Razvoj lekcije algebre na temo: "Iracionalna števila."

Definicija iracionalnega števila

Iracionalna števila so tista števila, ki decimalni zapis predstavljajo neskončne neperiodične decimalne ulomke.

Torej, na primer, števila, pridobljena s kvadratnim korenom naravna števila, so iracionalni in niso kvadrati naravnih števil. Ampak ni vse racionalna števila pridobljen z ekstrakcijo kvadratni koreni, ker je tudi število »pi«, dobljeno z deljenjem, iracionalno in ga verjetno ne boste dobili, ko boste poskušali izluščiti kvadratni koren naravnega števila.

Lastnosti iracionalnih števil

Za razliko od števil, zapisanih kot neskončne decimalke, so le iracionalna števila zapisana kot neperiodična neskončna decimalka.
Vsota dveh nenegativnih iracionalnih števil je lahko na koncu racionalno število.
Iracionalna števila definirajte Dedekindove odseke v množici racionalnih števil, v nižjem razredu, ki nimajo veliko število, v zgornjem pa nič manj.
Vsako realno transcendentno število je iracionalno.
Vsa iracionalna števila so ali algebraična ali transcendentna.
Množica iracionalnih števil na premici je gosto nameščena in med katerima koli dvema njenima številoma je zagotovo iracionalno število.
Množica iracionalnih števil je neskončna, nešteta in je množica 2. kategorije.
Pri izvajanju katerega koli aritmetična operacija z racionalnimi števili, razen pri deljenju z 0, bo njegov rezultat racionalno število.
Ko iracionalnemu številu prištejemo racionalno število, je rezultat vedno iracionalno število.
Pri seštevanju iracionalnih števil lahko na koncu dobimo racionalno število.
Množica iracionalnih števil ni soda.

Številke niso iracionalne

Včasih je precej težko odgovoriti na vprašanje, ali je število iracionalno, zlasti v primerih, ko ima število obliko decimalno ali v obliki številski izraz, koren ali logaritem.

Zato ne bo odveč vedeti, katera števila niso iracionalna. Če sledimo definiciji iracionalnih števil, potem že vemo, da racionalna števila ne morejo biti iracionalna.

Iracionalna števila niso:

Prvič, vsa naravna števila;
Drugič, cela števila;
Tretjič, navadni ulomki;
Četrtič, drugačen mešana števila;
Petič, to so neskončni periodični decimalni ulomki.

Poleg vsega naštetega iracionalno število ne more biti nobena kombinacija racionalnih števil, ki jo izvajajo predznaki računskih operacij, kot so +, -, , :, saj bo v tem primeru tudi rezultat dveh racionalnih števil. racionalno število.

Zdaj pa poglejmo, katera števila so iracionalna:

Ali veste za obstoj kluba oboževalcev, kjer oboževalci tega skrivnostnega matematičnega fenomena iščejo vedno več informacij o piju in poskušajo razvozlati njegovo skrivnost? Član tega kluba lahko postane vsak, ki zna na pamet določeno število števil Pi za decimalno vejico;

Ali ste vedeli, da se v Nemčiji pod zaščito Unesca nahaja palača Castadel Monte, zahvaljujoč proporcem katere lahko izračunate število Pi. Kralj Friderik II je tej številki posvetil celotno palačo.

Izkazalo se je, da so poskušali uporabiti število Pi pri gradnji babilonskega stolpa. Toda na žalost je to pripeljalo do propada projekta, saj takrat natančen izračun vrednosti Pi ni bil dovolj raziskan.

Pevka Kate Bush je na svoji novi plošči posnela pesem z naslovom "Pi", v kateri je sto štiriindvajset številk iz slavnega številske serije 3, 141…..

Pouk matematike v 8.B razredu

Tema lekcije: Iracionalna števila.

Lyapustina Natalia Yurievna

učiteljica matematike

MOBU licej št.6

Cilji:

Uvesti pojem iracionalnega števila;

Naučite se poiskati približne vrednosti korenin z uporabo mikrokalkulatorja;

Uvesti štirimestne matematične tabele;

Okrepite veščino transformacije navadni ulomek v decimalni in decimalni neskončni periodični ulomek v navadni ulomek;

Razviti spomin in razmišljanje.

Napredek lekcije

I Posodabljanje temeljnega znanja.

Preverjanje domače naloge:

a) Predstavite kot decimalni ulomek: 38/11 = 3,(45)

b) Prisoten kot navadni ulomek: 1,(3) = 4/3 0,3(17) = 157/495

II Ustne vaje(predstavitev)

1) Določite kvadratni koren in dokončajte naloge. Napiši na tablo

2) Preberite ulomke:

0,(5); 3,(24); 15,2(57); 3,51(3)

4) Zaokrožite te številke:

3,45; 10,59; 23,263; 0,892

A) do enot;

B) do desetin.

III Učenje nove snovi

1. Sporočite temo in cilje lekcije

2. Razlaga učitelja

Poleg neskončnih periodičnih ulomkov se v matematiki obravnavajo tudi neskončni neperiodični ulomki. V zadnji lekciji ste se seznanili s konceptom racionalnih števil. In veste, da je vsako racionalno število mogoče predstaviti kot decimalni ulomek, končen ali neskončno periodičen.

Neskončne decimalne neperiodične ulomke imenujemo iracionalna števila.

Na primer ulomki

Kdaj dobiš iracionalna števila?

1) Pri pridobivanju kvadratnih korenov.

Poznavanje višja matematika dokazano je, da se kvadratni koren lahko vzame iz katerega koli nenegativnega števila.

Na primer:
racionalna števila

Iracionalna števila

2) Iracionalna števila se ne pridobijo samo s korenjenjem.

Na primer:

3) Sporočilo “Iz zgodovine iracionalnih števil” Babilonska metoda .

Za katero koli iracionalno število lahko najdete katero koli n-to števko za decimalno vejico

4) . V praksi za iskanje približnih vrednosti korenin z zahtevano natančnostjo uporabljajotabele, mikrokalkulatorjiin druga računalniška orodja.

Za tiste, ki vas zanima več o iskanju kvadratnih korenov s pomočjo tabele, lahko preberete razlage k tabeli.

2) Dandanes se za iskanje približnih vrednosti korenin najpogosteje uporablja mikrokalkulator.

Primer dela s kalkulatorjem

3. Ustno odloči št. 321

Katera števila imenujemo iracionalna? (bere odgovor iz učbenika)

4. Utrjevanje preučenega gradiva

Reši enačbo: po definiciji kvadratnega korena.

11.2(a,c)

11.5 (a,b)

Razstavite in napišite na tablo.

5. Delo s kartami

Računajte na mikrokalkulatorju z natančnostjo 0,001

? Algebra Yu.N.Makarycheva. 8. razred : učbenik za izobraževalne ustanove-M.: Razsvetljenje, 2014

? N.G. Mindyuk Didaktična gradiva. Algebra. 8. razred - M .: Izobraževanje, 2014.

? N.G. Mindyuk Delovni zvezek. 1. del Algebra. 8. razred - M .: Izobraževanje, 2014.

• Projektor
• Računalnik

Napredek lekcije

1. Organizacijski trenutek
2. Ustno delo
   1. m/ n, kjer je m- celo število, n-naravno. Primer 3/5 si lahko zamislite na različne načine: 3/5=6/10=9/15=…….)
   2. Katere komplete že poznate? (naravna števila -N, cela števila -Z, racionalna -Q,
   3. Naloga na tabli: Ugotovi, kateri množici pripada posamezno število? Izpolni tabelo. ; 0,2020020002…; -str.

Naravni -N

Racionalno - Q

7; 19; 235; -90

7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11)

In te številke so 0,2020020002 ...; -p kam naj ga dam?

»NE« bo nadomeščen s predpono »IR«.

Iracionalno število- decimalni neskončni periodični ulomek.

kje T - celo število, n- naravno.

Vrnimo se k naši mizi. (Seštejmo iracionalna števila in 0,2020020002…; -p

Utrjevanje

1. - naloge za ugotavljanje pripadnosti različnim številskim množicam.

2. - primerjalne naloge realna števila.

Test, ki mu sledi preverjanje

13) Število p je realno.

14) Številka 3.1(4) manjše število str.

15 pravilnih odgovorov - ocena "5"

12-14 pravilnih odgovorov - ocena "4"

Odsev

domača naloga

№278; 281; 282

Ocene lekcije.

Hvala za lekcijo!

"Načrt"

Občinski proračun izobraževalna ustanova

"Srednja šola Turgenevskaya"

Učitelj: Loiko Galina Alekseevna

Načrt lekcije na temo

"Iracionalna števila"

"Številke ne vladajo svetu"

CILJI LEKCIJE:

Učni cilji:

razvoj kognitivnega interesa z uporabo zabavne naloge in primeri.

2. Namen izobraževanja:

negovanje zavestnih motivov za učenje in pozitivnega odnosa do znanja.

Izobraževalna in metodološka podpora

● Yu.N.Makarychev Algebra. 8. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove - M.: Prosveshchenie, 2014.

●N.G. Didaktična gradiva Mindyuk. Algebra. 8. razred - M.: Izobraževanje, 2014.

● N.G. Delovni zvezek Mindyuk. 1. del Algebra. 8. razred - M .: Izobraževanje, 2014.

Zahtevana oprema in gradiva za pouk :

Projektor

Računalnik

Napredek lekcije

Organizacijski trenutek

Ustno delo

1. Katero temo smo preučevali v zadnji lekciji? (Racionalna števila)

   Katera števila imenujemo racionalna? (Številke, ki jih je mogoče predstaviti kot ulomke m / n, kjer je m celo število, n pa naravno število. Primer 3/5 lahko predstavimo na različne načine: 3/5=6/10=9/15=……..)

   Katere komplete že poznate? (naravna števila – N, cela števila – Z, racionalna – Q,

   Naloga na tabli: Ugotovi, kateri množici pripada posamezno število? Izpolni tabelo. -7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11); 0,2020020002…; -.

In te številke so 0,2020020002 ...; - kam ga pripisati?

Naše znanje je premalo, da bi o njih kaj rekli. In zdaj prehajamo na preučevanje novega gradiva, tema lekcije pa je "Iracionalna števila", izvedeli boste, katera števila se imenujejo iracionalna in podali primere.

Razmislite o neskončnem decimalnem ulomku

Ta neskončna decimalka po definiciji ni racionalna.

To pomeni, da ta ulomek ni racionalno število.

»NE« bo nadomeščen s predpono »IR«.

Dobimo "iracionalno" število.

Iracionalno število

Poglejmo si primere iracionalnih števil.

Iracionalnega ni mogoče predstaviti kot ulomek

kjeT - celo število,n – naravno.

Realna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo, delimo in primerjamo.

Vrnimo se k naši mizi. (Seštejmo iracionalna števila in 0,2020020002…; -

Posplošimo znanje o vseh množicah števil

Utrjevanje

Vse naloge iz učbenika lahko razdelimo v 2 skupini.

1. – naloge za ugotavljanje pripadnosti različnim številskim množicam.

2. – naloge za primerjanje realnih števil.

Številke: št. 276, 277, 279, 287. (ustno)

Naredimo številke: št. 280, 283, 288 (pri tabli)

Test, ki mu sledi preverjanje

“+” - strinjam se z izjavo; “-” - Ne strinjam se s trditvijo.

1) Vsako celo število je naravno.

2) Vsako naravno število je racionalno.

3) Število -7 je racionalno.

4) Vsota dveh naravnih števil je vedno naravno število.

5) Razlika dveh naravnih števil je vedno naravno število.

6) Zmnožek dveh celih števil je vedno celo število.

7) Kvocient dveh celih števil je vedno celo število.

8) Vsota dveh racionalnih števil je vedno racionalno število.

