Metode za pridobivanje približnih vrednosti pi. Kaj je število "pi", ali kako prisegajo matematiki? Obstaja jezik Pi

Razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom je za vse kroge enako. To razmerje je običajno označeno z grško črko ("pi" - začetna črka grška beseda , kar je pomenilo "krog").

Arhimed je v svojem delu "Merjenje kroga" izračunal razmerje med obsegom in premerom (število) in ugotovil, da je med 3 10/71 in 3 1/7.

Dolgo časa se je kot približna vrednost uporabljalo število 22/7, čeprav so že v 5. stoletju na Kitajskem našli približek 355/113 = 3,1415929..., ki so ga v Evropi ponovno odkrili šele v 16. stoletju.

IN Starodavna Indija velja za enako = 3,1622….

Francoski matematik F. Viète je leta 1579 izračunal z 9 ciframi.

Nizozemski matematik Ludolf Van Zeijlen je leta 1596 objavil rezultat svojega desetletnega dela - število, izračunano z 32 ciframi.

Toda vsa ta pojasnila vrednosti števila so bila izvedena z uporabo metod, ki jih je navedel Arhimed: krog je bil nadomeščen s poligonom z vsemi veliko število straneh Obseg včrtanega mnogokotnika je bil manjši od obsega kroga, obseg včrtanega mnogokotnika pa večji. Toda hkrati je ostalo nejasno, ali je število racionalno, to je razmerje dveh celih števil, ali iracionalno.

Šele leta 1767 je nemški matematik I.G. Lambert je dokazal, da je število iracionalno.

In več kot sto let kasneje, leta 1882, je drugi nemški matematik, F. Lindemann, dokazal njegovo transcendentnost, kar je pomenilo, da s šestilom in ravnilom ni mogoče zgraditi kvadrata, ki je enak velikosti danemu krogu.

Na debel karton narišite krog s premerom d(=15 cm), izrežite nastali krog in ga ovijte s tanko nitjo. Merjenje dolžine l(=46,5 cm) eno polni obrat niti, razdeli l na dolžino premera d krogih. Dobljeni količnik bo približna vrednost števila, tj. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Ta dokaj groba metoda daje v normalnih pogojih približno vrednost števila, natančno do 1.

Na kos kartona narišite kvadrat. Vanj zapišimo krog. Izrežemo kvadrat. S šolsko tehtnico določimo maso kartonastega kvadrata. Iz kvadrata izrežemo krog. Stehtajmo tudi njega. Poznavanje mas kvadrata m kvadratnih (=10 g) in vanj vpisan krog m kr (=7,8 g) uporabimo formule

kjer je p in h– gostota oziroma debelina kartona, S– območje figure. Upoštevajmo enakosti:

Seveda je v tem primeru približna vrednost odvisna od natančnosti tehtanja. Če so kartonske figure, ki se tehtajo, precej velike, potem je tudi na navadnih tehtnicah mogoče dobiti takšne masne vrednosti, ki bodo zagotovile približevanje števila z natančnostjo 0,1.

Seštevanje ploščin pravokotnikov, včrtanih v polkrog

Slika 1

Naj bo A (a; 0), B (b; 0). Opišimo polkrog na AB kot premer. Odsek AB razdelimo na n enakih delov s točkami x 1, x 2, ..., x n-1 in iz njih obnovimo navpičnice do presečišča s polkrogom. Dolžina vsake take navpičnice je vrednost funkcije f(x)=. Iz slike 1 je razvidno, da lahko površino S polkroga izračunamo s formulo

V našem primeru b=1, a=-1. Potem = 2 S.

Več delitvenih točk je na segmentu AB, natančnejše bodo vrednosti. Za lažje monotono računalniško delo vam bo pomagal računalnik, za katerega je spodaj podan program 1, preveden v BASIC-u.

Program 1

REM "Izračun pi"
REM "Metoda pravokotnika"
INPUT "Vnesite število pravokotnikov", n
dx = 1/n
ZA i = 0 DO n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
NASLEDNJI i
p = 4 * dx * a
PRINT "Vrednost pi je ", str
KONEC

Program je bil vtipkan in zagnan z različnimi vrednostmi parametrov n. Dobljene številčne vrednosti so zapisane v tabeli:

To je pravzaprav statistična metoda testiranja. Svoje eksotično ime je dobil po mestu Monte Carlo v kneževini Monako, ki je znano po svojih igralnicah. Dejstvo je, da metoda zahteva uporabo naključnih števil, ena najpreprostejših naprav za generiranje naključnih števil pa je ruleta. Vendar pa lahko dobite naključna števila z ... dežjem.

Za poskus si pripravimo kos kartona, nanj narišimo kvadrat in vanj vpišimo četrtino kroga. Če je taka risba nekaj časa na dežju, bodo na njeni površini ostale sledi kapljic. Preštejmo število stez znotraj kvadrata in znotraj četrt kroga. Očitno bo njuno razmerje približno enako razmerju površin teh figur, saj bodo kapljice padle na različna mesta na risbi z enako verjetnostjo. Naj N kr– število kapljic v krogu, N kv. je torej število kapljic na kvadrat

Slika 2

Dež lahko nadomestimo s tabelo naključnih števil, ki jo sestavimo z računalnikom s posebnim programom. Vsaki sledi kapljice dodelimo dve naključni števili, ki označujeta njen položaj vzdolž osi Oh in Oh. Naključne številke lahko izberete iz tabele v poljubnem vrstnem redu, na primer v vrsti. Naj bo prvo štirimestno število v tabeli 3265 . Iz njega lahko pripravite par števil, od katerih je vsako večje od nič in manjše od ena: x=0,32, y=0,65. Te številke bomo obravnavali kot koordinate padca, tj. zdi se, da je padec dosegel bistvo (0,32; 0,65). Enako naredimo z vsemi izbranimi naključna števila. Če se izkaže, da za piko (x;y)Če neenakost velja, potem leži zunaj kroga. če x + y = 1, potem točka leži znotraj kroga.

Za izračun vrednosti ponovno uporabimo formulo (1). Računska napaka pri tej metodi je običajno sorazmerna z , kjer je D konstanta in N število testov. V našem primeru N = N sq. Iz te formule je jasno: da bi zmanjšali napako za 10-krat (z drugimi besedami, da bi dobili drugo pravilno decimalno mesto v odgovoru), morate N, to je količino dela, povečati za 100-krat. Jasno je, da so uporabo metode Monte Carlo omogočili le računalniki. Program 2 izvede opisani način na računalniku.

Program 2

REM "Izračun pi"
REM "Metoda Monte Carlo"
INPUT "Vnesite število padcev", n
m = 0
ZA i = 1 DO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
ČE x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
NASLEDNJI i
p=4*m/n

KONEC

Program je bil vnesen in zagnan z različnimi vrednostmi parametra n. Dobljene številčne vrednosti so zapisane v tabeli:

Vzemimo navadno šivalno iglo in list papirja. Na list bomo narisali več vzporednih črt, tako da so razdalje med njimi enake in presegajo dolžino igle. Risba mora biti dovolj velika, da pomotoma vržena igla ne pade izven njenih meja. Vstavimo naslednji zapis: A- razdalja med črtami, l– dolžina igle.

Slika 3

Položaj igle, ki je naključno vržena na risbo (glej sliko 3), je določen z razdaljo X od njene sredine do najbližje ravne črte in kotom j, ki ga igla tvori z navpičnico, spuščeno od sredine igle do najbližja ravna črta (glej sliko 4). Jasno je, da

Slika 4

Na sl. 5 grafično predstavimo funkcijo y=0,5cos. Vse možne lokacije igel so označene s točkami s koordinatami (; y), ki se nahaja na odseku ABCD. Zasenčeno območje AED so točke, ki ustrezajo primeru, ko igla seka ravno črto. Verjetnost dogodka a– “igla je prečkala ravno črto” – se izračuna po formuli:

Slika 5

Verjetnost p(a) je mogoče približno določiti z večkratnim metanjem igle. Naj bo igla vržena na risbo c enkrat in str saj je padla med prečkanjem ene od premic, nato z dovolj velikim c imamo p(a) = p/c. Od tukaj = 2 l s / a k.

Komentiraj. Predstavljena metoda je različica statistične testne metode. Zanimiva je z didaktičnega vidika, saj pomaga združiti preprosto izkušnjo z ustvarjanjem precej zapletenega matematičnega modela.

Izračun z uporabo Taylorjevih serij

Pojdimo k obravnavi poljubne funkcije f(x). Predpostavimo, da je zanjo v tem trenutku x 0 obstajajo izpeljanke vseh vrst do n vključno z Potem za funkcijo f(x) lahko zapišemo Taylorjevo vrsto:

Izračuni z uporabo te serije bodo natančnejši, čim več članov serije bo vključenih. Najbolje je seveda to metodo implementirati na računalniku, za kar lahko uporabite program 3.

Program 3

REM "Izračun pi"
REM "Razširitev serije Taylor"
VNOS št
a = 1
ZA i = 1 DO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
NASLEDNJI i
p = 4 * a
PRINT "vrednost pi je enako"; str
KONEC

Program je bil vtipkan in zagnan za različne vrednosti parametra n. Dobljene številčne vrednosti so zapisane v tabeli:

Čemu je enako Pi? poznamo in se spomnimo iz šole. Je enako 3,1415926 in tako naprej ... Običajnemu človeku dovolj je vedeti, da to število dobimo tako, da obseg kroga delimo z njegovim premerom. Toda mnogi vedo, da se število Pi pojavlja na nepričakovanih področjih ne le matematike in geometrije, ampak tudi v fiziki. No, če se poglobite v podrobnosti narave tega števila, boste med neskončnim nizom števil opazili marsikaj presenetljivega. Je možno, da Pi skriva najgloblje skrivnosti vesolja?

Neskončno število

Samo število Pi se v našem svetu pojavlja kot obseg kroga, katerega premer enako ena. Toda kljub dejstvu, da je odsek, ki je enak Pi, precej končen, se število Pi začne kot 3,1415926 in gre v neskončnost v vrstah števil, ki se nikoli ne ponovijo. najprej neverjetno dejstvo je, da tega števila, ki se uporablja v geometriji, ni mogoče izraziti kot ulomek celih števil. Z drugimi besedami, tega ne morete zapisati kot razmerje dveh števil a/b. Poleg tega je število Pi transcendentalno. To pomeni, da ne obstaja enačba (polinom) s celimi koeficienti, katere rešitev bi bilo število Pi.

Da je število Pi transcendentalno, je leta 1882 dokazal nemški matematik von Lindemann. Prav ta dokaz je postal odgovor na vprašanje, ali je mogoče s kompasom in ravnilom narisati kvadrat, katerega površina je enaka površini danega kroga. Ta problem je znan kot iskanje kvadrature kroga, ki skrbi človeštvo že od antičnih časov. Zdelo se je, da ima ta problem preprosto rešitev in da bo kmalu rešen. A prav nerazumljiva lastnost števila Pi je pokazala, da rešitve problema kvadrature kroga ni.

Vsaj štiri tisočletja in pol si človeštvo prizadeva pridobiti vedno več natančna vrednostŠtevilke pi. Na primer, v Svetem pismu v Tretji knjigi kraljev (7:23) je število Pi vzeto kot 3.

Vrednost Pi z izjemno natančnostjo je mogoče najti v piramidah v Gizi: razmerje med obsegom in višino piramid je 22/7. Ta ulomek daje približno vrednost Pi, ki je enaka 3,142 ... Razen seveda, če Egipčani tega razmerja niso določili po naključju. Enako vrednost je v zvezi z izračunom števila Pi v 3. stoletju pred našim štetjem dobil že veliki Arhimed.

V Ahmesovem papirusu, staroegipčanskem učbeniku matematike iz leta 1650 pr. n. št., je pi izračunan kot 3,160493827.

V starodavnih indijskih besedilih okoli 9. stoletja pred našim štetjem je bila najbolj natančna vrednost izražena s številom 339/108, ki je bilo enako 3,1388...

Skoraj dva tisoč let po Arhimedu so ljudje poskušali najti načine za izračun števila Pi. Med njimi so bili tako znani kot neznani matematiki. Na primer rimski arhitekt Marcus Vitruvius Pollio, egiptovski astronom Claudius Ptolemy, kitajski matematik Liu Hui, indijski modrec Aryabhata, srednjeveški matematik Leonardo iz Pise, znan kot Fibonacci, arabski znanstvenik Al-Khwarizmi, iz katerega imena je beseda pojavil "algoritem". Vsi ti in še mnogi drugi so iskali najbolj natančne metode za izračun števila Pi, vendar vse do 15. stoletja zaradi zapletenosti izračunov nikoli niso dobili več kot 10 decimalnih mest.

Končno je leta 1400 indijski matematik Madhava iz Sangamagrama izračunal Pi s 13-mestno natančnostjo (čeprav se je pri zadnjih dveh še zmotil).

Število znakov

V 17. stoletju sta Leibniz in Newton odkrila analizo neskončno majhnih količin, ki je omogočila progresivnejši izračun Pi – skozi potenčne vrste in integrali. Newton je sam izračunal 16 decimalnih mest, vendar tega ni omenil v svojih knjigah - to je postalo znano po njegovi smrti. Newton je trdil, da je Pi izračunal zgolj iz dolgčasa.

Približno v istem času so se oglasili tudi drugi manj znani matematiki in predlagali nove formule za izračun števila Pi s pomočjo trigonometričnih funkcij.

To je na primer formula, ki jo je učitelj astronomije John Machin leta 1706 uporabil za izračun Pi: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Z analitičnimi metodami je Machin iz te formule izpeljal število Pi na sto decimalnih mest natančno.

Mimogrede, istega leta 1706 je število Pi prejelo uradno oznako v obliki grške črke: William Jones jo je uporabil v svojem delu o matematiki, pri čemer je vzel prvo črko grške besede "periferija", kar pomeni "krog". .” Veliki Leonhard Euler, rojen leta 1707, je populariziral to oznako, ki jo zdaj pozna vsak šolar.

Pred dobo računalnikov so se matematiki osredotočali na izračun čim več znakov. V zvezi s tem so se včasih pojavile smešne stvari. Amaterski matematik W. Shanks je leta 1875 izračunal 707 številk pi. Teh sedemsto znakov je bilo leta 1937 ovekovečenih na steni Palais des Discoverys v Parizu. Vendar pa so devet let kasneje pozorni matematiki ugotovili, da je bilo pravilno izračunanih samo prvih 527 znakov. Muzej je moral imeti znatne stroške, da je napako popravil - zdaj so vse številke pravilne.

Ko so se pojavili računalniki, so število števk števila Pi začeli računati v povsem nepredstavljivih vrstnih redih.

Eden prvih elektronskih računalnikov ENIAC, ustvarjen leta 1946, je bil ogromen in je proizvedel toliko toplote, da se je prostor segrel do 50 stopinj Celzija, izračunal je prvih 2037 števk števila Pi. Ta izračun je stroju vzel 70 ur.

Ko so se računalniki izboljševali, je naše znanje o Pi segalo vse dlje v neskončnost. Leta 1958 je bilo izračunanih 10 tisoč števk števila. Leta 1987 so Japonci izračunali 10.013.395 znakov. Leta 2011 je japonski raziskovalec Shigeru Hondo presegel mejo 10 bilijonov znakov.

Kje drugje lahko srečaš Pi?

Tako pogosto naše znanje o številu Pi ostane na šolski ravni in zagotovo vemo, da je to število nenadomestljivo predvsem v geometriji.

Poleg formul za dolžino in ploščino kroga se število Pi uporablja v formulah za elipse, krogle, stožce, valje, elipsoide in tako naprej: ponekod so formule preproste in si jih je lahko zapomniti, vendar v drugih vsebujejo zelo kompleksne integrale.

Potem lahko srečamo število Pi matematične formule, kjer na prvi pogled ni vidna geometrija. na primer nedoločen integral od 1/(1-x^2) je enako Pi.

Pi se pogosto uporablja v analizi nizov. Na primer, tukaj je preprost niz, ki konvergira k Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Med serijami se Pi najbolj nepričakovano pojavi v znameniti Riemannovi zeta funkciji. O tem je nemogoče govoriti na kratko, recimo samo, da bo nekoč število Pi pomagalo najti formulo za izračun praštevil.

In popolnoma presenetljivo: Pi se pojavlja v dveh najlepših "kraljevskih" formulah matematike - Stirlingovi formuli (ki pomaga najti približno vrednost faktorijela in gama funkcije) in Eulerjevi formuli (ki povezuje kar pet matematičnih konstant).

Vendar pa je matematike v teoriji verjetnosti čakalo najbolj nepričakovano odkritje. Tam je tudi število Pi.

Na primer, verjetnost, da bosta dve števili relativno praštevili, je 6/PI^2.

Pi se pojavi v Buffonovem problemu metanja igle, oblikovanem v 18. stoletju: kakšna je verjetnost, da bo igla, vržena na črtan kos papirja, prečkala eno od črt. Če je dolžina igle L, razdalja med črtami L in r > L, potem lahko približno izračunamo vrednost Pi z uporabo verjetnostne formule 2L/rPI. Samo predstavljajte si - Pi lahko dobimo iz naključni dogodki. In mimogrede, Pi je prisoten v normalna porazdelitev verjetnosti se pojavi v enačbi znamenite Gaussove krivulje. Ali to pomeni, da je Pi celo bolj temeljen kot preprosto razmerje med obsegom in premerom?

Pi lahko srečamo tudi v fiziki. Pi se pojavi v Coulombovem zakonu, ki opisuje silo interakcije med dvema nabojema, v tretjem Keplerjevem zakonu, ki prikazuje periodo kroženja planeta okoli Sonca, in se pojavi celo v razporeditvi elektronskih orbital vodikovega atoma. In kar je spet najbolj neverjetno je, da se število Pi skriva v formuli Heisenbergovega principa negotovosti – temeljni zakon kvantna fizika.

Pijeve skrivnosti

V romanu Carla Sagana Stik, po katerem je bil posnet istoimenski film, vesoljci junakinjo obvestijo, da je med znaki pi tajno sporočilo od Boga. Z določenega položaja številke v številu prenehajo biti naključne in predstavljajo kodo, v kateri so zapisane vse skrivnosti vesolja.

Ta roman je pravzaprav odraz skrivnosti, ki je zaposlovala misli matematikov po vsem svetu: ali je Pi normalno število, v katerem so števke enako pogosto razpršene, ali pa je s tem številom kaj narobe? In čeprav so znanstveniki nagnjeni k prvi možnosti (vendar tega ne morejo dokazati), je število Pi videti zelo skrivnostno. Nek Japonec je nekoč izračunal, kolikokrat se števila od 0 do 9 pojavijo v prvih bilijonih števk števila Pi. In videl sem, da so številke 2, 4 in 8 pogostejše od ostalih. To je lahko eden od namigov, da Pi ni povsem običajen in da številke v njem res niso naključne.

Spomnimo se vsega, kar smo prebrali zgoraj, in se vprašajmo, katero drugo iracionalno in transcendentalno število tako pogosto najdemo v realnem svetu?

In na voljo je še več nenavadnosti. Na primer, vsota prvih dvajsetih števk števila Pi je 20, vsota prvih 144 števk pa je enaka "številu zveri" 666.

Glavni lik ameriške TV serije "Osumljenec", profesor Finch, je študentom povedal, da je zaradi neskončnosti števila Pi v njem mogoče najti katero koli kombinacijo števil, od številk vašega rojstnega datuma do več. kompleksna števila. Na primer, na položaju 762 je zaporedje šestih devetk. Ta položaj se imenuje Feynmanova točka po slavni fizik, ki je opazila to zanimivo kombinacijo.

Vemo tudi, da število Pi vsebuje zaporedje 0123456789, vendar se nahaja na 17.387.594.880 mestu.

Vse to pomeni, da v neskončnosti števila Pi ne najdete le zanimivih kombinacij števil, ampak tudi kodirano besedilo »Vojne in miru«, Svetega pisma in celo Glavna skrivnost Vesolje, če kaj takega obstaja.

Mimogrede, o Svetem pismu. Slavni popularizator matematike Martin Gardner je leta 1966 izjavil, da bo milijonta številka pi (takrat še neznana) številka 5. Svoje izračune je razložil z dejstvom, da je v angleški verziji Svetega pisma v 3. knjiga, 14. poglavje, 16 verz (3-14-16) sedma beseda vsebuje pet črk. Milijonto številko so dosegli osem let pozneje. Bila je številka pet.

Ali je po tem vredno trditi, da je število Pi naključno?

Če primerjate kroge različnih velikosti, boste opazili naslednje: velikosti različnih krogov so sorazmerne. To pomeni, da ko se premer kroga poveča za določeno število krat, se za enako število poveča tudi dolžina tega kroga. Matematično lahko to zapišemo takole:

kjer sta C1 in C2 dolžini dveh različnih krogov, d1 in d2 pa njuna premera.
To razmerje deluje v prisotnosti sorazmernega koeficienta - konstante π, ki nam je že znana. Iz razmerja (1) lahko sklepamo: dolžina kroga C je enaka zmnožku premera tega kroga in sorazmernega koeficienta π, neodvisnega od kroga:

C = π d.

To formulo lahko zapišemo tudi v drugi obliki, ki izraža premer d skozi polmer R danega kroga:

С = 2π R.

Prav ta formula je vodnik v svet krožkov za sedmošolce.

Že od antičnih časov so ljudje poskušali ugotoviti vrednost te konstante. Na primer, prebivalci Mezopotamije so izračunali površino kroga po formuli:

Od kod prihaja π = 3?

V starem Egiptu je bila vrednost za π bolj natančna. V letih 2000-1700 pred našim štetjem je pisar Ahmes sestavil papirus, v katerem najdemo recepte za reševanje različnih praktični problemi. Torej, na primer, da bi našel površino kroga, uporablja formulo:

Iz katerih razlogov je prišel do te formule? – Neznano. Verjetno na podlagi njegovih opazovanj, vendar tako, kot so to počeli drugi starodavni filozofi.

Po Arhimedovih stopinjah

Katero od obeh števil je večje od 22/7 ali 3,14?
- Enakopravni so.
Zakaj?
- Vsak od njih je enak π.
A. A. Vlasov. Iz izpitne karte.

Nekateri verjamejo, da sta ulomek 22/7 in število π identično enaka. Vendar je to napačno prepričanje. Poleg zgornjega napačnega odgovora na izpitu (glej epigraf) lahko v to skupino dodate še eno zelo zabavno uganko. Naloga se glasi: »priredi eno tekmo tako, da velja enakost«.

Rešitev bi bila naslednja: oblikovati morate "streho" za dve navpični vžigalici na levi z uporabo ene od navpičnih vžigalic v imenovalcu na desni. Dobili boste vizualno podobo črke π.

