Reševanje linearnih enačb z Gaussovo metodo. Rešitev s konkretnimi primeri

Tukaj lahko rešite sistem brezplačno linearne enačbe Gaussova metoda na spletu velike velikosti v kompleksnih številih z zelo podrobno rešitvijo. Naš kalkulator lahko na spletu reši tako običajen določen kot nedoločen sistem linearnih enačb po Gaussovi metodi, ki ima neskončen niz odločitve. V tem primeru boste v odgovoru prejeli odvisnost nekaterih spremenljivk od drugih, prostih. Skladnost sistema enačb lahko preverite tudi na spletu z uporabo Gaussove rešitve.

O metodi

Pri reševanju sistema linearnih enačb spletna metoda Gaussa se izvedejo naslednji koraki.

1. Zapišemo razširjeno matriko.
2. Pravzaprav je rešitev razdeljena na korak naprej in nazaj Gaussove metode. Neposredni korak Gaussove metode je redukcija matrike na stopenjsko obliko. Obratna stran Gaussove metode je redukcija matrike na posebno stopenjsko obliko. Toda v praksi je bolj priročno takoj izničiti tisto, kar se nahaja nad in pod zadevnim elementom. Naš kalkulator uporablja točno ta pristop.
3. Pomembno je upoštevati, da pri reševanju z uporabo Gaussove metode prisotnost v matriki vsaj ene ničelne vrstice z NI nič desna stran(stolpec prostih članov) označuje nekompatibilnost sistema. rešitev linearni sistem v tem primeru ne obstaja.

Če želite najbolje razumeti, kako Gaussov algoritem deluje na spletu, vnesite kateri koli primer in izberite »zelo podrobna rešitev« in poiščite njegovo rešitev na spletu.

Nadaljujemo z obravnavanjem sistemov linearnih enačb. Ta lekcija je tretja na to temo. Če imate nejasno predstavo o tem, kaj je na splošno sistem linearnih enačb, če se počutite kot čajnik, priporočam, da začnete z osnovami na strani Naprej, koristno je preučiti lekcijo.

Gaussova metoda je enostavna! Zakaj? Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je prejel priznanje že v času svojega življenja največji matematik vseh časov, genij in celo vzdevek "kralj matematike". In vse genialno, kot veste, je preprosto! Mimogrede, denarja ne dobijo le naivneži, ampak tudi geniji - Gaussov portret je bil na bankovcu za 10 nemških mark (pred uvedbo evra), Gauss pa se še danes skrivnostno nasmiha Nemcem z običajnih poštnih znamk.

Gaussova metoda je preprosta v tem, da ZNANJE PETOŠOLCA ZADOSTOJA, da jo obvlada. Moraš znati seštevati in množiti! Ni naključje, da učitelji pri izbirnih predmetih matematike pogosto upoštevajo metodo zaporednega izločanja neznank. To je paradoks, vendar se študentom Gaussova metoda zdi najtežja. Nič presenetljivega - vse je v metodologiji in poskušal bom govoriti o algoritmu metode v dostopni obliki.

Najprej sistematizirajmo nekaj znanja o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:

1) Imeti edina odločitev. 2) Imeti neskončno veliko rešitev. 3) Nimate rešitev (bodite neskupni).

Gaussova metoda je najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve kaj sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. In metoda zaporednega izločanja neznank Kakorkoli že nas bo pripeljal do odgovora! Vklopljeno to lekcijo Ponovno bomo obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je posvečen situacijam točk št. 2-3. Opažam, da je algoritem same metode v vseh trije primeri deluje enako.

Vrnimo se k najpreprostejši sistem iz razreda Kako rešiti sistem linearnih enačb? in ga rešite z Gaussovo metodo.

Prvi korak je zapisovanje razširjena sistemska matrika: . Mislim, da lahko vsak vidi, po kakšnem principu so napisani koeficienti. Navpična črta znotraj matrike nima matematičnega pomena - je preprosto prečrtana zaradi lažjega oblikovanja.

Referenca : Priporočam, da se spomnite pogoji linearna algebra. Sistemska matrica je matrika, sestavljena samo iz koeficientov za neznanke, v tem primeru matrika sistema: . Razširjena sistemska matrica – to je ista matrika sistema plus stolpec prostih pogojev, v tem primeru: . Za kratkost lahko katero koli matriko preprosto imenujemo matrika.

Ko je razširjena sistemska matrika napisana, je potrebno z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.

Obstajajo naslednje osnovne transformacije:

1) Strune matrice Lahko preurediti ponekod. Na primer, v obravnavani matriki lahko neboleče preuredite prvo in drugo vrstico:

2) Če je matrika (ali se je pojavila) proporcionalna (kot poseben primer– enake) vrstice, potem sledi izbrisati iz matrike vse te vrstice razen ene. Razmislite na primer o matriki . V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: .

3) Če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, potem bi morala biti tudi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri vse ničle.

4) Vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno številko različen od nič. Razmislite na primer o matriki. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z –3 in drugo vrstico pomnožite z 2: . To dejanje je zelo uporabno, saj poenostavi nadaljnje transformacije matrike.

