Bernoullijeva porazdelitev. Numerične značilnosti naključne spremenljivke, porazdeljene po binomskem zakonu

Kratka teorija

Teorija verjetnosti se ukvarja s poskusi, ki jih je mogoče (vsaj teoretično) ponoviti neomejeno številokrat. Naj se poskus ponovi enkrat in rezultati vsake ponovitve niso odvisni od rezultatov prejšnjih ponovitev. Takšne serije ponovitev imenujemo neodvisni poskusi. Poseben primer tovrstnih testov so neodvisni Bernoullijevi testi, za katere sta značilna dva pogoja:

1) rezultat vsakega testa je eden od dveh možnih rezultatov, imenovanih "uspeh" oziroma "neuspeh".

2) verjetnost "uspeha" v vsakem naslednjem testu ni odvisna od rezultatov prejšnjih testov in ostaja konstantna.

Bernoullijev izrek

Če izvedemo niz neodvisnih Bernoullijevih poskusov, v vsakem od katerih se "uspeh" pojavi z verjetnostjo, potem je verjetnost, da se "uspeh" pojavi natanko enkrat v poskusih, izražena s formulo:

kje je verjetnost "neuspeha".

– število kombinacij elementov po (glej osnovne kombinatorične formule)

Ta formula se imenuje Bernoullijeva formula.

Bernoullijeva formula vam omogoča, da se znebite veliko število izračuni – seštevanje in množenje verjetnosti – z dovolj velikim številom testov.

Shemo Bernoullijevega testa imenujemo tudi binomska shema, ustrezne verjetnosti pa binomske, kar je povezano z uporabo binomskih koeficientov.

Porazdelitev po Bernoullijevi shemi omogoča predvsem iskanje najverjetnejšega števila pojavov dogodka.

Če je število testov n je velik, uporabite:

Primer rešitve problema

Problemsko stanje

Stopnja kalivosti nekaterih rastlinskih semen je 70%. Kolikšna je verjetnost, da bo od 10 posejanih semen: 8 najmanj 8; vsaj 8?

Rešitev problema

Uporabimo Bernoullijevo formulo:

V našem primeru

Naj se zgodi, da od 10 semen vzklije 8:

Naj bo dogodek vsaj 8 (to pomeni 8, 9 ali 10)

Naj dogodek zraste vsaj 8 (to pomeni 8,9 ali 10)

Odgovori

Povprečje strošek rešitve testno delo 700 - 1200 rubljev (vendar ne manj kot 300 rubljev za celotno naročilo). Na ceno v veliki meri vpliva nujnost odločitve (od enega dneva do nekaj ur). Cena spletne pomoči za izpit/test je od 1000 rubljev. za rešitev vstopnice.

Zahtevo lahko pustite neposredno v klepetu, pri čemer ste predhodno poslali pogoje naloge in vas obvestili o časovnem okviru za rešitev, ki jo potrebujete. Odzivni čas je nekaj minut.

Statistika nam priskoči na pomoč pri reševanju številnih težav, na primer: ko ni mogoče zgraditi determinističnega modela, ko je dejavnikov preveč ali ko moramo oceniti verjetnost izdelanega modela ob upoštevanju razpoložljivih podatkov. Odnos do statistike je dvoumen. Obstaja mnenje, da obstajajo tri vrste laži: laž, prekleta laž in statistika. Po drugi strani pa mnogi »uporabniki« statistike verjamejo preveč, ne da bi popolnoma razumeli, kako deluje: na primer, uporabijo test za kateri koli podatek, ne da bi preverili njegovo normalnost. Takšna malomarnost lahko povzroči resne napake in spremeni »oboževalce« testov v sovražnike statistike. Poskusimo postaviti tokove nad i in ugotoviti, katere modele naključnih spremenljivk je treba uporabiti za opis določenih pojavov in kakšna genetska povezava obstaja med njimi.

Najprej bo to gradivo zanimivo za študente, ki študirajo teorijo verjetnosti in statistiko, čeprav ga bodo "zreli" strokovnjaki lahko uporabili kot referenco. V enem od naslednja dela Prikazal bom primer uporabe statistike za izdelavo testa za ocenjevanje pomembnosti indikatorjev borznih trgovalnih strategij.

Delo bo upoštevalo:

Na koncu članka bo vprašanje za razmislek. Svoja razmišljanja o tej zadevi bom predstavil v naslednjem članku.

