Proporcionalni odseki tetiv in tangent. Sekant in akordi v krogu

Trikotnik ABC je pravokoten (slika 11), C = 90°, CD je pravokotna na AB, BD in DA sta projekciji krakov BC in AC na hipotenuzo AB. Izreki: 1) višina, potegnjena iz oglišča pravega kota na hipotenuzo, je povprečna proporcionalna vrednost med projekcijama krakov na hipotenuzo, tj. ; 2) vsak krak je povprečna sorazmerna vrednost med hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo, tj.

Pitagorov izrek. Kvadrat hipotenuze enaka vsoti kvadrati nog.

Izrek. Če skozi točko, vzeto v notranjost

krog, narisan sta premer in poljubna tetiva,

potem je produkt dolžin segmentov premera enak

temveč na produkt dolžin tetiv, tj. (Slika 12).

riž. 12

Posledica. Zmnožki dolžin odsekov sekajočih se tetiv so enaki, tj.

Izrek. Če tangento in sekanto narišemo iz točke zunaj kroga, potem je zmnožek celotne sekante in njegove zunanji del enaka kvadratu tangente, tj. (Slika 13).

riž. 13

Definicije. Sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med krakom, ki je nasproti temu kotu, in hipotenuzo, kosinus je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo, tangens je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim, kotangens je razmerje sosednjega kraka proti nasprotnemu.

Iz točke A zunaj kroga narišemo tangento in sekanto. Razdalja od A do točke dotika je 16 cm, od A do ene od presečišč sekante s krožnico pa 32 cm. Poiščite polmer krožnice, če je sekanta oddaljena od njenega središča.

riž. 14

Na sl. 14 AB – tangenta na krožnico s središčem O, AD – sekanta. OK je pravokotna na DC, AB = 32 cm, OK = 5 cm Po izreku o tangentah in sekantah glej izrek o tetivah, ki se sekajo znotraj krožnice , tako da je EP premer, pravokoten na tetivo DC. Bomo dobili. V tej enakosti EK zamenjamo z , KR z , DK z 12, dobimo: OE = 13 cm – zahtevani polmer.

104. Stranici pravokotnika sta 30 in 40 cm

iz oglišča pravokotnika na diagonalo, ki ne poteka skozi to oglišče.

105. Obseg romba je 1 m daljši od druge

1 dm. Izračunaj diagonale romba.

V krogu različne strani Iz središča so potegnjeni vzporedni tetivi dolžine 36 in 48 mm, razdalja med njima je 42 mm. Izračunaj polmer kroga.

Katete pravokotnega trikotnika so v razmerju 5:6, hipotenuza je 122 cm. Poiščite odseke hipotenuze, odrezane z višino.

Tangenta in sekanta, ki potekata iz ene točke na krožnico, sta medsebojno pravokotni. Tangenta je 12, notranjost sekante je 10. Poiščite polmer kroga.

Dve tangenti sta narisani na krožnico s polmerom 7 cm iz ene točke, ki je od središča oddaljena 25 cm. Poiščite razdaljo med dotičnima točkama.

Širina obroča, ki ga sestavljata dva koncentrična kroga, je 8 dm, tetiva večjega kroga, ki se dotika manjšega, je 4 m. Poiščite polmera krožnic.

Polmer kroga je 7 cm od središča oddaljenega za

9 cm je narisana sekanta, tako da jo krog razdeli na enake dele. Poiščite dolžino te sekante.

Tangenta na krožnico je 20 cm, najdaljša sekansa, potegnjena iz iste točke, pa 50 cm.

Iz ene točke na krožnico narišemo tangento in sekanto, katere dolžina je a, njen notranji odsek pa je za dolžino tangente večji od zunanjega. Poiščite dolžino tangente.

Krogu s polmerom R je včrtan enakokraki trikotnik, pri čemer je vsota njegove višine in osnove enaka premeru kroga. Poiščite višino trikotnika.

IN enakokraki trikotnik temelj in strani enaka 48 oziroma 30 dm. Izračunaj polmere opisanih in včrtanih krogov ter razdaljo med njunima središčema.

§ 11. Proporcionalni segmenti v krogu.

1. Nosilec mostu je omejen z lokom kroga (slika 38); višina nosilca MK= h= 3 m; polmer loka razpona AMB R = 8,5 m Izračunajte dolžino razpona AB mostu.

2. V obokani kleti v obliki polcilindra je treba postaviti dva stebra, vsaka na enaki razdalji od najbližje stene. Določite višino regalov, če je širina kleti na dnu 4 m in razdalja med regali 2 m.

3. 1) Iz točke na krožnici je potegnjena pravokotnica na premer. Določite njegovo dolžino z naslednjimi dolžinami premerov: 1) 12 cm in 3 cm; 2) 16 cm in 9 cm, 3) 2 m in 5 dm.

2) Iz točke premera na presečišče s krožnico je potegnjena pravokotnica. Določi dolžino te navpičnice, če je premer 40 cm, narisana navpičnica pa je od enega od koncev premera oddaljena 8 cm.

4. Premer razdelimo na odseka: AC = 8 dm in CB = 5 m, iz točke C pa nanj narišemo pravokotno CD te dolžine. Označi lego točke D glede na krožnico, ko je CD enaka: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 dm.

5. DIA-polkrog; CD je pravokotna na premer AB. Zahtevano:

1) določi DB, če je AD = 25 in CD =10;

2) določi AB, če je AD: DB= 4 : 9 in CD=30;

3) določite AD, če je CD=3AD in je polmer enak r;

4) določite AD, če je AB = 50 in CD = 15.

6. 1) Navpičnica, spuščena iz točke na krogu za polmer, enak 34 cm, ga deli v razmerju 8:9 (izhajajoč iz središča). Določi dolžino navpičnice.

2) Tetiva BDC je pravokotna na polmer ODA. Določi BC, če je OA = 25 cm in AD = 10 cm.

3) Širina obroča, ki ga tvorita dva koncentrična kroga, je 8 dm; tetiva večjega kroga, ki se dotika manjšega, je 4 m. Določi polmere krožnic.

7. S primerjavo odsekov dokaži, da je aritmetična sredina dveh neenakih števil večja od njune geometrične sredine.

8. Sestavi odsek, ki je povprečno sorazmeren med odsekoma 3 cm in 5 cm.

9. Sestavite odsek, ki je enak: √15 ; √10 ; √6 ; √3.

10.ADB premer; AC akord; CD je pravokotna na premer. Določite tetivo AC: 1) če je AB = 2 m in AD = 0,5 m; 2) če je AD = 4 cm in DB = 5 cm; 3) če je AB=20 m in DB= 15 m.

11. AB premer; AC akord; AD je njegova projekcija na premer AB. Zahtevano:

1) določite AD, če je AB = 18 cm in AC = 12 cm;

2) določi polmer, če je AC=12 m in AD=4 m;

3) določi DB, če je AC = 24 cm in DB = 7/9 AD.

12. premer AB; AC akord; AD je njegova projekcija na premer AB. Zahtevano:

1) določi AC, če je AB = 35 cm in AC = 5AD;

2) določi AC, če je polmer r in AC=DB.

13. Dve tetivi se sekata znotraj kroga. Odseka ene tetive sta 24 cm in 14 cm; eden od odsekov druge tetive je enak 28 cm. Določite njegov drugi odsek.

14. Nosilec mostu je omejen z lokom kroga (slika 38); dolžina mostu AB = 6 m, višina A = 1,2 m. Določite polmer loka (OM = R).

15. Dolžici AB in CD se sekata v točki M tako, da je MA = 7 cm, MB = 21 cm,
MC = 3 cm in MD = 16 cm Ali ležijo točke A, B, C in D na isti krožnici?

16. Dolžina nihala MA = l= 1 m (slika 39), njegova dvižna višina, ko je odklonjena za kot α, CA = h= 10 cm. Poiščite razdaljo BC točke B od MA (BC = X).

17. Za prevod železniški tirširina b= 1,524 m na mestu AB (slika 40) je bila izvedena zaokrožitev; izkazalo se je, da ; da je BC= A= 42,4 m. Določite polmer krivine OA = R.

18. Tetiva AMB je zasukana blizu točke M, tako da se segment MA poveča za 2 1/2-krat. Kako se je spremenil segment MB?

19. 1) Od dveh sekajočih se tetiv smo eno razdelili na dele po 48 cm in 3 cm, drugo pa na pol. Določite dolžino drugega akorda.

2) Od dveh sekajočih se tetiv je bila ena razdeljena na dele po 12 m in 18 m, druga pa v razmerju 3:8. Določite dolžino drugega akorda.

20. Od dveh sekajočih se tetiv je prva dolga 32 cm, odseki druge tetive pa so enaki
12 cm in 16 cm. Določite odseke prve tetive.

21. Sekanto ABC zavrtimo okoli zunanje točke A tako, da se njen zunanji segment AB trikrat zmanjša. Kako se je spremenila dolžina sekante?

22. Naj sta ADB in AEC dve premici, ki sekata krog: prva v točkah D in B, druga v točkah E in C. Zahtevano:

1) določi AE, če je AD = 5 cm, DB = 15 cm in AC = 25 cm;

2) določi BD, če je AB = 24 m, AC = 16 m in EC = 10 m;

3) določi AB in AC, če je AB+AC = 50 m in AD: AE = 3:7.

23. Polmer kroga je 7 cm. Iz točke, ki je od središča oddaljena 9 cm, narišemo sekanto tako, da deli krožnico na pol. Določite dolžino te sekante.

24. MAB in MCD sta sekanti istega kroga. Zahtevano:

1) določi CD, če je MV = 1 m, MD = 15 dm in CD = MA;

2) določi MD, če je MA = 18 cm, AB = 12 cm in MC: CD = 5:7;

3) določi AB, če je AB = MS, MA = 20 in CD = 11.

25. Dve tetivi se podaljšata, dokler se ne sekata. Določi dolžino nastalih podaljškov, če sta tetivi enaki A in b, njihova nadaljevanja pa so povezana kot t:p.

26. Iz ene točke na krožnico narišemo sekanto in tangento. Določite dolžino tangente, če sta izražena zunanji in notranji segment sekante naslednje številke: 1) 4 in 5; 2) 2,25 in 1,75; 3) 1 in 2.

27. Tangenta je 20 cm, najdaljši sekans, ki poteka iz iste točke, pa 50 cm. Določi polmer kroga.

28. Sekanta je 2 1/4-krat večja od zunanjega segmenta. Kolikokrat je večja od tangente, ki poteka iz iste točke?

29. Skupna tetiva dveh sekajočih se krogov se podaljša in tangente se jima potegnejo iz točke, vzete na nadaljevanju. Dokaži, da sta enaka.

30. Na eni strani kota A so drug za drugim položeni odseki: AB = 6 cm in BC = 8 cm; na drugi strani pa je skozi točke B, C in D narisan odsek AD = 10 cm. Ugotovite, ali se premica AD dotika te krožnice, in če ne, ali bo točka D prva (šteto od A) ali druga točka presečišča.

31. Naj obstajata: AB-tangenta in ACD-sekant istega kroga. Zahtevano:

1) določi CD, če je AB = 2 cm in AD = 4 cm;

2) določi AD, če je AC:CD = 4:5 in AB = 12 cm;

3) določi AB, če je AB = CD in AC = A.

32. 1) Kako daleč lahko vidite balon na vroč zrak(slika 41), ki se dviga do višine 4 km nad zemljo (polmer zemlje je = 6370 km)?

2) Gora Elbrus (na Kavkazu) se dviga 5600 m nad morsko gladino. Kako daleč lahko vidite z vrha te gore?

3) M - opazovalna točka z višino A metrov nad tlemi (slika 42); zemeljski polmer R, MT= d je največja navidezna razdalja. Dokaži to d= √2R h+ h 2

Komentiraj. Ker h 2 zaradi svoje majhnosti v primerjavi z 2R h skoraj ne vpliva na rezultat, potem lahko uporabite približno formulo d≈ √2R h .

33. 1) Tangenta in sekansa, ki prihajata iz ene točke, sta enaki 20 cm oziroma 40 cm; sekanta je od središča oddaljena 8 cm. Določi polmer kroga.

2) Določite razdaljo od središča do točke, iz katere izhajata tangenta in sekans, če sta enaki 4 cm oziroma 8 cm in je sekans odmaknjen od središča za
12 cm.

34. 1) Od skupna točka Na krožnico sta narisani tangenta in sekansa. Določi dolžino tangente, če je za 5 cm večja od zunanjega odseka sekante in za toliko manjša od notranjega odseka.

2) Iz ene točke na krožnico narišemo sekanto in tangento. Sekans je enak A, njen notranji odsek pa je večji od zunanjega za dolžino tangente. Določite tangento.

36. Iz ene točke v eno krožnico potekata tangenta in sekanta. Tangenta je večja od notranjega in zunanjega odseka sekante za 2 cm oziroma 4 cm. Določite dolžino sekante.

36. Iz ene točke na krožnico potekata tangenta in sekanta. Določite njihovo dolžino, če je tangenta 20 cm manjša od notranjega odseka sekante in 8 cm večja od zunanjega odseka.

37. 1) Iz ene točke na krožnico potekata sekanta in tangenta. Njuna vsota je 30 cm, notranji odsek sekante pa je za 2 cm manjši od tangente. Določite sekans in tangento.

2) Iz ene točke na krožnico narišemo sekanto in tangento. Njuna vsota je 15 cm, zunanji odsek sekante pa je za 2 cm manjši od tangente. Določite sekans in tangento.

38. Odsek AB podaljšamo na daljico BC. Na AB in AC so zgrajeni krogi kot na premerih. Na odsek AC v točki B narišemo pravokotno BD, dokler se ne preseka z večjim krogom. Iz točke C je na manjši krog narisana tangenta CK. Dokaži, da je CD = SC.

39. V dano krožnico sta narisani dve vzporedni tangenti in tretja tangenta, ki ju seka. Polmer je povprečni proporcionalni segment med segmenti tretje tangente. Dokaži.

40. Dani dve vzporedni premici na razdalji 15 dm druga od druge; med njima je podana točka M na razdalji 3 dm od enega izmed njih. Skozi točko M je narisana krožnica, ki se dotika obeh vzporednic. Določite razdaljo med projekcijama središča in točke M na enega od teh vzporednikov.

41. V krogu polmera r vpisan je enakokraki trikotnik, katerega vsota višine in osnove je enaka premeru kroga. Določite višino.

42. Določite polmer krožnice, ki je opisana okoli enakokrakega trikotnika: 1) če je osnovica 16 cm in višina 4 cm; 2) če je stranica 12 dm in višina 9 dm; 3) če je stranica 15 m in osnova 18 m.

43. V enakokrakem trikotniku je osnova 48 dm, stranica pa 30 dm. Določite polmere opisanih in včrtanih krogov ter razdaljo med njihovimi središči.

44. Polmer je r, je tetiva tega loka enaka A. Določite tetivo dvojnega loka.

45. Polmer kroga je 8 dm; tetiva AB je 12 dm. Skozi točko A je narisana tangenta, iz točke B pa je tetiva BC vzporedna s tangento. Določite razdaljo med tangento in tetivo letala.

46. Točka A je oddaljena od črte MN za razdaljo z. Podan radij r opisana je krožnica tako, da poteka skozi točko A in se dotika premice MN. Določite razdaljo med dobljeno dotično točko in dano točko A.

Oglejmo si najprej sekanto AC, narisano iz točke A, ki je zunanja na dano krožnico (slika 288). Iz iste točke potegnemo tangento AT. Odsek med točko A in njej najbližjo presečiščem z zunanjim delom kroga bomo imenovali sekans (odsek AB na sliki 288), medtem ko je odsek AC do bolj oddaljene od dveh presečišč preprosto sekant. Tangentni odsek od A do tangentne točke na kratko imenujemo tudi tangenta. Potem je pošteno

Izrek. Produkt sekante in njenega zunanjega dela je enak kvadratu tangente.

Dokaz. Povežimo pike. Trikotnika ACT in BT A sta si podobna, saj je kot pri oglišču A skupen, kota ACT pa sta enaka, ker oba merita polovica istega loka TV. Zato od tukaj dobimo zahtevani rezultat:

Tangenta je enaka geometrični sredini med sekanto, potegnjeno iz iste točke, in njenim zunanjim delom.

Posledica. Za vsak sekans, narisan skozi dano točko A, je produkt njegove dolžine in zunanjega dela konstanten:

Oglejmo si zdaj tetive, ki se sekajo v notranji točki. Trditev je resnična:

Če se dve tetivi sekata, je zmnožek odsekov ene tetive enak zmnožku odsekov druge tetive (kar pomeni odseke, na katere je tetiva razdeljena s presečiščem).

Torej, na sl. 289 tetiv AB in CD se sekata v točki M in imamo Z drugimi besedami,

Za dano točko M je zmnožek odsekov, na katere deli katero koli tetivo, ki poteka skozi njo, konstanten.

Da bi to dokazali, omenimo, da sta si trikotnika MBC in MAD podobna: kota CMV in DMA sta navpična, kota MAD in MCB ležita na istem loku. Od tu najdemo

Q.E.D.

če dano točko M leži na razdalji l od središča, potem, ko skozenj narišemo premer in ga obravnavamo kot eno od tetiv, ugotovimo, da je produkt segmentov premera in torej katere koli druge tetive enak kvadratu najmanjša poltetiva (pravokotno na določen premer), ki poteka skozi M.

Izrek o nespremenljivosti zmnožka odsekov tetive in izrek o nespremenljivosti zmnožka sekante in njenega zunanjega dela sta dva primera iste trditve, razlika je le v tem, ali so sekante narisane skozi zunanjo oz notranja točka kroga. Zdaj lahko določimo še eno lastnost, ki razlikuje ciklične štirikotnike:

V katerem koli cikličnem štirikotniku so rezani produkti, na katere so diagonale razdeljene s točko presečišča, enaki.

Nujnost pogoja je očitna, saj bodo diagonale tetive opisanega kroga. Lahko se pokaže, da je tudi ta pogoj zadosten.

Matematika. Algebra. Geometrija. Trigonometrija

GEOMETRIJA: Planimetrija

10. Izreki o proporcionalnih premicah

Izrek. Stranice kota sekajo številne vzporedne črte in jih razrežejo na sorazmerne dele.

Dokaz. To je potrebno dokazati

Če pomožne premice DM,EN,... narišemo vzporedno z BA, dobimo trikotnike, ki so si med seboj podobni, saj so njuni koti ustrezno enaki (zaradi vzporednosti premic). Iz njihove podobnosti sledi:

Zamenjava v tej vrstici enakopravni odnosi segment DM na D"E", segment EN na E"F" (nasprotni strani paralelograma), dobimo, kar smo morali dokazati.

Izrek. Simetrala katerega koli kota trikotnika deli nasprotno stranico na dele, sorazmerne s sosednjimi stranicami trikotnika

Konverzni izrek. Če je katera koli stranica trikotnika razdeljena na dva dela, sorazmerna z dvema sosednjima stranicama tega trikotnika, potem je ravna črta, ki povezuje točko delitve z vrhom nasprotni kot, obstaja simetrala tega kota

Izrek. Če simetrala zunanji kotiček trikotnik seka nadaljevanje nasprotna stran na določeni točki, potem so razdalje od te točke do koncev podaljšane stranice sorazmerne s sosednjima stranicama trikotnika

Številske odvisnosti med elementi trikotnika.

Izrek. V pravokotnem trikotniku je navpičnica padla iz oglišča pravi kot na hipotenuzo obstaja povprečni sorazmernik med segmenti hipotenuze, vsak krak pa je povprečni sorazmernik med hipotenuzo in segmentom, ki meji na ta krak

Dokaz. Dokazati je treba naslednja tri razmerja: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Trikotnika ABD in ADC sta podobna, saj

P 1=P 4 in P 2=P 3 (ker sta njuni stranici pravokotni), torej BD:AD=AD:DC.