5) Ta preobrazba povzroča največ težav, vendar v resnici tudi ni nič zapletenega. V vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič. Razmislite o naši matriki praktični primer: . Najprej bom zelo podrobno opisal transformacijo. Pomnožite prvo vrstico z –2: , In drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –2: . Zdaj lahko prvo vrstico razdelimo »nazaj« z –2: . Kot lahko vidite, je vrstica, ki je DODANA LI – se ni spremenilo. Nenehno spremeni se vrstica KATERI JE DODANO UT.

V praksi tega seveda ne napišejo tako podrobno, ampak napišejo na kratko: Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z –2. Vrstica se običajno množi ustno ali na osnutku, pri čemer proces miselnega izračuna poteka nekako takole:

»Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: »

»Prvi stolpec. Na dnu moram dobiti ničlo. Zato tistega na vrhu pomnožim z –2: , v drugo vrstico pa dodam prvega: 2 + (–2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»Zdaj pa drugi stolpec. Na vrhu pomnožim -1 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»In tretji stolpec. Na vrhu pomnožim -5 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: –7 + 10 = 3. V drugo vrstico zapišem rezultat: »

Prosimo, da natančno razumete ta primer in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično v vašem žepu. Seveda pa bomo še vedno delali na tej transformaciji.

Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb

! POZOR: obravnavane manipulacije ne more uporabljati, če vam ponudijo nalogo, pri kateri so matrike podane »same od sebe«. Na primer s "klasično" operacije z matricami V nobenem primeru ne smete ničesar preurediti znotraj matric! Vrnimo se k našemu sistemu. Tako rekoč razrezana je na koščke.

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami reduciramo na stopničast pogled:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z –2? Da bi dobili ničlo na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.

(2) Drugo vrstico delite s 3.

Namen elementarnih transformacij – reduciraj matriko na postopno obliko: . Pri zasnovi naloge samo označijo "stopnice" s preprostim svinčnikom in obkrožijo tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Izraz "stopničasti pogled" sam po sebi ni povsem teoretičen, v znanstveni in poučna literatura pogosto se imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovreden izvirni sistem enačb:

Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se imenuje ta postopek obratno od Gaussove metode.

V spodnji enačbi imamo že pripravljen rezultat: .

Razmislimo o prvi enačbi sistema in vanjo nadomestimo že znano vrednost "y":

Razmislimo o najpogostejši situaciji, ko Gaussova metoda zahteva reševanje sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami.

Primer 1

Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo:

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

Zdaj bom takoj izrisal rezultat, do katerega bomo prišli med reševanjem: In ponavljam, naš cilj je spraviti matriko v postopno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti?

Najprej poglejte številko zgoraj levo: Skoraj vedno bi moral biti tukaj enota. Na splošno velja –1 (in včasih tudi druge številke), vendar se je nekako tradicionalno zgodilo, da je ena običajno tam. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico:

Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Zdaj pa dobro.

Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih:

Ničle dobimo s "težko" transformacijo. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, –1, 3, 13). Kaj je treba storiti, da dobimo ničlo na prvem mestu? Moram drugi vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –2. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –2: (–2, –4, 2, –18). In dosledno izvajamo (spet mentalno ali na osnutku) dodajanje, drugi vrstici dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z –2:

Rezultat zapišemo v drugo vrstico:

Na enak način ravnamo s tretjo vrstico (3, 2, –5, –1). Če želite dobiti ničlo na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –3: (–3, –6, 3, –27). IN tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –3:

Rezultat zapišemo v tretjo vrstico:

V praksi se ta dejanja običajno izvajajo ustno in zapišejo v enem koraku:

Ni treba šteti vsega naenkrat in ob istem času. Vrstni red izračunov in »vpisovanje« rezultatov dosledno in običajno je tako: najprej prepišemo prvo vrstico in se počasi napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:
Zgoraj sem že razpravljal o mentalnem procesu samih izračunov.

IN v tem primeru To je enostavno storiti, drugo vrstico delite z –5 (ker so vsa števila deljiva s 5 brez ostanka). Istočasno tretjo vrstico delimo z –2, saj manjša kot so števila, enostavnejša je rešitev:

Na zadnji stopnji elementarnih transformacij morate tukaj dobiti še eno ničlo:

Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico pomnoženo z –2:
Poskusite sami ugotoviti to dejanje - v mislih pomnožite drugo vrstico z –2 in izvedite seštevanje.

Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredni sistem linearnih enačb: Kul.

Zdaj pride v poštev obratna Gaussova metoda. Enačbe se "razvijajo" od spodaj navzgor.

V tretji enačbi že imamo pripravljen rezultat:

Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "zet" je že znan, tako:

In končno, prva enačba: . "Igrek" in "zet" sta znana, gre le za malenkosti:

Odgovori:

Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb možno in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo pa je to enostavno in hitro.

Primer 2

To je primer samostojne rešitve, vzorec končne zasnove in odgovor na koncu lekcije.

Treba je opozoriti, da vaš potek odločitve morda ne sovpada z mojim odločanjem, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Tam bi morali imeti enoto. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem tole: (1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno gibanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).

(2) Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3.

(3) Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to zaradi lepote. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

(4) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z 2.

(5) Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Slab znak, ki kaže na napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. To je, če bi dobili nekaj podobnega, spodaj, in v skladu s tem, , potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake pri elementarnih transformacijah.

Mi zaračunavamo obratno, pri oblikovanju primerov pogosto ne prepišejo samega sistema, ampak so enačbe »vzete neposredno iz podane matrike«. Vzvratno, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:

Odgovori: .

Primer 4

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

To je primer, ki ga morate rešiti sami, je nekoliko bolj zapleten. Nič hudega, če se kdo zmede. Celotna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve.

V zadnjem delu si bomo ogledali nekatere značilnosti Gaussovega algoritma. Prva značilnost je, da včasih nekatere spremenljivke manjkajo v sistemskih enačbah, na primer: Kako pravilno napisati matriko razširjenega sistema? O tej točki sem že govoril v razredu. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema smo namesto manjkajočih spremenljivk postavili ničle: Mimogrede, to je lepo enostaven primer, saj je v prvem stolpcu že ena ničla in je treba izvesti manj osnovnih pretvorb.

Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na »stopnice« postavili –1 ali +1. Ali so tam lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: .

Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dva. Opazimo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka – drugi pa je dva in šest. In dva levo zgoraj nam bosta prav prišla! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: dodati prvo vrstico, pomnoženo z –1, drugi vrstici; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Tako bomo v prvem stolpcu dobili zahtevane ničle.

Ali nekaj takega pogojni primer: . Tukaj nam ustreza tudi trojka na drugem “stopenju”, saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti ničlo) deljivo s 3 brez ostanka. Potrebno je izvesti naslednjo transformacijo: tretjo vrstico dodajte drugo vrstico, pomnoženo z –4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.

Gaussova metoda je univerzalna, vendar ima eno posebnost. Samozavestno se naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) lahko dobesedno prvič - obstaja zelo strog algoritem. Toda, da bi se počutili samozavestni v Gaussovi metodi, bi morali "dobiti zobe" in rešiti vsaj 5-10 deset sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede in napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.

Zunaj okna deževno jesensko vreme.... Zato za vse, ki si želite več zapleten primer za samostojno rešitev:

Primer 5

Rešite sistem 4 linearnih enačb s štirimi neznankami z uporabo Gaussove metode.

Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da bo tudi čajnik, ki je temeljito preučil to stran, intuitivno razumel algoritem za rešitev takšnega sistema. V bistvu je vse enako - samo dejanj je več.

V lekciji obravnavamo primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev. Nekompatibilni sistemi in sistemi s skupno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.

Želim ti uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.
Izvedene osnovne transformacije: (1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. Pozor! Tukaj vas bo morda zamikalo, da bi odšteli prvo od tretje vrstice; toplo priporočam, da je ne odštejete - tveganje napake se močno poveča. Samo zložite ga! (2) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Opomba , da se na “stopnicah” zadovoljimo ne le z enico, ampak tudi z –1, kar je še bolj priročno. (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 5. (4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Tretja vrstica je bila deljena s 14.

Zadaj:

Odgovori : .

Primer 4: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije: (1) Prvi vrstici je bila dodana druga vrstica. Tako je želena enota organizirana na zgornji levi “stopnici”. (2) Prva vrstica, pomnožena s 7, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 6.

Z drugim "korakom" se vse poslabša , sta »kandidata« zanjo števili 17 in 23, potrebujemo pa eno ali –1. Transformacije (3) in (4) bodo namenjene pridobivanju želene enote (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. (4) Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3. Zahtevani element v drugem koraku je bil prejet. . (5) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 6. (6) Druga vrstica je bila pomnožena z –1, tretja vrstica je bila deljena z –83.

Zadaj:

Odgovori :

Primer 5: rešitev : Zapišimo matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije: (1) Prva in druga vrstica sta bili zamenjani. (2) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –3. (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnoženi s 4. Druga vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnoženi z –1. (4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice. Četrta vrstica je bila razdeljena s 3 in postavljena na mesto tretje vrstice. (5) Tretja vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –5.

Zadaj:

Odgovori :

Ena od univerzalnih in učinkovitih metod za reševanje linearnih algebraičnih sistemov je Gaussova metoda , ki sestoji iz zaporednega izločanja neznank.

Spomnimo se, da se imenujeta dva sistema enakovreden (ekvivalentni), če množice njihovih rešitev sovpadajo. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno. Enakovredne sisteme dobimo, ko elementarne transformacije enačbe sistema:

množenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič;

dodajanje v neko enačbo ustreznih delov druge enačbe, pomnoženih s številom, ki ni nič;

preurejanje dveh enačb.

Naj bo podan sistem enačb

Postopek reševanja tega sistema z Gaussovo metodo je sestavljen iz dveh stopenj. Na prvi stopnji (neposredno gibanje) se sistem z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na postopno , oz trikotne obliki, na drugi stopnji (obratno) pa je zaporedno, začenši od zadnje številke spremenljivke, določanje neznank iz nastalega sistema korakov.

Predpostavimo, da je koeficient tega sistema
, sicer lahko v sistemu prvo vrstico zamenjamo s katero koli drugo vrstico, tako da je koeficient pri je bil drugačen od nič.

Preoblikujemo sistem z odpravo neznanega v vseh enačbah razen v prvi. Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z in seštejte člen za členom z drugo enačbo sistema. Nato pomnožite obe strani prve enačbe z in ga dodajte tretji enačbi sistema. Z nadaljevanjem tega procesa dobimo enakovreden sistem

Tukaj
– nove vrednosti koeficientov in prostih členov, ki jih dobimo po prvem koraku.

Podobno, če upoštevamo glavni element
, izključite neznano iz vseh enačb sistema, razen prve in druge. Nadaljujmo s tem postopkom čim dlje in kot rezultat bomo dobili stopenjski sistem

,

Kje ,
,…,– glavni elementi sistema
.

Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo enačbe, tj.
, se zavržejo, ker jih zadovolji kateri koli nabor števil
. Če pri
se bo prikazal enačba oblike, ki nima rešitev, potem to kaže na nekompatibilnost sistema.

Med vzvratno potezo je prva neznanka izražena iz zadnje enačbe transformiranega stopenjskega sistema skozi vse druge neznanke
ki se imenujejo prost . Nato izraz spremenljivke iz zadnje enačbe sistema nadomestimo v predzadnjo enačbo in iz nje izrazimo spremenljivko
. Spremenljivke so definirane zaporedno na podoben način
. Spremenljivke
, izražene s prostimi spremenljivkami, imenujemo osnovni (odvisno). Rezultat je splošna rešitev sistema linearnih enačb.

Najti zasebna rešitev sistemi, prosti neznan
V splošna odločitev so dodeljene poljubne vrednosti in izračunane vrednosti spremenljivk
.

Tehnično bolj priročno je, da elementarnim transformacijam ne podvržemo sistemskih enačb samih, temveč razširjeno matriko sistema

.

Gaussova metoda je univerzalna metoda, ki vam omogoča reševanje ne samo kvadratnih, ampak tudi pravokotnih sistemov, v katerih je število neznank
ni enako številu enačb
.

Prednost te metode je tudi v tem, da v procesu reševanja sistem istočasno preverjamo na združljivost, saj po podani razširjeni matriki
v stopenjsko obliko je enostavno določiti range matrike in razširjeno matriko
in se prijavi Kronecker-Capellijev izrek .

Primer 2.1 Rešite sistem z Gaussovo metodo

rešitev. Število enačb
in število neznank
.

Ustvarimo razširjeno matriko sistema z dodelitvijo koeficientov na desni strani matrike stolpec za brezplačne člane .

Predstavimo matrico na trikotni pogled; Da bi to naredili, bomo pridobili "0" pod elementi, ki se nahajajo na glavni diagonali, z uporabo elementarnih transformacij.

Če želite dobiti "0" na drugem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-1) in jo dodajte drugi vrstici.

To transformacijo zapišemo kot številko (-1) proti prvi vrstici in jo označimo s puščico, ki gre iz prve v drugo vrstico.

Če želite dobiti "0" na tretjem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-3) in dodajte tretji vrstici; Pokažimo to dejanje s puščico, ki gre od prve vrstice do tretje.

.

V dobljeni matriki, zapisani drugi v verigi matrik, dobimo v drugem stolpcu na tretjem mestu »0«. Da bi to naredili, smo drugo vrstico pomnožili z (-4) in jo dodali tretji. V dobljeni matriki drugo vrstico pomnožite z (-1) in tretjo delite z (-8). Vsi elementi te matrike, ki ležijo pod diagonalnimi elementi, so ničle.

Ker , sistem je sodelovalen in definiran.

Sistem enačb, ki ustreza zadnji matriki, ima trikotno obliko:

Iz zadnje (tretje) enačbe
. Nadomestimo v drugo enačbo in dobimo
.

Zamenjajmo
in
v prvo enačbo, najdemo


.

Gaussova metoda, imenovana tudi metoda zaporednega izločanja neznank, je naslednja. Z uporabo elementarnih transformacij se sistem linearnih enačb pripelje do takšne oblike, da se izkaže, da je njegova matrika koeficientov trapezna (enako kot trikotna ali stopničasta) ali blizu trapeza (neposredni hod Gaussove metode, v nadaljevanju - preprosto ravni hod). Primer takšnega sistema in njegove rešitve je na zgornji sliki.

V takem sistemu zadnja enačba vsebuje samo eno spremenljivko in njeno vrednost je mogoče nedvoumno najti. Vrednost te spremenljivke se nato nadomesti v prejšnja enačba (obratno od Gaussove metode , nato ravno obratno), iz katere je najdena prejšnja spremenljivka itd.

