Rešitev je frakcijska. ODZ

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

• oblikovanje koncepta ulomkov racionalnih enačb;
• razmisli o različnih načinih reševanja ulomkov racionalnih enačb;
• obravnavajo algoritem za reševanje ulomkov racionalnih enačb, vključno s pogojem, da je ulomek enak nič;
• učiti reševanje ulomkov racionalnih enačb z uporabo algoritma;
• preverjanje stopnje obvladovanja teme z izvedbo testa.

Razvojni:

• razvijanje sposobnosti pravilnega delovanja s pridobljenim znanjem in logičnega razmišljanja;
• razvoj intelektualnih sposobnosti in miselnih operacij - analiza, sinteza, primerjava in posploševanje;
• razvoj pobude, sposobnost sprejemanja odločitev in ne ustaviti tam;
• razvoj kritičnega mišljenja;
• razvoj raziskovalnih sposobnosti.

Izobraževanje:

• spodbujanje kognitivnega zanimanja za predmet;
• negovanje samostojnosti pri reševanju vzgojnih problemov;
• negovanje volje in vztrajnosti za doseganje končnih rezultatov.

Vrsta lekcije: lekcija - razlaga nove snovi.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

Zdravo družba! Na tabli so napisane enačbe, pozorno si jih oglejte. Ali lahko rešite vse te enačbe? Kateri niso in zakaj?

Enačbe, v katerih sta leva in desna stran ulomki racionalnega izraza, imenujemo ulomke racionalne enačbe. Kaj misliš, kaj se bomo danes učili v razredu? Oblikujte temo lekcije. Torej, odprite svoje zvezke in zapišite temo lekcije "Reševanje ulomkov racionalnih enačb."

2. Posodabljanje znanja. Frontalna anketa, ustno delo z razredom.

In zdaj bomo ponovili glavno teoretično gradivo, ki ga bomo potrebovali za študij nove teme. Prosim odgovorite na naslednja vprašanja:

1. Kaj je enačba? ( Enakost s spremenljivko ali spremenljivkami.)
2. Kako se imenuje enačba številka 1? ( Linearno.) Metoda za reševanje linearnih enačb. ( Premakni vse z neznanko na levo stran enačbe, vsa števila na desno. Podajte podobne izraze. Poiščite neznan faktor).
3. Kako se imenuje enačba številka 3? ( kvadrat.) Metode reševanja kvadratnih enačb. ( Izolacija celotnega kvadrata z uporabo formul z uporabo Vietovega izreka in njegovih posledic.)
4. Kaj je razmerje? ( Enakost dveh razmerij.) Glavna lastnost razmerja. ( Če je razmerje pravilno, potem je produkt njegovih skrajnih členov enak produktu srednjih členov.)
5. Katere lastnosti se uporabljajo pri reševanju enačb? ( 1. Če člen v enačbi premaknete iz enega dela v drugega in mu spremenite predznak, boste dobili enačbo, ki je enakovredna dani. 2. Če obe strani enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.)
6. Kdaj je ulomek enak nič? ( Ulomek je enak nič, če je števec enak nič in imenovalec ni nič..)

3. Razlaga nove snovi.

Rešite enačbo št. 2 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 10.

Katero ulomljeno racionalno enačbo lahko poskušate rešiti z uporabo osnovne lastnosti sorazmerja? (št. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite enačbo št. 4 v zvezkih in na tabli.

Odgovori: 1,5.

Katero ulomljeno racionalno enačbo lahko poskusite rešiti tako, da pomnožite obe strani enačbe z imenovalcem? (št. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Zdaj poskusite rešiti enačbo številka 7 z eno od naslednjih metod.

Pojasnite, zakaj se je to zgodilo? Zakaj so v enem primeru trije koreni, v drugem pa dva? Katera števila so koreni te ulomljene racionalne enačbe?

Študenti se do sedaj niso srečali s konceptom tujega korena, res jim je zelo težko razumeti, zakaj se je to zgodilo. Če nihče v razredu ne more dati jasne razlage te situacije, potem učitelj postavlja vodilna vprašanja.

• Kako se enačbi št. 2 in 4 razlikujeta od enačb št. 5,6,7? ( V enačbah št. 2 in 4 so v imenovalcu številke, št. 5-7 so izrazi s spremenljivko.)
• Kaj je koren enačbe? ( Vrednost spremenljivke, pri kateri postane enačba resnična.)
• Kako ugotoviti, ali je število koren enačbe? ( Naredite ček.)

Pri testiranju nekateri učenci opazijo, da morajo deliti z nič. Ugotovijo, da števili 0 in 5 nista korena te enačbe. Postavlja se vprašanje: ali obstaja način za rešitev ulomkov racionalnih enačb, ki nam omogoča, da odpravimo to napako? Da, ta metoda temelji na pogoju, da je ulomek enak nič.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Če je x=5, potem je x(x-5)=0, kar pomeni, da je 5 tuj koren.

Če je x=-2, potem je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Poskusimo na ta način oblikovati algoritem za reševanje ulomljenih racionalnih enačb. Otroci sami oblikujejo algoritem.

Algoritem za reševanje ulomljenih racionalnih enačb:

1. Vse premaknite na levo stran.
2. Zmanjšajte ulomke na skupni imenovalec.
3. Ustvarite sistem: ulomek je enak nič, če je števec enak nič in imenovalec ni enak nič.
4. Reši enačbo.
5. Preverite neenakost, da izključite tuje korenine.
6. Zapiši odgovor.

Razprava: kako formalizirati rešitev, če uporabimo osnovno lastnost sorazmerja in pomnožimo obe strani enačbe s skupnim imenovalcem. (Dodaj k rešitvi: iz njenih korenin izloči tiste, zaradi katerih skupni imenovalec izgine).

4. Začetno razumevanje nove snovi.

Delo v parih. Učenci sami izberejo način reševanja enačbe glede na vrsto enačbe. Naloge iz učbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: št. 600(b,c,i); št. 601(a,e,g). Učitelj spremlja izvedbo naloge, odgovarja na morebitna vprašanja in pomaga slabšim učencem. Samopreizkus: odgovori so zapisani na tabli.

b) 2 – tuja korenina. Odgovor: 3.

c) 2 – tuja korenina. Odgovor: 1,5.

a) Odgovor: -12,5.

g) Odgovor: 1;1,5.

5. Postavljanje domače naloge.

1. Preberi odstavek 25 iz učbenika, analiziraj primere 1-3.
2. Naučite se algoritma za reševanje ulomljenih racionalnih enačb.
3. Rešite v zvezkih št. 600 (a, d, e); št. 601(g,h).
4. Poskusite rešiti št. 696(a) (neobvezno).

6. Izpolnjevanje kontrolne naloge na preučeno temo.

Delo poteka na kosih papirja.

Primer naloge:

A) Katere enačbe so ulomno racionalne?

B) Ulomek je enak nič, če je števec ______________________ in imenovalec _______________________.

V) Ali je število -3 koren enačbe številka 6?

D) Reši enačbo št. 7.

Merila za ocenjevanje naloge:

• »5« dobi, če je učenec pravilno opravil več kot 90 % naloge.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• »2« prejme študent, ki je opravil manj kot 50 % naloge.
• Ocena 2 v reviji ni podana, 3 je neobvezna.

7. Razmislek.

Na liste za samostojno delo vpišite:

• 1 – če vam je bila lekcija zanimiva in razumljiva;
• 2 – zanimivo, a ne jasno;
• 3 – ni zanimivo, a razumljivo;
• 4 – ni zanimivo, ni jasno.

8. Povzetek lekcije.

Tako smo se danes pri pouku seznanili z ulomljenimi racionalnimi enačbami, se jih naučili reševati na različne načine in svoje znanje preizkusili s pomočjo samostojnega izobraževalnega dela. Rezultate samostojnega dela boste izvedeli v naslednji učni uri, doma pa boste imeli možnost utrditi svoje znanje.

Kateri način reševanja ulomljenih racionalnih enačb je po vašem mnenju lažji, dostopnejši in racionalnejši? Česa si morate zapomniti ne glede na metodo reševanja ulomkov racionalnih enačb? Kakšna je "zvitost" ulomkov racionalnih enačb?

Hvala vsem, lekcije je konec.

Reševanje enačb z ulomki Poglejmo si primere. Primeri so preprosti in nazorni. Z njihovo pomočjo boste lahko razumeli na najbolj razumljiv način.
Na primer, rešiti morate preprosto enačbo x/b + c = d.

Enačba te vrste se imenuje linearna, ker Imenovalec vsebuje samo števila.

Rešitev izvedemo tako, da obe strani enačbe pomnožimo z b, nato dobi enačba obliko x = b*(d – c), tj. imenovalec ulomka na levi strani se izniči.

Na primer, kako rešiti ulomljeno enačbo:
x/5+4=9
Obe strani pomnožimo s 5. Dobimo:
x+20=45
x=45-20=25

Drug primer, ko je neznanka v imenovalcu:

Enačbe te vrste se imenujejo frakcijsko-racionalne ali preprosto frakcijske.

Ulomkovo enačbo bi rešili tako, da bi se znebili ulomkov, nakar se ta enačba največkrat spremeni v linearno ali kvadratno enačbo, ki jo rešujemo na običajen način. Upoštevati morate le naslednje točke:

• vrednost spremenljivke, ki spremeni imenovalec v 0, ne more biti koren;
• Enačbe ne morete deliti ali pomnožiti z izrazom =0.

Tu začne veljati koncept območja dovoljenih vrednosti (ADV) - to so vrednosti korenin enačbe, za katere je enačba smiselna.

Tako je pri reševanju enačbe potrebno najti korenine in jih nato preveriti glede skladnosti z ODZ. Iz odgovora so izločene tiste korenine, ki ne ustrezajo našemu ODZ.

Na primer, rešiti morate ulomljeno enačbo:

Na podlagi zgornjega pravila x ne more biti = 0, tj. ODZ v tem primeru: x – katera koli vrednost razen nič.

Znebimo se imenovalca tako, da vse člene enačbe pomnožimo z x

In rešimo običajno enačbo

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Rešimo bolj zapleteno enačbo:

ODZ je prisoten tudi tukaj: x -2.

