki povezujejo tangens in kotangens s sinusom in kosinusom enega zornega kota in sledijo takoj iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Dejansko je po definiciji sinus ordinata od y, kosinus je abscisa od x, tangens je razmerje med ordinato in absciso, to je , kotangens pa je razmerje med absciso in ordinato, to je .

Zahvaljujoč takšni očitnosti identitet in Tangens in kotangens pogosto nista definirana z razmerjem med absciso in ordinato, temveč z razmerjem med sinusom in kosinusom. Torej je tangens kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, kotangens pa je razmerje med kosinusom in sinusom.

Za zaključek te točke je treba opozoriti, da sta identiteti in potekajo za vse kote, pri katerih so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne. Torej je formula veljavna za kateri koli , razen (sicer bo imel imenovalec nič in nismo definirali deljenja z nič), in formula - za vse , drugačen od , kjer je z kateri koli .

Razmerje med tangensom in kotangensom

Še bolj očitna trigonometrična identiteta od prejšnjih dveh je identiteta, ki povezuje tangens in kotangens enega kota oblike . Jasno je, da velja za vse kote, razen , sicer niti tangens niti kotangens nista definirana.

Dokaz formule zelo preprosto. Po definiciji in od kod . Dokaz bi lahko izpeljali malo drugače. Ker , To .

Torej, tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna, sta .