Izračun prostornine prisekane piramide. Bočna površina prisekane piramide

• 09.10.2014

  Predojačevalnik, prikazan na sliki, je zasnovan za uporabo s 4 vrstami zvočnih virov, na primer mikrofon, CD predvajalnik, radio itd. V tem primeru ima predojačevalnik en vhod, ki lahko spreminja občutljivost od 50 mV do 500 mV. izhodna napetost ojačevalnika 1000mV. S povezovanjem različnih virov signala pri preklopu stikala SA1 bomo vedno dobili...

• 20.09.2014

  Napajalnik je zasnovan za obremenitev 15…20 W. Vir je izdelan po vezju enocikličnega impulznega visokofrekvenčnega pretvornika. Tranzistor se uporablja za sestavljanje samooscilatorja, ki deluje na frekvenci 20 ... 40 kHz. Frekvenca se prilagaja s kapacitivnostjo C5. Elementi VD5, VD6 in C6 tvorijo zagonsko vezje oscilatorja. V sekundarnem vezju po mostičnem usmerniku je na mikrovezju običajen linearni stabilizator, ki vam omogoča ...

• 28.09.2014

  Slika prikazuje generator, ki temelji na mikrovezju K174XA11, katerega frekvenco nadzira napetost. S spreminjanjem kapacitivnosti C1 od 560 do 4700 pF lahko dosežemo širok razpon frekvenc, frekvenco pa nastavljamo s spreminjanjem upora R4. Tako je na primer avtor ugotovil, da je pri C1 = 560pF frekvenco generatorja mogoče spremeniti z uporabo R4 s 600Hz na 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Enota je zasnovana za napajanje močnega ULF, zasnovana je za izhodno napetost ±27V in obremenitev do 3A na vsaki roki. Napajanje je bipolarno, izdelano na kompletnih kompozitnih tranzistorjih KT825-KT827. Oba kraka stabilizatorja sta narejena po istem vezju, vendar je v drugem kraku (ni prikazan) spremenjena polarnost kondenzatorjev in uporabljeni tranzistorji drugega tipa...

Piramida. Prisekana piramida

Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina piramida je razdalja od njenega vrha do ravnine baze. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek imenujemo odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskev in podnožja.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

2. Če so v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:

kje V- volumen;

S osnova– osnovna površina;

H– višina piramide.

Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

h a– apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S osnova– osnovna površina;

V– prostornina pravilne piramide.

Prisekana piramida imenovan del piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida imenujemo del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.

Razlogi prisekana piramida – podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:

(4)

kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;

S poln– skupna površina;

S stran– bočna površina;

H- višina;

V– prostornina prisekane piramide.

Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:

kje str 1 , str 2 – obodi baz;

h a– apotem pravilne prisekane piramide.

Primer 1. V pravilni trikotni piramidi je diedrski kot pri dnu 60º. Poiščite tangens kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.

rešitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, kar pomeni, da je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge torej in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O segment BD je razdeljen na dele: in Iz najdemo torej: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prisekane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov enaki cm in cm, njena višina pa je 4 cm.

rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice osnov so enake 2 cm oziroma 8 cm. To pomeni, da so površine osnov in Če vse podatke nadomestimo v formulo, izračunamo prostornino prirezane piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. saj (glej sliko 20) in Po drugi strani OK– krogu včrtan polmer in OM– polmer vpisan v krog:

MK = DE.

Po Pitagorovem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.

rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti ploščin in ploščine trapeza ABCD.

Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Z uporabo izreka o območju pravokotne projekcije ravninske figure dobimo:

Enako pomeni Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.

Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo

je polieder, ki ga tvorita osnova piramide in odsek, ki je vzporeden z njo. Lahko rečemo, da je prisekana piramida piramida z odrezanim vrhom. Ta številka ima številne edinstvene lastnosti:

• Stranske ploskve piramide so trapezi;
• Stranski robovi pravilne prisekane piramide so enako dolgi in nagnjeni proti vznožju pod enakim kotom;
• Osnove so podobni poligoni;
• V pravilni prisekani piramidi so obrazi enaki enakokraki trapezi, katerih površina je enaka. Prav tako so nagnjeni na podlago pod enim kotom.

Formula za stransko površino prisekane piramide je vsota površin njenih stranic:

Ker so stranice prisekane piramide trapezi, boste za izračun parametrov morali uporabiti formulo trapezno območje. Za navadno prisekano piramido lahko uporabite drugačno formulo za izračun površine. Ker so vse njegove stranice, ploskve in koti pri dnu enaki, je možno nanesti obode baze in apotem ter izpeljati ploščino skozi kot pri dnu.

Če so glede na pogoje pravilne prisekane piramide podani apotem (višina stranice) in dolžine stranic osnove, potem lahko ploščino izračunamo s polproduktom vsote obsegov piramide. osnove in apotem:

Oglejmo si primer izračuna bočne površine prisekane piramide.
Podana je pravilna peterokotna piramida. Apotema l= 5 cm, dolžina roba v veliki podlagi je a= 6 cm, rob pa je na manjši podlagi b= 4 cm. Izračunajte ploščino prisekane piramide.

Najprej poiščimo obode baz. Ker nam je dana peterokotna piramida, razumemo, da so osnove petkotniki. To pomeni, da baze vsebujejo lik s petimi enakimi stranicami. Poiščimo obseg večje osnove:

Na enak način najdemo obseg manjše osnove:

Zdaj lahko izračunamo površino pravilne prisekane piramide. Zamenjajte podatke v formulo:

Tako smo izračunali ploščino pravilne prisekane piramide skozi obode in apotem.

Drug način za izračun stranske površine pravilne piramide je formula skozi kote na dnu in površino teh baz.

Poglejmo primer izračuna. Ne pozabite, da ta formula velja le za navadno prisekano piramido.

Naj bo dana pravilna štirikotna piramida. Rob spodnje osnovke je a = 6 cm, rob zgornje osnovke pa b = 4 cm. Diedrski kot pri dnu je β = 60°. Poiščite stransko površino pravilne prisekane piramide.

Najprej izračunajmo površino baz. Ker je piramida pravilna, so vsi robovi baz med seboj enaki. Glede na to, da je osnova štirikotnik, razumemo, da bo treba izračunati območje kvadrata. Je produkt širine in dolžine, a na kvadrat sta ti vrednosti enaki. Poiščimo površino večje baze:


Zdaj uporabimo najdene vrednosti za izračun bočne površine.

S poznavanjem nekaj preprostih formul smo enostavno izračunali površino stranskega trapeza prisekane piramide z različnimi vrednostmi.

Polieder, katerega ena od ploskev je mnogokotnik, vse druge ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom, se imenuje piramida.

Ti trikotniki, ki sestavljajo piramido, se imenujejo stranski obrazi, preostali mnogokotnik pa je osnova piramide.

Na dnu piramide leži geometrijski lik - n-kotnik. V tem primeru se imenuje tudi piramida n-ogljik.

Trikotna piramida, katere robovi so enaki, se imenuje tetraeder.

Robovi piramide, ki ne pripadajo osnovi, se imenujejo stranski, njuna skupna točka pa je vertex piramide. Drugi robovi piramide se običajno imenujejo stranke v osnovi.

Piramida se imenuje pravilno, če ima na svoji osnovi pravilen mnogokotnik in so vsi stranski robovi med seboj enaki.

Razdalja od vrha piramide do ravnine baze se imenuje višina piramide. Lahko rečemo, da je višina piramide odsek, pravokoten na podnožje, katerega konci so na vrhu piramide in na ravnini podnožja.

Za vsako piramido veljajo naslednje formule:

1) S polno = S stran + S glavno, Kje

S skupno - površina celotne površine piramide;

S stran - območje bočne površine, tj. vsota ploščin vseh stranskih ploskev piramide;

S main – območje baze piramide.

2) V = 1/3 S osnove N, Kje

V – prostornina piramide;

H – višina piramide.

Za redna piramida poteka:

S stran = 1/2 P glavni h, Kje

P main – obod baze piramide;

h je dolžina apoteme, to je dolžina višine stranske ploskve, spuščene z vrha piramide.

Del piramide, ki je zaprt med dvema ravninama - osnovno ravnino in z osnovo vzporedno sečno ravnino, se imenuje prisekana piramida.

Osnova piramide in odsek piramide z vzporedno ravnino se imenujeta razlogov prisekana piramida. Preostali obrazi so poklicani stranski. Razdalja med ravninama baz se imenuje višina prisekana piramida. Robovi, ki ne pripadajo osnovam, se imenujejo stranski.

Poleg tega osnova prisekane piramide podobni n-kotniki. Če so osnove prisekane piramide pravilni mnogokotniki in so vsi stranski robovi med seboj enaki, se taka prisekana piramida imenuje pravilno.

Za poljubna prisekana piramida veljajo naslednje formule:

1) S polno = S stran + S 1 + S 2, Kje

S total – skupna površina;

S stran - območje bočne površine, tj. vsota ploščin vseh stranskih ploskev prisekane piramide, ki so trapezi;

S 1, S 2 – osnovne površine;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Kje

V prostornina prisekane piramide;

H – višina prisekane piramide.

Za navadna prisekana piramida imamo tudi:

S stran = 1/2 (P 1 + P 2) h, kje

P 1, P 2 – obodi baz;

h – apotem (višina stranske ploskve, ki je trapez).

Razmislimo o več problemih, ki vključujejo prisekano piramido.

Naloga 1.

V trikotni prisekani piramidi, katere višina je enaka 10, so stranice ene od baz 27, 29 in 52. Določite prostornino prisekane piramide, če je obseg druge baze 72.

rešitev.

Razmislite o prisekani piramidi ABCA 1 B 1 C 1, prikazani v Slika 1.

1. Prostornino prisekane piramide lahko najdete s formulo

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kjer je S 1 površina ene od baz, lahko najdete s Heronovo formulo

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

ker Naloga poda dolžine treh strani trikotnika.

Imamo: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida je prisekana, kar pomeni, da ležijo podobni mnogokotniki na osnovah. V našem primeru je trikotnik ABC podoben trikotniku A 1 B 1 C 1. Poleg tega je koeficient podobnosti mogoče najti kot razmerje obodov obravnavanih trikotnikov, razmerje med njihovimi površinami pa bo enako kvadratu koeficienta podobnosti. Tako imamo:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Zato je S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Torej, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Odgovor: 1900.

Naloga 2.

V trikotni prisekani piramidi je skozi stranico zgornje osnove narisana ravnina, ki je vzporedna z nasprotnim stranskim robom. V kakšno razmerje je razdeljena prostornina prisekane piramide, če so pripadajoče stranice osnov v razmerju 1:2?

rešitev.

Razmislite o ABCA 1 B 1 C 1 - prisekani piramidi, prikazani v riž. 2.

Ker so stranice osnov v razmerju 1:2, so ploščine osnov v razmerju 1:4 (trikotnik ABC je podoben trikotniku A 1 B 1 C 1).

Potem je prostornina prirezane piramide:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kjer je S 2 – površina zgornje podlage, h – višina.

Toda prostornina prizme ADEA 1 B 1 C 1 je V 1 = S 2 h in zato

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Torej, V 2: V 1 = 3: 4.

Odgovor: 3:4.

Naloga 3.

Stranice osnov pravilne štirikotne prisekane piramide so enake 2 in 1, višina pa 3. Skozi presečišče diagonal piramide je narisana ravnina, ki je vzporedna z osnovami piramide, ki deli piramido na dva dela. Poiščite prostornino vsakega od njih.

rešitev.

Razmislite o prisekani piramidi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, prikazani v riž. 3.

Označimo O 1 O 2 = x, potem je OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Razmislite o trikotniku B 1 O 2 D 1 in trikotniku BO 2 D:

kot B 1 O 2 D 1 je enak kotu BO 2 D kot navpičnica;

kot BDO 2 je enak kotu D 1 B 1 O 2 in kot O 2 ВD je enak kotu B 1 D 1 O 2, ki leži navzkrižno na B 1 D 1 || BD in sekante B₁D oziroma BD₁.

Zato je trikotnik B 1 O 2 D 1 podoben trikotniku BO 2 D in je razmerje stranic:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ali 1/2 = x/(x – 3), od koder je x = 1.

Razmislite o trikotniku B 1 D 1 B in trikotniku LO 2 B: kot B je skupen, obstaja pa tudi par enostraničnih kotov pri B 1 D 1 || LM, kar pomeni, da je trikotnik B 1 D 1 B podoben trikotniku LO 2 B, iz katerega izhaja B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, tj.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Potem je S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Torej, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Odgovor: 152/27; 37/27.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.