Pri reševanju te enačbe ne bomo vsega premaknili na eno stran in ulomkov spravili na skupni imenovalec. Obe strani enačbe bomo takoj pomnožili z izrazom, ki bo izničil vse imenovalce hkrati.

Če želite zmanjšati imenovalce, morate levo stran pomnožiti z x+2 in desno stran z 2. To pomeni, da je treba obe strani enačbe pomnožiti z 2(x+2):

To je najpogostejše množenje ulomkov, o katerem smo že govorili zgoraj.

Zapišimo isto enačbo, vendar nekoliko drugače

Levo stran zmanjšamo za (x+2), desno pa za 2. Po redukciji dobimo običajno linearno enačbo:

x = 4 – 2 = 2, kar ustreza našemu ODZ

Odgovor: x = 2.

Reševanje enačb z ulomki ni tako težko, kot se morda zdi. V tem članku smo to pokazali s primeri. Če imate kakršne koli težave z kako rešiti enačbe z ulomki, nato pa se odjavite v komentarjih.

T. Kosjakova,
Šola št. 80, Krasnodar

Reševanje kvadratnih in ulomljenih racionalnih enačb s parametri

Lekcija 4

Tema lekcije:

Namen lekcije: razvijejo sposobnost reševanja ulomkov racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre.

Vrsta lekcije: uvajanje novega materiala.

1. (Ustno.) Reši enačbe:

Primer 1. Reši enačbo

rešitev.

Poiščimo neveljavne vrednosti a:

Odgovori. če če a = – 19 , potem ni korenin.

Primer 2. Reši enačbo

rešitev.

Poiščimo neveljavne vrednosti parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovori. če a = 5 a № 5 , To x=10– a .

Primer 3. Pri katerih vrednostih parametrov b enačba Ima:

a) dva korena; b) edini koren?

rešitev.

1) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 oz b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 oz b = – 2.

2) Reši enačbo x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Izključitev neveljavnih vrednosti parametrov b , ugotovimo, da ima enačba dva korena, če b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, vendar je to neveljavna vrednost parametra b ; če b 2 –1=0 , tj. b=1 oz.

Odgovor: a) če b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , nato dve korenini; b) če b=1 oz b=–1 , potem edini koren.

Samostojno delo

Možnost 1

Reši enačbe:

Možnost 2

Reši enačbe:

odgovori

V 1. in če a=3 , potem ni korenin; če b) če če a № 2 , potem ni korenin.

NA 2.če a=2 , potem ni korenin; če a=0 , potem ni korenin; če
b) če a=– 1 , potem enačba postane nesmiselna; če ni korenin;
če

Domača naloga.

Reši enačbe:

Odgovori: a) Če a № –2 , To x= a ; če a=–2 , potem ni rešitev; b) če a № –2 , To x=2; če a=–2 , potem ni rešitev; c) če a=–2 , To x– katero koli število razen 3 ; če a № –2 , To x=2; d) če a=–8 , potem ni korenin; če a=2 , potem ni korenin; če

Lekcija 5

Tema lekcije:"Reševanje ulomkov racionalnih enačb, ki vsebujejo parametre."

Cilji lekcije:

usposabljanje za reševanje enačb z nestandardnimi pogoji;
študentje zavestno usvajajo algebrske koncepte in povezave med njimi.

Vrsta lekcije: sistematizacija in posploševanje.

Preverjanje domače naloge.

Primer 1. Reši enačbo

a) glede na x; b) glede na y.

rešitev.

a) Poiščite neveljavne vrednosti l: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– neveljavna vrednost parametra l.

če l№ 0 , To x=y–2; če y=0, potem enačba postane nesmiselna.

b) Poiščite neveljavne vrednosti parametrov x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– neveljavna vrednost parametra x; y(2+x–y)=0, y=0 oz y=2+x;

y=0 ne izpolnjuje pogoja y(y–x)№ 0 .

Odgovor: a) če y=0, potem enačba postane nesmiselna; če l№ 0 , To x=y–2; b) če x=0 x№ 0 , To y=2+x .

Primer 2. Za katere celoštevilske vrednosti parametra a so korenine enačbe pripadajo intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

če a № 0 oz a № – 1 , To

odgovor: 5 .

Primer 3. Poiščite relativno x celoštevilske rešitve enačbe

Odgovori. če y=0, potem enačba nima smisla; če y=–1, To x– poljubno celo število razen nič; če y№ 0, y№ – 1, potem ni rešitev.

Primer 4. Reši enačbo s parametri a in b .

če a№ –b , To

Odgovori. če a= 0 oz b= 0 , potem enačba postane nesmiselna; če a№ 0, b№ 0, a=–b , To x– poljubno število razen ničle; če a№ 0, b№ 0, a№ –b, to x=–a, x=–b .

Primer 5. Dokažite, da za vsako vrednost parametra n, ki ni nič, velja enačba ima en sam koren, ki je enak –n .

rešitev.

tj. x=–n, kar je bilo treba dokazati.

Domača naloga.

1. Poiščite celoštevilske rešitve enačbe

2. Pri katerih vrednostih parametrov c enačba Ima:
a) dva korena; b) edini koren?

3. Poiščite vse cele korene enačbe če a O N .

4. Reši enačbo 3xy – 5x + 5y = 7: a) relativno l; b) relativno x .

1. Enačbi je izpolnjeno katero koli celo število enakih vrednosti x in y, ki ni nič.
2. a) Kdaj
b) pri oz
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Če tedaj ni korenin; če
b) če potem ni korenin; če

Test

Možnost 1

1. Določite vrsto enačbe 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 ko: a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Rešite enačbe: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Reši enačbo 3x–xy–2y=1:

a) relativno x ;
b) relativno l .

nx 2 – 26x + n = 0, vedoč, da parameter n sprejema samo celoštevilske vrednosti.

5. Za katere vrednosti b velja enačba Ima:

a) dva korena;
b) edini koren?

Možnost 2

1. Določite vrsto enačbe 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 ko: a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Rešite enačbe: a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Reši enačbo 6x–xy+2y=5:

a) relativno x ;
b) relativno l .

4. Poiščite celoštevilske korene enačbe nx 2 –22x+2n=0, vedoč, da parameter n sprejema samo celoštevilske vrednosti.

5. Za katere vrednosti parametra a velja enačba Ima:

a) dva korena;
b) edini koren?

odgovori

V 1. 1. a) Linearna enačba;
b) nepopolna kvadratna enačba; c) kvadratna enačba.
2. a) Če b=0, To x=0; če b№ 0, To x=0, x=b;
b) če cО (9;+Ґ ), potem ni korenin;
c) če a=–4 , potem enačba postane nesmiselna; če a№ –4 , To x=– a .
3. a) Če y=3, potem ni korenin; če);
b) a=–3, a=1.

Dodatne naloge

Reši enačbe:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrih od vsega začetka. – Tutor, št. 2/1991, str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Nujni pogoji pri problemih s parametri. – Kvant, št. 11/1991, str. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Reševanje problemov, ki vsebujejo parametre. Del 2. – M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Petsto štirinajst problemov s parametri. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Težave s parametri. – M., Izobraževanje, 1986.

Doslej smo reševali samo celoštevilske enačbe glede na neznanko, torej enačbe, v katerih imenovalci (če obstajajo) niso vsebovali neznanke.

Pogosto morate reševati enačbe, ki vsebujejo neznanko v imenovalcih: takšne enačbe imenujemo ulomke.

Za rešitev te enačbe pomnožimo obe strani s polinomom, ki vsebuje neznanko. Ali bo nova enačba enakovredna tej? Da odgovorimo na vprašanje, rešimo to enačbo.

Če pomnožimo obe strani z , dobimo:

Če rešimo to enačbo prve stopnje, ugotovimo:

Torej ima enačba (2) en sam koren

Če ga zamenjamo v enačbo (1), dobimo:

To pomeni, da je tudi koren enačbe (1).

Enačba (1) nima drugih korenin. V našem primeru je to razvidno na primer iz dejstva, da je v enačbi (1)

Kako mora biti neznani delitelj enak dividendu 1, deljenemu s količnikom 2, tj

Torej imata enačbi (1) in (2) en sam koren. To pomeni, da sta enakovredni.

2. Rešimo zdaj naslednjo enačbo:

Najenostavnejši skupni imenovalec: ; z njim pomnožite vse člene enačbe:

Po zmanjšanju dobimo:

Razširimo oklepaje:

S podobnimi izrazi imamo:

Če rešimo to enačbo, ugotovimo:

Če nadomestimo v enačbo (1), dobimo:

Na levi strani smo prejeli izraze, ki nimajo smisla.

To pomeni, da enačba (1) ni koren. Iz tega sledi, da enačbi (1) in nista enakovredni.

V tem primeru pravijo, da je enačba (1) dobila tuj koren.

Primerjajmo rešitev enačbe (1) z rešitvijo enačb, ki smo jih obravnavali prej (glej § 51). Pri reševanju te enačbe smo morali izvesti dve operaciji, ki ju prej nismo srečali: prvič smo obe strani enačbe pomnožili z izrazom, ki vsebuje neznanko (skupni imenovalec), in drugič, zmanjšali smo algebraične ulomke s faktorji, ki vsebujejo neznanko .

Če primerjamo enačbo (1) z enačbo (2), vidimo, da niso vse vrednosti x, ki veljajo za enačbo (2), veljavne za enačbo (1).

Številki 1 in 3 nista sprejemljivi vrednosti neznanke za enačbo (1), vendar sta zaradi transformacije postali sprejemljivi za enačbo (2). Izkazalo se je, da je eno od teh števil rešitev enačbe (2), seveda pa ne more biti rešitev enačbe (1). Enačba (1) nima rešitev.

Ta primer kaže, da ko se obe strani enačbe pomnožita s faktorjem, ki vsebuje neznanko, in ko se algebrski ulomki zmanjšajo, lahko dobimo enačbo, ki ni enakovredna dani, in sicer: lahko se pojavijo tuji koreni.

Od tod potegnemo naslednji sklep. Pri reševanju enačbe, ki vsebuje neznanko v imenovalcu, je treba dobljene korene preveriti s substitucijo v prvotno enačbo. Tuje korenine je treba zavreči.

