Vieta izključitveni izrek. Vietov izrek, inverzna Vietova formula in primeri z rešitvami za lutke

Pri preučevanju metod za reševanje enačb drugega reda v šolskem tečaju algebre se upoštevajo lastnosti nastalih korenin. Trenutno so znani kot Vietov izrek. Primeri njegove uporabe so navedeni v tem članku.

Kvadratna enačba

Enačba drugega reda je enakost, prikazana na spodnji fotografiji.

Tu so simboli a, b, c nekatera števila, imenovana koeficienti obravnavane enačbe. Če želite rešiti enačbo, morate najti vrednosti x, zaradi katerih je resnična.

Upoštevajte, da je največja potenca, na katero lahko povečamo x, dve, potem je število korenin v splošnem primeru prav tako dve.

Tovrstne enačbe lahko rešimo na več načinov. V tem članku bomo obravnavali eno izmed njih, ki vključuje uporabo tako imenovanega Vieta izreka.

Formulacija Vietovega izreka

Konec 16. stoletja je znameniti matematik Francois Viète (Francoz) pri analizi lastnosti korenov različnih kvadratnih enačb opazil, da nekatere njihove kombinacije zadoščajo določenim razmerjem. Zlasti te kombinacije so njihov produkt in vsota.

Vietin izrek ugotavlja naslednje: korenine kvadratne enačbe, ko se seštejejo, dajejo razmerje med linearnimi in kvadratnimi koeficienti, vzetimi z nasprotnim predznakom, in ko jih pomnožimo, vodijo do razmerja med prostim členom in kvadratnim koeficientom .

Če je splošna oblika enačbe zapisana, kot je prikazano na fotografiji v prejšnjem razdelku članka, potem lahko matematično ta izrek zapišemo v obliki dveh enakosti:

r 2 + r 1 = -b / a;
r 1 x r 2 = c / a.

Kjer je r 1, r 2 vrednost korenov zadevne enačbe.

Zgornji dve enačbi se lahko uporabita za reševanje številnih različnih matematičnih problemov. Uporaba Vietovega izreka v primerih z rešitvami je podana v naslednjih razdelkih članka.

Vsaka popolna kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0 mogoče spomniti x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, če vsak člen najprej delite s koeficientom a pred x 2. In če uvedemo nove oznake (b/a) = str in (c/a) = q, potem bomo imeli enačbo x 2 + px + q = 0, ki se v matematiki imenuje dana kvadratna enačba.

Korenine reducirane kvadratne enačbe in koeficienti str in q povezani med seboj. To je potrjeno Vietov izrek, poimenovan po francoskem matematiku Francoisu Vieti, ki je živel ob koncu 16. stoletja.

Izrek. Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0 enak drugemu koeficientu str, vzeto z nasprotnim znakom, in produkt korenin - na prosti izraz q.

Zapišimo te relacije v naslednji obliki:

Naj x 1 in x 2 različne korenine dane enačbe x 2 + px + q = 0. Po Vietovem izreku x 1 + x 2 = -p in x 1 x 2 = q.

Da bi to dokazali, zamenjajmo vsako od korenin x 1 in x 2 v enačbo. Dobimo dve pravi enakosti:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Od prve enakosti odštejmo drugo. Dobimo:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Prva dva člena razširimo s formulo razlike kvadratov:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Po pogoju sta korena x 1 in x 2 različna. Zato lahko enakost zmanjšamo na (x 1 – x 2) ≠ 0 in izrazimo p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prva enakost je dokazana.

Da dokažemo drugo enakost, nadomestimo v prvo enačbo

x 1 2 + px 1 + q = 0 namesto koeficienta p je enako število (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

S pretvorbo leve strani enačbe dobimo:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, kar je bilo treba dokazati.

Vietov izrek je dober, ker Tudi če ne poznamo korenov kvadratne enačbe, lahko izračunamo njihovo vsoto in produkt .

Vietin izrek pomaga določiti celoštevilske korene dane kvadratne enačbe. Toda to mnogim študentom povzroča težave zaradi dejstva, da ne poznajo jasnega algoritma delovanja, še posebej, če imajo korenine enačbe različne znake.

Torej ima zgornja kvadratna enačba obliko x 2 + px + q = 0, kjer sta x 1 in x 2 njeni korenini. Po Vietovem izreku je x 1 + x 2 = -p in x 1 x 2 = q.

Iz tega lahko sklepamo naslednje.

Če je pred zadnjim členom v enačbi znak minus, imata korena x 1 in x 2 različna predznaka. Poleg tega predznak manjšega korena sovpada s predznakom drugega koeficienta v enačbi.

Glede na to, da se pri seštevanju števil z različnimi predznaki njihovi moduli odštejejo, pred dobljenim rezultatom pa je znak večjega števila v absolutni vrednosti, morate postopati na naslednji način:

določi faktorje števila q tako, da je njihova razlika enaka številu p;
postavite znak drugega koeficienta enačbe pred manjšo od dobljenih številk; drugi koren bo imel nasprotni predznak.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1.

Rešite enačbo x 2 – 2x – 15 = 0.

rešitev.

Poskusimo rešiti to enačbo z uporabo zgoraj predlaganih pravil. Potem lahko zagotovo rečemo, da bo imela ta enačba dva različna korena, ker D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Zdaj izmed vseh faktorjev števila 15 (1 in 15, 3 in 5) izberemo tiste, katerih razlika je 2. To bosta števili 3 in 5. Pred manjšim številom postavimo znak minus, tj. predznak drugega koeficienta enačbe. Tako dobimo korena enačbe x 1 = -3 in x 2 = 5.

Odgovori. x 1 = -3 in x 2 = 5.

Primer 2.

Rešite enačbo x 2 + 5x – 6 = 0.

rešitev.

Preverimo, ali ima ta enačba korene. Da bi to naredili, najdemo diskriminator:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Enačba ima dva različna korena.

Možni faktorji števila 6 so 2 in 3, 6 in 1. Razlika je 5 za par 6 in 1. V tem primeru ima koeficient drugega člena predznak plus, zato bo imelo manjše število enak predznak . Toda pred drugo številko bo znak minus.

Odgovor: x 1 = -6 in x 2 = 1.

Vietov izrek lahko zapišemo tudi za popolno kvadratno enačbo. Torej, če je kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0 ima korena x 1 in x 2, potem zanju veljajo enakosti

x 1 + x 2 = -(b/a) in x 1 x 2 = (c/a). Vendar pa je uporaba tega izreka v popolni kvadratni enačbi precej problematična, ker če so koreni, je vsaj eden od njih delno število. In delo z izbiro ulomkov je precej težko. Toda še vedno obstaja izhod.

Razmislite o popolni kvadratni enačbi ax 2 + bx + c = 0. Pomnožite njeno levo in desno stran s koeficientom a. Enačba bo imela obliko (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Zdaj pa uvedimo novo spremenljivko, na primer t = ax.

V tem primeru se bo nastala enačba spremenila v zmanjšano kvadratno enačbo oblike t 2 + bt + ac = 0, katere korenine t 1 in t 2 (če obstajajo) je mogoče določiti z Vietinim izrekom.

V tem primeru bodo korenine prvotne kvadratne enačbe

x 1 = (t 1 / a) in x 2 = (t 2 / a).

Primer 3.

Rešite enačbo 15x 2 – 11x + 2 = 0.

rešitev.

Ustvarimo pomožno enačbo. Pomnožimo vsak člen enačbe s 15:

15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.

Izvedemo zamenjavo t = 15x. Imamo:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Po Vietovem izreku bosta korena te enačbe t 1 = 5 in t 2 = 6.

Vrnemo se k zamenjavi t = 15x:

5 = 15x ali 6 = 15x. Torej x 1 = 5/15 in x 2 = 6/15. Zmanjšamo in dobimo končni odgovor: x 1 = 1/3 in x 2 = 2/5.

Odgovori. x 1 = 1/3 in x 2 = 2/5.

Da bi učenci obvladali reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka, morajo čim več vaditi. Ravno v tem je skrivnost uspeha.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.

Vietov izrek se pogosto uporablja za preverjanje že najdenih korenin. Če ste našli korene, lahko uporabite formule \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), da izračunate vrednosti \(p \) in \(q\). In če se izkaže, da so enaki kot v prvotni enačbi, potem so korenine pravilno najdene.

Na primer, z uporabo rešimo enačbo \(x^2+x-56=0\) in dobimo korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Preverimo, ali smo pri reševanju naredili napako. V našem primeru \(p=1\) in \(q=-56\). Po Vietovem izreku imamo:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Obe trditvi sta se zbližali, kar pomeni, da smo enačbo pravilno rešili.

To preverjanje se lahko opravi ustno. Trajalo bo 5 sekund in vas bo rešilo pred neumnimi napakami.

Vietov obratni izrek

Če \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), potem sta \(x_1\) in \(x_2\) korena kvadratne enačbe \ (x^ 2+px+q=0\).

Ali na preprost način: če imate enačbo oblike \(x^2+px+q=0\), potem rešite sistem \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) boste našli njegove korenine.

Zahvaljujoč temu izreku lahko hitro najdete korenine kvadratne enačbe, še posebej, če so te korenine . Ta veščina je pomembna, saj prihrani veliko časa.

Primer . Rešite enačbo \(x^2-5x+6=0\).

rešitev : Z uporabo Vietovega obratnega izreka ugotovimo, da korenine izpolnjujejo pogoje: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Poglejte drugo enačbo sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Na kaj dvoje je mogoče razstaviti število \(6\)? Na \(2\) in \(3\), \(6\) in \(1\) ali \(-2\) in \(-3\) ter \(-6\) in \(- 1\). Prva enačba sistema vam bo povedala, kateri par izbrati: \(x_1+x_2=5\). \(2\) in \(3\) sta podobna, saj \(2+3=5\).
Odgovori : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Primeri . Z uporabo nasprotja Vietovega izreka poiščite korenine kvadratne enačbe:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

rešitev :
a) \(x^2-15x+14=0\) – na katere faktorje se razgradi \(14\)? \(2\) in \(7\), \(-2\) in \(-7\), \(-1\) in \(-14\), \(1\) in \(14\ ). Kateri pari števil dajejo \(15\)? Odgovor: \(1\) in \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – na katere faktorje se razgradi \(-4\)? \(-2\) in \(2\), \(4\) in \(-1\), \(1\) in \(-4\). Seštevek katerih parov števil je \(-3\)? Odgovor: \(1\) in \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na katere faktorje se razgradi \(20\)? \(4\) in \(5\), \(-4\) in \(-5\), \(2\) in \(10\), \(-2\) in \(-10\ ), \(-20\) in \(-1\), \(20\) in \(1\). Seštevek katerih parov števil je \(-9\)? Odgovor: \(-4\) in \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – na katere faktorje razpade \(780\)? \(390\) in \(2\). Bo njihov seštevek enak \(88\)? št. Katere druge množitelje ima \(780\)? \(78\) in \(10\). Bo njihov seštevek enak \(88\)? ja Odgovor: \(78\) in \(10\).

Zadnjega člena ni treba razširiti na vse možne dejavnike (kot v zadnjem primeru). Takoj lahko preverite, ali njihova vsota daje \(-p\).

Pomembno! Vietov izrek in obratni izrek delujeta samo z , to je tistim, za katerega je koeficient \(x^2\) enak ena. Če smo prvotno dobili nereducirano enačbo, jo lahko zmanjšamo tako, da preprosto delimo s koeficientom pred \(x^2\).

Na primer, naj bo podana enačba \(2x^2-4x-6=0\) in želimo uporabiti enega od Vietovih izrekov. Vendar ne moremo, saj je koeficient \(x^2\) enak \(2\). Znebimo se ga tako, da celotno enačbo delimo z \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

pripravljena Zdaj lahko uporabite oba izreka.

Odgovori na pogosto zastavljena vprašanja

vprašanje: Z uporabo Vietovega izreka lahko rešite katero koli ?
odgovor: Na žalost ne. Če enačba ne vsebuje celih števil ali enačba sploh nima korenin, potem Vietin izrek ne bo pomagal. V tem primeru morate uporabiti diskriminator . Na srečo ima 80 % enačb v šolski matematiki celoštevilske rešitve.

Najprej oblikujmo sam izrek: Imejmo pomanjšano kvadratno enačbo oblike x^2+b*x + c = 0. Recimo, da ta enačba vsebuje korena x1 in x2. Potem po izreku veljajo naslednje trditve:

1) Vsota korenin x1 in x2 bo enaka negativni vrednosti koeficienta b.

2) Produkt prav teh korenin nam bo dal koeficient c.

Toda kaj je dana enačba?

Zmanjšana kvadratna enačba je kvadratna enačba, katere koeficient najvišje stopnje je enak ena, tj. to je enačba oblike x^2 + b*x + c = 0. (in enačba a*x^2 + b*x + c = 0 je nereducirana). Z drugimi besedami, da dobimo enačbo v dani obliki, moramo to enačbo deliti s koeficientom največje potence (a). Naloga je, da to enačbo spravimo v naslednjo obliko:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Če vsako enačbo delimo s koeficientom najvišje stopnje, dobimo:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Kot lahko vidite iz primerov, lahko tudi enačbe, ki vsebujejo ulomke, reduciramo na dano obliko.

Uporaba Vietovega izreka

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

dobimo korenine: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

kot rezultat dobimo korenine: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

dobimo korene: x1 = −1; x2 = −4.

Pomen Vietovega izreka

Vietin izrek nam omogoča, da rešimo katero koli kvadratno reducirano enačbo v skoraj nekaj sekundah. Na prvi pogled se zdi to precej težka naloga, a po 5 10 enačbah se lahko takoj naučiš videti korenine.

Iz navedenih primerov in z uporabo izreka je razvidno, kako lahko bistveno poenostavite reševanje kvadratnih enačb, saj lahko z uporabo tega izreka rešite kvadratno enačbo praktično brez zapletenih izračunov in izračuna diskriminante, in kot veste, manj izračunov, težje je narediti napako, kar je pomembno.

V vseh primerih smo to pravilo uporabili na podlagi dveh pomembnih predpostavk:

Podana enačba, tj. koeficient najvišje stopnje je enak ena (temu pogoju se je enostavno izogniti. Uporabite lahko nereducirano obliko enačbe, potem bodo veljavne naslednje trditve x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, vendar je ponavadi težje rešiti :))

Ko ima enačba dva različna korena. Predpostavimo, da je neenakost resnična in je diskriminanta strogo večja od nič.

Zato lahko ustvarimo splošni algoritem rešitve z uporabo Vietovega izreka.

Splošni algoritem rešitve z uporabo Vietovega izreka

Kvadratno enačbo reduciramo na reducirano obliko, če nam je enačba dana v nereducirani obliki. Ko se izkaže, da so koeficienti v kvadratni enačbi, ki smo jo prej predstavili kot dane, ulomki (ne decimalni), potem je treba v tem primeru našo enačbo rešiti prek diskriminante.

Obstajajo tudi primeri, ko vrnitev na začetno enačbo omogoča delo s "priročnimi" številkami.

V kvadratnih enačbah obstaja več razmerij. Glavni so odnosi med koreni in koeficienti. Tudi v kvadratnih enačbah obstajajo številna razmerja, ki jih podaja Vietov izrek.

V tej temi bomo predstavili sam Vietov izrek in njegov dokaz za kvadratno enačbo, izrek, inverzen Vietovemu izreku, ter analizirali številne primere reševanja problemov. V gradivu bomo posebno pozornost namenili obravnavi Vietovih formul, ki določajo povezavo med realnimi koreninami algebraične enačbe stopnje n in njegove koeficiente.

Formulacija in dokaz Vietovega izreka

Formula za korenine kvadratne enačbe a x 2 + b x + c = 0 oblike x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, kjer je D = b 2 − 4 a c, vzpostavlja odnose x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. To potrjuje Vietov izrek.

1. izrek

V kvadratni enačbi a x 2 + b x + c = 0, Kje x 1 in x 2– korenine, bo vsota korenin enaka razmerju koeficientov b in a, ki je bil vzet z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa bo enak razmerju koeficientov c in a, tj. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Dokazi 1

Ponujamo vam naslednjo shemo za izvedbo dokaza: vzemite formulo korenin, sestavite vsoto in produkt korenin kvadratne enačbe in nato transformirajte dobljene izraze, da se prepričate, da so enaki - b a in c a oz.

Seštejmo korenine x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Spravimo ulomke na skupni imenovalec - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Odprimo oklepaj v števcu dobljenega ulomka in predstavimo podobne člene: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Zmanjšajmo ulomek za: 2 - b a = - b a.

Tako smo dokazali prvo relacijo Vietovega izreka, ki se nanaša na vsoto korenov kvadratne enačbe.

Zdaj pa preidimo na drugo razmerje.

Da bi to naredili, moramo sestaviti produkt korenin kvadratne enačbe: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Spomnimo se pravila množenja ulomkov in zadnji zmnožek zapišimo takole: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu ulomka ali uporabimo formulo razlike kvadratov za hitrejšo transformacijo tega zmnožka: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2.

Uporabimo definicijo kvadratnega korena, da naredimo naslednji prehod: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c ustreza diskriminantu kvadratne enačbe, zato v ulomek namesto D se lahko nadomesti b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Odpremo oklepaje, dodamo podobne člene in dobimo: 4 · a · c 4 · a 2 . Če ga skrajšamo na 4 a, potem ostane c a . Tako smo dokazali drugo razmerje Vietovega izreka za produkt korenin.

Dokaz Vietovega izreka lahko zapišemo zelo jedrnato, če izpustimo pojasnila:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Če je diskriminanta kvadratne enačbe enaka nič, bo enačba imela samo en koren. Da bi lahko uporabili Vietov izrek za takšno enačbo, lahko predpostavimo, da ima enačba z diskriminanto, ki je enaka nič, dva enaka korena. Res, kdaj D=0 koren kvadratne enačbe je: - b 2 · a, potem x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a in x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , in ker je D = 0, je b 2 - 4 · a · c = 0, od koder je b 2 = 4 · a · c, potem b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Najpogosteje se v praksi Vietov izrek uporablja za pomanjšano kvadratno enačbo oblike x 2 + p x + q = 0, kjer je vodilni koeficient a enak 1. V zvezi s tem je Vietov izrek oblikovan posebej za tovrstne enačbe. To ne omejuje splošnosti zaradi dejstva, da je vsako kvadratno enačbo mogoče nadomestiti z enakovredno enačbo. Če želite to narediti, morate oba njegova dela deliti s številom, ki ni nič.

Dajmo še eno formulacijo Vietovega izreka.

2. izrek

Vsota korenov v dani kvadratni enačbi x 2 + p x + q = 0 bo enak koeficientu x, ki je vzet z nasprotnim predznakom, bo produkt korenin enak prostemu členu, tj. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Izrek je nasproten Vietovemu izreku

Če pozorno pogledate drugo formulacijo Vietovega izreka, lahko to vidite za korenine x 1 in x 2 reducirana kvadratna enačba x 2 + p x + q = 0 bodo veljale naslednje relacije: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Iz teh razmerij x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q sledi, da x 1 in x 2 so korenine kvadratne enačbe x 2 + p x + q = 0. Tako smo prišli do izjave, ki je obratna od Vietovega izreka.

Zdaj predlagamo, da to izjavo formaliziramo kot izrek in izvedemo njen dokaz.

Izrek 3

Če številke x 1 in x 2 so takšni, da x 1 + x 2 = − str in x 1 x 2 = q, To x 1 in x 2 so korenine reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q = 0.

Dokazi 2

Zamenjava kvot str in q do njihovega izražanja skozi x 1 in x 2 omogoča transformacijo enačbe x 2 + p x + q = 0 v ekvivalent .

Če v nastalo enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, potem dobimo enakost x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. To je enakost za vse x 1 in x 2 spremeni v pravo numerično enakost 0 = 0 , ker x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. To pomeni, da x 1– koren enačbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Pa kaj x 1 je tudi koren ekvivalentne enačbe x 2 + p x + q = 0.

Zamenjava v enačbo x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0številke x 2 namesto x nam omogoča, da dobimo enakost x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. To enakost lahko štejemo za resnično, saj x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Izkazalo se je, da x 2 je koren enačbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, in s tem enačbe x 2 + p x + q = 0.

Obratno od Vietovega izreka je bilo dokazano.

Primeri uporabe Vietovega izreka

Začnimo zdaj analizirati najbolj značilne primere na to temo. Začnimo z analizo problemov, ki zahtevajo uporabo izreka, inverznega Vietovemu izreku. Uporablja se lahko za preverjanje števil, pridobljenih z izračuni, da bi ugotovili, ali so korenine dane kvadratne enačbe. Če želite to narediti, morate izračunati njuno vsoto in razliko, nato pa preveriti veljavnost odnosov x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Izpolnjenost obeh relacij pomeni, da so števila, dobljena med izračuni, koreni enačbe. Če vidimo, da vsaj eden od pogojev ni izpolnjen, te številke ne morejo biti korenine kvadratne enačbe, podane v izjavi problema.

Primer 1

Kateri od parov števil: 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 ali 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 ali 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

rešitev

Poiščimo koeficiente kvadratne enačbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. To je a = 4, b = − 16, c = 9. Po Vietovem izreku mora biti vsota korenin kvadratne enačbe enaka - b a, to je 16 4 = 4 , zmnožek korenin pa mora biti enak c a, to je 9 4 .

Dobljena števila preverimo tako, da izračunamo vsoto in zmnožek števil iz treh danih parov in jih primerjamo z dobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Ta vrednost se razlikuje od 4, zato preverjanja ni treba nadaljevati. Glede na izrek, nasproten Vietovemu izreku, lahko takoj sklepamo, da prvi par števil ni koren te kvadratne enačbe.

V drugem primeru je x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidimo, da je prvi pogoj izpolnjen. Toda drugi pogoj ni: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Vrednost, ki smo jo dobili, je drugačna od 9 4 . To pomeni, da drugi par števil ni koren kvadratne enačbe.

Pojdimo k obravnavanju tretjega para. Tukaj je x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 in x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da x 1 in x 2 so korenine dane kvadratne enačbe.

odgovor: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Za iskanje korenin kvadratne enačbe lahko uporabimo tudi nasprotje Vietovega izreka. Najenostavnejši način je izbiranje celoštevilskih korenin danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti. Razmislite lahko o drugih možnostih. Toda to lahko znatno zaplete izračune.

Za izbiro korenin uporabimo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzeto z znakom minus, produkt teh števil pa je enak prostemu členu, potem sta ti števili korenine te kvadratne enačbe.

Primer 2

Kot primer uporabimo kvadratno enačbo x 2 − 5 x + 6 = 0. Številke x 1 in x 2 so lahko koreni te enačbe, če sta izpolnjeni dve enakosti x 1 + x 2 = 5 in x 1 x 2 = 6. Izberimo te številke. To sta številki 2 in 3, saj 2 + 3 = 5 in 2 3 = 6. Izkazalo se je, da sta 2 in 3 korena te kvadratne enačbe.

Obratno od Vietovega izreka se lahko uporabi za iskanje drugega korena, ko je prvi znan ali očiten. Za to lahko uporabimo relacije x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Primer 3

Razmislite o kvadratni enačbi 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Treba je najti korenine te enačbe.

rešitev

Prvi koren enačbe je 1, ker je vsota koeficientov te kvadratne enačbe enaka nič. Izkazalo se je, da x 1 = 1.

Zdaj pa poiščimo drugi koren. Za to lahko uporabite relacijo x 1 x 2 = c a. Izkazalo se je, da 1 x 2 = − 3,512, kje x 2 = - 3,512.

odgovor: korenine kvadratne enačbe, določene v izjavi problema 1 in - 3 512 .

Korenine je mogoče izbrati z izrekom, inverznim Vietovemu izreku, le v preprostih primerih. V drugih primerih je bolje iskati s formulo za korenine kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Zahvaljujoč nasprotju Vietovega izreka lahko sestavimo tudi kvadratne enačbe z uporabo obstoječih korenin x 1 in x 2. Da bi to naredili, moramo izračunati vsoto korenin, ki daje koeficient za x z nasprotnim predznakom podane kvadratne enačbe in produkt korenin, ki daje prosti člen.

Primer 4

Napišite kvadratno enačbo, katere koreni so števila − 11 in 23 .

rešitev

Predpostavimo, da x 1 = − 11 in x 2 = 23. Vsota in zmnožek teh števil bosta enaka: x 1 + x 2 = 12 in x 1 x 2 = − 253. To pomeni, da je drugi koeficient 12, prosti termin − 253.

Sestavimo enačbo: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Odgovori: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Vietov izrek lahko uporabimo za reševanje problemov, ki vključujejo predznake korenin kvadratnih enačb. Povezava med Vietovim izrekom je povezana s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q = 0 kot sledi:

če ima kvadratna enačba realne korenine in če je presečni člen q je pozitivno število, potem bodo ti koreni imeli enak znak "+" ali "-";
če ima kvadratna enačba korene in če je presečni člen q je negativno število, potem bo en koren "+", drugi pa "-".

Obe izjavi sta posledica formule x 1 x 2 = q in pravila za množenje pozitivnih in negativnih števil ter števil z različnimi predznaki.

Primer 5

So korenine kvadratne enačbe x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitivno?

rešitev

Po Vietovem izreku korena te enačbe ne moreta biti oba pozitivna, saj morata izpolnjevati enakost x 1 x 2 = − 21. Pri pozitivi je to nemogoče x 1 in x 2.

odgovor:št

Primer 6

Pri katerih vrednostih parametrov r kvadratna enačba x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 bo imel dva prava korena z različnimi predznaki.

rešitev

Začnimo z iskanjem vrednosti, katerih r, za kar bo imela enačba dva korena. Poiščimo diskriminanco in poglejmo pri čem r bo imel pozitivne vrednosti. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vrednost izraza r 2 + 8 pozitiven za vse realne r, zato bo diskriminant večji od nič za vsako realno r. To pomeni, da bo izvirna kvadratna enačba imela dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa poglejmo, kdaj imajo korenine različne znake. To je mogoče, če je njihov produkt negativen. Po Vietovem izreku je produkt korenin reducirane kvadratne enačbe enak prostemu členu. To pomeni, da bodo pravilne rešitve te vrednosti r, pri katerem je prosti člen r − 1 negativen. Rešimo linearno neenačbo r − 1< 0 , получаем r < 1 .

odgovor: pri r< 1 .

Vieta formule

Obstajajo številne formule, ki se uporabljajo za izvajanje operacij s koreninami in koeficienti ne samo kvadratnih, ampak tudi kubičnih in drugih vrst enačb. Imenujejo se Vietove formule.

Za algebraično enačbo stopnje n oblike a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 velja, da ima enačba n prave korenine x 1 , x 2 , … , x n, med katerimi so lahko isti:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Definicija 1

Vietine formule nam pomagajo pridobiti:

izrek o razgradnji polinoma na linearne faktorje;
določitev enakih polinomov preko enakosti vseh njihovih ustreznih koeficientov.

Tako je polinom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n in njegovo raztezanje v linearne faktorje oblike a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sta enaka.

Če pri zadnjem zmnožku odpremo oklepaje in izenačimo pripadajoče koeficiente, dobimo formule Vieta. Če vzamemo n = 2, lahko dobimo Vietino formulo za kvadratno enačbo: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Definicija 2

Vietova formula za kubično enačbo:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Leva stran Vieta formule vsebuje tako imenovane elementarne simetrične polinome.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter