Rešite kvadratne enačbe na spletu. Reševanje bikvadratnih enačb

V tem članku se bomo naučili reševati bikvadratne enačbe.

Kakšne enačbe se torej imenujejo bikvadratne?
Vse enačbe oblike ah 4 + bx 2 + c = 0 , Kje a ≠ 0, ki sta kvadratna glede na x 2, in imenujemo bikvadratne enačbe. Kot lahko vidite, je ta vnos zelo podoben vnosu za kvadratno enačbo, zato bomo bikvadratne enačbe reševali z uporabo formul, ki smo jih uporabili za reševanje kvadratne enačbe.

Le uvesti bomo morali novo spremenljivko, to je označiti x 2 druga spremenljivka, na primer pri oz t (ali katero koli drugo črko latinske abecede).

na primer rešimo enačbo x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.

Označimo x 2 skozi pri (x 2 = y ) in dobimo enačbo y 2 + 4y – 5 = 0.
Kot vidite, takšne enačbe že znate rešiti.

Rešimo nastalo enačbo:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Vrnimo se k naši spremenljivki x.

Ugotovili smo, da je x 2 = ‒ 5 in x 2 = 1.

Opazimo, da prva enačba nima rešitev, druga pa daje dve rešitvi: x 1 = 1 in x 2 = ‒1. Pazite, da ne izgubite negativnega korena (največkrat dobijo odgovor x = 1, vendar to ni pravilno).

odgovor:- 1 in 1.

Za boljše razumevanje teme si poglejmo nekaj primerov.

Primer 1. Reši enačbo 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.

Naj bo x 2 = y, potem je 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.

Potem je x 2 = 1 in x 2 = 1,5.

Dobimo x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5.

odgovor: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Primer 2. Reši enačbo 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 =0.

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Potem je x 2 = - 2 in x 2 = - 0,5. Upoštevajte, da nobena od teh enačb nima rešitve.

odgovor: ni rešitev.

Nepopolne bikvadratne enačbe- to je takrat b = 0 (ax 4 + c = 0) oz c = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) se rešujejo kot nepopolne kvadratne enačbe.

Primer 3. Reši enačbo x 4 ‒ 25x 2 = 0

Razložimo na faktorje, postavimo x 2 iz oklepaja in nato x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.

Dobimo x 2 = 0 ali x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.

Potem imamo korenine 0; 5 in – 5.

odgovor: 0; 5; – 5.

Primer 4. Reši enačbo 5x 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (nima rešitev)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.

Kot lahko vidite, če lahko rešite kvadratne enačbe, lahko rešite tudi bikvadratne enačbe.

Če imate še vedno vprašanja, se prijavite na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Pojem enačb z dvema spremenljivkama se prvič oblikuje pri predmetu matematika v 7. razredu. Obravnavani so specifični problemi, katerih proces reševanja vodi do te vrste enačb.

Vendar so preučeni precej površno. Program se osredotoča na sisteme enačb z dvema neznankama.

To je postalo razlog, da se problemi, pri katerih so določene omejitve na koeficiente enačbe, praktično ne upoštevajo. Premalo pozornosti se posveča metodam reševanja nalog, kot je »Reši enačbo v naravnih ali celih številih«. Znano je, da gradiva za enotni državni izpit in vstopnice za sprejemni izpit pogosto vsebujejo takšne vaje.

Katere enačbe so definirane kot enačbe z dvema spremenljivkama?

xy = 8, 7x + 3y = 13 ali x 2 + y = 7 so primeri enačb z dvema spremenljivkama.

Razmislite o enačbi x – 4y = 16. Če je x = 4 in y = -3, bo to pravilna enakost. To pomeni, da je ta par vrednosti rešitev te enačbe.

Rešitev katere koli enačbe z dvema spremenljivkama je množica parov števil (x; y), ki zadovoljujejo to enačbo (pretvorite jo v pravo enakost).

Pogosto se enačba preoblikuje tako, da se lahko uporabi za pridobitev sistema za iskanje neznank.

Primeri

Rešite enačbo: xy – 4 = 4x – y.

V tem primeru lahko uporabite metodo faktorizacije. Če želite to narediti, morate združiti izraze in vzeti skupni faktor iz oklepaja:

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 4) = 0.

Odgovor: Vsi pari (x; 4), kjer je x poljubno racionalno število in (-1; y), kjer je y poljubno racionalno število.

Rešite enačbo: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).

Prvi korak je združevanje.

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.

Z uporabo formule kvadratne razlike dobimo:

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.

Pri seštevanju dveh nenegativnih izrazov bo rezultat nič le, če je 2x – 1 = 0 in y + 1 = 0. Sledi: x = ½ in y = -1.

Odgovor: (1/2; -1).

Rešite enačbo (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.

Smiselno je uporabiti metodo ocenjevanja, tako da v oklepaju označite celotne kvadrate.

((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.

V tem primeru je (x - 3) 2 + 1 ≥ 1 in (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Potem je leva stran enačbe vedno vsaj 4. Enakost je možna v primeru

(x - 3) 2 + 1 = 1 in (y + 5) 2 + 4 = 4. Zato je x = 3, y = -5.

Odgovor: (3; -5).

Rešite enačbo v celih številih: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

To enačbo lahko zapišemo na naslednji način:

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Če je desna stran enakosti deljena s 5, potem je 3 ostanek. Iz tega sledi, da x 2 ni deljiv s 5. Znano je, da mora kvadrat števila, ki ni deljivo s 5, pustiti ostanek 1 ali 4. To pomeni, da enačba nima korenin.

Odgovor: Ni rešitev.

Naj vas težava pri iskanju prave rešitve za enačbo z dvema spremenljivkama ne odvrne. Vztrajnost in vaja bosta zagotovo obrodila sadove.

Cilji:

1. Sistematizirati in posplošiti znanje in spretnosti na temo: Rešitve enačb tretje in četrte stopnje.
2. Poglobite svoje znanje z izpolnjevanjem številnih nalog, od katerih so nekatere neznane bodisi po vrsti ali načinu reševanja.
3. Oblikovanje zanimanja za matematiko s študijem novih poglavij matematike, negovanje grafične kulture s konstrukcijo grafov enačb.

Vrsta lekcije: kombinirano.

Oprema: grafični projektor.

Vidnost: tabela "Vietejev izrek".

Napredek lekcije

1. Ustno štetje

a) Kolikšen je ostanek pri deljenju polinoma p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 z binomom x-a?

b) Koliko korenin ima lahko kubična enačba?

c) Kako rešujemo enačbe tretje in četrte stopnje?

d) Če je b sodo število v kvadratni enačbi, kakšna je vrednost D in x x 2;

2. Samostojno delo (v skupinah)

Napišite enačbo, če so korenine znane (odgovori na naloge so kodirani) Uporabljen je "Vietov izrek"

1 skupina

Korenine: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Sestavite enačbo:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(to enačbo nato reši skupina 2 na tabli)

rešitev . Med delitelji števila 36 iščemo cele korene.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Število 1 zadošča enačbi, zato je =1 koren enačbe. Po Hornerjevi shemi

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Odgovor: 1;-2;-3;6 vsota korenov 2 (P)

2. skupina

Korenine: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Sestavite enačbo:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (3. skupina rešuje to enačbo na tabli)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Odgovor: -1;2;2;5 vsota korenov 8(P)

3 skupina

Korenine: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Sestavite enačbo:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(4. skupina rešuje to enačbo kasneje na tabli)

rešitev. Med delitelji števila 6 iščemo cele korene.

р = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Odgovor: -1;1;-2;3 Vsota korenov 1(O)

4 skupina

Korenine: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Sestavite enačbo:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; s=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(to enačbo nato reši skupina 5 na tabli)

rešitev. Med delitelji števila -36 iščemo cele korene

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Odgovor: -2; -2; -3; 3 Vsota korenov-4 (F)

5 skupina

Korenine: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Napišite enačbo

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(to enačbo nato reši skupina 6 na tabli)

rešitev . Med delitelji števila 24 iščemo cele korene.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Odgovor: -1;-2;-3;-4 vsota-10 (I)

6 skupina

Korenine: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Napišite enačbo

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7 x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (to enačbo nato reši skupina 1 na tabli)

rešitev . Med delitelji števila -24 iščemo cele korene.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Odgovor: 1;1;-3;8 vsota 7 (L)

3. Reševanje enačb s parametrom

1. Rešite enačbo x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; če je eden od korenov enak (-1)

Odgovor zapišite v naraščajočem vrstnem redu

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Po pogoju x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Odgovor:- 1;-5; 3

V naraščajočem vrstnem redu: -5;-1;3. (b N S)

2. Poišči vse korene polinoma x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, če sta ostanka njegove delitve na binoma x-1 in x +2 enaka.

Rešitev: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Napišite enačbo

1 skupina. Korenine: -4; -2; 1; 7;

2. skupina. Korenine: -3; -2; 1; 2;

3 skupina. Korenine: -1; 2; 6; 10;

4 skupina. Korenine: -3; 2; 2; 5;

5 skupina. Korenine: -5; -2; 2; 4;

6 skupina. Korenine: -8; -2; 6; 7.

Ponujamo vam ugodno brezplačno spletni kalkulator za reševanje kvadratnih enačb. Z jasnimi primeri lahko hitro ugotovite in razumete, kako so rešeni.
Za proizvodnjo rešite kvadratno enačbo na spletu, najprej pripelji enačbo v splošno obliko:
ax 2 + bx + c = 0
Ustrezno izpolnite polja obrazca:

Kako rešiti kvadratno enačbo

Primer 1. Reševanje navadne kvadratne enačbe z različnimi realnimi koreni.
x 2 + 3x -10 = 0
V tej enačbi
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Kvadratni koren bomo označili kot število 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Za preverjanje zamenjajmo:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Primer 2. Reševanje kvadratne enačbe z ujemajočimi se realnimi koreninami.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Zamenjajmo
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Primer 3. Reševanje kvadratne enačbe s kompleksnimi koreni.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminanta je negativna – koreni so kompleksni.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, kjer je I kvadratni koren iz -1

Tukaj so pravzaprav vsi možni primeri reševanja kvadratnih enačb.
Upamo, da naš spletni kalkulator vam bo zelo koristilo.
Če je bil material uporaben, lahko