V trapeznem (trikotnem) sistemu, kot vidimo, tretja enačba ne vsebuje več spremenljivk l in x, druga enačba pa je spremenljivka x .

Ko je matrika sistema dobila trapezoidno obliko, ni več težko razumeti vprašanja združljivosti sistema, določiti število rešitev in najti same rešitve.

Prednosti metode:

1. pri reševanju sistemov linearnih enačb z več kot tremi enačbami in neznankami Gaussova metoda ni tako okorna kot Cramerjeva metoda, saj reševanje z Gaussovo metodo zahteva manj izračunov;
2. Gaussova metoda lahko rešuje nedoločene sisteme linearnih enačb, to je, da ima splošno rešitev (in jih bomo analizirali v tej lekciji), z uporabo Cramerjeve metode pa lahko samo trdimo, da je sistem nedoločen;
3. lahko rešite sisteme linearnih enačb, v katerih število neznank ni enako številu enačb (v tej lekciji jih bomo tudi analizirali);
4. Metoda temelji na elementarnih (šolskih) metodah - metodi nadomeščanja neznank in metodi seštevanja enačb, ki smo se jih dotaknili v ustreznem članku.

Da bi vsi razumeli enostavnost reševanja trapeznih (trikotnih, stopničastih) sistemov linearnih enačb, predstavljamo rešitev takšnega sistema z uporabo vzvratnega gibanja. Hitra rešitev tega sistema je bila prikazana na sliki na začetku lekcije.

Primer 1. Rešite sistem linearnih enačb z inverzno metodo:

rešitev. V tem trapeznem sistemu spremenljivka z lahko enolično najdemo iz tretje enačbe. Njeno vrednost nadomestimo v drugo enačbo in dobimo vrednost spremenljivke l:

Zdaj poznamo vrednosti dveh spremenljivk - z in l. Nadomestimo jih v prvo enačbo in dobimo vrednost spremenljivke x:

Iz prejšnjih korakov izpišemo rešitev sistema enačb:

Za pridobitev takšnega trapeznega sistema linearnih enačb, ki smo ga rešili zelo preprosto, je treba uporabiti hod naprej, povezan z elementarnimi transformacijami sistema linearnih enačb. Prav tako ni zelo težko.

Elementarne transformacije sistema linearnih enačb

Ob ponovitvi šolske metode algebraičnega seštevanja enačb sistema smo ugotovili, da lahko eni od enačb sistema dodamo drugo enačbo sistema, vsako izmed enačb pa lahko pomnožimo z nekaterimi števili. Kot rezultat dobimo sistem linearnih enačb, ki je enak temu. V njem je ena enačba že vsebovala samo eno spremenljivko, katere vrednost zamenjamo v druge enačbe, pridemo do rešitve. Tak dodatek je ena od vrst elementarne transformacije sistema. Pri uporabi Gaussove metode lahko uporabimo več vrst transformacij.

Zgornja animacija prikazuje, kako se sistem enačb postopoma spreminja v trapezastega. To je tisti, ki ste ga videli že v prvi animaciji in se prepričali, da je iz njega enostavno najti vrednosti vseh neznank. O tem, kako izvesti takšno preoblikovanje in seveda o primerih, bomo razpravljali še naprej.

Pri reševanju sistemov linearnih enačb s poljubnim številom enačb in neznank v sistemu enačb in v razširjeni matriki sistema Lahko:

1. preuredite vrstice (to je bilo omenjeno na samem začetku tega članka);
2. če druge transformacije povzročijo enake ali sorazmerne vrstice, jih je mogoče izbrisati, razen ene;
3. odstranite "ničelne" vrstice, kjer so vsi koeficienti enaki nič;
4. pomnožiti ali deliti poljuben niz z določenim številom;
5. vsaki vrstici dodajte drugo vrstico, pomnoženo z določenim številom.

Kot rezultat transformacij dobimo temu enakovredni sistem linearnih enačb.

Algoritem in primeri reševanja sistema linearnih enačb s kvadratno matriko sistema z Gaussovo metodo

Najprej razmislimo o reševanju sistemov linearnih enačb, v katerih je število neznank enako številu enačb. Matrika takega sistema je kvadratna, kar pomeni, da je število vrstic v njej enako številu stolpcev.

Primer 2. Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Pri reševanju sistemov linearnih enačb po šolskih metodah smo eno od enačb množili člen za členom, tako da sta bila koeficienta prve spremenljivke v obeh enačbah nasprotna števila. Pri dodajanju enačb se ta spremenljivka izloči. Gaussova metoda deluje podobno.

Da poenostavim videz rešitve ustvarimo razširjeno matriko sistema:

V tej matriki se koeficienti neznank nahajajo levo pred navpično črto, prosti členi pa desno za navpično črto.

Za udobje delitve koeficientov za spremenljivke (da dobimo delitev z enoto) Zamenjajmo prvo in drugo vrstico sistemske matrike. Dobimo sistem, ki je enak temu, saj lahko v sistemu linearnih enačb enačbe zamenjamo:

Uporaba nove prve enačbe odpravite spremenljivko x iz druge in vseh naslednjih enačb. Da bi to naredili, v drugo vrstico matrike dodamo prvo vrstico, pomnoženo z (v našem primeru z ), v tretjo vrstico - prvo vrstico, pomnoženo z (v našem primeru z ).

To je mogoče, ker

Če bi bilo v našem sistemu več kot tri enačbe, bi morali vsem naslednjim enačbam dodati prvo vrstico, pomnoženo z razmerjem ustreznih koeficientov, vzetih z znakom minus.

Kot rezultat dobimo matriko, ki je enakovredna temu sistemu nov sistem enačbe, v katerih so vse enačbe, začenši z drugo ne vsebujejo spremenljivke x :

Če želite poenostaviti drugo vrstico dobljenega sistema, jo pomnožite s in ponovno dobite matriko sistema enačb, ki je enakovreden temu sistemu:

Če zdaj ohranimo prvo enačbo nastalega sistema nespremenjeno, z uporabo druge enačbe izločimo spremenljivko l iz vseh nadaljnjih enačb. Da bi to naredili, tretji vrstici sistemske matrike dodamo drugo vrstico, pomnoženo z (v našem primeru z ).

Če bi bilo v našem sistemu več kot tri enačbe, bi morali vsem naslednjim enačbam dodati drugo vrstico, pomnoženo z razmerjem ustreznih koeficientov, vzetih z znakom minus.

Posledično ponovno dobimo matriko sistema, ki je enak temu sistemu linearnih enačb:

Dobili smo enakovredni trapezni sistem linearnih enačb:

Če je število enačb in spremenljivk večje kot v našem primeru, potem se postopek zaporednega izločanja spremenljivk nadaljuje, dokler sistemska matrika ne postane trapezna, kot v našem demo primeru.

Rešitev bomo našli "od konca" - obratna poteza. Za to iz zadnje enačbe določimo z:
.
Če nadomestimo to vrednost v prejšnjo enačbo, bomo našli l:

Iz prve enačbe bomo našli x:

Odgovor: rešitev tega sistema enačb je .

: v tem primeru bo podan enak odgovor, če ima sistem edinstveno rešitev. Če ima sistem neskončno število rešitev, bo to odgovor in to je tema petega dela te lekcije.

Sami rešite sistem linearnih enačb po Gaussovi metodi in si nato oglejte rešitev

Tukaj imamo spet primer konsistentnega in določenega sistema linearnih enačb, v katerem je število enačb enako številu neznank. Razlika od našega demo primera iz algoritma je, da že obstajajo štiri enačbe in štiri neznanke.

Primer 4. Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo:

Zdaj morate uporabiti drugo enačbo, da odstranite spremenljivko iz naslednjih enačb. Izvajajmo pripravljalna dela. Da bi bilo bolj priročno z razmerjem koeficientov, ga morate dobiti v drugem stolpcu druge vrstice. Če želite to narediti, od druge vrstice odštejte tretjino in dobljeno drugo vrstico pomnožite z -1.

Izvedimo zdaj dejansko izločitev spremenljivke iz tretje in četrte enačbe. Če želite to narediti, dodajte drugo vrstico, pomnoženo z , v tretjo vrstico in drugo, pomnoženo z , v četrto vrstico.

Zdaj s tretjo enačbo izločimo spremenljivko iz četrte enačbe. Če želite to narediti, dodajte tretjo vrstico četrti vrstici, pomnoženo z . Dobimo razširjeno trapezoidno matriko.

Dobili smo sistem enačb, ki je enakovreden ta sistem:

Posledično sta nastali in dani sistem združljiva in dokončna. Končna odločitev najdemo »od konca«. Iz četrte enačbe lahko neposredno izrazimo vrednost spremenljivke "x-štiri":

To vrednost nadomestimo v tretjo enačbo sistema in dobimo

,

,

Končno zamenjava vrednosti

Prva enačba daje

,

kje najprej najdemo "x":

Odgovor: ta sistem enačb ima edinstveno rešitev .

Rešitev sistema lahko preverite tudi na kalkulatorju z uporabo Cramerjeve metode: v tem primeru bo podan enak odgovor, če ima sistem edinstveno rešitev.

Reševanje aplikativnih problemov po Gaussovi metodi na primeru problema na zlitinah

Sistemi linearnih enačb se uporabljajo za modeliranje realnih objektov v fizičnem svetu. Rešimo enega od teh problemov - zlitine. Podobne težave - težave na mešanicah, stroški oz specifična težnost posamezne izdelke v skupini izdelkov in podobno.

Primer 5. Trije kosi zlitine imajo totalna teža 150 kg. Prva zlitina vsebuje 60% bakra, druga - 30%, tretja - 10%. Poleg tega je v drugi in tretji zlitini skupaj za 28,4 kg manj bakra kot v prvi zlitini, v tretji zlitini pa za 6,2 kg manj bakra kot v drugi. Poiščite maso vsakega kosa zlitine.

rešitev. Sestavimo sistem linearnih enačb:

Drugo in tretjo enačbo pomnožimo z 10, dobimo enakovreden sistem linearne enačbe:

Ustvarimo razširjeno matriko sistema:

Pozor, naravnost naprej. Z dodajanjem (v našem primeru odštevanjem) ene vrstice, pomnožene s številom (uporabimo jo dvakrat), pride do naslednjih transformacij z razširjeno matriko sistema:

Direktna poteza je končana. Dobili smo razširjeno trapezoidno matriko.

Uporabimo obratno gibanje. Rešitev najdemo od konca. To vidimo.

Iz druge enačbe najdemo

Iz tretje enačbe -

Rešitev sistema lahko preverite tudi na kalkulatorju z uporabo Cramerjeve metode: v tem primeru bo podan enak odgovor, če ima sistem edinstveno rešitev.

O preprostosti Gaussove metode priča dejstvo, da je nemški matematik Carl Friedrich Gauss potreboval le 15 minut, da jo je izumil. Poleg po njem poimenovane metode je iz Gaussovih del poznan rek »Ne smemo zamenjevati tistega, kar se nam zdi neverjetno in nenaravno, s popolnoma nemogočim« - nekak. kratka navodila delati odkritja.

V veliko uporabni problemi morda ni tretje omejitve, torej tretje enačbe, potem morate rešiti sistem dveh enačb s tremi neznankami po Gaussovi metodi ali pa je, nasprotno, neznank manj kot enačb. Zdaj bomo začeli reševati takšne sisteme enačb.

Z uporabo Gaussove metode lahko ugotovite, ali je kateri koli sistem združljiv ali nezdružljiv n linearne enačbe z n spremenljivke.

Gaussova metoda in sistemi linearnih enačb z neskončnim številom rešitev

Naslednji primer je konsistenten, a nedoločen sistem linearnih enačb, ki ima neskončno število rešitev.

Po izvedbi transformacij v razširjeni matriki sistema (preurejanje vrstic, množenje in deljenje vrstic z določenim številom, dodajanje druge eni vrstici) se lahko pojavijo vrstice obrazca

Če v vseh enačbah, ki imajo obliko

Prosti členi so enaki nič, to pomeni, da je sistem nedoločen, to pomeni, da ima neskončno število rešitev, tovrstne enačbe pa so »odvečne« in jih izločimo iz sistema.

Primer 6.

rešitev. Ustvarimo razširjeno matriko sistema. Nato s prvo enačbo izločimo spremenljivko iz naslednjih enačb. Če želite to narediti, drugi, tretji in četrti vrstici dodajte prvo, pomnoženo z:

Zdaj pa dodamo drugo vrstico tretji in četrti.

Posledično pridemo do sistema

Zadnji dve enačbi sta se spremenili v enačbi oblike. Te enačbe so izpolnjene za katero koli vrednost neznank in jih je mogoče zavreči.

Za izpolnitev druge enačbe lahko izberemo poljubne vrednosti za in , potem bo vrednost za določena enolično: . Iz prve enačbe se tudi vrednost za enolično najde: .

Tako dano kot najnovejši sistem sta dosledni, vendar nedoločeni, in formule

za poljubne in nam da vse rešitve danega sistema.

Gaussova metoda in sistemi linearnih enačb brez rešitev

Naslednji primer - nekooperativni sistem linearne enačbe, ki nimajo rešitev. Odgovor na takšne težave je formuliran takole: sistem nima rešitev.

Kot že omenjeno v povezavi s prvim primerom, se lahko po izvedbi transformacij v razširjeni matriki sistema pojavijo vrstice obrazca

ki ustreza enačbi oblike

Če je med njimi vsaj ena enačba z neničelnim prostim členom (tj. ), potem je ta sistem enačb nekonzistenten, to pomeni, da nima rešitev in je njegova rešitev popolna.

Primer 7. Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo:

rešitev. Sestavimo razširjeno matriko sistema. S prvo enačbo izločimo spremenljivko iz naslednjih enačb. Če želite to narediti, dodajte prvo vrstico, pomnoženo z, drugi vrstici, prvo vrstico, pomnoženo s tretjo vrstico, in prvo vrstico, pomnoženo s četrto vrstico.

Zdaj morate uporabiti drugo enačbo, da odstranite spremenljivko iz naslednjih enačb. Da dobimo celoštevilska razmerja koeficientov, zamenjamo drugo in tretjo vrstico razširjene matrike sistema.

Če želite izključiti tretjo in četrto enačbo, dodajte drugo, pomnoženo z , v tretjo vrstico in drugo, pomnoženo z , v četrto vrstico.

Zdaj s tretjo enačbo izločimo spremenljivko iz četrte enačbe. Če želite to narediti, dodajte tretjo vrstico četrti vrstici, pomnoženo z .

Določen sistem je torej enakovreden naslednjemu:

Nastali sistem je nedosleden, saj njegovi zadnji enačbi ne morejo zadostiti nobene vrednosti neznank. Zato ta sistem nima rešitev.

Naj bo sistem linearen algebraične enačbe, ki ga je treba rešiti (poiščite takšne vrednosti neznank xi, ki vsako enačbo sistema spremenijo v enakost).

Vemo, da lahko sistem linearnih algebrskih enačb:

1) Nimate rešitev (bodite neskupni).
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Imejte eno samo rešitev.

Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda nista primerna v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. Gaussova metoda – najmočnejše in vsestransko orodje za iskanje rešitev katerega koli sistema linearnih enačb, ki v vsakem primeru nas bo pripeljal do odgovora! Sam algoritem metode deluje enako v vseh treh primerih. Če Cramerjeva in matrična metoda zahtevata poznavanje determinant, potem za uporabo Gaussove metode potrebujete samo znanje aritmetične operacije, zaradi česar je dostopen tudi šolarjem osnovni razredi.

Povečane matrične transformacije ( to je matrika sistema - matrika, sestavljena samo iz koeficientov neznank in stolpca prostih členov) sistemi linearnih algebrskih enačb v Gaussovi metodi:

1) z troki matrice Lahko preurediti ponekod.

2) če se v matriki pojavijo (ali obstajajo) sorazmerne (kot poseben primer – enake) vrstice, potem morate izbrisati Vse te vrstice so iz matrike razen ene.

3) če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, bi morala biti tudi izbrisati.

4) vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno število razen nič.

5) v vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič.

Pri Gaussovi metodi elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb.

Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj:

1. "Neposredna poteza" - z uporabo elementarnih transformacij razširite razširjeno matriko sistema linearnih algebrskih enačb v "trikotno" obliko koraka: elementi razširjene matrike, ki se nahajajo pod glavno diagonalo, so enaki nič (premik od zgoraj navzdol). Na primer za to vrsto:

Če želite to narediti, izvedite naslednje korake:

1) Oglejmo si prvo enačbo sistema linearnih algebrskih enačb in koeficient za x 1 je enak K. Drugo, tretjo itd. enačbe transformiramo takole: vsako enačbo (koeficiente neznank, vključno s prostimi členi) delimo s koeficientom neznanke x 1 v vsaki enačbi in pomnožimo s K. Po tem odštejemo prvo od druge enačbe ( koeficienti neznank in prosti členi). Za x 1 v drugi enačbi dobimo koeficient 0. Od tretje transformirane enačbe odštevamo prvo enačbo, dokler nimajo vse enačbe razen prve, za neznano x 1, koeficient 0.

2) Pojdimo na naslednjo enačbo. Naj bo to druga enačba in koeficient za x 2 enak M. Nadaljujemo z vsemi "nižjimi" enačbami, kot je opisano zgoraj. Tako bodo "pod" neznanko x 2 v vseh enačbah ničle.

3) Nadaljujte z naslednjo enačbo in tako naprej, dokler ne ostaneta zadnja neznanka in transformirani prosti člen.

1. »Vzvratna poteza« Gaussove metode je pridobitev rešitve sistema linearnih algebrskih enačb (premika »od spodaj navzgor«). Iz zadnje "nižje" enačbe dobimo prvo rešitev - neznanko x n. Za to se odločimo elementarna enačba A*x n = B. V zgornjem primeru je x 3 = 4. Najdeno vrednost nadomestimo v »zgornjo« naslednjo enačbo in jo rešimo glede na naslednjo neznanko. Na primer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. In tako naprej, dokler ne najdemo vseh neznank.

Primer.

Rešimo sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo, kot svetujejo nekateri avtorji:

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredimo to:
1 korak . Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko to stori dodatno ukrepanje: pomnožite prvo vrstico z –1 (spremenite predznak).

2. korak . Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3, pa tretji vrstici.

3. korak . Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to za lepoto. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

4. korak . Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z 2.

5. korak . Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Znak, ki označuje napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. Če torej spodaj dobimo nekaj takega (0 0 11 | 23) in v skladu s tem 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake med osnovnim transformacije.

Naredimo obratno; pri oblikovanju primerov sam sistem pogosto ni prepisan, ampak so enačbe "vzete neposredno iz dane matrike." Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. V tem primeru je bil rezultat darilo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, torej x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem s predlaganim algoritmom. Dobimo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugo enačbo delimo s 5, tretjo pa s 3. Dobimo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Če drugo in tretjo enačbo pomnožimo s 4, dobimo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Če odštejemo prvo enačbo od druge in tretje enačbe, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Tretjo enačbo delite z 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Tretjo enačbo pomnožimo z 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Če od tretje enačbe odštejemo drugo, dobimo "stopničasto" razširjeno matriko:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tako, ker se je med izračuni nabrala napaka, dobimo x 3 = 0,96 ali približno 1.

x 2 = 3 in x 1 = –1.

S takšnim reševanjem se ne boste nikoli zmotili pri izračunih in boste kljub računskim napakam dobili rezultat.

To metodo reševanja sistema linearnih algebrskih enačb je enostavno programirati in ne upošteva posebne lastnosti koeficienti za neznanke, ker je v praksi (pri ekonomskih in tehničnih izračunih) treba opraviti z necelimi koeficienti.

Želim ti uspeh! Se vidimo v razredu! Tutor.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.