9) Kvocient dveh racionalnih števil je vedno racionalno število.

10) Vsako iracionalno število je realno.

11) Realno število ne more biti naravno.

12) Število 2,7(5) je iracionalno.

15) Število - 10 sodi istočasno v množico celih, racionalnih in realnih števil.

8-11 pravilnih odgovorov - ocena "3"

manj kot 8 bi se morali naučiti teorije.

Odsev

Katera števila imenujemo racionalna in iracionalna?

Iz katerih števil je sestavljena množica realnih števil?

domača naloga

№278; 281; 282

Ocene lekcije.

Hvala za lekcijo!

Oglejte si vsebino dokumenta
"Testu sledi preverjanje"

Test, ki mu sledi preverjanje

“+” - strinjam se z izjavo;

“-” - Ne strinjam se s trditvijo.

1) Vsako celo število je naravno.

2) Vsako naravno število je racionalno.

3) Število -7 je racionalno.

4) Vsota dveh naravnih števil je vedno naravno število.

5) Razlika dveh naravnih števil je vedno naravno število.

6) Zmnožek dveh celih števil je vedno celo število.

7) Kvocient dveh celih števil je vedno celo število.

8) Vsota dveh racionalnih števil je vedno racionalno število.

9) Kvocient dveh racionalnih števil je vedno racionalno število.

10) Vsako iracionalno število je realno.

11) Realno število ne more biti naravno.

12) Število 2,7(5) je iracionalno.

13) Število  je realno.

14) Število 3.1(4) je manjše od števila .

15) Število - 10 sodi istočasno v množico celih, racionalnih in realnih števil.

odgovori

"Iracionalna števila" "Številke ne vladajo svetu" vendar pokažejo, kako to upravljati" CILJI LEKCIJE 1 Učni cilji: razširiti ideje študentov o številu, oblikovati koncept "iracionalnega števila"; razvijati sposobnost razlikovanja med temi nizi števil in izvajanja vseh računskih operacij; sistematizirati znanje o številskih množicah; razvoj kognitivnega interesa z uporabo zabavnih nalog in primerov 2. Namen izobraževanja: negovanje zavestnih motivov za učenje in pozitivnega odnosa do znanja. Razmislite o neskončnem decimalnem ulomku Ta neskončna decimalka po definiciji ni racionalna. To pomeni, da ta ulomek ni racionalno število. "NE" zamenjajte s predpono "IR" . Dobimo "iracionalno" število. Iracionalno število – decimalni neskončni periodični ulomek. Poglejmo si primere iracionalnih števil. Iracionalnega ni mogoče predstaviti kot ulomek kje T – celo število, n – naravno. Veljavno številke Racionalno številke Neracionalno številke Ulomka števila Neskončno neperiodično ulomki Cela števila Negativno številke Navadna ulomki Nič decimalno ulomki Pozitivno številke Končno Neskončno periodično Ključ do testa Ocena 15 pravilnih odgovorov – ocena »5« 12-14 pravilnih odgovorov – ocena »4« 8-11 pravilnih odgovorov - ocena "3" manj kot 8 bi se morali naučiti teorije. domača naloga. № 278 № 281 № 282

Tema: Iracionalna števila

Vklopljeno koordinatna os z enotskim segmentom OE točka označena D. Je dolžina segmenta O.D. racionalno število?
Izmerimo dolžino O.D. z uporabo enega segmenta.
Dobimo ostanek - segment FD, katerega dolžina je manjša od enotskega segmenta. Zaokroženo na cela števila lahko rečemo, da je dolžina segmenta O.D. približno enako 3, O.D. ≈ 3.
Za merjenje dolžine O.D. Za mersko enoto vzemimo desetino segmenta enote - dolžino segmenta OE 1.

Od točke F pustimo na stran OE 1 dvakrat bo to dalo preostanek F 1 D, katerega dolžina manjša dolžina segment OE 1, izbran z segmentom enote. Zaokroženo na najbližjo desetino lahko rečemo, da je dolžina segmenta O.D. približno enako 3,2, O.D. ≈ 3,2.
Za merjenje dolžine segmenta O.D.še natančneje, izbrali bomo manjše merske enote - stotinko, tisočinko, desettisočinko, stotisočinko segmenta enote ipd. Kot rezultat meritve sta možni dve možnosti.

Zgradimo kvadrat s stranico enaka dolžini segment enote O.E.. Narišimo diagonalo OB. Zdaj zgradimo nov kvadrat, katerega stranica bo diagonala OB. Upoštevajte, da je novi kvadrat dvakrat večji od starega. Torej njegovo območje S dvakrat toliko S= 2. Izkazalo se je, da je dolžina stranice novega kvadrata OB enako številu, katerega kvadrat je dva.
Izmerimo dolžino stranice novega kvadrata OB z uporabo enega segmenta, kot smo naredili na začetku. Dolžina enega segmenta OE" sodi v segment O.B. enkrat, kar ima za posledico preostanek - E"B. Če zaokrožimo na cela števila, ugotovimo, da je dolžina stranice O.B. približno enako ena. O.B. ≈1.
Za merjenje dolžine segmenta OB natančneje, izbrali bomo manjše enotske segmente - desetinko, stotinko, tisočinko enotskega segmenta OE in tako dalje. V enem od korakov dobimo številko: O.B.≈1,41421356... je iracionalno število.
Ta decimalka ni periodična. Če je bila na nekem merilnem koraku določena perioda ulomka, potem dano številko bi bilo racionalno, kar pomeni, da bi ga lahko predstavili kot ulomek m/n, Kje m je celo število in n– naravno. Vendar pa ni racionalnega števila, katerega kvadrat je dva.
Torej dolžina segmenta O.B. izražena kot neskončna decimalka neperiodični ulomek, ali iracionalno število.
Vsako iracionalno število je mogoče predstaviti kot neskončni neperiodični decimalni ulomek. Množica iracionalnih števil je označena s črko – jaz.

jaz– množica iracionalnih števil.

|O.D.| = 3,2300980107...
točka D ustreza številki 3.2300980107...
|O.G.| = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
točka G ustreza številu −1,72(0) ali −1,72
Predznak ulomka je odvisen od lokacije točke – desno od začetne točke O – pozitivna števila, levo – negativno.
Velja tudi obratna trditev: če vzamemo poljuben decimalni neskončni ulomek, bomo vedno našli na koordinatni osi desno ali levo od točke O taka točka A, da je dolžina segmenta OA je izražen z modulom tega ulomka. Znak za ulomek ustreza lokaciji točke A.
|O.A.| = 2,2(0)
točka A ustreza številu 2.2(0) ali 2.2.
Vsaka točka na koordinatni osi je povezana z neskončnim decimalnim ulomkom: če je ulomek periodičen, potem ta točka ustreza racionalnemu številu, če je ulomek neperiodičen, pa iracionalnemu številu.

Množica racionalnih in iracionalnih števil skupaj sestavlja množico realnih števil ( R).

Algebra. 8. razred: učbenik. za splošno izobraževanje organizacije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. – 6. izd. – M.: Izobraževanje, 2017.

Lekcija in predstavitev na temo: "Množica racionalnih in iracionalnih števil. Oznake, lastnosti in primeri"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Nikolsky N.S.   

Priročnik za učbenik Alimov Sh.A.

Naravna števila

Fantje, dobro veste, kaj so naravna števila. To so števila, ki jih uporabljamo pri štetju: 1, 2, 3,... Množico naravnih števil označujemo s simbolom: N. Množica naravnih števil je neskončna. Poleg tega za vsako naravno število vedno obstaja število, ki je večje od danega.

Realne številke
Če naravnim številom dodamo 0 in vsa negativna števila -1,-2,-3..., dobimo množico pravih celih števil, ki jo običajno označimo z Z. Lekcija: "Množica realnih števil." Vnesite negativna števila

Racionalna števila

$\frac(2)(3)$, $-\frac(1)(2)$, …?

Vsako racionalno število je mogoče predstaviti kot:

Če poljubno celo število delimo z naravnim številom, dobimo racionalno število. Deljenje z naravnim številom v tem zapisu je priročno v smislu, da smo odpravili operacijo deljenja z ničlo. Obstaja neskončno število racionalnih števil, vendar je vsa ta števila mogoče preštevilčiti.
Po pregledu zgornjih nizov vidimo, da vsak naslednji vsebuje prejšnje:
.
Znak ⊂ označuje podmnožico, to pomeni, da je množica naravnih števil vsebovana v množici celih števil itd. Več o pojmu množice bomo spoznali v devetem razredu. "Množice in podmnožice racionalnih števil"

Poglejmo tri racionalna števila:

$5$; 0,385 $; $\frac(2)(3)$

$5=5.00000…$
$0,385=0,38500…$

$\frac(2)(3)=0,6666…$

Tako lahko v obliki predstavimo poljubno racionalno število neskončni ulomek. Za teoretična matematika ima velika vrednost. Za vajo in zate in zame pri reševanju problemov je zelo smiselno Ne, predstavi navadno petico kot neskončen decimalni ulomek.

Če se iste številke ponavljajo v decimalnem zapisu, se to imenuje "pika". V našem primeru za številko

$\frac(2)(3)=0,6666…$

pika bo številka $6$. Običajno je obdobje števila običajno označeno v oklepajih $\frac(2)(3)=0,(6)$. Sam ulomek se v tem primeru imenuje neskončni decimalni periodični ulomek.
Vsako racionalno število lahko zapišemo kot končni decimalni ulomek ali kot neskončni periodični decimalni ulomek. Velja tudi obratna operacija.

Primer.
Prisoten kot navadni ulomek:
a) $2,(24)$.
b) $1,(147)$.

rešitev.
a) Naj bo $x=2,(24)$. Pomnožimo naše število tako, da se decimalna vejica premakne v desno točno za piko. $100x=224,(24)$.
Izvedimo naslednjo operacijo:

$100x-x=224,(24)-2,(24)$.

$x=\frac(222)(99)$ je racionalno število.

B) Naredimo enako.

$х=1,(147)$, potem $1000х=1147,(147)$.
1000 $x-x=1147,(147)-1,(147)$.

$x=\frac(1146)(999)$.

Žal vseh števil ni bilo mogoče opisati z množico racionalnih števil. V zadnji lekciji "Kvadratni koren" smo spoznali operacijo izračuna kvadratnega korena. Torej, dolžina hipotenuze pravokotni trikotnik s nogama, enakima 1 in 2, je enako $\sqrt(5)$. Tega števila ni mogoče predstaviti kot nezmanjšanega ulomka in zato ni racionalno. Zato moramo razširiti svoje razumevanje nizov števil.

Iracionalna števila

Iracionalno število je neskončen neperiodični ulomek.
Če $n≠k^2$, kjer $n,kϵN$, torej $n$ ni natančen kvadrat drugega naravnega števila, potem je $\sqrt(n)$ iracionalno število.
Iracionalna števila pojavljajo precej pogosto. Eden najbolj svetli primeri je znano in pomembno število pi. Če upoštevate kateri koli krog in njegovo dolžino delite s premerom, vedno dobite π. To število se je izkazalo za iracionalno.
Operacije z iracionalnimi števili so precej težke. Tudi v moderna matematikaŠe vedno obstajajo vprašanja o rodu številnih števil. Številni matematiki teorije števil se že stotine let spopadajo z dobro znanimi iracionalnimi problemi.

Lahko pa nekaj povzamemo:
1. Če seštevate, odštevate, množite, delite (razen deljenja z 0) racionalna števila, bo odgovor racionalno število.
2. Aritmetične operacije na iracionalnih številih lahko vodijo tako do iracionalnega kot do racionalnega števila.
3. Če so v aritmetični operaciji vključena tako racionalna kot iracionalna števila, bo rezultat iracionalno število.