Nekaj ​​zgoraj naštetega zvezne porazdelitve so posebni primeri.

Diskretne porazdelitve

Opisano diskretna porazdelitev verjetnost vsakega možnega izida dogodka. Kot za vsako porazdelitev (vključno z zvezno) sta koncepta pričakovanja in disperzije opredeljena za diskretne dogodke. Vendar je treba razumeti, da je matematično pričakovanje za diskretni naključni dogodek vrednost v splošnem primeru, ki je ni mogoče realizirati kot izid enega samega naključnega dogodka, temveč kot vrednost, ki ji je aritmetična sredina izidov dogodkov se bo povečalo, ko bo njihovo število naraščalo.

V diskretni diskretni simulaciji naključni dogodki pomembno vlogo kombinatorika igra pomembno vlogo, saj je verjetnost izida dogodka mogoče definirati kot razmerje med številom kombinacij, ki dajo zahtevani izid, in skupnim številom kombinacij. Na primer: v košari so 3 bele in 7 črnih žog. Ko izberemo 1 žogo iz košarice, jo lahko naredimo 10 na različne načine (skupna količina kombinacije), vendar le 3 možnosti, v katerih bo izbrana bela krogla (3 kombinacije, ki dajo zahtevani rezultat). Tako je verjetnost, da izberemo belo kroglo: ().

Prav tako je treba razlikovati med vzorci z vračilom in brez njega. Na primer, da bi opisali verjetnost izbire dveh belih žog, je pomembno ugotoviti, ali bo prva žoga vrnjena v koš. Če ne, potem imamo opravka z vzorcem brez vrnitve () in verjetnost bo naslednja: - verjetnost, da iz začetnega vzorca izberemo belo žogico, pomnoženo z verjetnostjo, da ponovno izberemo belo žogico izmed preostalih v košu. . Če se prva žoga vrne v koš, je to priklic z return(). V tem primeru je verjetnost, da izberemo dve beli krogli.

Če formaliziramo primer s košarico na naslednji način: naj ima izid dogodka eno od dveh vrednosti 0 ali 1 z verjetnostmi oz., potem se bo porazdelitev verjetnosti za pridobitev vsakega od predlaganih izidov imenovala Bernoullijeva porazdelitev :

Po ustaljeni tradiciji se izid z vrednostjo 1 imenuje "uspeh", izid z vrednostjo 0 pa "neuspeh". Očitno je, da se rezultat "uspeh ali neuspeh" zgodi z verjetnostjo.

Pričakovanje in varianca Bernoullijeve porazdelitve:

Število uspehov v poskusih, katerih izid je porazdeljen glede na verjetnost uspeha (primer vračanja žog v koš), opišemo z binomsko porazdelitvijo:

Z drugimi besedami, lahko rečemo, da binomska porazdelitev opisuje vsoto neodvisnih naključnih spremenljivk, ki jih je mogoče porazdeliti z verjetnostjo uspeha.
Pričakovanje in varianca:

Če so količine binomske porazdelitve s parametri oziroma , potem bo tudi njihova vsota porazdeljena binomsko s parametri .

Predstavljajmo si situacijo, ko vlečemo žoge iz koša in jih vračamo nazaj, dokler ne izvlečemo bele žoge. Število takih operacij je opisano z geometrijsko porazdelitvijo. Z drugimi besedami: geometrijska porazdelitev opisuje število poskusov do prvega uspeha z verjetnostjo uspeha v vsakem poskusu. Če je implicirana številka poskusa, v katerem je prišlo do uspeha, bo geometrijska porazdelitev opisana z naslednjo formulo:

Pascalova porazdelitev je posplošitev porazdelitve: opisuje porazdelitev števila napak v neodvisni testi, katerega izid je porazdeljen na verjetnost uspeha, preden pride do skupnega uspeha. Ko , dobimo porazdelitev za količino .

Pričakovanje in varianca negativne binomske porazdelitve:

Doslej smo obravnavali primere vzorcev z reverzijo, to je, da se verjetnost izida ni spreminjala od poskusa do poskusa.

Zdaj razmislite o situaciji brez povratka in opišite verjetnost števila uspešnih izbir iz populacije z vnaprej znanim številom uspehov in neuspehov (vnaprej znano število belih in črnih žog v košu, aduti v špilu, okvarjeni deli v igri itd.).

Naj skupna zbirka vsebuje predmete, nekateri od njih so označeni z "1" in kot "0". Izbor predmeta z oznako »1« bomo šteli za uspeh, z oznako »0« pa za neuspeh. Izvedli bomo n testov, izbrani objekti pa ne bodo več sodelovali v nadaljnjih testih. Verjetnost uspeha bo podrejena hipergeometrični porazdelitvi:

Pričakovanje in varianca:

Poissonova porazdelitev

Poissonova porazdelitev se bistveno razlikuje od zgoraj obravnavanih porazdelitev na svojem "predmetnem" področju: zdaj se ne upošteva verjetnost pojava enega ali drugega izida testa, temveč intenzivnost dogodkov, to je povprečno število dogodkov na časovno enoto.

Poissonova porazdelitev opisuje verjetnost pojavljanja neodvisnih dogodkov skozi čas pri povprečni intenzivnosti dogodkov:

Poissonova porazdelitev v kombinaciji z , ki opisuje časovne intervale med pojavitvami neodvisnih dogodkov, je matematične osnove teorija zanesljivosti.

Gostoto verjetnosti zmnožka naključnih spremenljivk x in y () s porazdelitvami in lahko izračunamo na naslednji način:

Nekatere od spodnjih porazdelitev so posebni primeri Pearsonove porazdelitve, ki je nato rešitev enačbe:

Distribucije, o katerih bomo razpravljali v tem razdelku, so med seboj tesno povezane. Te povezave se izražajo v tem, da so nekatere porazdelitve posebni primeri drugih porazdelitev ali pa opisujejo transformacije naključnih spremenljivk, ki imajo druge porazdelitve.

Spodnji diagram prikazuje razmerja med nekaterimi zveznimi porazdelitvami, ki jih bomo obravnavali v tem prispevku. V diagramu polne puščice prikazujejo transformacijo naključnih spremenljivk (začetek puščice označuje začetno porazdelitev, konec puščice označuje nastalo porazdelitev), pikčaste puščice pa označujejo generalizacijsko relacijo (začetek puščice označuje porazdelitev, ki je poseben primer tiste, na katero kaže konec puščice). Za posebne primere Pearsonove porazdelitve je ustrezna vrsta Pearsonove porazdelitve navedena nad pikčastimi puščicami.

Normalna porazdelitev (Gaussova porazdelitev)

Gostota verjetnosti normalne porazdelitve s parametri in je opisana z Gaussovo funkcijo:

Če in , se taka porazdelitev imenuje standardna.

Pričakovanje in varianca normalne porazdelitve:

Normalna porazdelitev je porazdelitev tipa VI.

Vsota kvadratov neodvisnih normalnih količin ima , razmerje neodvisnih Gaussovih količin pa je porazdeljeno čez .

Normalna porazdelitev je neskončno deljiva: vsota je normalna porazdeljene količine in s parametri in temu primerno tudi ima normalna porazdelitev s parametri , kjer in .

Normalna porazdelitev dobro modelira količine, ki opisujejo naravni pojavišum termodinamične narave in merilne napake.

Poleg tega v skladu s centralnim limitnim izrekom vsota velikega števila neodvisnih členov istega reda konvergira k normalni porazdelitvi, ne glede na porazdelitve členov. Zaradi te lastnosti je običajna porazdelitev priljubljena v statistična analiza, je veliko statističnih testov zasnovanih za normalno porazdeljene podatke.

Z-test temelji na neskončni deljivosti normalne porazdelitve. Ta test se uporablja za preverjanje, ali je pričakovana vrednost vzorca normalno porazdeljenih vrednosti enaka določeni vrednosti. Vrednost variance mora biti znan. Če je vrednost variance neznana in je izračunana na podlagi analiziranega vzorca, potem t-test, ki temelji na .

Imejmo vzorec n neodvisnih normalno porazdeljenih vrednosti iz populacije z standardni odklon Postavimo hipotezo, da. Potem bo imela vrednost standardno normalno porazdelitev. S primerjavo dobljene vrednosti z s kvantili standardne porazdelitve lahko sprejmete ali zavrnete hipotezo z zahtevano stopnjo pomembnosti.

Zaradi široke uporabe Gaussove porazdelitve mnogi raziskovalci, ki niso dobro seznanjeni s statistiko, pozabijo preveriti normalnost podatkov ali ocenijo graf gostote porazdelitve »na oko«, slepo prepričani, da imajo opravka z Gaussovimi podatki. V skladu s tem lahko varno uporabljate teste, zasnovane za normalno porazdelitev, in dobite popolnoma napačne rezultate. Od tod verjetno tudi fama o statistiki kot najstrašnejši vrsti laži.

Poglejmo si primer: izmeriti moramo upor niza uporov določene vrednosti. Odpor ima fizična narava, je logično domnevati, da bo porazdelitev odstopanj upora od nominalne vrednosti normalna. Izmerimo in dobimo zvonasto funkcijo gostote verjetnosti za izmerjene vrednosti z modusom v bližini vrednosti upora. Je to normalna porazdelitev? Če da, bomo poiskali okvarjene upore z ali z-testom, če vnaprej poznamo disperzijo porazdelitve. Mislim, da bodo mnogi storili prav to.

Toda poglejmo si podrobneje tehnologijo merjenja upora: upor je definiran kot razmerje med uporabljeno napetostjo in tokovnim tokom. Z instrumenti smo merili tok in napetost, ki pa imata normalno porazdeljene napake. To pomeni, da so izmerjene vrednosti toka in napetosti normalno porazdeljene naključne spremenljivke z matematičnimi pričakovanji, ki ustrezajo pravim vrednostim izmerjenih količin. To pomeni, da so dobljene vrednosti upora porazdeljene po , in ne po Gaussu.

Porazdelitev opisuje vsoto kvadratov naključnih spremenljivk, od katerih je vsaka porazdeljena po standardu normalno pravo :

Kje je število prostostnih stopinj, .

Pričakovanje in disperzija porazdelitve:

Je poseben primer (in torej porazdelitev tipa III) in posplošitev. Razmerje količin, porazdeljenih nad porazdeljenih na .

Pearsonov test primernosti temelji na porazdelitvi. S tem merilom lahko preverite zanesljivost vzorca naključna spremenljivka nekaj teoretične porazdelitve.

Predpostavimo, da imamo vzorec neke naključne spremenljivke. Na podlagi tega vzorca izračunamo verjetnosti, da vrednosti padejo v intervale (). Naj bo tudi predpostavka o analitično izražanje porazdelitev, po kateri naj bi bile verjetnosti padca v izbrane intervale . Nato se bodo količine porazdelile po običajnem zakonu.

Zmanjšajmo na standardno normalno porazdelitev: ,
kje in .

Dobljene vrednosti imajo normalno porazdelitev s parametri (0, 1), zato je vsota njihovih kvadratov porazdeljena po stopnji svobode. Zmanjšanje stopnje svobode je povezano z dodatno omejitvijo vsote verjetnosti vrednosti, ki spadajo v intervale: mora biti enaka 1.

S primerjavo vrednosti s kvantili porazdelitve lahko sprejmete ali zavrnete hipotezo o teoretični porazdelitvi podatkov z zahtevano stopnjo pomembnosti.

Studentova porazdelitev se uporablja za izvedbo t-testa: testa enakosti pričakovane vrednosti vzorca porazdeljenih slučajnih spremenljivk določeni vrednosti ali enakosti pričakovane vrednosti dveh vzorcev z enako varianco (enakost odstopanj je treba preveriti). Studentova porazdelitev opisuje razmerje med porazdeljeno naključno spremenljivko in spremenljivko, porazdeljeno na .

Naj in sta neodvisni naključni spremenljivki s prostostnima stopnjama oz. Potem bo imela količina Fisherjevo porazdelitev s prostostnimi stopnjami, količina pa bo imela Fisherjevo porazdelitev s prostostnimi stopnjami.
Fisherjeva porazdelitev je definirana za realne nenegativne argumente in ima gostoto verjetnosti:


Pričakovanje in varianca Fisherjeve porazdelitve:

Številni statistični testi temeljijo na Fisherjevi porazdelitvi, kot je ocenjevanje pomembnosti regresijskih parametrov, test heteroskedastičnosti in test enakosti vzorčnih varianc (f-test, treba je razlikovati od natančno Fisherjev test).

F-test: naj bosta dva neodvisni vzorci in količine porazdeljenih podatkov oz. Postavimo hipotezo o enakosti vzorčnih varianc in jo statistično preverimo.

Izračunajmo vrednost. Imel bo Fisherjevo porazdelitev s prostostnimi stopnjami.

S primerjavo vrednosti s kvantili ustrezne Fisherjeve porazdelitve lahko sprejmemo ali zavrnemo hipotezo o enakosti vzorčnih varianc z zahtevano stopnjo pomembnosti.

Eksponentna (eksponentna) porazdelitev in Laplaceova porazdelitev (dvojna eksponentna, dvojna eksponentna)

Eksponentna porazdelitev opisuje časovne intervale med samostojni dogodki, ki se pojavlja s srednjo intenzivnostjo. Število pojavov takega dogodka v določenem časovnem obdobju je opisano kot diskretno. Eksponentna porazdelitev skupaj z tvorita matematično osnovo teorije zanesljivosti.

Poleg teorije zanesljivosti je v opisu uporabljena eksponentna porazdelitev družbenih pojavov, v ekonomiji, v teoriji čakalnih vrst, v transportni logistiki - povsod, kjer je treba modelirati tok dogodkov.

Eksponentna porazdelitev je poseben primer (za n=2) in zato . Ker je eksponentno porazdeljena količina hi-kvadrat količina z 2 prostostnima stopnjama, jo je mogoče interpretirati kot vsoto kvadratov dveh neodvisnih normalno porazdeljenih količin.

Tudi eksponentna porazdelitev je pošten primer

V tej lekciji bomo ugotovili verjetnost, da se dogodek zgodi v neodvisnih poskusih pri ponavljanju poskusov . Poskusi se imenujejo neodvisni, če verjetnost enega ali drugega izida posameznega poskusa ni odvisna od rezultatov drugih poskusov. . Neodvisni testi se lahko izvajajo tako pod enakimi kot pod različnimi pogoji. V prvem primeru je verjetnost nastopa nekega dogodka v vseh poskusih enaka, v drugem primeru pa se od poskusa do poskusa razlikuje.

Primeri neodvisnih ponovnih testov :

• eno od vozlišč naprave ali dve ali tri vozlišča bodo odpovedali in odpoved vsakega vozlišča ni odvisna od drugega vozlišča, verjetnost odpovedi enega vozlišča pa je konstantna pri vseh testih;
• del ali trije, štirje, pet delov, izdelani pod določenimi stalnimi tehnološkimi pogoji, se bodo izkazali za nestandardne in en del se lahko izkaže za nestandardnega ne glede na kateri koli drug del in verjetnost, da se bo del spremenil biti nestandarden je konstanten pri vseh testih;
• od več strelov v tarčo en, trije ali štirje streli zadenejo tarčo ne glede na izid drugih strelov in je verjetnost zadetka tarče konstantna pri vseh poskusih;
• ko vrže kovanec, bo stroj pravilno deloval enkrat, dvakrat ali večkrat, ne glede na izid drugih padcev kovancev, in verjetnost, da bo stroj deloval pravilno, je konstantna v vseh poskusih.

Te dogodke je mogoče opisati v enem diagramu. Vsak dogodek se zgodi v vsakem poskusu z enako verjetnostjo, ki se ne spremeni, če postanejo znani rezultati prejšnjih poskusov. Takšni testi se imenujejo neodvisni, vezje pa se imenuje Bernoullijeva shema . Predvideva se, da se lahko takšni testi po želji ponovijo veliko število enkrat.

Če je verjetnost str pojav dogodka A je konstantna v vsakem poskusu, potem je verjetnost, da v n dogodek neodvisnega testiranja A bo prišel m krat, se nahaja pri Bernoullijeva formula :

(Kje q= 1 – str- verjetnost, da se dogodek ne bo zgodil)

Postavimo si nalogo - najti verjetnost, da dogodek te vrste v n bodo prišli neodvisni testi m enkrat.

Bernoullijeva formula: primeri reševanja problemov

Primer 1. Poiščite verjetnost, da sta med petimi naključno vzetimi deli dva standardna, če je verjetnost, da se vsak del izkaže za standardnega, 0,9.

rešitev. Verjetnost dogodka A, ki sestoji iz dejstva, da je naključni del standarden, obstaja str=0,9 in obstaja verjetnost, da je nestandarden q=1–str=0,1. Dogodek, označen v izjavi o problemu (označujemo ga z IN) se bo zgodilo, če se na primer prva dva dela izkažeta za standardna, naslednji trije pa so nestandardni. Ampak dogodek IN se bo zgodilo tudi, če se izkaže, da sta prvi in ​​tretji del standardna, preostali pa nestandardni, ali če sta drugi in peti del standardna, ostali pa nestandardni. Obstajajo tudi druge možnosti, da se dogodek zgodi IN. Za katerega koli od njih je značilno, da se od petih odvzetih delov dva, ki zasedeta poljubna mesta od petih, izkažeta za standardna. torej skupno število različne možnosti za nastanek dogodka IN je enako številu možnosti za postavitev dveh standardnih delov na pet mest, tj. je enako številu kombinacij petih elementov po dva in .

Verjetnost vsake možnosti po izreku o množenju verjetnosti je enaka zmnožku petih faktorjev, od katerih sta dva, ki ustrezata videzu standardnih delov, enaka 0,9, preostali trije pa ustrezajo videzu nestandardnih delov. delov, so enaki 0,1, tj. ta verjetnost je. Ker je teh deset možnosti nekompatibilnih dogodkov, je po izreku dodatka verjetnost dogodka IN, ki ga označujemo

Primer 2. Verjetnost, da bo stroj zahteval pozornost delavca v eni uri, je 0,6. Ob predpostavki, da so težave na strojih neodvisne, poiščite verjetnost, da bo v eni uri delavčeva pozornost zahtevala kateri koli stroj od štirih, ki jih upravlja.

rešitev. Uporaba Bernoullijeva formula pri n=4 , m=1 , str=0,6 in q=1–str=0,4, dobimo

Primer 3. Za normalno delovanje skupnega prevoza mora biti na progi vsaj osem vozil, teh pa je deset. Verjetnost, da vsako vozilo ne stopi na črto, je 0,1. Poiščite verjetnost normalnega delovanja depoja avtomobilov v naslednjem dnevu.

rešitev. Skupna vožnja bo delovala normalno (dogodek F), če se oglasi osem ali osem (dogodek A), ali devet (dogodek IN), ali dogodek vseh deset avtomobilov (dogodek C). Po izreku seštevanja verjetnosti je

Najdemo vsak izraz po Bernoullijevi formuli. Tukaj n=10 , m=8; 10 in str=1-0,1=0,9, saj str mora navesti verjetnost, da vozilo zapelje na črto; Potem q=0,1. Kot rezultat dobimo

Primer 4. Naj bo verjetnost, da stranka potrebuje moške čevlje številka 41, 0,25. Poiščite verjetnost, da od šestih kupcev vsaj dva potrebujeta čevlje številke 41.

Ponavljajoči se neodvisni poskusi se imenujejo Bernoullijevi poskusi, če ima vsak poskus samo dva možna izida in verjetnosti izidov ostanejo enake v vseh poskusih.

Običajno se ta dva rezultata imenujeta "uspeh" (S) ali "neuspeh" (F), ustrezne verjetnosti pa so označene str in q. Jasno je, da str 0, q³ 0 in str+q=1.

Prostor elementarnih dogodkov vsakega poskusa je sestavljen iz dveh dogodkov U in H.

Prostor elementarnega dogajanja n Bernoullijevi testi Ω vsebuje 2 n elementarnih dogodkov, ki so zaporedja (verige). n simbola U in N. Vsak elementarni dogodek je eden od možnih rezultatov zaporedja n Bernoullijevi testi. Ker so preizkusi neodvisni, se po izreku množenja verjetnosti pomnožijo, kar pomeni, da je verjetnost katerega koli specifičnega zaporedja produkt, dobljen z zamenjavo simbolov U in H z str in q temu primerno, to je na primer: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q str .

Upoštevajte, da je rezultat Bernoullijevega testa pogosto označen z 1 in 0, nato pa z osnovnim dogodkom v zaporedju n Bernoullijevi testi - obstaja veriga, sestavljena iz ničel in enic. Na primer:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernoullijevi testi predstavljajo najpomembnejšo shemo, obravnavano v teoriji verjetnosti. Ta shema je poimenovana po švicarskem matematiku J. Bernoulliju (1654-1705), ki je v svojih delih poglobljeno preučeval ta model.

Glavna težava, ki nas bo tu zanimala, je: kakšna je verjetnost dogodka, ki n Zgodili so se Bernoullijevi testi m uspeh?

Če so navedeni pogoji izpolnjeni, verjetnost, da med neodvisnimi testi dogodek bodo natančno upoštevani m časi (ne glede na to, v katerih poskusih), se določi z Bernoullijeva formula:

(21.1)

kje - verjetnost pojava v vsakem testu in
- verjetnost, da v danem poskusu dogodek se ni zgodilo.

Če upoštevamo p n (m) kot funkcija m, potem določa verjetnostno porazdelitev, ki se imenuje binomska. Raziščimo to odvisnost p n (m) od m, 0£ m£ n.

Dogodki B m ( m = 0, 1, ..., n), sestavljen iz različnih števil pojavitev dogodka A V n testi so nekompatibilni in tvorijo popolno skupino. torej
.

Upoštevajmo razmerje:

=
=
=
.

Iz tega sledi p n (m+1)>p n (m),če (n- m)p> (m+1)q, tj. funkcijo p n (m) se poveča, če m< n.p.- q. prav tako p n (m+1)< p n (m),če (n- m)p< (m+1)q, tj. p n (m) zmanjša, če m> n.p.- q.

Torej obstaja številka m 0, pri kateri p n (m) doseže največjo vrednost. Bomo našli m 0 .

Glede na pomen števila m 0 imamo p n (m 0)³ p n (m 0 -1) in p n (m 0) ³ p n (m 0 +1), od tukaj

, (21.2)

. (21.3)

Reševanje neenačb (21.2) in (21.3) glede na m 0, dobimo:

str/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p.+ str,

q/(n- m 0 ) ³ str/(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p.- q.

Torej, zahtevano število m 0 izpolnjuje neenakosti

n.p.- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Ker str+q=1, potem je dolžina intervala, ki ga določa neenakost (21.4), enaka ena in obstaja vsaj eno celo število m 0, ki izpolnjuje neenakosti (21.4):

1) če n.p. - q je celo število, potem obstajata dve vrednosti m 0, in sicer: m 0 = n.p. - q in m 0 = n.p. - q + 1 = n.p. + str;

2) če n.p. - q- ulomek, potem je eno število m 0, namreč edino celo število med ulomki, dobljenimi iz neenačbe (21.4);

3) če n.p. je celo število, potem je eno število m 0, namreč m 0 = n.p..

številka m 0 se imenuje najverjetnejša ali najverjetnejša vrednost (število) nastopa dogodka A v seriji n neodvisni testi.

Ne razmišljajmo dolgo o vzvišenih stvareh - začnimo takoj z definicijo.

Bernoullijeva shema je, ko se izvede n identičnih neodvisnih poskusov, v vsakem od njih se lahko pojavi dogodek, ki nas zanima, A in je verjetnost tega dogodka P (A) = p znana. Določiti moramo verjetnost, da se bo po n poskusih dogodek A zgodil točno k-krat.

Težave, ki jih je mogoče rešiti z Bernoullijevo shemo, so izjemno raznolike: od preprostih (kot je "ugotovite verjetnost, da bo strelec zadel 1-krat od 10") do zelo hudih (na primer težave z odstotki ali igralnimi kartami) . V resnici se ta shema pogosto uporablja za reševanje težav, povezanih s spremljanjem kakovosti izdelkov in zanesljivosti različnih mehanizmov, katerih vse značilnosti je treba poznati pred začetkom dela.

Vrnimo se k definiciji. Ker govorimo o o neodvisnih poskusih in je v vsakem poskusu verjetnost dogodka A enaka, možna sta le dva izida:

1. A je pojav dogodka A z verjetnostjo p;
2. “ni A” - dogodek A se ni pojavil, kar se zgodi z verjetnostjo q = 1 − p.

Najpomembnejši pogoj, brez katerega Bernoullijeva shema izgubi pomen, je konstantnost. Ne glede na to, koliko poskusov izvedemo, nas zanima isti dogodek A, ki se zgodi z enako verjetnostjo p.

Mimogrede, vsi problemi v teoriji verjetnosti niso reducirani na konstantne pogoje. Vsak kompetenten učitelj vam bo povedal o tem. višja matematika. Tudi nekaj tako preprostega, kot je jemanje pisanih žog iz škatle, ni izkušnja s stalnimi pogoji. Vzeli so še eno žogo - razmerje barv v škatli se je spremenilo. Posledično so se spremenile tudi verjetnosti.

Če so pogoji konstantni, lahko natančno določimo verjetnost, da se bo dogodek A zgodil točno k-krat od n možnih. To dejstvo oblikujmo v obliki izreka:

Bernoullijev izrek. Naj bo verjetnost pojava dogodka A v vsakem poskusu konstantna in enaka p. Potem se verjetnost, da se bo dogodek A pojavil točno k-krat v n neodvisnih poskusih, izračuna po formuli:

kjer je C n k število kombinacij, q = 1 − p.

Ta formula se imenuje Bernoullijeva formula. Zanimivo je omeniti, da je spodaj navedene probleme mogoče popolnoma rešiti brez uporabe te formule. Uporabite lahko na primer formule za seštevanje verjetnosti. Vendar pa bo količina izračuna preprosto nerealna.

Naloga. Verjetnost izdelave izdelka z napako na stroju je 0,2. Določite verjetnost, da bo v seriji desetih delov, izdelanih na tem stroju, natanko k delov brez napak. Reši nalogo za k = 0, 1, 10.

Glede na pogoj nas zanima dogodek A izpusta izdelkov brez napak, ki se zgodi vsakokrat z verjetnostjo p = 1 − 0,2 = 0,8. Določiti moramo verjetnost, da se bo ta dogodek zgodil k-krat. Dogodek A je v nasprotju z dogodkom »ne A«, tj. sprostitev izdelka z napako.

Tako imamo: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Tako najdemo verjetnost, da so vsi deli v seriji okvarjeni (k = 0), da je samo en del brez napak (k = 1) in da sploh ni okvarjenih delov (k = 10):

Naloga. Kovanec se vrže 6-krat. Pristanek grba in glave je enako verjeten. Poiščite verjetnost, da:

1. grb se bo pojavil trikrat;
2. grb se bo pojavil enkrat;
3. se bo grb pojavil vsaj dvakrat.

Zanima nas torej dogodek A, ko izpade grb. Verjetnost tega dogodka je p = 0,5. Dogodek A je v nasprotju z dogodkom »ne A«, ko je rezultat glava, kar se zgodi z verjetnostjo q = 1 − 0,5 = 0,5. Določiti moramo verjetnost, da se bo grb pojavil k-krat.

Tako imamo: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Ugotovimo verjetnost, da je grb izrisan trikrat, tj. k = 3:

Zdaj pa ugotovimo verjetnost, da je grb narisan le enkrat, tj. k = 1:

Treba je ugotoviti, s kakšno verjetnostjo se bo grb pojavil vsaj dvakrat. Glavni ulov je v frazi "nič manj". Izkaže se, da bomo zadovoljni s katerimkoli k razen 0 in 1, tj. poiskati moramo vrednost vsote X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Upoštevajte, da je tudi ta vsota enaka (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), tj. dovolj vsega možne možnosti“izrezati” tiste, ko je grb izpadel 1-krat (k = 1) ali sploh ni izpadel (k = 0). Ker že poznamo P 6 (1), je treba najti P 6 (0):

Naloga. Verjetnost, da ima televizor skrite napake, je 0,2. V skladišče je prispelo 20 televizorjev. Kateri dogodek je verjetnejši: da sta v tej seriji dva televizorja s skritimi napakami ali trije?

Zanimiv dogodek A je prisotnost latentne napake. Skupaj je n = 20 televizorjev, verjetnost skrite napake je p = 0,2. V skladu s tem je verjetnost sprejema TV brez skrite napake q = 1 − 0,2 = 0,8.

Dobimo izhodiščne pogoje za Bernoullijevo shemo: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Ugotovimo verjetnost, da dobimo dva "pokvarjena" televizorja (k = 2) in tri (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Očitno je P 20 (3) > P 20 (2), tj. verjetnost prejema treh televizorjev s skritimi napakami je večja od verjetnosti prejema samo dveh takih televizorjev. Poleg tega razlika ni šibka.

Hitra opomba o faktorialih. Mnogi ljudje občutijo nejasen občutek nelagodja, ko vidijo vnos "0!" (beri "nič faktorial"). Torej, 0! = 1 po definiciji.

p. S. In največja verjetnost pri zadnji nalogi je, da dobimo štiri televizorje s skritimi napakami. Izračunajte si sami in se prepričajte.