Mnogi vedo, da je približek π = 22/7 določil starogrški matematik Arhimed. V čast temu se ta približek pogosto imenuje "Arhimedovo" število. Arhimedu je uspelo ne samo določiti približno vrednost za π, ampak tudi ugotoviti natančnost tega približka, in sicer najti ozko številčni interval, ki ji pripada vrednost π. V enem od svojih del Arhimed dokazuje verigo neenakosti, ki moderen stil bi izgledal takole:

lahko zapišemo preprosteje: 3.140 909< π < 3,1 428 265...

Kot lahko vidimo iz neenakosti, je Arhimed našel dokaj natančno vrednost z natančnostjo do 0,002. Najbolj presenetljivo pa je, da je našel prvi dve decimalni mesti: 3,14 ... To je vrednost, ki jo najpogosteje uporabljamo pri preprostih izračunih.

Praktična uporaba

Dve osebi potujeta z vlakom:
- Poglej, tirnice so ravne, kolesa so okrogla.
Od kod prihaja trkanje?
- Od kod? Kolesa so okrogla, vendar območje
krog pi er kvadrat, to je kvadrat, ki trka!

Praviloma se s to neverjetno številko seznanijo v 6.-7. razredu, vendar jo temeljiteje preučijo do konca 8. razreda. V tem delu članka bomo predstavili glavne in najbolj pomembne formule, ki vam bo koristil pri reševanju geometrijske težave, samo za začetek se dogovorimo, da za lažji izračun vzamemo π kot 3,14.

Morda najbolj znana formula med šolarji, v katerih se uporablja π, je to formula za dolžino in površino kroga. Prva, formula za območje kroga, je zapisana na naslednji način:

kjer je S območje kroga, R je njegov polmer, D je premer kroga.

Obseg kroga ali, kot se včasih imenuje, obseg kroga, se izračuna po formuli:

C = 2 π R = π d,

kjer je C obseg, R je polmer, d je premer kroga.

Jasno je, da je premer d enak dvema polmeroma R.

Iz formule za obseg lahko enostavno najdete polmer kroga:

kjer je D premer, C je obseg, R je polmer kroga.

To so osnovne formule, ki bi jih moral poznati vsak študent. Tudi včasih je treba izračunati površino ne celotnega kroga, temveč le njegovega dela - sektorja. Zato vam ga predstavljamo - formulo za izračun površine sektorja kroga. Videti je takole:

kjer je S območje sektorja, R je polmer kroga, α je središčni kot v stopinjah.

Tako skrivnosten 3.14

Res je, skrivnostno je. Ker v čast tem čarobnim številkam organizirajo počitnice, snemajo filme, prirejajo javne prireditve, pišejo pesmi in še veliko več.

Na primer, leta 1998 je izšel film ameriškega režiserja Darrena Aronofskega z naslovom "Pi". Film je prejel številne nagrade.

Vsako leto 14. marca ob 1:59:26 ljudje, ki jih zanima matematika, praznujejo "dan pi". Za praznik ljudje pripravijo okroglo torto, sedijo okrogla miza in razpravljati o Pi ter reševati probleme in uganke, povezane s Pi.

Upoštevajte to neverjetno število Prizaneseno ni bilo niti pesnikom;
Samo poskusiti se morate spomniti vsega, kot je - tri, štirinajst, petnajst, dvaindevetdeset in šest.

Zabavajmo se!

Predstavljamo vašo pozornost zanimive uganke s številom Pi. Razvozlajte besede, ki so šifrirane spodaj.

1. π r

2. π L

3. π k

Odgovori: 1. Praznik; 2. Datoteka; 3. Škripanje.

14. marec 2012

14. marca matematiki praznujejo enega najbolj nenavadnih praznikov - mednarodni dan pi. Ta datum ni bil izbran naključno: številski izrazπ (Pi) - 3,14 (3. mesec (14. marec)).

Prvič s tem nenavadno številoŠolarji se že v osnovnih razredih srečujejo s težavami pri učenju krogov in obodov. Število π je matematična konstanta, ki izraža razmerje med obsegom kroga in dolžino njegovega premera. To pomeni, da če vzamete krog s premerom, ki je enak eni, bo obseg enak številu "Pi". Število π ima neskončno matematično trajanje, vendar se v vsakdanjih izračunih uporablja poenostavljeno črkovanje števila, pri čemer ostaneta le dve decimalni mesti - 3,14.

Leta 1987 so ta dan prvič praznovali. Fizik Larry Shaw iz San Francisca je opazil, da v ameriški sistem zapisi datumov (mesec/dan) datum 14. marec - 14. 3. sovpada s številom π (π = 3,1415926...). Običajno se praznovanja začnejo ob 13:59:26 (π = 3,14 15926 …).

