Matematično pričakovanje in varianca Bernoullijeve porazdelitve. Zahtevana verjetnost po Bernoullijevi formuli je enaka

Kratka teorija

Teorija verjetnosti se ukvarja s poskusi, ki jih je mogoče (vsaj teoretično) ponoviti neomejeno številokrat. Naj se poskus ponovi enkrat in rezultati vsake ponovitve niso odvisni od rezultatov prejšnjih ponovitev. Takšne serije ponovitev imenujemo neodvisni poskusi. Poseben primer tovrstnih testov so neodvisni Bernoullijevi testi, za katere sta značilna dva pogoja:

1) rezultat vsakega testa je eden od dveh možnih rezultatov, imenovanih "uspeh" oziroma "neuspeh".

2) verjetnost "uspeha" v vsakem naslednjem testu ni odvisna od rezultatov prejšnjih testov in ostaja konstantna.

Bernoullijev izrek

Če izvedemo niz neodvisnih Bernoullijevih poskusov, v vsakem od katerih se "uspeh" pojavi z verjetnostjo, potem je verjetnost, da se "uspeh" pojavi natanko enkrat v poskusih, izražena s formulo:

kje je verjetnost "neuspeha".

– število kombinacij elementov po (glej osnovne kombinatorične formule)

Ta formula se imenuje Bernoullijeva formula.

Bernoullijeva formula vam omogoča, da se znebite veliko število računanja – seštevanje in množenje verjetnosti – z zadost velike količine testi.

Shemo Bernoullijevega testa imenujemo tudi binomska shema, ustrezne verjetnosti pa binomske, kar je povezano z uporabo binomskih koeficientov.

Porazdelitev po Bernoullijevi shemi omogoča predvsem iskanje najverjetnejšega števila pojavov dogodka.

Če je število testov n je velik, uporabite:

Primer rešitve problema

Problemsko stanje

Stopnja kalivosti nekaterih rastlinskih semen je 70%. Kolikšna je verjetnost, da bo od 10 posejanih semen: 8 najmanj 8; vsaj 8?

Rešitev problema

Uporabimo Bernoullijevo formulo:

V našem primeru

Naj se zgodi, da od 10 semen vzklije 8:

Naj bo dogodek vsaj 8 (to pomeni 8, 9 ali 10)

Naj dogodek zraste vsaj 8 (to pomeni 8,9 ali 10)

Odgovori

Povprečje strošek rešitve testno delo 700 - 1200 rubljev (vendar ne manj kot 300 rubljev za celotno naročilo). Na ceno v veliki meri vpliva nujnost odločitve (od enega dneva do nekaj ur). Cena spletne pomoči za izpit/test je od 1000 rubljev. za rešitev vstopnice.

Zahtevo lahko pustite neposredno v klepetu, pri čemer ste predhodno poslali pogoje naloge in vas obvestili o časovnem okviru za rešitev, ki jo potrebujete. Odzivni čas je nekaj minut.

Bernoullijeva testna shema. Bernoullijeva formula

Naj se izvede več testov. Poleg tega verjetnost pojava dogodka $A$ v vsakem poskusu ni odvisna od rezultatov drugih poskusov. Takšni poskusi se imenujejo neodvisni glede na dogodek A. V različnih neodvisnih poskusih ima lahko dogodek A različne verjetnosti ali pa enako. Upoštevali bomo samo take neodvisni testi, pri čemer ima dogodek $A$ enako verjetnost.

S kompleksnim dogodkom razumemo kombinacijo preprosti dogodki. Naj se izvede n-testov. Pri vsakem poskusu se dogodek $A$ lahko pojavi ali pa tudi ne. Predpostavili bomo, da je v vsakem poskusu verjetnost pojava dogodka $A$ enaka in enaka $p$. Potem je verjetnost $\overline A $ (ali nepojavitve A) enaka $P(( \overline A ))=q=1-p$.

Recimo, da moramo izračunati verjetnost, da n-testira, ali se bo zgodil dogodek $A$ k- enkrat in $n-k$-krat - ne bo zgodilo. To verjetnost bomo označili z $P_n (k)$. Poleg tega zaporedje pojava dogodka $A$ ni pomembno. Na primer: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$

$P_5 (3)-$ v petih poskusih se je dogodek $A$ pojavil 3-krat in se ni pojavil 2-krat. To verjetnost je mogoče najti z uporabo Bernoullijeve formule.

Izpeljava Bernoullijeve formule

Po izreku verjetnostnega množenja samostojni dogodki, bo verjetnost, da se bo dogodek $A$ zgodil $k$-krat in se ne bo zgodil $n-k$-krat, enaka $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. In tako zapletenih dogodkov je lahko toliko, kolikor jih je mogoče sestaviti $C_n^k$. Ker so kompleksni dogodki nezdružljivi, potem v skladu z izrekom o vsoti verjetnosti nezdružljivi dogodki, moramo sešteti verjetnosti vseh kompleksnih dogodkov in teh je točno $C_n^k $. Potem je verjetnost pojava dogodka $A$ točno k enkrat na vsak n testi, obstaja $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Bernoullijeva formula.

Primer. Kocke vrgel 4-krat. Poiščite verjetnost, da se bo ena pojavila polovico časa.

rešitev. $A=$ (pojav enega)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 $

To je enostavno videti, ko velike vrednosti n Verjetnost je zaradi ogromnih številk precej težko izračunati. Izkazalo se je, da je to verjetnost mogoče izračunati ne le z uporabo Bernoullijeve formule.

Ne razmišljajmo dolgo o vzvišenih stvareh - začnimo takoj z definicijo.

Bernoullijeva shema je, ko se izvede n identičnih neodvisnih poskusov, v vsakem od njih se lahko pojavi dogodek, ki nas zanima, A in je verjetnost tega dogodka P (A) = p znana. Določiti moramo verjetnost, da se bo po n poskusih dogodek A zgodil točno k-krat.

Težave, ki jih je mogoče rešiti z Bernoullijevo shemo, so izjemno raznolike: od preprostih (kot je "ugotovite verjetnost, da bo strelec zadel 1-krat od 10") do zelo hudih (na primer težave z odstotki ali igralnimi kartami) . V resnici se ta shema pogosto uporablja za reševanje težav, povezanih s spremljanjem kakovosti izdelkov in zanesljivosti različnih mehanizmov, katerih vse značilnosti je treba poznati pred začetkom dela.

Vrnimo se k definiciji. Ker govorimo o o neodvisnih poskusih in je v vsakem poskusu verjetnost dogodka A enaka, možna sta le dva izida:

A je pojav dogodka A z verjetnostjo p;
“ni A” - dogodek A se ni pojavil, kar se zgodi z verjetnostjo q = 1 − p.

Najpomembnejši pogoj, brez katerega Bernoullijeva shema izgubi pomen, je konstantnost. Ne glede na to, koliko poskusov izvedemo, nas zanima isti dogodek A, ki se zgodi z enako verjetnostjo p.

Mimogrede, vsi problemi v teoriji verjetnosti niso reducirani na konstantne pogoje. Vsak kompetenten učitelj vam bo povedal o tem. višja matematika. Tudi nekaj tako preprostega, kot je jemanje pisanih žog iz škatle, ni izkušnja s stalnimi pogoji. Vzeli so še eno žogo - razmerje barv v škatli se je spremenilo. Posledično so se spremenile tudi verjetnosti.

Če so pogoji konstantni, lahko natančno določimo verjetnost, da se bo dogodek A zgodil točno k-krat od n možnih. To dejstvo oblikujmo v obliki izreka:

Bernoullijev izrek. Naj bo verjetnost pojava dogodka A v vsakem poskusu konstantna in enaka p. Potem se verjetnost, da se bo dogodek A pojavil točno k-krat v n neodvisnih poskusih, izračuna po formuli:

kjer je C n k število kombinacij, q = 1 − p.

Ta formula se imenuje Bernoullijeva formula. Zanimivo je omeniti, da je spodaj navedene probleme mogoče popolnoma rešiti brez uporabe te formule. Uporabite lahko na primer formule za seštevanje verjetnosti. Vendar pa bo količina izračuna preprosto nerealna.

Naloga. Verjetnost izdelave izdelka z napako na stroju je 0,2. Določite verjetnost, da bo v seriji desetih delov, izdelanih na tem stroju, natanko k delov brez napak. Reši nalogo za k = 0, 1, 10.

Glede na pogoj nas zanima dogodek A izpusta izdelkov brez napak, ki se zgodi vsakokrat z verjetnostjo p = 1 − 0,2 = 0,8. Določiti moramo verjetnost, da se bo ta dogodek zgodil k-krat. Dogodek A je v nasprotju z dogodkom »ne A«, tj. sprostitev izdelka z napako.

Tako imamo: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Tako najdemo verjetnost, da so vsi deli v seriji okvarjeni (k = 0), da je samo en del brez napak (k = 1) in da sploh ni okvarjenih delov (k = 10):

Naloga. Kovanec se vrže 6-krat. Pristanek grba in glave je enako verjeten. Poiščite verjetnost, da:

grb se bo pojavil trikrat;

grb se bo pojavil enkrat;

se bo grb pojavil vsaj dvakrat.

Zanima nas torej dogodek A, ko izpade grb. Verjetnost tega dogodka je p = 0,5. Dogodek A je v nasprotju z dogodkom »ne A«, ko je rezultat glava, kar se zgodi z verjetnostjo q = 1 − 0,5 = 0,5. Določiti moramo verjetnost, da se bo grb pojavil k-krat.