Spoznajmo racionalne in frakcijske racionalne enačbe, podamo njihovo definicijo, podamo primere in analiziramo tudi najpogostejše vrste problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna enačba: definicija in primeri

Spoznavanje racionalnih izrazov se začne v 8. razredu šole. V tem času se učenci pri pouku algebre vedno pogosteje srečujejo z nalogami z enačbami, ki v zapiskih vsebujejo racionalne izraze. Osvežimo si spomin, kaj je.

Definicija 1

Racionalna enačba je enačba, v kateri obe strani vsebujeta racionalne izraze.

V različnih priročnikih lahko najdete drugo formulacijo.

Definicija 2

Racionalna enačba- to je enačba, katere leva stran vsebuje racionalni izraz, desna pa nič.

Definicije, ki smo jih podali za racionalne enačbe, so enakovredne, saj govorijo o isti stvari. Pravilnost naših besed potrjuje dejstvo, da za vse racionalne izraze p in Q enačbe P = Q in P − Q = 0 bodo enakovredni izrazi.

Zdaj pa poglejmo primere.

Primer 1

Racionalne enačbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne enačbe, tako kot enačbe drugih vrst, lahko vsebujejo poljubno število spremenljivk od 1 do več. Za začetek si bomo ogledali preproste primere, v katerih bodo enačbe vsebovale samo eno spremenljivko. In potem bomo začeli postopoma zapletati nalogo.

Racionalne enačbe delimo v dve veliki skupini: celoštevilske in ulomke. Poglejmo, katere enačbe bodo veljale za vsako od skupin.

Definicija 3

Racionalna enačba bo celo število, če njena leva in desna stran vsebujeta celotne racionalne izraze.

Definicija 4

Racionalna enačba bo ulomka, če en ali oba njena dela vsebujeta ulomek.

Ulomljene racionalne enačbe nujno vsebujejo deljenje s spremenljivko ali pa je spremenljivka prisotna v imenovalcu. Pri pisanju celih enačb te delitve ni.

Primer 2

3 x + 2 = 0 in (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– celotne racionalne enačbe. Tu sta obe strani enačbe predstavljeni s celimi izrazi.

1 x - 1 = x 3 in x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 so delno racionalne enačbe.

Celotne racionalne enačbe vključujejo linearne in kvadratne enačbe.

Reševanje celih enačb

Reševanje takih enačb se običajno zmanjša na njihovo pretvorbo v enakovredne algebrske enačbe. To lahko dosežemo z izvedbo ekvivalentnih transformacij enačb v skladu z naslednjim algoritmom:

• Najprej dobimo ničlo na desni strani enačbe; moramo premakniti izraz, ki je na desni strani enačbe, na njeno levo stran in spremeniti predznak;
• nato izraz na levi strani enačbe pretvorimo v polinom standardne oblike.

Dobiti moramo algebraično enačbo. Ta enačba bo enakovredna prvotni enačbi. Preprosti primeri nam omogočajo reduciranje celotne enačbe na linearno ali kvadratno in tako rešimo problem. Na splošno rešujemo algebraično enačbo stopnje n.

Primer 3

Treba je najti korenine celotne enačbe 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

rešitev

Transformirajmo prvotni izraz, da dobimo enakovredno algebrsko enačbo. Da bi to naredili, bomo izraz, ki ga vsebuje desna stran enačbe, prenesli na levo stran in predznak zamenjali z nasprotnim. Kot rezultat dobimo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Zdaj transformirajmo izraz, ki je na levi strani, v polinom standardne oblike in izvedimo potrebna dejanja s tem polinomom:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Rešitev izvirne enačbe nam je uspelo reducirati na rešitev kvadratne enačbe oblike x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant te enačbe je pozitiven: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . To pomeni, da bosta dve pravi korenini. Poiščimo jih s formulo za korenine kvadratne enačbe:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 ali x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 ali x 2 = - 1

Preverimo pravilnost korenov enačbe, ki smo jih našli med reševanjem. Za to zamenjamo številke, ki smo jih prejeli, v prvotno enačbo: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 in 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. V prvem primeru 63 = 63 , v drugem 0 = 0 . Korenine x = 6 in x = − 1 so dejansko korenine enačbe, podane v primeru pogoja.

odgovor: 6 , − 1 .

Poglejmo, kaj pomeni "stopnja celotne enačbe". Ta izraz bomo pogosto srečali v primerih, ko moramo predstaviti celotno enačbo v algebraični obliki. Opredelimo pojem.

Definicija 5

Stopnja celotne enačbe je stopnja algebraične enačbe, ki je enakovredna izvirni celoštevilski enačbi.

Če pogledate enačbe iz zgornjega primera, lahko ugotovite: stopnja te celotne enačbe je druga.

Če bi bil naš tečaj omejen na reševanje enačb druge stopnje, bi se razprava o temi lahko končala. A ni tako preprosto. Reševanje enačb tretje stopnje je polno težav. In za enačbe nad četrto stopnjo sploh ni splošnih korenskih formul. V zvezi s tem reševanje celotnih enačb tretje, četrte in drugih stopenj zahteva uporabo številnih drugih tehnik in metod.

