Potenčne funkcije y x 5. Potenčne funkcije, njihove lastnosti in grafi

Na področju definicije potenčne funkcije y = x p veljajo naslednje formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Lastnosti potenčnih funkcij in njihovih grafov

Potenčna funkcija z eksponentom, enakim nič, p = 0

Če je eksponent potenčne funkcije y = x p enak nič, p = 0, potem je potenčna funkcija definirana za vse x ≠ 0 in je konstanta enaka ena:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Potenčna funkcija z naravnim lihim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Razmislite o potenčni funkciji y = x p = x n z naravnim lihim eksponentom n = 1, 3, 5, ... . Ta indikator lahko zapišemo tudi v obliki: n = 2k + 1, kjer je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativno celo število. Spodaj so lastnosti in grafi takih funkcij.

Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ....

Domena: -∞ < x < ∞
Več pomenov: -∞ < y < ∞
Pariteta: liho, y(-x) = - y(x)
enobarvno: monotono narašča
Ekstremi:št
Konveksno:
pri -∞< x < 0 выпукла вверх
ob 0< x < ∞ выпукла вниз
Prevojne točke: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Omejitve:
;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:
za n = 1 je funkcija inverzna: x = y
za n ≠ 1 je inverzna funkcija koren stopnje n:

Potenčna funkcija z naravnim sodim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Razmislite o potenčni funkciji y = x p = x n z naravnim sodim eksponentom n = 2, 4, 6, ... . Ta indikator lahko zapišemo tudi v obliki: n = 2k, kjer je k = 1, 2, 3, ... - naravno. Lastnosti in grafi takih funkcij so podani spodaj.

Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim sodim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....

Domena: -∞ < x < ∞
Več pomenov: 0 ≤ y< ∞
Pariteta: sodo, y(-x) = y(x)
enobarvno:
za x ≤ 0 monotono pada
za x ≥ 0 monotono narašča
Ekstremi: najmanj, x = 0, y = 0
Konveksno: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
Omejitve:
;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:
za n = 2, kvadratni koren:
za n ≠ 2, koren stopnje n:

Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmislite o potenčni funkciji y = x p = x n s celim negativnim eksponentom n = -1, -2, -3, ... . Če postavimo n = -k, kjer je k = 1, 2, 3, ... naravno število, potem ga lahko predstavimo kot:

Graf potenčne funkcije y = x n z negativnim celim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Lihi eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Spodaj so lastnosti funkcije y = x n z lihim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....

Domena: x ≠ 0
Več pomenov: y ≠ 0
Pariteta: liho, y(-x) = - y(x)
enobarvno: monotono pada
Ekstremi:št
Konveksno:
pri x< 0 : выпукла вверх
za x > 0: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi:št
znak:
pri x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Omejitve:
; ; ;
Zasebne vrednosti:
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:
ko je n = -1,
pri n< -2 ,

Sodi eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Spodaj so lastnosti funkcije y = x n s sodim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....

Domena: x ≠ 0
Več pomenov: y > 0
Pariteta: sodo, y(-x) = y(x)
enobarvno:
pri x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0: monotono pada
Ekstremi:št
Konveksno: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi:št
znak: y > 0
Omejitve:
; ; ;
Zasebne vrednosti:
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:
pri n = -2,
pri n< -2 ,

Potenčna funkcija z racionalnim (delnim) eksponentom

Razmislite o potenčni funkciji y = x p z racionalnim (ulomkom) eksponentom, kjer je n celo število, m > 1 pa naravno število. Poleg tega n, m nimata skupnih deliteljev.

Imenovalec ulomkov indikatorja je liho

Naj bo imenovalec ulomkovega eksponenta lih: m = 3, 5, 7, ... . V tem primeru je funkcija moči x p definirana za pozitivne in negativne vrednosti argumenta x. Oglejmo si lastnosti takih potenčnih funkcij, ko je eksponent p v določenih mejah.

P-vrednost je negativna, p< 0

Naj bo racionalni eksponent (z lihim imenovalcem m = 3, 5, 7, ...) manjši od nič: .

Grafi funkcij moči z racionalnim negativnim eksponentom za različne vrednosti eksponenta, kjer je m = 3, 5, 7, ... - liho.

Lihi števec, n = -1, -3, -5, ...

Predstavimo lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim negativnim eksponentom, kjer je n = -1, -3, -5, ... liho negativno celo število, m = 3, 5, 7 ... je liho naravno celo število.

Domena: x ≠ 0
Več pomenov: y ≠ 0
Pariteta: liho, y(-x) = - y(x)
enobarvno: monotono pada
Ekstremi:št
Konveksno:
pri x< 0 : выпукла вверх
za x > 0: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi:št
znak:
pri x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Omejitve:
; ; ;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:

Sodi števec, n = -2, -4, -6, ...

Lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim negativnim eksponentom, kjer je n = -2, -4, -6, ... sodo negativno celo število, m = 3, 5, 7 ... je liho naravno celo število .

Domena: x ≠ 0
Več pomenov: y > 0
Pariteta: sodo, y(-x) = y(x)
enobarvno:
pri x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0: monotono pada
Ekstremi:št
Konveksno: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi:št
znak: y > 0
Omejitve:
; ; ;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:

P-vrednost je pozitivna, manjša od ena, 0< p < 1

Graf potenčne funkcije z racionalnim eksponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Lihi števec, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Več pomenov: -∞ < y < +∞
Pariteta: liho, y(-x) = - y(x)
enobarvno: monotono narašča
Ekstremi:št
Konveksno:
pri x< 0 : выпукла вниз
za x > 0: konveksno navzgor
Prevojne točke: x = 0, y = 0
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
znak:
pri x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Omejitve:
;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Povratna funkcija:

Sodi števec, n = 2, 4, 6, ...

Predstavljene so lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim eksponentom znotraj 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Več pomenov: 0 ≤ y< +∞
Pariteta: sodo, y(-x) = y(x)
enobarvno:
pri x< 0 : монотонно убывает
za x > 0: monotono narašča
Ekstremi: najmanj pri x = 0, y = 0
Konveksno: konveksno navzgor za x ≠ 0
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
znak: za x ≠ 0, y > 0
Omejitve:
;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = 1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Povratna funkcija:

Indeks p je večji od ena, p > 1

Graf potenčne funkcije z racionalnim eksponentom (p> 1) za različne vrednosti eksponenta, kjer je m = 3, 5, 7, ... - liho.

Lihi števec, n = 5, 7, 9, ...

Lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim eksponentom, večjim od ena: . Kjer je n = 5, 7, 9, ... - liho naravno, m = 3, 5, 7 ... - liho naravno.

Domena: -∞ < x < ∞
Več pomenov: -∞ < y < ∞
Pariteta: liho, y(-x) = - y(x)
enobarvno: monotono narašča
Ekstremi:št
Konveksno:
pri -∞< x < 0 выпукла вверх
ob 0< x < ∞ выпукла вниз
Prevojne točke: x = 0, y = 0
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
Omejitve:
;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Povratna funkcija:

Sodi števec, n = 4, 6, 8, ...

Lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim eksponentom, večjim od ena: . Kjer je n = 4, 6, 8, ... - sodo naravno, m = 3, 5, 7 ... - liho naravno.

Domena: -∞ < x < ∞
Več pomenov: 0 ≤ y< ∞
Pariteta: sodo, y(-x) = y(x)
enobarvno:
pri x< 0 монотонно убывает
za x > 0 monotono narašča
Ekstremi: najmanj pri x = 0, y = 0
Konveksno: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
Omejitve:
;
Zasebne vrednosti:
pri x = -1, y(-1) = 1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Povratna funkcija:

Imenovalec ulomkov je sod

Imenovalec ulomkovega eksponenta naj bo sod: m = 2, 4, 6, ... . V tem primeru funkcija moči x p ni definirana za negativne vrednosti argumenta. Njegove lastnosti sovpadajo z lastnostmi potenčne funkcije z iracionalnim eksponentom (glej naslednji razdelek).

Potenčna funkcija z iracionalnim eksponentom

Razmislite o potenčni funkciji y = x p z iracionalnim eksponentom p. Lastnosti takšnih funkcij se od zgoraj obravnavanih razlikujejo po tem, da niso definirane za negativne vrednosti argumenta x. Pri pozitivnih vrednostih argumenta so lastnosti odvisne le od vrednosti eksponenta p in niso odvisne od tega, ali je p celo število, racionalen ali iracionalen.

y = x p za različne vrednosti eksponenta p.

Potenčna funkcija z negativnim eksponentom p< 0

Domena: x > 0
Več pomenov: y > 0
enobarvno: monotono pada
Konveksno: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi:št
Omejitve: ;
Zasebni pomen: Za x = 1 je y(1) = 1 p = 1

Potenčna funkcija s pozitivnim eksponentom p > 0

Indikator je manjši od ene 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Več pomenov: y ≥ 0
enobarvno: monotono narašča
Konveksno: konveksno navzgor
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
Omejitve:
Zasebne vrednosti: Za x = 0 je y(0) = 0 p = 0.
Za x = 1 je y(1) = 1 p = 1

Indikator je večji od enega p > 1

Domena: x ≥ 0
Več pomenov: y ≥ 0
enobarvno: monotono narašča
Konveksno: konveksno navzdol
Prevojne točke:št
Presečišča s koordinatnimi osemi: x = 0, y = 0
Omejitve:
Zasebne vrednosti: Za x = 0 je y(0) = 0 p = 0.
Za x = 1 je y(1) = 1 p = 1

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.

Lekcija in predstavitev na temo: "Funkcije moči. Lastnosti. Grafi"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9–11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10–11 "Logaritmi"

Potenčne funkcije, domena definicije.

Primer. Rešite enačbo: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
rešitev. Graf funkcije $y=x^(\frac(4)(3))$ narašča, graf funkcije $y=24-x$ pa pada. Fantje, vi in ​​jaz vemo: če ena funkcija narašča in druga pada, potem se sekata samo v eni točki, to pomeni, da imamo samo eno rešitev.
Opomba:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
To pomeni, da smo z $x=8$ dobili pravilno enakost $16=16$, to je rešitev naše enačbe.
Odgovor: $x=8$.

Primer.
Graf funkcije: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
rešitev.
Graf naše funkcije dobimo iz grafa funkcije $y=x^(\frac(3)(4))$, ki ga premaknemo za 3 enote v desno in 2 enoti navzgor.

Primer. Zapišite enačbo za tangento na premico $y=x^(-\frac(4)(5))$ v točki $x=1$.
rešitev. Tangentna enačba je določena s formulo, ki jo poznamo:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
V našem primeru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Poiščimo izpeljanko:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Izračunajmo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Poiščimo tangentno enačbo:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odgovor: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

Potenčna funkcija, njene lastnosti in graf Demonstracijsko gradivo Učna ura-predavanje Pojem funkcije. Funkcijske lastnosti. Funkcija moči, njene lastnosti in graf. 10. razred Vse pravice pridržane. Avtorske pravice pri Avtorske pravice pri

Potek lekcije: Ponovitev. funkcija. Lastnosti funkcij. Učenje nove snovi. 1. Definicija potenčne funkcije. Definicija potenčne funkcije. 2. Lastnosti in grafi potenčnih funkcij. Utrjevanje preučenega gradiva. Verbalno štetje. Verbalno štetje. Povzetek lekcije. Domača naloga.

Domena definicije in domena vrednosti funkcije Vse vrednosti neodvisne spremenljivke tvorijo domeno definicije funkcije x y=f(x) f Domena definicije funkcije Domena vrednosti funkcije Vse vrednosti, ki jih odvisna spremenljivka prevzame iz domene vrednosti funkcije Funkcija. Lastnosti funkcije

Graf funkcije Naj bo podana funkcija, kjer je xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Graf funkcije je množica vseh točk koordinatne ravnine, katerih abscise so enake vrednostim argumenta, in ordinate so enake ustreznim vrednostim funkcije. funkcija. Lastnosti funkcije

Y x Domena definicije in območje vrednosti funkcije 4 y=f(x) Domena definicije funkcije: Domena vrednosti funkcije: Funkcija. Lastnosti funkcije

Soda funkcija y x y=f(x) Graf sode funkcije je simetričen glede na os operacijskega ojačevalnika. Funkcija y=f(x) se imenuje tudi, če je f(-x) = f(x). poljuben x iz domene definicije funkcije Funkcija. Lastnosti funkcije

Liha funkcija y x y=f(x) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor O(0;0) Funkcija y=f(x) se imenuje liha, če je f(-x) = -f(x) za kateri koli x iz definicij funkcij regije Funkcija. Lastnosti funkcije

Definicija potenčne funkcije Funkcijo, kjer je p dano realno število, imenujemo potenčna funkcija. p y=x p P=x y 0 Napredek lekcije

Funkcija moči x y 1. Definicijsko področje in obseg vrednosti funkcij moči oblike, kjer je n naravno število, so vsa realna števila. 2. Te funkcije so nenavadne. Njihov graf je simetričen glede na izvor. Lastnosti in grafi potenčnih funkcij

Potenčne funkcije z racionalnim pozitivnim eksponentom so vsa pozitivna števila in število 0. Območje vrednosti funkcij s takšnim eksponentom so prav tako vsa pozitivna števila in število 0. Te funkcije niso niti sode niti lihe. . y x Lastnosti in grafi potenčnih funkcij

Potenčna funkcija z racionalnim negativnim eksponentom. Domena definicije in obseg vrednosti takih funkcij so vsa pozitivna števila. Funkcije niso niti sode niti lihe. Takšne funkcije se zmanjšajo v celotnem področju definicije. y x Lastnosti in grafi potenčnih funkcij Potek lekcije

V tej lekciji bomo nadaljevali s študijem potenčnih funkcij z racionalnim eksponentom in obravnavali funkcije z negativnim racionalnim eksponentom.

1. Osnovni pojmi in definicije

Spomnimo se lastnosti in grafov potenčnih funkcij z negativnim celim eksponentom.

Za sodo n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takih funkcij potekajo skozi dve fiksni točki: (1;1), (-1;1). Posebnost funkcij te vrste je njihova pariteta; grafi so simetrični glede na os op-amp.

riž. 1. Graf funkcije

Za liho n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takih funkcij gredo skozi dve fiksni točki: (1;1), (-1;-1). Posebnost funkcij te vrste je, da so lihi grafi glede na izvor.

riž. 2. Graf funkcije

2. Funkcija z negativnim racionalnim eksponentom, grafi, lastnosti

Spomnimo se osnovne definicije.

Potenco nenegativnega števila a z racionalnim pozitivnim eksponentom imenujemo število.

Potenco pozitivnega števila a z racionalnim negativnim eksponentom imenujemo število.

Za enakost:

Na primer: ; - izraz po definiciji ne obstaja stopnje z negativnim racionalnim eksponentom; obstaja, ker je eksponent celo število,

Preidimo k obravnavi potenčnih funkcij z racionalnim negativnim eksponentom.

Na primer:

Če želite narisati graf te funkcije, lahko ustvarite tabelo. Naredili bomo drugače: najprej bomo zgradili in preučili graf imenovalca - poznan nam je (slika 3).

riž. 3. Graf funkcije

Graf funkcije imenovalca poteka skozi fiksno točko (1;1). Pri izrisu grafa prvotne funkcije ta točka ostane, medtem ko koren teži k nič, funkcija teži v neskončnost. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 4).

riž. 4. Funkcijski graf

Oglejmo si še eno funkcijo iz družine funkcij, ki jih preučujemo.

Pomembno je, da po definiciji

Oglejmo si graf funkcije v imenovalcu: , graf te funkcije nam je znan, narašča v svoji definicijski domeni in prehaja skozi točko (1;1) (slika 5).

riž. 5. Graf funkcije

Pri izrisu grafa izvorne funkcije točka (1;1) ostane, koren pa teži tudi k ničli, funkcija teži v neskončnost. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 6).

riž. 6. Graf funkcije

Obravnavani primeri pomagajo razumeti, kako teče graf in kakšne so lastnosti preučevane funkcije - funkcije z negativnim racionalnim eksponentom.

Grafi funkcij te družine potekajo skozi točko (1;1), funkcija pada na celotnem področju definicije.

Obseg funkcije:

Funkcija ni omejena od zgoraj, ampak je omejena od spodaj. Funkcija nima niti največje niti najmanjše vrednosti.

Funkcija je zvezna in sprejme vse pozitivne vrednosti od nič do plus neskončnosti.

Funkcija je konveksna navzdol (slika 15.7)

Na krivulji vzamemo točki A in B, skozi njiju narišemo odsek, celotna krivulja je pod odsekom, ta pogoj je izpolnjen za poljubni dve točki na krivulji, zato je funkcija konveksna navzdol. riž. 7.

riž. 7. Konveksnost funkcije

3. Reševanje tipičnih problemov

Pomembno je razumeti, da so funkcije te družine od spodaj omejene z ničlo, vendar nimajo najmanjše vrednosti.

Primer 1 - poiščite maksimum in minimum funkcije na intervalu)