Tako imamo: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Ugotovimo verjetnost, da je grb izrisan trikrat, tj. k = 3:

Zdaj pa ugotovimo verjetnost, da je grb narisan le enkrat, tj. k = 1:

Treba je ugotoviti, s kakšno verjetnostjo se bo grb pojavil vsaj dvakrat. Glavni ulov je v frazi "nič manj". Izkaže se, da bomo zadovoljni s katerimkoli k razen 0 in 1, tj. poiskati moramo vrednost vsote X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Upoštevajte, da je tudi ta vsota enaka (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), tj. dovolj vsega možne možnosti“izrezati” tiste, ko je grb izpadel 1-krat (k = 1) ali sploh ni izpadel (k = 0). Ker že poznamo P 6 (1), je treba najti P 6 (0):

Naloga. Verjetnost, da ima televizor skrite napake, je 0,2. V skladišče je prispelo 20 televizorjev. Kateri dogodek je verjetnejši: da sta v tej seriji dva televizorja s skritimi napakami ali trije?

Zanimiv dogodek A je prisotnost latentne napake. Skupaj je n = 20 televizorjev, verjetnost skrite napake je p = 0,2. V skladu s tem je verjetnost sprejema TV brez skrite napake q = 1 − 0,2 = 0,8.

Dobimo izhodiščne pogoje za Bernoullijevo shemo: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Ugotovimo verjetnost, da dobimo dva "pokvarjena" televizorja (k = 2) in tri (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Očitno je P 20 (3) > P 20 (2), tj. verjetnost prejema treh televizorjev s skritimi napakami je večja od verjetnosti prejema samo dveh takih televizorjev. Poleg tega razlika ni šibka.

Hitra opomba o faktorialih. Mnogi ljudje občutijo nejasen občutek nelagodja, ko vidijo vnos "0!" (beri "nič faktorial"). Torej, 0! = 1 po definiciji.

p. S. In največja verjetnost pri zadnji nalogi je, da dobimo štiri televizorje s skritimi napakami. Izračunajte si sami in se prepričajte.

Bernoullijeva formula- formula v teoriji verjetnosti, ki vam omogoča, da ugotovite verjetnost, da se zgodi dogodek A (\displaystyle A) v neodvisnih testih. Bernoullijeva formula vam omogoča, da se z dovolj velikim številom testov znebite velikega števila izračunov - seštevanja in množenja verjetnosti. Poimenovana po izjemnem švicarskem matematiku Jacobu Bernoulliju, ki je izpeljal to formulo.

Enciklopedični YouTube

1 / 3

✪ Teorija verjetnosti. 22. Bernoullijeva formula. Reševanje problemov

✪ Bernoullijeva formula

✪ 20 Ponovitev testov Bernoullijeve formule

Podnapisi

Formulacija

Izrek.Če je verjetnost p (\displaystyle p) pojav dogodka A (\displaystyle A) konstantna v vsakem poskusu, potem je verjetnost P k , n (\displaystyle P_(k,n)) da dogodek A (\displaystyle A) bo prišel točno k (\displaystyle k) enkrat na vsak n (\displaystyle n) neodvisni testi, je enako: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Kje q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Dokaz

Naj se izvede n (\displaystyle n) neodvisni testi, znano pa je, da je rezultat vsakega testa dogodek A (\displaystyle A) zgodi z verjetnostjo P (A) = p (\displaystyle P\left(A\desno)=p) in se zato ne zgodi z verjetnostjo P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\desno)=1-p=q). Naj tudi med preizkusi verjetnosti p (\displaystyle p) in q (\displaystyle q) ostanejo nespremenjeni. Kakšna je verjetnost, da bo zaradi n (\displaystyle n) neodvisni testi, dogodek A (\displaystyle A) bo prišel točno k (\displaystyle k) enkrat?

Izkazalo se je, da je mogoče natančno izračunati število "uspešnih" kombinacij testnih izidov, za katere dogodek A (\displaystyle A) prihaja k (\displaystyle k) enkrat na vsak n (\displaystyle n) neodvisni testi - to je točno število kombinacij n (\displaystyle n) Avtor: k (\displaystyle k) :

C n (k) = n !{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

k! A (\displaystyle A)(n − k) !

(\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n n (\displaystyle n) Hkrati pa, ker so vsi testi neodvisni in so njihovi rezultati nezdružljivi (dogodek A (\displaystyle A) bo prišel točno k (\displaystyle k) Ponovno morate sešteti verjetnosti, da dobite vse "uspešne" kombinacije. Verjetnosti za pridobitev vseh "uspešnih" kombinacij so enake in enake p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), je število "uspešnih" kombinacij enako C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), tako da končno dobimo:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Zadnji izraz ni nič drugega kot Bernoullijeva formula. Koristno je tudi omeniti, da bo zaradi popolnosti skupine dogodkov veljalo:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).