Trigonometrična formula pravokotnega trikotnika. Trigonometrične relacije (funkcije) v pravokotnem trikotniku

Trigonometrične relacije (funkcije) v pravokotnem trikotniku

Trigonometrična razmerja v pravokotnem trikotniku so razmerja dolžin njegovih stranic. Poleg tega je to razmerje vedno enako glede na kot, ki leži med stranicama, razmerje med katerima je treba izračunati.

Slika prikazuje pravokotni trikotnik ABC.
Oglejmo si trigonometrična razmerja njegovih stranic glede na kot A (na sliki je označen tudi z grško črko α).

Upoštevajmo, da je stranica AB trikotnika njegova hipotenuza. AC stran je noga, ki meji na kot α, stran BC pa je noga, nasprotni kot α.

Glede kota α v pravokotnem trikotniku obstajajo naslednje relacije:

Kosinus kota je razmerje med sosednjo stranico in hipotenuzo danega pravokotnega trikotnika. (glej kaj je kosinus in njegove lastnosti).
Na sliki je kosinus kota α relacija cos α =AC/AB(sosednji krak deljen s hipotenuzo).
Upoštevajte, da je za kot β sosednja stran že stranica BC, torej cos β = BC / AB. To pomeni, da se trigonometrična razmerja izračunajo glede na položaj stranic pravokotnega trikotnika glede na kot.

V tem primeru so črkovne oznake lahko karkoli. Pomemben je le relativni položaj koti in stranice pravokotnega trikotnika.

Sinus kota se imenuje razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo pravokotnega trikotnika (glej kaj je sinus in njegove lastnosti).
Na sliki je sinus kota α razmerje sin α = BC / AB(nasprotni krak deljen s hipotenuzo).
Ker je relativni položaj strani pravokotnega trikotnika glede na dani kot pomemben za določitev sinusa, bo za kot β funkcija sinusa sin β = AC / AB.

Tangens kota se imenuje razmerje kraka, ki je nasproti danemu kotu, na sosednji krak pravokotnega trikotnika (glej, kaj je tangenta in njene lastnosti).
Na sliki bo tangens kota α enak relaciji tg α = BC / AC. (stran nasproti vogala je razdeljena s sosednjo stranjo)
Za kot β, ki ga vodijo načela relativnega položaja stranic, lahko tangens kota izračunamo kot tg β = AC / BC.

Kotangens kota je razmerje med stranico, ki meji na dani kot, in nasprotno stranjo pravokotnega trikotnika. Kot je razvidno iz definicije, je kotangens funkcija, povezana s tangensom z razmerjem 1/tg α. To pomeni, da sta medsebojno inverzna.

Naloga. Poiščite trigonometrična razmerja v trikotniku

rešitev.

Ker je cos α = 4/5, potem je AC / AB = 4 / 5. To pomeni, da so stranice v razmerju 4:5. Dolžino AC označimo s 4x, potem je AB = 5x.

Po Pitagorovem izreku:
BC 2 + AC 2 = AB 2

Potem
BC 2 + (4x) 2 = (5x) 2
BC 2 + 16x 2 = 25x 2
BC 2 = 9x 2
BC = 3x

Sin α = BC / AB = 3x / 5x = 3/5
sin β = AC / AB, njegova vrednost pa je že znana po pogoju, to je 4/5

Preprosto povedano, to je zelenjava, kuhana v vodi po posebnem receptu. Upošteval bom dve začetni komponenti (zelenjavno solato in vodo) in končni rezultat - boršč. Geometrično si ga lahko predstavljamo kot pravokotnik, pri čemer ena stran predstavlja solato, druga pa vodo. Seštevek teh dveh strani bo pokazal boršč. Diagonala in površina takšnega pravokotnika "boršč" sta povsem matematični pojmi in se nikoli ne uporabljata v receptih za boršč.

V učbenikih za matematiko ne boste našli ničesar o linearnih kotnih funkcijah. A brez njih matematike ne more biti. Zakoni matematike, tako kot zakoni narave, delujejo ne glede na to, ali vemo za njihov obstoj ali ne.

Linearne kotne funkcije so adicijski zakoni. Oglejte si, kako se algebra spremeni v geometrijo in geometrija v trigonometrijo.

Ali je mogoče brez linearnih kotnih funkcij? Možno je, saj matematiki še vedno znajo brez njih. Trik matematikov je v tem, da nam vedno govorijo samo o tistih problemih, ki jih sami znajo rešiti, nikoli pa nam ne govorijo o tistih problemih, ki jih ne znajo rešiti. Poglej. Če poznamo rezultat seštevanja in enega člena, uporabimo odštevanje, da poiščemo drugi člen. Vse. Drugih problemov ne poznamo in ne vemo, kako jih rešiti. Kaj storiti, če poznamo samo rezultat seštevanja in ne poznamo obeh členov? V tem primeru je treba rezultat seštevanja razstaviti na dva člena z uporabo linearnih kotnih funkcij. Nato sami izberemo, kakšen je lahko en člen, linearne kotne funkcije pa pokažejo, kakšen naj bo drugi člen, da bo rezultat seštevanja točno to, kar potrebujemo. Takšnih parov členov je lahko neskončno veliko. V vsakdanjem življenju se dobro znajdemo brez razčlenjevanja vsote; dovolj nam je odštevanje. Toda pri znanstvenih raziskavah naravnih zakonov je razstavljanje vsote na njene komponente lahko zelo koristno.

Še en zakon seštevanja, o katerem matematiki neradi govorijo (še en njihov trik), zahteva, da imajo izrazi enake merske enote. Za solato, vodo in boršč so to lahko enote teže, prostornine, vrednosti ali merske enote.

Slika prikazuje dve ravni razlike za matematično. Prva raven so razlike v polju številk, ki so označene a, b, c. To delajo matematiki. Druga raven so razlike na področju merskih enot, ki so prikazane v oglatih oklepajih in označene s črko U. To delajo fiziki. Razumemo tretjo raven - razlike v površini opisanih predmetov. Različni predmeti imajo lahko enako število enakih merskih enot. Kako pomembno je to, vidimo na primeru borške trigonometrije. Če isti oznaki enote za različne predmete dodamo indekse, lahko natančno povemo, katera matematična količina opisuje določen predmet in kako se spreminja skozi čas ali zaradi naših dejanj. Pismo W Vodo bom označil s črko S Solato bom označil s črko B- boršč. Tako bodo izgledale linearne kotne funkcije za boršč.

Če vzamemo del vode in del solate, se skupaj spremenita v eno porcijo boršča. Tukaj predlagam, da si vzamete malo odmora od boršča in se spomnite svojega daljnega otroštva. Se spomnite, kako so nas učili sestavljati zajčke in račke skupaj? Treba je bilo ugotoviti, koliko živali bo. Kaj so nas takrat učili? Učili so nas ločiti merske enote od števil in seštevati števila. Da, katera koli številka se lahko doda kateri koli drugi številki. To je neposredna pot v avtizem sodobne matematike - delamo nerazumljivo kaj, nerazumljivo zakaj in zelo slabo razumemo, kako je to povezano z realnostjo, saj od treh razlik matematiki operirajo samo z eno. Bolj pravilno bi bilo naučiti se premikati iz ene merske enote v drugo.

Zajčke, račke in male živali lahko štejemo po kosih. Ena skupna merska enota za različne predmete nam omogoča, da jih seštejemo. To je otroška različica problema. Poglejmo podoben problem pri odraslih. Kaj dobite, če dodate zajčke in denar? Tu sta možni dve rešitvi.

Prva možnost. Zajčkom določimo tržno vrednost in jo prištejemo razpoložljivemu denarnemu znesku. Dobili smo skupno vrednost našega premoženja v denarju.

Druga možnost. Število zajčkov lahko dodate številu bankovcev, ki jih imamo. Prejeli bomo količino premičnin v kosih.

Kot lahko vidite, vam isti zakon dodajanja omogoča, da dobite različne rezultate. Vse je odvisno od tega, kaj točno želimo vedeti.

A vrnimo se k našemu boršču. Zdaj lahko vidimo, kaj se bo zgodilo za različne vrednosti kotov linearnih kotnih funkcij.

Kot je enak nič. Imamo solato, vode pa nimamo. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je tudi nič. To sploh ne pomeni, da je nič boršča enako nič vode. Lahko je nič boršča z nič solate (pravi kot).

Zame osebno je to glavni matematični dokaz dejstva, da . Ničla pri dodajanju ne spremeni števila. To se zgodi zato, ker je seštevanje samo po sebi nemogoče, če obstaja samo en člen, drugi člen pa manjka. O tem se lahko počutite, kakor želite, vendar ne pozabite - vse matematične operacije z ničlo so izumili matematiki sami, zato zavrzite svojo logiko in neumno natlačite definicije, ki so jih izumili matematiki: "deljenje z ničlo je nemogoče", "katero koli število, pomnoženo z nič je enako nič” , “onkraj točke nič” in druge neumnosti. Dovolj je, da se enkrat spomnite, da nič ni število, in nikoli več ne boste imeli vprašanja, ali je nič naravno število ali ne, saj tako vprašanje izgubi vsak pomen: kako je mogoče nekaj, kar ni število, šteti za število. ? To je tako, kot če bi se spraševali, v katero barvo je treba razvrstiti nevidno barvo. Številu dodati ničlo je enako kot slikati z barvo, ki je ni. Pomahali smo s suhim čopičem in vsem rekli, da "smo slikali." Sem pa malo zašel.

Kot je večji od nič, vendar manjši od petinštirideset stopinj. Imamo veliko solate, a premalo vode. Kot rezultat bomo dobili debel boršč.

Kot je petinštirideset stopinj. Vodo in solato imamo v enakih količinah. To je popoln boršč (oprostite mi, kuharji, to je samo matematika).

Kot je večji od petinštirideset stopinj, vendar manjši od devetdeset stopinj. Imamo veliko vode in malo solate. Dobili boste tekoči boršč.

Pravi kot. Imamo vodo. Od solate so ostali le spomini, saj še naprej merimo kot od črte, ki je nekoč označevala solato. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je nič. V tem primeru počakajte in pijte vodo, dokler jo imate)))

Tukaj. Nekaj ​​takega. Tukaj lahko povem druge zgodbe, ki bi bile tukaj več kot primerne.

Dva prijatelja sta imela svoj delež v skupnem poslu. Po umoru enega od njiju je vse šlo k drugemu.

Pojav matematike na našem planetu.

Vse te zgodbe so povedane v jeziku matematike z uporabo linearnih kotnih funkcij. Kdaj drugič vam bom pokazal pravo mesto teh funkcij v strukturi matematike. Medtem pa se vrnimo k trigonometriji boršta in razmislimo o projekcijah.

Sobota, 26. oktober 2019

Sreda, 7. avgust 2019

Če zaključimo pogovor o tem, moramo razmisliti o neskončni množici. Bistvo je, da koncept "neskončnosti" vpliva na matematike, kot udav vpliva na zajca. Drhteča groza neskončnosti jemlje matematikom zdrav razum. Tukaj je primer:

Prvotni vir se nahaja. Alfa pomeni realno število. Enako v zgornjih izrazih pomeni, da če neskončnosti dodate število ali neskončnost, se nič ne spremeni, rezultat bo ista neskončnost. Če za primer vzamemo neskončno množico naravnih števil, lahko obravnavane primere predstavimo na naslednji način:

Da bi jasno dokazali, da so imeli prav, so se matematiki domislili številnih različnih metod. Osebno na vse te metode gledam kot na šamane, ki plešejo s tamburami. V bistvu se vsi spuščajo v to, da so bodisi nekatere sobe nezasedene in se vselijo novi gostje ali pa nekatere obiskovalce vržejo ven na hodnik, da naredijo prostor za goste (zelo človeško). Svoj pogled na takšne odločitve sem predstavila v obliki domišljijske zgodbe o Blondinki. Na čem temelji moje sklepanje? Selitev neskončnega števila obiskovalcev traja neskončno veliko časa. Potem ko smo sprostili prvo sobo za gosta, bo eden od obiskovalcev vedno hodil po hodniku iz svoje sobe v naslednjo do konca časa. Seveda lahko faktor časa neumno zanemarimo, vendar bo to v kategoriji "noben zakon ni napisan za bedake." Vse je odvisno od tega, kaj počnemo: prilagajamo realnost matematičnim teorijam ali obratno.

Kaj je "neskončni hotel"? Neskončni hotel je hotel, ki ima vedno poljubno število prostih postelj, ne glede na to, koliko sob je zasedenih. Če so vse sobe v neskončnem hodniku za "obiskovalce" zasedene, pride še en neskončni hodnik s sobami za "goste". Takih koridorjev bo neskončno veliko. Poleg tega ima »neskončni hotel« neskončno število nadstropij v neskončnem številu zgradb na neskončnem številu planetov v neskončnem številu vesolj, ki jih je ustvarilo neskončno število bogov. Matematiki se ne morejo distancirati od banalnih vsakdanjih problemov: vedno je samo en Bog-Alah-Buda, samo en hotel, en sam hodnik. Matematiki torej poskušajo žonglirati s serijskimi številkami hotelskih sob in nas prepričati, da je mogoče »vtakniti nemogoče«.

Logiko svojega razmišljanja vam bom predstavil na primeru neskončne množice naravnih števil. Najprej morate odgovoriti na zelo preprosto vprašanje: koliko nizov naravnih števil obstaja - enega ali več? Na to vprašanje ni pravilnega odgovora, saj smo si številke izmislili sami; številke v naravi ne obstajajo. Da, narava je odlična pri štetju, vendar za to uporablja druga matematična orodja, ki jih ne poznamo. Kaj si misli Narava, vam povem drugič. Ker smo si izmislili števila, se bomo sami odločili, koliko nizov naravnih števil obstaja. Razmislimo o obeh možnostih, kot se za prave znanstvenike spodobi.

Prva možnost. »Nam bo dan« en sam niz naravnih števil, ki spokojno leži na polici. Ta komplet vzamemo s police. To je to, drugih naravnih števil ni več na polici in jih ni kam vzeti. Temu naboru ga ne moremo dodati, ker ga že imamo. Kaj pa, če res želite? Brez težav. Lahko vzamemo enega iz že vzetega kompleta in ga vrnemo na polico. Nato lahko enega vzamemo s police in ga dodamo tistemu, kar nam je ostalo. Posledično bomo spet dobili neskončno množico naravnih števil. Vse naše manipulacije lahko zapišete takole:

Dejanja sem zapisal v algebraičnem zapisu in v zapisu teorije množic s podrobnim seznamom elementov množice. Indeks pomeni, da imamo eno in edino množico naravnih števil. Izkaže se, da bo množica naravnih števil ostala nespremenjena le, če ji odštejemo eno in dodamo isto enoto.

Druga možnost. Na naši polici imamo veliko različnih neskončnih množic naravnih števil. Poudarjam - RAZLIČNI, kljub temu, da se praktično ne razlikujejo. Vzemimo enega od teh sklopov. Nato vzamemo eno iz druge množice naravnih števil in ga dodamo že vzeti množici. Seštejemo lahko celo dva niza naravnih števil. Tole dobimo:

Indeks "ena" in "dva" pomenita, da ti elementi pripadajo različnim nizom. Da, če neskončnemu nizu dodate enega, bo rezultat prav tako neskončen niz, vendar ne bo enak izvirnemu nizu. Če eni neskončni množici dodate še eno neskončno množico, je rezultat nova neskončna množica, sestavljena iz elementov prvih dveh množic.

Množica naravnih števil se uporablja za štetje na enak način kot ravnilo za merjenje. Zdaj pa si predstavljajte, da ste ravnilu dodali en centimeter. To bo druga linija, ki ne bo enaka prvotni.

Lahko sprejmete ali ne sprejmete moje sklepanje - to je vaša stvar. Toda če se kdaj srečate z matematičnimi težavami, pomislite, ali sledite poti napačnega razmišljanja, ki so ga utirale generacije matematikov. Navsezadnje študij matematike v nas najprej oblikuje stabilen stereotip razmišljanja in šele nato povečuje naše miselne sposobnosti (ali, nasprotno, odvzema svobodomiselnost).

pozg.ru

Nedelja, 4. avgust 2019

Končeval sem postscript k članku o in videl to čudovito besedilo na Wikipediji:

Beremo: "... bogata teoretična osnova babilonske matematike ni imela celostnega značaja in je bila zmanjšana na niz različnih tehnik, brez skupnega sistema in baze dokazov."

Vau! Kako pametni smo in kako dobro znamo videti pomanjkljivosti drugih. Ali težko gledamo na sodobno matematiko v istem kontekstu? Če rahlo parafraziram zgornji tekst, sem osebno dobil naslednje:

Bogata teoretična osnova sodobne matematike ni celovite narave in je reducirana na niz različnih razdelkov, brez skupnega sistema in baze dokazov.

Ne bom šel daleč, da bi potrdil svoje besede - ima jezik in konvencije, ki se razlikujejo od jezika in konvencij mnogih drugih vej matematike. Ista imena v različnih vejah matematike imajo lahko različne pomene. Celo vrsto publikacij želim posvetiti najbolj očitnim napakam sodobne matematike. Se vidiva kmalu.

Sobota, 3. avgust 2019

Kako razdeliti množico na podmnožice? Če želite to narediti, morate vnesti novo mersko enoto, ki je prisotna v nekaterih elementih izbranega niza. Poglejmo si primer.

Naj imamo veliko A ki ga sestavljajo štiri osebe. Ta množica je oblikovana na podlagi "ljudi". Elemente te množice označimo s črko A, bo indeks s številko označeval zaporedno številko vsake osebe v tem nizu. Uvedimo novo mersko enoto "spol" in jo označimo s črko b. Ker so spolne značilnosti lastne vsem ljudem, vsak element nabora pomnožimo A glede na spol b. Upoštevajte, da je naš nabor »ljudi« zdaj postal nabor »ljudi s spolnimi značilnostmi«. Po tem lahko spolne značilnosti razdelimo na moške bm in ženske bw spolne značilnosti. Zdaj lahko uporabimo matematični filter: izberemo eno od teh spolnih značilnosti, ne glede na to, katero - moškega ali ženskega. Če ga ima oseba, ga pomnožimo z ena, če tega znaka ni, ga pomnožimo z nič. In potem uporabljamo redno šolsko matematiko. Poglej kaj se je zgodilo.

Po množenju, redukciji in preurejanju smo na koncu dobili dve podmnožici: podmnožico moških Bm in podmnožica žensk Bw. Matematiki razmišljajo na približno enak način, ko uporabljajo teorijo množic v praksi. Vendar nam ne povedo podrobnosti, ampak nam dajo končni rezultat - "veliko ljudi sestavlja podskupina moških in podskupina žensk." Seveda se lahko vprašate: kako pravilno je bila matematika uporabljena v zgoraj opisanih transformacijah? Upam si zagotoviti, da je bilo v bistvu vse narejeno pravilno; dovolj je poznavanje matematičnih osnov aritmetike, Boolove algebre in drugih vej matematike. kaj je O tem vam bom povedal kdaj drugič.

Kar zadeva nadnabore, lahko združite dva nabora v en nadnabor tako, da izberete mersko enoto, ki je prisotna v elementih teh dveh naborov.

Kot lahko vidite, je zaradi merskih enot in navadne matematike teorija množic ostanek preteklosti. Znak, da s teorijo množic ni vse v redu, je, da so si matematiki izmislili svoj jezik in zapis za teorijo množic. Matematiki so se obnašali kot nekoč šamani. Samo šamani vedo, kako »pravilno« uporabiti svoje »znanje«. Učijo nas tega »znanja«.

Na koncu vam želim pokazati, kako matematiki manipulirajo.

Ponedeljek, 7. januar 2019

V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zenon iz Eleje oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes; znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.
Postopek vam bom pokazal na primeru. Izberemo "rdečo trdno snov v mozolju" - to je naša "celota". Hkrati vidimo, da so te stvari z lokom in so brez loka. Nato izberemo del "celote" in oblikujemo komplet "s pentljo". Tako se šamani prehranjujejo s povezovanjem svoje teorije nizov z realnostjo.

Zdaj pa naredimo majhen trik. Vzemimo "trdno z mozoljem z lokom" in združimo te "celine" glede na barvo, izberemo rdeče elemente. Dobili smo veliko "rdečega". Sedaj pa še zadnje vprašanje: ali sta nastala niza "s pentljo" in "rdeč" isti niz ali dva različna sklopa? Samo šamani poznajo odgovor. Natančneje, sami ne vedo ničesar, a kot pravijo, tako bo.

Ta preprost primer kaže, da je teorija množic popolnoma neuporabna, ko gre za realnost. Kaj je skrivnost? Oblikovali smo komplet "rdeča trdna z mozoljem in pentljo." Oblikovanje je potekalo v štirih različnih merskih enotah: barva (rdeča), trdnost (polna), hrapavost (mozoljasto), okras (z lokom). Samo nabor merskih enot nam omogoča, da realne predmete ustrezno opišemo v matematičnem jeziku. Takole izgleda.

Črka "a" z različnimi indeksi označuje različne merske enote. V oklepaju so označene merske enote, po katerih se v predhodni fazi loči "celota". Iz oklepaja je vzeta merska enota, s katero je nabor oblikovan. Zadnja vrstica prikazuje končni rezultat - element niza. Kot lahko vidite, če uporabljamo merske enote za oblikovanje niza, potem rezultat ni odvisen od vrstnega reda naših dejanj. In to je matematika in ne ples šamanov s tamburini. Šamani lahko "intuitivno" pridejo do enakega rezultata, pri čemer trdijo, da je "očiten", ker merske enote niso del njihovega "znanstvenega" arzenala.

Z uporabo merskih enot je zelo enostavno razdeliti en niz ali združiti več nizov v en nadnabor. Oglejmo si podrobneje algebro tega procesa.

Danes si bomo ogledali probleme B8 s trigonometrijo v njenem klasičnem pomenu, kjer je običajno pravokotne trikotnike. Zato danes ne bo trigonometričnih krogov ali negativnih kotov - le navadni sinus in kosinus.

Takih nalog je približno 30 % vseh. Ne pozabite: če naloga B8 sploh omenja kot π, je rešena na popolnoma drugačne načine. Vsekakor jih bomo kmalu preučili. In zdaj - glavna definicija lekcije:

Trikotnik je lik na ravnini, sestavljen iz treh točk in segmentov, ki jih povezujejo. Pravzaprav je to sklenjena poličnija treh členov. Točke imenujemo oglišča trikotnika, odseke pa stranice. Pomembno je upoštevati, da oglišča ne smejo ležati na isti premici, sicer se trikotnik degenerira v segment.

Precej pogosto se trikotnik imenuje ne le sama lomljena črta, ampak tudi del ravnine, ki je omejen s to lomljeno črto. Tako lahko določite površino trikotnika.

Dva trikotnika imenujemo enaka, če enega lahko dobimo iz drugega z enim ali več premiki ravnine: translacijo, rotacijo ali simetrijo. Poleg tega obstaja koncept podobnih trikotnikov: njihovi koti so enaki in njihove ustrezne stranice so sorazmerne ...

To je trikotnik ABC. Poleg tega je pravokoten trikotnik: v njem je ∠C = 90°. To so tisti, ki jih najpogosteje srečamo pri problemu B8.

Vse, kar morate vedeti za rešitev naloge B8, je nekaj preprostih dejstev iz geometrije in trigonometrije ter splošna shema rešitve, ki uporablja ta dejstva. Potem je samo "najti svojo roko".

Začnimo z dejstvi. Razdeljeni so v tri skupine:

1. Definicije in posledice iz njih;
2. Osnovne identitete;
3. Simetrije v trikotniku.

Ne moremo reči, da je katera od teh skupin pomembnejša, kompleksnejša ali preprostejša. Toda informacije, ki jih vsebujejo, vam omogočajo, da se odločite katera koli naloga B8. Zato morate vedeti vse. Torej, gremo!

1. skupina: definicije in posledice iz njih

Razmislite o trikotniku ABC, kjer je ∠C premica. Najprej nekaj definicij:

Sinus kota je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo.

Kosinus kota je razmerje med sosednjo stranjo in hipotenuzo.

Tangens kota je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

En kot ali segment se lahko prilega različnim pravokotnim trikotnikom. Poleg tega je zelo pogosto isti segment noga v enem trikotniku in hipotenuza v drugem. Toda več o tem kasneje, za zdaj bomo delali z običajnim kotom A. Nato:

1. sin A = BC : AB ;
2. cos A = AC : AB ;
3. tan A = BC : AC .

Glavne posledice definicije:

1. sin A = cos B ; cos A = sin B – najpogosteje uporabljene posledice
2. tg A = sin A : cos A - povezuje tangens, sinus in kosinus enega kota
3. Če je ∠A + ∠B = 180°, tj. kota sosednja, tedaj: sin A = sin B ; cos A = −cos B .

Verjeli ali ne, ta dejstva so dovolj za rešitev približno tretjine vseh trigonometričnih problemov B8.

2. skupina: osnovne identitete

Prva in najpomembnejša istovetnost je Pitagorov izrek: kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet. V zvezi s trikotnikom ABC, o katerem smo razpravljali zgoraj, lahko ta izrek zapišemo takole:

AC 2 + BC 2 = AB 2

In takoj - majhna opomba, ki bo bralca rešila pred številnimi napakami. Ko rešujete nalogo, vedno (čujte, vedno!) zapišite Pitagorov izrek točno v tej obliki. Ne poskušajte takoj izraziti noge, kot je običajno potrebno. Morda bi prihranili vrstico ali dve izračunov, vendar je bilo zaradi teh "prihrankov" izgubljenih več točk kot kjer koli drugje v geometriji.

Druga identiteta je iz trigonometrije. Izgleda takole:

sin 2 A + cos 2 A = 1

Temu se reče: osnovna trigonometrična identiteta. Z njegovo pomočjo lahko izrazite kosinus skozi sinus in obratno.

3. skupina: Simetrije v trikotniku

Spodaj napisano velja samo za enakokrake trikotnike. Če se eden ne pojavi v problemu, so za rešitev dovolj dejstva iz prvih dveh skupin.

Torej, razmislite o enakokrakem trikotniku ABC, kjer je AC = BC. Narišimo višino CH na osnovo. Dobimo naslednja dejstva:

1. ∠A = ∠B. Kot posledica je sin A = sin B; cos A = cos B; tan A = tan B .
2. CH ni le višina, ampak tudi simetrala, tj. ∠ACH = ∠BCH. Prav tako sta trigonometrični funkciji teh kotov enaki.
3. CH je tudi mediana, torej AH = BH = 0,5 · AB.

Zdaj, ko so upoštevana vsa dejstva, preidimo neposredno na metode rešitve.

Splošna shema za reševanje problema B8

Geometrija se od algebre razlikuje po tem, da nima preprostih in univerzalnih algoritmov. Vsak problem je treba rešiti od začetka - in to je njegova težava. Kljub temu je še vedno mogoče dati splošna priporočila.

Za začetek bi morali neznano stran (če obstaja) označiti kot X. Nato uporabimo shemo rešitve, ki je sestavljena iz treh točk:

1. Če naloga vsebuje enakokraki trikotnik, nanj uporabimo vsa možna dejstva iz tretje skupine. Poiščite enake kote in izrazite njihove trigonometrične funkcije. Poleg tega je enakokraki trikotnik redko pravokoten trikotnik. Zato v problemu poiščite pravokotne trikotnike - zagotovo so tam.
2. Uporabite dejstva iz prve skupine na pravokotni trikotnik. Končni cilj je pridobiti enačbo za spremenljivko X. Poišči X in reši problem.
3. Če dejstva iz prve skupine niso bila dovolj, uporabimo dejstva iz druge skupine. In spet iščemo X.

Primeri reševanja problemov

Zdaj pa poskusimo s pomočjo pridobljenega znanja rešiti najpogostejše težave B8. Ne bodite presenečeni, da s takšnim arzenalom besedilo rešitve ne bo veliko daljše od prvotnega stanja. In to me veseli :)

Naloga. V trikotniku ABC je kot C 90°, AB = 5, BC = 3. Poiščite cos A.

Po definiciji (1. skupina) je cos A = AC : AB . Hipotenuzo AB poznamo, vendar bomo morali poiskati krak AC. Označimo ga AC = x.

Preidimo na skupino 2. Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik. Po Pitagorovem izreku:

AC 2 + BC 2 = AB 2;
x 2 + 3 2 = 5 2 ;
x 2 = 25 − 9 = 16;
x = 4.

Zdaj lahko najdete kosinus:

cos A = AC: AB = 4: 5 = 0,8.

Naloga. V trikotniku ABC je kot B 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH je višina. Poiščite AH.

Označimo želeno stranico AH = x in razmislimo o trikotniku ABH. Je pravokoten in ∠AHB = 90° glede na pogoj. Zato je cos A = AH : AB = x : AB = 4/5. To je razmerje, ki ga lahko prepišemo na naslednji način: 5 x = 4 AB. Očitno bomo našli x, če poznamo AB.

Razmislite o trikotniku ABC. Prav tako je pravokoten, s cos A = AB: AC. Niti AB niti AC nam nista znana, zato prehajamo na drugo skupino dejstev. Zapišimo glavno trigonometrično identiteto:

sin 2 A + cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 − (4/5) 2 = 1 − 16/25 = 9/25.

Ker so trigonometrične funkcije ostrega kota pozitivne, dobimo sin A = 3/5. Po drugi strani pa je sin A = BC : AC = 3: AC . Dobimo delež:

3:AC=3:5;
3 AC = 3 5;
AC = 5.

Torej je AC = 5. Potem je AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. Končno najdemo AH = x:

5 x = 4 4;
x = 16/5 = 3,2.

Naloga. V trikotniku ABC je AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Poiščite višino CH.

Označimo želeno višino CH = x. Pred nami je enakokraki trikotnik ABC, v katerem je AB = BC. Torej iz tretje skupine dejstev imamo:

∠A = ∠C ⇒ cos A = cos C = 0,8

Razmislite o trikotniku ACH. Je pravokoten (∠H = 90°), z AC = 5 in cos A = 0,8. Po definiciji je cos A = AH : AC = AH : 5. Dobimo delež:

AH:5 = 8:10;
10 AH = 5 8;
AH = 40 : 10 = 4.

Ostane nam še uporaba druge skupine dejstev, in sicer Pitagorovega izreka za trikotnik ACH:

AH 2 + CH 2 = AC 2;
4 2 + x 2 = 5 2 ;
x 2 = 25 − 16 = 9;
x = 3.

Naloga. V pravokotnem trikotniku ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Poiščite sinus kota CAD.

Ker poznamo hipotenuzo AC = 40 in krak AB = 32, lahko poiščemo kosinus kota A: cos A = AB: AC = 32: 40 = 0,8. To je bilo dejstvo iz prve skupine.

Če poznate kosinus, lahko najdete sinus skozi glavno trigonometrično identiteto (dejstvo iz druge skupine):

sin 2 A + cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 − 0,8 2 = 0,36;
sin A = 0,6.

Pri iskanju sinusa smo ponovno uporabili dejstvo, da so trigonometrične funkcije ostrega kota pozitivne. Opazimo še, da sta kota BAC in CAD sosednja. Iz prve skupine dejstev imamo:

∠BAC + ∠CAD = 180°;
sin CAD = sin BAC = sin A = 0,6.

Naloga. V trikotniku ABC je AC = BC = 5, AB = 8, CH je višina. Poišči tan A.

Trikotnik ABC je enakokrak, CH je višina, zato upoštevamo, da je AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. To je dejstvo iz tretje skupine.

Zdaj razmislite o trikotniku ACH: v njem je ∠AHC = 90°. Lahko izrazite tangento: tan A = CH: AH. Toda AH = 4, zato je treba najti stran CH, ki jo označimo kot CH = x. Po Pitagorovem izreku (dejstvo iz 2. skupine) imamo:

AH 2 + CH 2 = AC 2;
4 2 + x 2 = 5 2 ;
x 2 = 25 − 16 = 9;
x = 3.

Zdaj je vse pripravljeno za iskanje tangente: tan A = CH : AH = 3 : 4 = 0,75.

Naloga. V trikotniku ABC je AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Poišči višino AH.

Označimo želeno višino AH = x. Še enkrat, trikotnik ABC je enakokraki trikotnik, zato upoštevajte, da je ∠A = ∠B, torej cos B = cos A = 3/5. To je dejstvo iz tretje skupine.

Razmislite o trikotniku ABH. Po pogoju je pravokoten (∠AHB = 90°), znani pa sta hipotenuza AB = 6 in cos B = 3/5. Toda cos B = BH : AB = BH : 6 = 3/5. Dobili smo delež:

BH: 6 = 3: 5;
5 BH = 6 3;
BH = 18/5 = 3,6.

Zdaj pa poiščimo AH = x z uporabo Pitagorovega izreka za trikotnik ABH:

AH 2 + BH 2 = AB 2;
x 2 + 3,6 2 = 6 2 ;
x 2 = 36 − 12,96 = 23,04;
x = 4,8.

Dodatni premisleki

Obstajajo nestandardni problemi, kjer so zgoraj obravnavana dejstva in diagrami neuporabni. Žal, v tem primeru potrebujete resnično individualen pristop. Podobne probleme radi dajejo pri vseh mogočih “poskusnih” in “demonstracijskih” izpitih.

Spodaj sta dve resnični težavi, ki sta bili predlagani na poskusnem Enotnem državnem izpitu v Moskvi. Opravili so jih le redki, kar kaže na visoko zahtevnost teh nalog.

Naloga. V pravokotnem trikotniku ABC sta iz kota C = 90° narisani mediana in višina. Znano je, da je ∠A = 23°. Poiščite ∠MCH.

Upoštevajte, da je mediana CM potegnjena na hipotenuzo AB, zato je M središče opisanega kroga, tj. AM = BM = CM = R, kjer je R polmer opisanega kroga. Zato je trikotnik ACM enakokrak in je ∠ACM = ∠CAM = 23°.

Zdaj razmislite o trikotnikih ABC in CBH. Po dogovoru sta oba trikotnika pravokotna. Poleg tega je ∠B splošen. Zato sta si trikotnika ABC in CBH podobna v dveh kotih.

V podobnih trikotnikih so ustrezni elementi sorazmerni. Zlasti:

BCH = BAC = 23°

Končno upoštevajte ∠C. Je neposreden in poleg tega je ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH. V tej enakosti je ∠MCH želeni, ∠ACM in ∠BCH pa sta znana in enaka 23°. Imamo:

90° = 23° + MCH + 23°;
MCH = 90° − 23° − 23° = 44°.

Naloga. Obseg pravokotnika je 34, ploščina pa 60. Poiščite diagonalo tega pravokotnika.

Označimo stranice pravokotnika: AB = x, BC = y. Izrazimo obseg:

P ABCD = 2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) = 34;
x + y = 17.

Izrazimo ploščino na podoben način: S ABCD = AB · BC = x · y = 60.

Zdaj razmislite o trikotniku ABC. Je pravokoten, zato zapišemo Pitagorov izrek:

AB 2 + BC 2 = AC 2;
AC 2 = x 2 + y 2.

Upoštevajte, da formula za kvadrat razlike implicira naslednjo enakost:

x 2 + y 2 = (x + y ) 2 − 2 x y = 17 2 − 2 60 = 289 − 120 = 169

Torej je AC 2 = 169, zato je AC = 13.

Začnimo se učiti trigonometrijo s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens ostrega kota. To so osnove trigonometrije.

Naj vas spomnimo, da pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota.

Ostri kot- manj kot 90 stopinj.

Topi kot- več kot 90 stopinj. Ko se uporablja za takšen kot, "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)

Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.

Kot je označen z ustrezno grško črko.

hipotenuza pravokotnega trikotnika je stranica nasproti pravemu kotu.

Noge- stranice, ki ležijo nasproti ostrih kotov.

Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje sosednji.

Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:

Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:

Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):

Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.

Dokažimo nekatere izmed njih.

Imamo osnovna trigonometrična identiteta.

prav tako

Zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?

To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka .

Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .

Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svojega. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?

S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.

Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in koti trikotnik. Če poznate kot, lahko s posebnimi tabelami najdete vse njegove trigonometrične funkcije. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.

Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.

Prosimo, upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih kotnih vrednostih tangens in kotangens ne obstajata.

"Lastnosti pravokotnega trikotnika" - dokaz. Vsota dveh ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°. Prva lastnina. Razmislite o pravokotnem trikotniku ABC, v katerem? A-ravno, ? В=30° in zato ? С=60°. Druga lastnost. Prva lastnost Druga lastnost Tretja lastnost Problemi. Vzemimo pravokotni trikotnik ABC, katerega stranica AC je enaka polovici hipotenuze BC.

"Trigonometrija" - Osnovne formule ravninske trigonometrije. Kotangens je razmerje med kosinusom in sinusom (to je recipročna vrednost tangensa). Trigonometrija. Za ostre kote nove definicije sovpadajo s prejšnjimi. Območje trikotnika: kosinus - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo. Menelaj iz Aleksandrije (100 n. š.) je sferike napisal v treh knjigah.

"Težave s pravokotnimi trikotniki" - Pitagorejci so še vedno sodelovali pri dokazovanju znakov, da so trikotniki enaki. Tales je ostal v Egiptu več let in študiral znanost v Tebah in Memfisu. Biografija Thalesa. Nedaleč od vrat je stal veličasten Apolonov tempelj z marmornimi oltarji in kipi. Milet je rojstni kraj Talesa. Miletski trgovski mornarji so se odpravili na dolga potovanja.

"Pravokotni paralelepiped" - Strani paralelepipeda, ki nimajo skupnih oglišč, se imenujejo nasprotne. Paralelepiped je šesterokotnik, katerega vse ploskve (osnove) so paralelogrami. Prostornina pravokotnega paralelepipeda. Besedo so našli pri starogrških znanstvenikih Evklidu in Heronu. Dolžina Širina Višina. Paralelepiped, katerega vse ploskve so kvadrati, se imenuje kocka.

"Trigonometrija 10. razred" - odgovori. 1. možnost (2. možnost) Izračunaj: delo s testi. Ustno delo: Matematični narek. Zgodovinski podatki. Delo za tablo. "Pretvorba trigonometričnih izrazov." Da bi bilo življenje vsem lažje, Da bi se lahko odločilo, da bi se lahko naredilo. Dokazilo o identiteti.

"Prostornina pravokotnega paralelopipeda" - Kateri robovi so enaki robu AE? Segment. Opomnik za iskanje površine pravokotnega paralelopipeda. Enakopravni. Kvadrati. 5. Kocka ima vse robove enake. Reševanje problemov. Matematika 5. razred. Kocka. Dolžina, širina in višina. (Ravno, volumetrično). Katera oglišča pripadajo bazi? 4. Paralelepiped ima 8 robov.