Zgodovina Pi

Predpostavlja se, da se zgodovina števila π začne leta Stari Egipt. Egiptovski matematiki so določili ploščino kroga s premerom D kot (D-D/9) 2. Iz tega zapisa je razvidno, da je bilo takrat število π enačeno z ulomkom (16/9) 2 ali 256/81, tj. π 3.160...

V VI stoletju. pr. n. št v Indiji, v verski knjigi džainizma, obstajajo zapisi, ki kažejo, da je bilo število π takrat sprejeto kot enako kvadratni koren od 10, kar daje ulomek 3,162...
V 3. st. Arhimed je v svojem kratkem delu "Merjenje kroga" utemeljil tri trditve:

1. Vsak krog je enako velik pravokotni trikotnik, katerih noge so enake dolžini kroga in njegovemu polmeru;
2. Območja kroga so povezana s kvadratom, zgrajenim na premeru kot 11 do 14;
3. Razmerje katerega koli kroga in njegovega premera je manjše od 3 1/7 in večje od 3 10/71.

Zadnje stališče je Arhimed utemeljil s tem, da je zaporedoma izračunal obode pravilnih včrtanih in opisanih mnogokotnikov s podvojitvijo števila njihovih stranic. Po natančnih Arhimedovih izračunih je razmerje med obsegom in premerom med številkama 3 * 10 / 71 in 3 * 1/7, kar pomeni, da je število "pi" 3,1419 ... Prava vrednost tega razmerje je 3,1415922653...
V 5. st pr. n. št Kitajski matematik Zu Chongzhi je našel natančnejšo vrednost za to število: 3,1415927...
V prvi polovici 15. stol. Astronom in matematik Kashi je izračunal π s 16 decimalnimi mesti.

Stoletje in pol kasneje je F. Viet v Evropi našel število π s samo 9 pravilnimi decimalnimi mesti: naredil je 16 podvojitev števila stranic mnogokotnikov. F. Viet je prvi opazil, da je π mogoče najti z mejami določenih nizov. To odkritje je imelo velika vrednost, je omogočil izračun π s poljubno natančnostjo.

Leta 1706 angleški matematik W. Johnson je uvedel zapis za razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom in ga označil s sodobnim simbolom π, prvo črko grške besede periferia - krog.

Dolgo časa so znanstveniki po vsem svetu poskušali razvozlati skrivnost te skrivnostne številke.

Kakšna je težava pri izračunu vrednosti π?

Število π je iracionalno: ni ga mogoče izraziti kot ulomek p/q, kjer sta p in q celi števili, to število ne more biti koren algebrska enačba. Ne morete določiti algebrskega ali diferencialna enačba, katerega koren bo π, zato se to število imenuje transcendentalno in se izračuna ob upoštevanju katerega koli procesa ter se izboljša s povečanjem korakov obravnavanega procesa. Večkratni poskusi izračuna največjega števila števk števila π so pripeljali do tega, da je danes, zahvaljujoč sodobni računalniški tehnologiji, mogoče izračunati zaporedje z natančnostjo 10 trilijonov števk za decimalno vejico.

Številke decimalne predstavitve π so precej naključne. V decimalni razširitvi števila lahko najdete poljubno zaporedje števk. Predvideva se, da v dano številko v šifrirani obliki so vse napisane in nenapisane knjige, vsak podatek, ki si ga lahko predstavljamo, je v številu π.

Lahko poskusite sami razvozlati skrivnost tega števila. Seveda številke "Pi" ne bo mogoče zapisati v celoti. Najbolj radovednim pa predlagam, da razmislijo o prvih 1000 številkah števila π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Zapomni si številko "pi"

Trenutno uporabljam računalniška tehnologija izračunano na deset trilijonov številk pi. Največje število številk, ki si jih lahko oseba zapomni, je sto tisoč.

Za zapomnitev največjega števila števk števila "Pi" se uporabljajo različni poetični "spomini", v katerih so besede z določenim številom črk razvrščene v istem zaporedju kot številke v številu "Pi": 3.1415926535897932384626433832795…. Če želite obnoviti številko, morate prešteti število znakov v vsaki besedi in jo zapisati po vrstnem redu.

Tako poznam številko, imenovano "Pi". Bravo! (7 števk)

Tako sta pritekli Misha in Anyuta
Želeli so izvedeti število Pi. (11 števk)

To vem in se dobro spomnim:
In veliko znakov je zame nepotrebnih, zaman.
Zaupajmo našemu ogromnemu znanju
Tisti, ki so prešteli število armade. (21 števk)

Enkrat pri Kolji in Arini
Raztrgali smo pernate postelje.
Beli puh je letel in se vrtel,
Tuširan, zmrznjen,
zadovoljna
Dal nam ga je
Glavobol starih žensk.
Vau, duh puha je nevaren! (25 znakov)

Lahko uporabite rimane vrstice, da si boste lažje zapomnili pravo številko.