2) Trikotnika ABD in ABC sta si podobna, saj sta pravokotna in imata skupni kot B, torej BC:AB=AB:DB.

3) Trikotnika ABC in ADC sta si podobna, saj sta pravokotna in imata skupni kot C, torej BC:AC=AC:DC.

Posledica. Navpičnica, spuščena iz neke točke na krogu na premer, je povprečni sorazmernik med odseki premera, tetiva, ki povezuje to točko s koncem premera, pa je povprečni sorazmernik med premerom in njegovim odsekom, ki meji na tetivo.

Pitagorov izrek. V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog

Posledica. Kvadrati katet so med seboj povezani kot sosednji segmenti hipotenuze

Izrek. V katerem koli trikotniku je kvadrat strani nasproti ostrega kota enak vsoti kvadratov drugih dveh strani brez dvojnika

produkt katere koli od teh strani z njenim odsekom od vrha ostrega kota do višine.

Izrek. Vsota kvadratov diagonal paralelograma je enaka vsoti kvadratov njegovih stranic

. Proporcionalne črte v krogu.
Izrek. Če neko tetivo in premer narišemo skozi točko znotraj kroga, potem je zmnožek odsekov tetive enak zmnožku odsekov premera.

Posledica. Če poljubno število tetiv narišemo skozi točko znotraj kroga, potem je zmnožek segmentov vsake tetive konstantno število za vse tetive.

Izrek. Če iz točke, ki je vzeta izven kroga, nanj potegnemo sekanto in tangento, potem je produkt sekante in njenega zunanjega dela enak kvadratu tangente.

Uporaba gradiva spletnega mesta je možna ob aktivni povezavi.

Lastnost 1 . Če se tetivi AB in CD krožnice sekata v točki S, potem je AS BS = CS DS, to je DS/BS = AS/CS.

Dokaz. Dokažimo najprej, da sta si trikotnika ASD in CSB podobna.

Včrtana kota DCB in DAB sta enaka, kot da ju deli isti lok.

Kota ASD in BSC sta enaka navpičnici.

Iz enakosti navedenih kotov sledi, da sta si trikotnika ASD in CSB podobna. Iz podobnosti trikotnikov sledi razmerje

DS/BS = AS/CS ali AS BS = CS DS,

Q.E.D.

Lastnost 2. Če dve sekanti narišemo iz točke P v krožnico, ki krožnico sekata v točkah A, B oziroma C, D, potem je AP/CP = DP/BP.

Dokaz. Naj bosta A in C presečišči sekant s krožnico, ki je najbližja točki P. Trikotnika PAD in PCB sta si podobna. Pri oglišču P imata skupni kot, kota B in D pa sta enaka kot včrtana, sloneča na istem loku. Iz podobnosti trikotnikov sledi razmerje AP/CP = DP/BP, kar je bilo treba tudi dokazati.

Lastnost simetrale kota trikotnika

Simetrala kota trikotnika deli nasprotno stranico na segmente, sorazmerne z drugima dvema stranicama.

Dokaz. Naj bo CD simetrala trikotnika ABC. če trikotnik ABC- enakokraki z osnovo AB, potem je navedena lastnost simetrale očitna, saj je v tem primeru simetrala tudi mediana. Razmislimo o splošnem primeru, ko AC ni enak BC. Spustimo navpičnici AF in BE iz oglišč A in B na premico CD. Pravokotni trikotnik ACF in ALL sta podobna, ker imata enako ostri koti na vrhu S.

Iz podobnosti trikotnikov sledi sorazmernost stranic: AC/BC = AF/BE. Prav tako sta si podobna pravokotna trikotnika ADF in BDE. Njihovi koti pri oglišču D so enaki navpičnim. Iz podobnosti sledi: AF/BE = AD/BD. Če to enakost primerjamo s prejšnjo, dobimo: AC/BC = AD/BD ali AC/AD = BC/BD, torej sta AD in BD sorazmerna s stranicama AC in BC.