Najpogosteje uporabljen pristop k reševanju celotnih racionalnih enačb temelji na metodi faktorizacije. Algoritem dejanj v tem primeru je naslednji:

• izraz premaknemo z desne strani na levo, tako da na desni strani zapisa ostane ničla;
• Izraz na levi strani predstavimo kot produkt faktorjev, nato pa preidemo na niz več enostavnejših enačb.

Poišči rešitev enačbe (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

rešitev

Izraz premaknemo z desne strani zapisa na levo z nasprotnim predznakom: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Pretvarjanje leve strani v polinom standardne oblike je neustrezno, ker bomo s tem dobili algebraično enačbo četrte stopnje: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Enostavnost pretvorbe ne opravičuje vseh težav pri reševanju takšne enačbe.

Veliko lažje je iti v drugo smer: vzemimo skupni faktor iz oklepaja x 2 − 10 x + 13 . Tako pridemo do enačbe oblike (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sedaj nadomestimo dobljeno enačbo z nizom dveh kvadratnih enačb x 2 − 10 x + 13 = 0 in x 2 − 2 x − 1 = 0 in poiščite njihove korene skozi diskriminanto: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

odgovor: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Na enak način lahko uporabimo metodo vnosa nove spremenljivke. Ta metoda nam omogoča prehod na enakovredne enačbe s stopnjami, nižjimi od stopenj v prvotni celoštevilski enačbi.

Primer 5

Ali ima enačba korenine? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

rešitev

Če poskušamo zdaj celotno racionalno enačbo reducirati na algebraično, bomo dobili enačbo stopnje 4, ki nima racionalnih korenin. Zato bomo lažje šli v drugo smer: uvedli novo spremenljivko y, ki bo nadomestila izraz v enačbi x 2 + 3 x.

Zdaj bomo delali s celotno enačbo (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Premaknimo desno stran enačbe v levo z nasprotnim predznakom in izvedimo potrebne transformacije. Dobimo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Poiščimo korenine kvadratne enačbe: y = − 1 in y = − 3.

Zdaj pa naredimo obratno zamenjavo. Dobimo dve enačbi x 2 + 3 x = − 1 in x 2 + 3 · x = − 3 . Zapišimo jih kot x 2 + 3 x + 1 = 0 in x 2 + 3 x + 3 = 0. Uporabimo formulo za korenine kvadratne enačbe, da iz dobljenih enačb poiščemo korenine prve: - 3 ± 5 2. Diskriminanta druge enačbe je negativna. To pomeni, da druga enačba nima pravih korenin.

odgovor:- 3 ± 5 2

Celotne enačbe visokih stopenj se pogosto pojavljajo v nalogah. Ni se jih treba bati. Za njihovo reševanje morate biti pripravljeni uporabiti nestandardno metodo, vključno s številnimi umetnimi transformacijami.

Reševanje ulomkov racionalnih enačb

Obravnavo te podteme bomo začeli z algoritmom za reševanje delno racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0, kjer je p(x) in q(x)– celi racionalni izrazi. Rešitev drugih delno racionalnih enačb je vedno mogoče reducirati na rešitev enačb navedenega tipa.

Najpogosteje uporabljena metoda za reševanje enačb p (x) q (x) = 0 temelji na naslednji izjavi: numerični ulomek u v, Kje v- to je število, ki je različno od nič, enako nič le v tistih primerih, ko je števec ulomka enak nič. Po logiki zgornje izjave lahko trdimo, da je rešitev enačbe p (x) q (x) = 0 reducirana na izpolnjevanje dveh pogojev: p(x)=0 in q(x) ≠ 0. To je osnova za izdelavo algoritma za reševanje ulomkov racionalnih enačb oblike p (x) q (x) = 0:

• najti rešitev celotne racionalne enačbe p(x)=0;
• preverimo, ali je pogoj izpolnjen za korenine, ki jih najdemo med reševanjem q(x) ≠ 0.

Če je ta pogoj izpolnjen, potem najdeni koren. Če ni, potem koren ni rešitev problema.

Primer 6

Poiščimo korenine enačbe 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

rešitev

Opravka imamo z ulomljeno racionalno enačbo oblike p (x) q (x) = 0, pri kateri je p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Začnimo reševati linearno enačbo 3 x − 2 = 0. Koren te enačbe bo x = 2 3.

Preverimo najdeni koren, ali izpolnjuje pogoj 5 x 2 − 2 ≠ 0. Če želite to narediti, v izraz nadomestite številsko vrednost. Dobimo: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Pogoj je izpolnjen. To pomeni, da x = 2 3 je koren izvirne enačbe.

odgovor: 2 3 .

Obstaja še ena možnost za reševanje ulomljenih racionalnih enačb p (x) q (x) = 0. Spomnimo se, da je ta enačba enakovredna celotni enačbi p(x)=0 na območju dovoljenih vrednosti spremenljivke x izvirne enačbe. To nam omogoča uporabo naslednjega algoritma pri reševanju enačb p (x) q (x) = 0:

• reši enačbo p(x)=0;
• poiščite obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x;
• vzamemo korenine, ki ležijo v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke x, kot želene korenine izvirne frakcijske racionalne enačbe.

Rešite enačbo x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

rešitev

Najprej rešimo kvadratno enačbo x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračun njegovih korenov uporabimo formulo korenov za sodi drugi koeficient. Dobimo D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 in x = 1 ± 2 3 .

Zdaj lahko najdemo ODZ spremenljivke x za prvotno enačbo. To so vse številke, za katere x 2 + 3 x ≠ 0. Enako je kot x (x + 3) ≠ 0, od koder je x ≠ 0, x ≠ − 3.

Zdaj pa preverimo, ali so korenine x = 1 ± 2 3, dobljene na prvi stopnji rešitve, znotraj območja dovoljenih vrednosti spremenljivke x. Vidimo jih, da prihajajo. To pomeni, da ima izvirna ulomljena racionalna enačba dva korena x = 1 ± 2 3.

odgovor: x = 1 ± 2 3

Druga opisana metoda reševanja je preprostejša od prve v primerih, ko je območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x enostavno najti in korenine enačbe p(x)=0 neracionalno. Na primer, 7 ± 4 · 26 9. Koreni so lahko racionalni, vendar z velikim števcem ali imenovalcem. na primer 127 1101 in − 31 59 . To prihrani čas pri preverjanju stanja q(x) ≠ 0: Veliko lažje je izločiti korenine, ki po ODZ ne ustrezajo.

V primerih, ko so koreni enačbe p(x)=0 cela števila, je za reševanje enačb oblike p (x) q (x) = 0 smotrneje uporabiti prvega izmed opisanih algoritmov. Hitreje poiščite korenine celotne enačbe p(x)=0, nato pa preverite, ali je pogoj zanje izpolnjen q(x) ≠ 0, namesto da bi našli ODZ in nato rešili enačbo p(x)=0 na tem ODZ. To je posledica dejstva, da je v takšnih primerih običajno lažje preveriti kot poiskati DZ.

Primer 8

Poiščite korene enačbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

rešitev

Začnimo z ogledom celotne enačbe (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 in iskanje njenih korenin. Za to uporabimo metodo reševanja enačb s faktorizacijo. Izkazalo se je, da je prvotna enačba enakovredna naboru štirih enačb 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od katerih so tri linearne in ena je kvadratna. Iskanje korenin: iz prve enačbe x = 1 2, od drugega – x = 6, iz tretje – x = 7 , x = − 2 , iz četrte – x = − 1.

Preverimo pridobljene korenine. V tem primeru težko določimo ODZ, saj bomo za to morali rešiti algebraično enačbo pete stopnje. Lažje bomo preverili pogoj, po katerem imenovalec ulomka, ki je na levi strani enačbe, ne sme iti na nič.

Zamenjajmo korene za spremenljivko x v izrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 in izračunajte njegovo vrednost:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Izvedeno preverjanje nam omogoča, da ugotovimo, da so koreni izvirne ulomljene racionalne enačbe 1 2, 6 in − 2 .

odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primer 9

Poiščite korene ulomljene racionalne enačbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

rešitev

Začnimo delati z enačbo (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Poiščimo njene korenine. To enačbo si lažje predstavljamo kot množico kvadratnih in linearnih enačb 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 in x − 2 = 0.

Za iskanje korenin uporabimo formulo za korenine kvadratne enačbe. Iz prve enačbe dobimo dva korena x = 7 ± 69 10, iz druge pa x = 2.

Precej težko nam bo nadomestiti vrednost korenov v prvotno enačbo, da preverimo pogoje. Lažje bo določiti ODZ spremenljivke x. V tem primeru so ODZ spremenljivke x vsa števila razen tistih, za katera je pogoj izpolnjen x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobimo: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Zdaj pa preverimo, ali korenine, ki smo jih našli, spadajo v obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x.

Korenine x = 7 ± 69 10 pripadajo, torej so korenine prvotne enačbe in x = 2- ne pripada, torej je tuja korenina.

odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Ločeno preučimo primere, ko števec ulomljene racionalne enačbe oblike p (x) q (x) = 0 vsebuje število. V takih primerih, če števec vsebuje število, ki ni nič, enačba ne bo imela korenin. Če je to število enako nič, bo koren enačbe poljubno število iz ODZ.

Primer 10

Rešite ulomljeno racionalno enačbo - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

rešitev

Ta enačba ne bo imela korenin, saj števec ulomka na levi strani enačbe vsebuje število, ki ni nič. To pomeni, da pri nobeni vrednosti x vrednost ulomka, podanega v izjavi problema, ne bo enaka nič.

odgovor: brez korenin.

Primer 11

Rešite enačbo 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

rešitev

Ker je v števcu ulomka nič, bo rešitev enačbe poljubna vrednost x iz ODZ spremenljivke x.

Zdaj pa definirajmo ODZ. Vključeval bo vse vrednosti x, za katere x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rešitve enačbe x 4 + 5 x 3 = 0 so 0 in − 5 , saj je ta enačba enakovredna enačbi x 3 (x + 5) = 0, to pa je enakovredno kombinaciji dveh enačb x 3 = 0 in x + 5 = 0, kjer so te korenine vidne. Pridemo do zaključka, da je želeni obseg sprejemljivih vrednosti vsak x razen x = 0 in x = − 5.

Izkazalo se je, da ima ulomljena racionalna enačba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 neskončno število rešitev, ki so poljubna števila, razen nič in - 5.

odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Zdaj pa se pogovorimo o frakcijskih racionalnih enačbah poljubne oblike in metodah za njihovo reševanje. Lahko jih zapišemo kot r(x) = s(x), Kje r(x) in s(x)– racionalni izrazi in vsaj eden od njih je ulomek. Reševanje takih enačb se zmanjša na reševanje enačb oblike p (x) q (x) = 0.

Vemo že, da lahko dobimo ekvivalentno enačbo, če prenesemo izraz z desne strani enačbe na levo z nasprotnim predznakom. To pomeni, da enačba r(x) = s(x) je enakovredna enačbi r (x) − s (x) = 0. Prav tako smo že razpravljali o načinih za pretvorbo racionalnega izraza v racionalni ulomek. Zahvaljujoč temu lahko enačbo enostavno transformiramo r (x) − s (x) = 0 v identičen racionalni ulomek oblike p (x) q (x) .

Tako se premaknemo iz prvotne ulomljene racionalne enačbe r(x) = s(x) na enačbo oblike p (x) q (x) = 0, ki smo se jo že naučili reševati.

Treba je upoštevati, da se pri prehodih iz r (x) − s (x) = 0 na p(x)q(x) = 0 in nato na p(x)=0 morda ne bomo upoštevali razširitve območja dovoljenih vrednosti spremenljivke x.

Čisto možno je, da izvirna enačba r(x) = s(x) in enačba p(x)=0 zaradi preobrazb ne bodo več enakovredne. Nato rešitev enačbe p(x)=0 nam lahko da korenine, ki nam bodo tuje r(x) = s(x). V zvezi s tem je v vsakem primeru potrebno opraviti preverjanje s katero koli od zgoraj opisanih metod.

Da bi vam olajšali študij teme, smo vse informacije strnili v algoritem za reševanje ulomljene racionalne enačbe oblike r(x) = s(x):

• prenesemo izraz z desne strani z nasprotnim predznakom in dobimo na desni ničlo;
• preoblikovanje izvirnega izraza v racionalni ulomek p (x) q (x) , zaporedno izvajanje operacij z ulomki in polinomi;
• reši enačbo p(x)=0;
• Tuje korene identificiramo s preverjanjem njihove pripadnosti ODZ ali s substitucijo v izvirno enačbo.

Vizualno bo veriga dejanj videti takole:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → izločitev ZUNANJE KORENINE

Primer 12

Rešite ulomljeno racionalno enačbo x x + 1 = 1 x + 1 .

rešitev

Pojdimo k enačbi x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Transformirajmo ulomljeni racionalni izraz na levi strani enačbe v obliko p (x) q (x) .

Da bi to naredili, bomo morali racionalne ulomke zreducirati na skupni imenovalec in poenostaviti izraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Da bi našli korenine enačbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo rešiti enačbo − 2 x − 1 = 0. Dobimo en koren x = - 1 2.

Vse kar moramo storiti je, da preverimo s katero od metod. Poglejmo oba.

Zamenjajmo dobljeno vrednost v prvotno enačbo. Dobimo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Prišli smo do pravilne številske enakosti − 1 = − 1 . To pomeni, da x = − 1 2 je koren izvirne enačbe.

Zdaj pa preverimo skozi ODZ. Določimo obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x. To bo celoten niz števil z izjemo − 1 in 0 (pri x = − 1 in x = 0 se imenovalca ulomkov izničita). Koren, ki smo ga dobili x = − 1 2 spada v ODZ. To pomeni, da je koren izvirne enačbe.

odgovor: − 1 2 .

Primer 13

Poiščite korenine enačbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

rešitev

Opravka imamo z ulomljeno racionalno enačbo. Zato bomo ravnali po algoritmu.

Premaknimo izraz z desne strani na levo z nasprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Izvedimo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Pridemo do enačbe x = 0. Koren te enačbe je nič.

Preverimo, ali je ta koren izvirni enačbi tuj. Nadomestimo vrednost v prvotno enačbo: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kot lahko vidite, nastala enačba nima smisla. To pomeni, da je 0 tuja korenina in izvirna frakcijska racionalna enačba nima korenin.

odgovor: brez korenin.

Če v algoritem nismo vključili drugih ekvivalentnih transformacij, to ne pomeni, da jih ni mogoče uporabiti. Algoritem je univerzalen, vendar je zasnovan tako, da pomaga, ne omejuje.

Primer 14

Rešite enačbo 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

rešitev

Najlažji način je, da dano ulomljeno racionalno enačbo rešimo po algoritmu. Vendar obstaja še en način. Razmislimo o tem.

Od desne in leve strani odštejemo 7, dobimo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Iz tega lahko sklepamo, da mora biti izraz v imenovalcu na levi strani enak recipročni vrednosti števila na desni strani, to je 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Od obeh strani odštejte 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Po analogiji je 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, od koder je 1 5 - x 2 = 1 3, nato pa 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2.

Preverimo, ali so najdeni koreni koreni prvotne enačbe.

odgovor: x = ± 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter