Povprečne absolutne in relativne napake. Testna vprašanja in vaje

Absolutne in relativne napake se uporabljajo za oceno netočnosti v izračunih visoka kompleksnost. Uporabljajo se tudi pri različnih meritvah in za zaokroževanje rezultatov izračuna. Poglejmo, kako določiti absolutno in relativno napako.

Absolutna napaka

Absolutna napaka števila pokličite razliko med to številko in njeno natančno vrednostjo.
Poglejmo si primer : Na šoli je 374 učencev. Če to številko zaokrožimo na 400, potem je absolutna merilna napaka 400-374=26.

Šteti absolutna napaka Od večjega števila je treba odšteti manjše število.

Obstaja formula za absolutno napako. Točno število označimo s črko A, črka a pa približek točnemu številu. Približno število je število, ki se nekoliko razlikuje od natančnega in ga pri izračunih običajno nadomesti. Potem bo formula videti takole:

Δa=A-a. Zgoraj smo razpravljali o tem, kako najti absolutno napako s formulo.

V praksi absolutna napaka ne zadostuje za natančno oceno meritve. Redko je mogoče poznati natančno vrednost izmerjene količine, da bi lahko izračunali absolutno napako. Če izmerite knjigo dolžine 20 cm in dopustite napako 1 cm, lahko upoštevate meritev z velika napaka. Če pa je pri merjenju stene 20 metrov prišlo do napake 1 cm, se lahko ta meritev šteje za čim natančnejšo. Zato v praksi več pomembno ima definicijo relativne merilne napake.

Zapišite absolutno napako števila z znakom ±. Na primer dolžina zvitka tapete je 30 m ± 3 cm, kar se imenuje največja absolutna napaka.

Relativna napaka

Relativna napaka Imenujejo razmerje med absolutno napako števila in samim številom. Za izračun relativne napake v primeru z učenci 26 delimo s 374. Dobimo število 0,0695, ga pretvorimo v odstotek in dobimo 6 %. Relativna napaka je označena v odstotkih, ker je brezdimenzijska količina. Relativna napaka je natančna ocena merilne napake. Če pri merjenju dolžine segmentov 10 cm in 10 m vzamemo absolutno napako 1 cm, bodo relativne napake enake 10% oziroma 0,1%. Za segment dolžine 10 cm je napaka 1 cm zelo velika, to je napaka 10%. Toda za desetmetrski segment 1 cm ni pomemben, le 0,1%.

Obstajajo sistematične in naključne napake. Sistematična je napaka, ki ostane nespremenjena med ponavljajočimi se meritvami. Naključna napaka se pojavi kot posledica vpliva na merilni proces zunanji dejavniki in lahko spremeni svoj pomen.

Pravila za izračunavanje napak

Obstaja več pravil za nominalno oceno napak:

• pri seštevanju in odštevanju števil je treba sešteti njihove absolutne napake;
• pri deljenju in množenju števil je treba seštevati relativne napake;
• Ko se relativna napaka dvigne na potenco, se pomnoži z eksponentom.

Približne in natančne številke so zapisane z uporabo decimalke. Vzame se samo povprečna vrednost, saj je točna vrednost lahko neskončno dolga. Če želite razumeti, kako zapisati te številke, se morate naučiti o resničnih in dvomljivih številkah.

Prava števila so tista števila, katerih rang presega absolutno napako števila. Če je številka številke manjša od absolutne napake, se imenuje dvomljiva. Na primer , za ulomek 3,6714 z napako 0,002 bodo pravilne številke 3,6,7, dvomljive pa 1 in 4. V zapisu približnega števila ostanejo samo pravilne številke. Ulomek v tem primeru bo videti takole - 3,67.

Merjenje količine je operacija, s katero ugotovimo, kolikokrat je izmerjena količina večja (ali manjša) od ustrezne vrednosti, vzete za standard (mersko enoto). Vse meritve lahko razdelimo na dve vrsti: neposredne in posredne.

DIREKTNE so meritve, v katerih se meri tisto, kar nas neposredno zanima fizikalna količina(masa, dolžina, časovni intervali, temperaturne spremembe itd.).

POSREDNE so meritve, pri katerih se količina, ki nas zanima, določi (izračuna) iz rezultatov neposrednih meritev drugih z njo na določen način povezanih količin. funkcionalna odvisnost. Na primer, določanje hitrosti enakomerno gibanje z merjenjem prevožene poti v določenem času, merjenje gostote telesa z merjenjem mase in prostornine telesa itd.

Skupna značilnost meritev je nezmožnost pridobitve prave vrednosti izmerjene vrednosti; rezultat meritve vedno vsebuje kakšno napako (netočnost). To je razloženo kot bistveno omejeno natančnost merjenja in naravo samih merjenih objektov. Zato je za prikaz, kako blizu je dobljeni rezultat pravi vrednosti, skupaj z dobljenim rezultatom prikazana merilna napaka.

Na primer, izmerili smo goriščno razdaljo leče f in to zapisali

f = (256 ± 2) mm (1)

To pomeni, da se goriščna razdalja giblje od 254 do 258 mm. Toda v resnici ima ta enakost (1) verjetnostni pomen. Ne moremo s popolnim zaupanjem reči, da je vrednost v določenih mejah, obstaja le določena verjetnost za to, zato je treba enakost (1) dopolniti z navedbo verjetnosti, s katero je to razmerje smiselno (oblikovali bomo to izjavo natančneje spodaj).

Ocena napak je nujna, ker je brez poznavanja napak iz eksperimenta nemogoče potegniti določene zaključke.

Običajno se izračunata absolutna in relativna napaka. Absolutni pogrešek Δx je razlika med pravo vrednostjo izmerjene količine μ in merilnim rezultatom x, t.j. Δx = μ - x

Odnos absolutna napaka na pravo vrednost merjene količine ε = (μ - x)/μ in se imenuje relativni pogrešek.

Absolutna napaka označuje napako metode, ki je bila izbrana za merjenje.

Relativna napaka označuje kakovost meritev. Natančnost merjenja je recipročna vrednost relativne napake, tj. 1/ε.

§ 2. Razvrstitev napak

Vse merilne napake so razdeljene v tri razrede: zgrešene ( hude napake), sistematične in naključne napake.

MISS je posledica ostre kršitve merilnih pogojev, ko individualna opažanja. To je napaka, povezana s udarcem ali okvaro naprave, hudo napačno izračunom izvajalca eksperimenta, nepredvidenim posegom itd. groba napaka se običajno pojavi v največ eni ali dveh dimenzijah in se po velikosti močno razlikuje od drugih napak.

Prisotnost napake lahko zelo popači rezultat, ki vsebuje napako. Najlažji način je ugotoviti vzrok napake in ga odpraviti med postopkom merjenja. Če med postopkom merjenja napaka ni bila izključena, je treba to storiti pri obdelavi rezultatov meritev z uporabo posebnih meril, ki omogočajo objektivno prepoznavanje velike napake, če obstaja, v vsaki seriji opazovanj. SISTEMATSKA NAPAKA je komponenta merilne napake, ki ostaja konstantna in se naravno spreminja pri ponavljajočih se meritvah iste količine. Sistematično pride do napak , če ne upoštevate npr. toplotno raztezanje

pri merjenju prostornine tekočine ali plina pri počasi spreminjajoči se temperaturi; če pri merjenju mase ne upoštevamo vpliva vzgonske sile zraka na tehtano telo in na uteži itd. Sistematske napake so opažene, če je lestvica ravnila uporabljena netočno (neenakomerno); kapilara termometra na različnih območjih ima drugačen presek; v odsotnosti električni tok

skozi ampermeter, igla instrumenta ni na ničli itd.

Kot je razvidno iz primerov, je sistematična napaka posledica določenih razlogov, njena vrednost ostaja konstantna (ničelni premik lestvice instrumenta, neenakokrake lestvice) ali se spreminja po določenem (včasih precej zapletenem) zakonu (neenakomernost). skala, neenakomeren presek kapilare termometra itd.).

Lahko rečemo, da je sistematična napaka omehčan izraz, ki nadomešča besede "napaka eksperimentatorja".

1. Do takšnih napak pride zaradi:
2. merilni instrumenti so netočni;
3. dejanska namestitev se na nek način razlikuje od idealne;

Teorija pojava ni povsem pravilna, tj. nekateri učinki niso upoštevani. Vemo, kaj storiti v prvem primeru; potrebna je kalibracija. V drugih dveh primerih ni pripravljenega recepta. Bolje ko poznate fiziko, več izkušenj imate, večja je verjetnost, da boste takšne učinke odkrili in s tem odpravili. Splošna pravila

1. Sistematske napake, katerih narava vam je znana in vrednost lahko ugotovite, zato odpravite z uvedbo popravkov. Primer. Tehtanje na neenakokraki tehtnici. Naj bo razlika v dolžinah rok 0,001 mm. Z dolžino rockerja 70 mm in teža stehtanega telesa 200 G sistematična napaka bo 2,86 mg. Sistematično napako te meritve je mogoče odpraviti z uporabo posebnih metod tehtanja (Gaussova metoda, Mendelejeva metoda itd.).
2. Sistematske napake, za katere je znano, da so manjše od določene vrednosti. V tem primeru ob snemanju odgovora njihov največja vrednost. Primer. Na podatkovnem listu, ki je priložen mikrometru, je navedeno: »dovoljena napaka je ±0,004 mm. Temperatura +20 ± 4 ° C. To pomeni, da pri merjenju dimenzij katerega koli telesa s tem mikrometrom pri temperaturah, navedenih v potnem listu, bomo imeli absolutno napako, ki ne presega ± 0,004 mm za vse rezultate meritev.

   Pogosto je največji absolutni pogrešek, ki ga daje določena naprava, označen z razredom točnosti naprave, ki je na lestvici naprave prikazan z ustrezno številko, največkrat obkroženo.

   Številka, ki označuje razred točnosti, prikazuje največjo absolutno napako naprave, izraženo v odstotkih največje vrednosti izmerjene vrednosti na zgornja meja lestvice.

   Pri meritvah naj uporabimo voltmeter z lestvico od 0 do 250 IN, njegov razred točnosti je 1. To pomeni, da največja absolutna napaka, ki jo je mogoče narediti pri merjenju s tem voltmetrom, ne bo večja od 1% najvišje vrednosti napetosti, ki jo je mogoče izmeriti na tej lestvici instrumenta, z drugimi besedami:

   δ = ±0,01·250 IN= ±2,5 IN.

   Razred točnosti električnih merilnih instrumentov določa največji pogrešek, katerega vrednost se pri premikanju od začetka do konca lestvice ne spremeni. V tem primeru se relativna napaka močno spremeni, saj instrumenti zagotavljajo dobro natančnost, ko igla odkloni skoraj celotno lestvico in je ne zagotavlja pri merjenju na začetku lestvice. To je priporočilo: izberite napravo (ali lestvico naprave z več razponi) tako, da puščica naprave med meritvami sega čez sredino lestvice.

   Če razred točnosti naprave ni naveden in ni podatkov o potnem listu, se kot največja napaka naprave upošteva polovica cene najmanjše delitve merila naprave.

   Nekaj ​​besed o točnosti ravnil. Kovinska ravnila so zelo natančna: milimetrske razdelke so označene z napako največ ±0,05 mm, centimetrske pa niso nič slabše kot z natančnostjo 0,1 mm. Napaka meritev, opravljenih z natančnostjo takšnih ravnil, je skoraj enaka napaki branja z očesom (≤0,5 mm). Bolje je, da ne uporabljate lesenih in plastičnih ravnil; njihove napake so lahko nepričakovano velike.

   Delovni mikrometer zagotavlja natančnost 0,01 mm, merilna napaka s kalibrom pa je določena z natančnostjo, s katero je mogoče odčitati, tj. Vernier natančnost (običajno 0,1 mm ali 0,05 mm).

3. Sistematske napake, ki jih povzročajo lastnosti merjenega objekta. Te napake je pogosto mogoče zmanjšati na naključje. Primer.. Določi se električna prevodnost določenega materiala. Če se za takšno meritev vzame kos žice, ki ima kakšno napako (zgostitev, razpoka, nehomogenost), bo prišlo do napake pri določanju električne prevodnosti. Ponavljanje meritev da enako vrednost, tj. je bila storjena neka sistemska napaka.
4. Izmerimo upor več kosov takšne žice in poiščemo povprečno vrednost električne prevodnosti tega materiala, ki je lahko večja ali manjša od električne prevodnosti posameznih meritev; zato lahko napake pri teh meritvah pripišemo tako imenovane naključne napake. Primer. Sistematične napake, za katere ni znano, da obstajajo.

. Določite gostoto katere koli kovine. Najprej ugotovimo prostornino in maso vzorca. V vzorcu je praznina, o kateri ne vemo ničesar. Pri določanju gostote bo prišlo do napake, ki se bo ponovila za poljubno število meritev. Podani primer je preprost; vir napake in njeno velikost je mogoče določiti brez večjih težav. Tovrstne napake je mogoče ugotoviti s pomočjo dodatnih raziskav, z meritvami na povsem drugi metodi in pod drugačnimi pogoji. NAKLJUČNA je komponenta merilne napake, ki se spreminja naključno

s ponavljajočimi se meritvami iste količine.

Pri ponavljajočih se meritvah iste konstantne, nespremenljive količine z enako skrbnostjo in pod enakimi pogoji dobimo rezultate meritev - nekateri se med seboj razlikujejo, nekateri pa sovpadajo. Takšna odstopanja v rezultatih meritev kažejo na prisotnost naključnih komponent napak v njih.

Naključna napaka se lahko razlikuje absolutna vrednost vrednosti, ki jih je nemogoče napovedati za dano merilno dejanje. Ta napaka v enako lahko pozitiven ali negativen. V poskusu so vedno prisotne naključne napake. Če ni sistematičnih napak, povzročajo razpršenost ponovljenih meritev glede na pravo vrednost ( Slika 14).

Če poleg tega obstaja sistematična napaka, bodo rezultati meritev razpršeni glede na ne pravo, ampak pristransko vrednost ( Slika 15).

riž. 14 sl. 15

Predpostavimo, da nihajno dobo merimo s štoparico in meritev večkrat ponovimo. Napake pri zagonu in zaustavitvi štoparice, napaka v vrednosti odčitka, rahla neenakomernost v gibanju nihala vse to povzroča razpršenost rezultatov ponovljenih meritev in jih zato lahko uvrstimo med naključne napake.

Če drugih napak ni, bodo nekateri rezultati nekoliko precenjeni, drugi pa nekoliko podcenjeni. Če pa bo poleg tega še zaostanek ure, potem bodo vsi rezultati podcenjeni. To je že sistemska napaka.

Nekateri dejavniki lahko povzročijo sistematične in naključne napake hkrati. Tako lahko z vklopom in izklopom štoparice ustvarimo majhen nepravilen razmik v začetnih in končnih časih ure glede na gibanje nihala in s tem povzročimo naključno napako. Če pa se poleg tega vsakič mudi, da bi štoparico vklopili, in jo nekoliko zamujamo, da jo izklopimo, bo to povzročilo sistematično napako.

Naključne napake nastanejo zaradi napake paralakse pri štetju razdelkov skale instrumenta, tresenja temelja stavbe, vpliva rahlega gibanja zraka itd.

Čeprav je pri posameznih meritvah nemogoče odpraviti naključne napake, nam matematična teorija naključnih pojavov omogoča zmanjšanje vpliva teh napak na končni rezultat meritve. V nadaljevanju bo prikazano, da za to ni potrebno opraviti ene, ampak več meritev, in manjša kot je vrednost napake, ki jo želimo dobiti, več meritev je treba opraviti.

Upoštevati je treba, da če se naključna napaka, pridobljena iz merilnih podatkov, izkaže za bistveno manjšo od napake, ki jo določa natančnost naprave, potem očitno nima smisla poskušati dodatno zmanjšati vrednosti naključna napaka; vseeno rezultati meritev ne bodo postali natančnejši.

Nasprotno, če je naključna napaka večja od instrumentalne (sistematične) napake, je treba meritev izvesti večkrat, da se zmanjša vrednost napake za dano serijo meritev in ta napaka postane manjša od ali enaka reda velikosti kot napaka instrumenta.

Kot je navedeno zgoraj, se rezultat merjenja katere koli količine razlikuje od prave vrednosti. Ta razlika, enaka razliki med odčitkom instrumenta in resnično vrednostjo, se imenuje absolutna merilna napaka, ki je izražena v enakih enotah kot sama izmerjena vrednost:

kje X- absolutna napaka.

Pri izvajanju kompleksnega nadzora, ko se merijo indikatorji različnih dimenzij, je bolj priporočljivo uporabiti ne absolutno, temveč relativno napako. Določa se z naslednjo formulo:

Izvedljivost uporabe X rel povezana z naslednjimi okoliščinami. Predpostavimo, da merimo čas z natančnostjo 0,1 s (absolutna napaka). Poleg tega, če govorimo o teku na 10.000 m, potem je natančnost povsem sprejemljiva. Vendar je nemogoče izmeriti reakcijski čas s tako natančnostjo, saj je velikost napake skoraj enaka izmerjeni vrednosti (čas preproste reakcije je 0,12-0,20 s). Pri tem je potrebno primerjati velikost napake in samo izmerjeno vrednost ter določiti relativno napako.

Oglejmo si primer določanja absolutnih in relativnih merilnih napak. Predpostavimo, da nam merjenje srčnega utripa po teku z visoko natančno napravo da vrednost, ki je blizu resnični, enaki 150 utripov/min. Hkratna palpacijska meritev daje vrednost 162 utripov/min. Če nadomestimo te vrednosti v zgornje formule, dobimo:

x=150-162=12 utripov/min - absolutna napaka;

x=(12: 150)X100%=8% - relativna napaka.

Naloga št. 3 Indeksi za ocenjevanje telesnega razvoja

Naj bo neka naključna spremenljivka a izmerjeno n krat pod enakimi pogoji. Rezultati meritev so dali niz n različne številke

Absolutna napaka- dimenzijska vrednost. Med n Vrednosti absolutne napake so nujno pozitivne in negativne.

Za najverjetnejšo vrednost količine A običajno vzeti aritmetična sredina vrednost merilnih rezultatov

.

kako večje število meritev, bližje je povprečna vrednost pravi vrednosti.

Absolutna napakai

.

Relativna napakai-ta meritev se imenuje količina

Relativna napaka je brezdimenzijska količina. Za to je relativna napaka običajno izražena v odstotkih e i pomnožite s 100 %. Velikost relativne napake označuje natančnost meritve.

Povprečna absolutna napaka je definiran takole:

.

Poudarjamo potrebo po seštevanju absolutne vrednosti(moduli) vrednosti D in jaz IN drugače rezultat bo identična nič.

Povprečna relativna napaka se imenuje količina

.

pri veliko število meritve

Relativni pogrešek se lahko obravnava kot vrednost pogreška na enoto izmerjene vrednosti.

Natančnost meritev presojamo s primerjavo napak rezultatov meritev. Zato so merilne napake izražene v taki obliki, da je za oceno točnosti dovolj, da primerjamo le napake rezultatov, ne da bi primerjali velikosti merjenih predmetov ali te velikosti poznali zelo približno. Iz prakse je znano, da absolutna napaka pri merjenju kota ni odvisna od vrednosti kota, absolutna napaka pri merjenju dolžine pa je odvisna od vrednosti dolžine. kako večjo vrednost dolžina, predvsem z ta metoda in pogojih merjenja bo absolutna napaka večja. Posledično lahko absolutno napako rezultata uporabimo za presojo točnosti merjenja kota, vendar točnosti merjenja dolžine ni mogoče oceniti. Izražanje napake v relativni obliki omogoča primerjavo v znani primeri natančnost kotnih in linearnih meritev.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Naključna napaka.

Naključna napaka imenovana komponenta merilne napake, ki se naključno spreminja med ponavljajočimi se meritvami iste količine.

Pri ponavljajočih se meritvah iste konstantne, nespremenljive količine z enako skrbnostjo in pod enakimi pogoji dobimo rezultate meritev - nekateri se med seboj razlikujejo, nekateri pa sovpadajo. Takšna odstopanja v rezultatih meritev kažejo na prisotnost naključnih komponent napak v njih.

Naključna napaka nastane zaradi hkratnega vpliva številnih virov, od katerih ima vsak sam po sebi neopazen vpliv na rezultat meritve, skupni vpliv vseh virov pa je lahko precej močan.

Naključne napake so neizogibna posledica vseh meritev in so posledica:

a) netočnost odčitkov na lestvici instrumentov in instrumentov;

b) neidentičnost pogojev za ponovne meritve;

c) naključne spremembe zunanje razmere(temperatura, tlak, polje sile itd.), ki jih ni mogoče nadzorovati;

d) vsi drugi vplivi na meritve, katerih vzroki nam niso znani. Velikost naključne napake je mogoče minimizirati z večkratnim ponavljanjem poskusa in ustrezno matematično obdelavo dobljenih rezultatov.

Naključna napaka lahko zavzame vrednosti različnih absolutnih vrednosti, ki jih je za dano merilno dejanje nemogoče predvideti. Ta napaka je lahko enako pozitivna ali negativna. V poskusu so vedno prisotne naključne napake. Če ni sistematičnih napak, povzročajo razpršenost ponovljenih meritev glede na pravo vrednost.

Predpostavimo, da nihajno dobo merimo s štoparico in meritev večkrat ponovimo. Napake pri zagonu in zaustavitvi štoparice, napaka v vrednosti odčitka, rahla neenakomernost v gibanju nihala - vse to povzroča razpršenost rezultatov ponovljenih meritev in jih je zato mogoče uvrstiti med naključne napake.

Če drugih napak ni, bodo nekateri rezultati nekoliko precenjeni, drugi pa nekoliko podcenjeni. Če pa bo poleg tega še zaostanek ure, potem bodo vsi rezultati podcenjeni. To je že sistemska napaka.

Nekateri dejavniki lahko povzročijo sistematične in naključne napake hkrati. Tako lahko z vklopom in izklopom štoparice ustvarimo majhen nepravilen razmik v začetnih in končnih časih ure glede na gibanje nihala in s tem povzročimo naključno napako. Če pa se poleg tega vsakič mudi, da bi štoparico vklopili, in jo nekoliko zamujamo, da jo izklopimo, bo to povzročilo sistematično napako.

Naključne napake nastanejo zaradi napake paralakse pri štetju razdelkov skale instrumenta, tresenja temelja stavbe, vpliva rahlega gibanja zraka itd.

Čeprav je nemogoče izključiti naključne napake pri posameznih meritvah, matematična teorija naključni pojavi nam omogočajo, da zmanjšamo vpliv teh napak na končni rezultat meritve. V nadaljevanju bo prikazano, da za to ni potrebno opraviti ene, ampak več meritev, in manjša kot je vrednost napake, ki jo želimo dobiti, več meritev je treba opraviti.

Ker je pojav naključnih napak neizogiben in neizogiben, je glavna naloga vsakega merilnega procesa zmanjšati napake na minimum.

Teorija napak temelji na dveh glavnih predpostavkah, potrjenih z izkušnjami:

1. Z velikim številom meritev, naključne napake enake velikosti, Ampak drugačen znak, to pomeni, da se napake v smeri povečevanja in zmanjševanja rezultata pojavljajo precej pogosto.

2. Napake, ki so velike v absolutni vrednosti, so manj pogoste kot majhne, ​​zato se verjetnost pojava napake zmanjšuje z večanjem njene velikosti.

Obnašanje naključnih spremenljivk opisujejo statistični vzorci, ki so predmet teorije verjetnosti. Statistična definicija verjetnosti w i dogodkov i je odnos

kje n- skupno število poskusov, n i- število poskusov, v katerih je dogodek i zgodilo. V tem primeru mora biti skupno število poskusov zelo veliko ( n®¥). Pri velikem številu meritev se naključne napake podrejajo normalni porazdelitvi (Gaussovi porazdelitvi), katere glavne značilnosti so naslednje:

1. Večje kot je odstopanje izmerjene vrednosti od prave vrednosti, manjša je verjetnost za tak rezultat.

2. Odstopanja v obe smeri od prave vrednosti so enako verjetna.

Iz zgornjih predpostavk sledi, da je za zmanjšanje vpliva naključnih napak potrebno to vrednost večkrat izmeriti. Recimo, da merimo neko količino x. Naj se proizvaja n meritve: x 1, x 2, ... x n- z uporabo iste metode in z enako skrbnostjo. Pričakovati je mogoče, da bo število dn dobili rezultate, ki ležijo v nekem dokaj ozkem intervalu od x do x + dx, mora biti sorazmeren:

Velikost zajetega intervala dx;

Skupno število meritev n.

Verjetnost dw(x), da nekaj vrednosti x leži v razponu od x do x + dx, je definiran kot sledi :

(s številom meritev n ®¥).

funkcija f(X) se imenuje porazdelitvena funkcija ali gostota verjetnosti.

Kot postulat teorije napak je sprejeto, da se rezultati neposrednih meritev in njihove naključne napake, kadar jih je veliko, podrejajo zakonu normalne porazdelitve.

Zvezna porazdelitvena funkcija, ki jo je našel Gauss naključna spremenljivkax ima naslednjo obliko:

, kjer mis - parametri porazdelitve .

Parameter m normalne porazdelitve je enak srednji vrednosti b xñ naključna spremenljivka, ki je za poljubno znano porazdelitveno funkcijo določena z integralom

.

torej vrednost m je najverjetnejša vrednost merjene količine x, tj. njena najboljša ocena.

Parameter s 2 normalne porazdelitve je enak varianci D naključne spremenljivke, ki je v splošnem primeru določena z naslednjim integralom

.

Kvadratni koren od variance imenujemo standardni odklon naključne spremenljivke.

Povprečno odstopanje (napaka) naključne spremenljivke ásñ se določi z uporabo porazdelitvene funkcije, kot sledi

Povprečna merilna napaka ásñ, izračunana iz Gaussove porazdelitvene funkcije, je povezana z vrednostjo standardnega odklona s na naslednji način:

< s > = 0,8s.

Parametra s in m sta med seboj povezana na naslednji način:

.

Ta izraz vam omogoča, da najdete povprečje standardni odklon s če obstaja normalna porazdelitvena krivulja.

Graf Gaussove funkcije je predstavljen na slikah. funkcija f(x) je simetrična glede na ordinato, narisano v točki x = m; prehaja skozi maksimum v točki x = m in ima prevoj v točkah m ±s. Tako varianca označuje širino porazdelitvene funkcije ali kaže, kako široko so vrednosti naključne spremenljivke razpršene glede na njeno pravo vrednost. kako natančnejše meritve, čim bližje pravi vrednosti so rezultati posameznih meritev, t.j. vrednost s je manjša. Slika A prikazuje funkcijo f(x) za tri vrednosti s .

Območje figure, ki ga obdaja krivulja f(x) in navpične črte, narisane iz točk x 1 in x 2 (slika B) , številčno enaka verjetnosti, da rezultat meritve pade v interval D x = x 1 - x 2, ki se imenuje verjetnost zaupanja. Območje pod celotno krivino f(x) je enaka verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v interval od 0 do ¥, tj.

,

saj je verjetnost zanesljiv dogodek enako ena.

Uporaba normalna porazdelitev, teorija napak postavlja in rešuje dva glavna problema. Prva je ocena točnosti opravljenih meritev. Drugi je ocena točnosti povprečja aritmetična vrednost rezultati meritev.5. Interval zaupanja. Študentski koeficient.

Teorija verjetnosti nam omogoča, da z znano verjetnostjo določimo velikost intervala, v katerem w najdemo rezultate posameznih meritev. Ta verjetnost se imenuje verjetnost zaupanja in ustrezen interval (<x>±D x)w klical interval zaupanja. Verjetnost zaupanja je prav tako enaka relativni delež rezultate, ki so bili znotraj intervala zaupanja.