Da ne delamo napak,
Morate ga pravilno prebrati:
Dvaindevetdeset in šest

Če se zelo potrudiš,
Takoj lahko preberete:
Tri, štirinajst, petnajst,
Dvaindevetdeset in šest.

Tri, štirinajst, petnajst,
Devet, dva, šest, pet, tri, pet.
Ukvarjati se z znanostjo,
To bi morali vedeti vsi.

Lahko samo poskusiš
In ponavljajte pogosteje:
"Tri, štirinajst, petnajst,
Devet, šestindvajset in pet."

Imate še vprašanja? Želite izvedeti več o Pi?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

Dolga stoletja in celo, nenavadno, tisočletja so ljudje razumeli pomen in vrednost matematične konstante za znanost, enako razmerju obseg kroga na njegov premer. število Pi še ni znano, vendar so se z njim ukvarjali najboljši matematiki v naši zgodovini. Večina jih je to želela izraziti kot racionalno število.

1. Raziskovalci in pravi oboževalci števila Pi so organizirali klub, za včlanitev v katerega morate znati dovolj na pamet veliko število njegova znamenja.

2. Od leta 1988 se praznuje "dan pi", ki pade na 14. marec. Z njegovo podobo pripravljajo solate, torte, piškote in peciva.

3. Število Pi je bilo že uglasbeno in zveni kar dobro. V ameriškem Seattlu so mu postavili celo spomenik pred mestnim muzejem umetnosti.

V tistem daljnem času so poskušali izračunati število Pi s pomočjo geometrije. Da je to število konstantno za najrazličnejše kroge, so vedeli geometri v starem Egiptu, Babilonu, Indiji in Stara Grčija, ki v svojih delih trdili, da gre le za nekaj več kot tri.

V enem od svete knjige Jainizem (starodavna indijska religija, ki je nastala v 6. stoletju pr. n. št.) omenja, da je takrat veljalo število Pi enak korenu kvadrat od desetih, kar daje skupno 3.162... .

Starogrški matematiki krog so izmerili tako, da so sestavili segment, da pa so izmerili krog, so morali sestaviti enak kvadrat, to je lik, ki mu je po ploščini enak.

Ko še niso vedeli decimalke, je veliki Arhimed našel vrednost Pi z 99,9 % natančnostjo. Odkril je metodo, ki je postala osnova za mnoge poznejše izračune, vpisovanje v krog in opisovanje okrog njega pravilni poligoni. Posledično je Arhimed izračunal vrednost Pi kot razmerje 22 / 7 ≈ 3,142857142857143.

Na Kitajskem je matematik in dvorni astronom Zu Chongzhi v 5. stoletju pr. e. je za Pi določil natančnejšo vrednost, izračunal jo je na sedem decimalnih mest in določil njeno vrednost med številkami 3, 1415926 in 3,1415927. Znanstveniki so potrebovali več kot 900 let, da so nadaljevali to digitalno serijo.

srednji vek

Slavni indijski znanstvenik Madhava, ki je živel na preloma 14. stoletja- XV stoletja, ki je postal ustanovitelj keralske šole astronomije in matematike, se je prvič v zgodovini začel ukvarjati z razgradnjo trigonometrične funkcije v vrste. Res je, da sta se ohranili samo dve njegovi deli, za druga pa so znani le navedbe in citati njegovih študentov. Znanstvena razprava "Mahajyanayana", ki se pripisuje Madhavi, navaja, da je število Pi 3,14159265359. In v traktatu "Sadratnamala" je številka s veliko število natančna decimalna mesta: 3.14159265358979324. V navedenih številkah zadnje števke ne ustrezajo pravilni vrednosti.

Samarkandski matematik in astronom Al-Kashi je v 15. stoletju izračunal število Pi s šestnajstimi decimalnimi mesti. Njegov rezultat je veljal za najbolj natančnega v naslednjih 250 letih.

W. Johnson, matematik iz Anglije, je bil eden prvih, ki je razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom označil s črko π. Pi je prva črka grške besede "περιφέρεια" - krog. Toda ta oznaka je postala splošno sprejeta šele potem, ko jo je leta 1736 uporabil bolj znan znanstvenik L. Euler.

Zaključek

Sodobni znanstveniki še naprej delajo na nadaljnjih izračunih vrednosti Pi. Za to se že uporabljajo superračunalniki. Leta 2011 je znanstvenik iz Shigeru Konda, ki je sodeloval z ameriški študent Alexander Yi, naredil pravilen izračun zaporedja 10 trilijonov števk. Še vedno pa ni jasno, kdo je odkril število Pi, kdo je prvi razmišljal o tem problemu in opravil prve izračune tega resnično mističnega števila.