Če je število meritev n je dovolj velika, potem verjetnost zaupanja izraža delež skupno številon tiste meritve, pri katerih je bila izmerjena vrednost znotraj intervala zaupanja. Vsak verjetnost zaupanja w se ujema z vašim interval zaupanja.w 2 80 %. Čim širši je interval zaupanja, večja je verjetnost, da bomo v tem intervalu dobili rezultat. V teoriji verjetnosti je kvantitativno razmerje vzpostavljeno med vrednostjo intervala zaupanja, verjetnostjo zaupanja in številom meritev.

Če za interval zaupanja izberemo interval, ki ustreza povprečni napaki, to je D a =áD Añ, potem za dovolj veliko število meritev ustreza verjetnosti zaupanja w 60 % Ko se število meritev zmanjša, se verjetnost zaupanja, ki ustreza takemu intervalu zaupanja (á Añ ± áD Añ), zmanjša.

Tako lahko za oceno intervala zaupanja naključne spremenljivke uporabimo vrednost povprečne napake áD Añ .

Za karakterizacijo velikosti naključne napake je treba določiti dve števili, in sicer vrednost intervala zaupanja in vrednost verjetnosti zaupanja . Navedba le velikosti napake brez ustrezne verjetnosti zaupanja je večinoma nesmiselna.

Če je znana povprečna merilna napaka ásñ, je interval zaupanja zapisan kot (<x> ± ásñ) w, določen z verjetnostjo zaupanja w= 0,57.

Če je standardna deviacija s znana porazdelitev merilnih rezultatov ima navedeni interval obliko (<x>± t w s) w, Kje t w- koeficient, odvisen od vrednosti verjetnosti zaupanja in izračunan z uporabo Gaussove porazdelitve.

Najpogosteje uporabljene količine D x so podane v tabeli 1.

Relativna napaka

Napake povprečnega kvadrata T, prave A imenujemo absolutne napake.

V nekaterih primerih absolutna napaka ni dovolj indikativna, zlasti pri linearnih meritvah. Na primer, črta je izmerjena z napako ±5 cm. Pri dolžini črte 1 meter je ta natančnost očitno nizka, pri dolžini črte 1 kilometer pa je natančnost gotovo višja. Zato bo natančnost merjenja jasneje označena z razmerjem absolutne napake in dobljene vrednosti merjene količine. To razmerje se imenuje relativna napaka. Relativno napako izrazimo z ulomkom, ulomek pa transformiramo tako, da je njegov števec enak ena.

Relativna napaka je določena z ustrezno absolutno

napaka. Naj X- dobljeno vrednost določene količine, nato - srednjo kvadratno relativno napako te količine; - prava relativna napaka.

Priporočljivo je, da imenovalec relativne napake zaokrožite na dve pomembni številki z ničlami.

Primer. V zgornjem primeru bo povprečna kvadratna relativna napaka meritve črte enaka

Mejna napaka

Mejna napaka se imenuje najvišjo vrednost naključna napaka, ki se lahko pojavi v danih pogojih enake natančnosti meritev.

Teorija verjetnosti je dokazala, da lahko naključne napake le v treh primerih od 1000 presežejo vrednost Zt; 5 napak od 100 lahko preseže 2t in 32 napak od 100 lahko preseže T.

Na podlagi tega v geodetski praksi rezultati meritev vsebujejo napake 0>3t, so razvrščene kot meritve z velikimi napakami in niso sprejete v obdelavo.

Vrednosti napak 0 = 2 T uporabljeni kot omejitve pri prevajanju tehnične zahteve za to vrsto dela, tj. vse naključne merilne napake, ki presegajo te vrednosti po velikosti, se štejejo za nesprejemljive. Ob prejemu odstopanj, ki presegajo vrednost 2t, sprejmejo ukrepe za izboljšanje merilnih pogojev in same meritve ponovijo.

Varnostna vprašanja in vaje:

• 1. Naštejte vrste meritev in jih opredelite.
• 2. Naštejte vrste merskih napak in jih opredelite.
• 3. Naštejte kriterije za ocenjevanje točnosti meritev.
• 4. Poiščite povprečno kvadratno napako števila meritev, če so najverjetnejše napake enake: - 2,3; + 1,6; - 0,2; + 1,9; - 1.1.
• 5. Poišči relativno napako pri merjenju dolžine na podlagi rezultatov: 487,23 m in 486,91 m.