Produkt logaritmov s formulo različnih osnov. Logaritem

Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.

Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:

Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.

Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.

Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.

Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.

Logaritmi, primeri:

log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8

dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.

log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100

Naravni logaritem- tudi navaden logaritem, logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.

Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenačb. Ponovno pregledajmo vsako formulo s primeri.

• Osnovna logaritemska identiteta
  hlod a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma

  Eksponent logaritemskega števila log a b m = mlog a b

  Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  če je m = n, dobimo log a n b n = log a b

  dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3

• Prehod na novo podlago
  log a b = log c b/log c a,

  če je c = b, dobimo log b b = 1

  potem je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne zamudite!

Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.

Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.

Logaritem števila n temelji na A imenovan eksponent X , na katerega morate graditi A da dobiš številko n

Pod pogojem, da
,
,

Iz definicije logaritma sledi, da
, tj.
- ta enakost je osnovna logaritemska identiteta.

Logaritme z osnovo 10 imenujemo decimalni logaritmi. Namesto
pisati
.

Logaritmi na osnovo e se imenujejo naravne in so označene
.

Osnovne lastnosti logaritmov.

Logaritem ena je enak nič za katero koli osnovo.

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.

3) Logaritem količnika je enak razliki logaritmov

Faktor
imenujemo modul prehoda od logaritmov do baze a na logaritme na osnovi b .

Z uporabo lastnosti 2-5 je pogosto mogoče reducirati logaritem kompleksnega izraza na rezultat preprostih aritmetičnih operacij na logaritmih.

na primer

Take transformacije logaritma imenujemo logaritmi. Transformacije, inverzne logaritmom, se imenujejo potenciranje.

Poglavje 2. Elementi višje matematike.

1. Omejitve

Omejitev funkcije
je končno število A, če, kot xx 0 za vsako vnaprej določeno
, obstaja taka številka
da takoj, ko
, To
.

Funkcija, ki ima limit, se od nje razlikuje za neskončno majhno količino:
, kjer je- b.m.v., tj.
.

Primer. Upoštevajte funkcijo
.

Pri prizadevanju
, funkcija l teži k ničli:

1.1. Osnovni izreki o mejah.

Meja konstantne vrednosti je enaka tej konstantni vrednosti

.

Limita vsote (razlike) končnega števila funkcij je enaka vsoti (razliki) limitov teh funkcij.

Limita produkta končnega števila funkcij je enaka produktu limitov teh funkcij.

Limita kvocienta dveh funkcij je enaka kvocientu limes teh funkcij, če limit imenovalca ni enak nič.

Čudovite meje

,
, Kje

1.2. Primeri izračuna omejitev

Vseh omejitev pa ni mogoče izračunati tako preprosto. Pogosteje se izračun meje zmanjša na razkritje negotovosti tipa: ali .

.

2. Odvod funkcije

Naj imamo funkcijo
, neprekinjeno na segmentu
.

Argument dobil nekaj povečanja
. Nato bo funkcija prejela prirastek
.

Vrednost argumenta ustreza vrednosti funkcije
.

Vrednost argumenta
ustreza vrednosti funkcije.

Zato,.

Poiščimo mejo tega razmerja pri
. Če ta meja obstaja, se imenuje odvod dane funkcije.

Definicija 3 Odvod dane funkcije
z argumentom se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se prirastek argumenta poljubno nagiba k ničli.

Odvod funkcije
lahko označimo na naslednji način:

; ; ; .

Definicija 4. Operacija iskanja odvoda funkcije se imenuje diferenciacija.

2.1. Mehanski pomen izpeljanke.

Oglejmo si premočrtno gibanje nekega togega telesa ali materialne točke.

Naj v nekem trenutku gibljiva točka
je bil na daljavo iz začetnega položaja
.

Po določenem času
premaknila se je daleč
. Odnos =- povprečna hitrost materialne točke
. Poiščimo mejo tega razmerja ob upoštevanju tega
.

Posledično se določitev trenutne hitrosti gibanja materialne točke zmanjša na iskanje odvoda poti glede na čas.

2.2. Geometrijska vrednost odvoda

Imejmo grafično definirano funkcijo
.

riž. 1. Geometrijski pomen izpeljanke

če
, nato pokažite
, se bo premikal vzdolž krivulje in se približal točki
.

Zato
, tj. vrednost izpeljanke za dano vrednost argumenta številčno enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta v dani točki s pozitivno smerjo osi
.

2.3. Tabela osnovnih diferenciacijskih formul.

Funkcija moči

Eksponentna funkcija

Logaritemska funkcija

Trigonometrična funkcija

Inverzna trigonometrična funkcija

2.4. Pravila razlikovanja.

Izpeljanka iz

Odvod vsote (razlike) funkcij

Odvod produkta dveh funkcij

Odvod kvocienta dveh funkcij

2.5. Odvod kompleksne funkcije.

Naj bo funkcija podana
tako, da ga je mogoče predstaviti v obliki

in
, kjer je spremenljivka je torej vmesni argument

Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda dane funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na x.

Primer 1.

Primer 2.

3. Diferencialna funkcija.

Naj bo
, ki jih je mogoče diferencirati na določenem intervalu
in pusti pri ta funkcija ima izpeljanko

,

potem lahko pišemo

(1),

kje - neskončno majhna količina,

od kdaj

Pomnožimo vse člene enakosti (1) s
imamo:

kje
- b.m.v. višjega reda.

Magnituda
imenujemo diferencial funkcije
in je določen

.

3.1. Geometrijska vrednost diferenciala.

Naj bo funkcija podana
.

Slika 2. Geometrijski pomen diferenciala.

.

Očitno je diferencial funkcije
je enak prirastku ordinate tangente v dani točki.

3.2. Odvodi in diferenciali različnih vrst.

Če obstaja
, Potem
se imenuje prva izpeljanka.

Odvod prvega odvoda imenujemo odvod drugega reda in ga zapišemo
.

Odvod n-tega reda funkcije
se imenuje odvod (n-1) reda in je zapisan:

.

Diferencial diferenciala funkcije imenujemo drugi diferencial ali diferencial drugega reda.

.

.

3.3 Reševanje bioloških problemov z diferenciacijo.

Naloga 1. Študije so pokazale, da je rast kolonije mikroorganizmov v skladu z zakonom
, Kje n – število mikroorganizmov (v tisočih), t – čas (dnevi).

b) Se bo populacija kolonije v tem obdobju povečala ali zmanjšala?

Odgovori. Velikost kolonije se bo povečala.

Naloga 2. Vodo v jezeru občasno testiramo na vsebnost patogenih bakterij. Skozi t dni po testiranju se koncentracija bakterij določi z razmerjem

.

Kdaj bo v jezeru minimalna koncentracija bakterij in bo v njem možno plavati?

Rešitev: funkcija doseže max ali min, ko je njen odvod enak nič.

,

Določimo najvišjo ali najnižjo vrednost čez 6 dni. Da bi to naredili, vzemimo drugi derivat.

Odgovor: Po 6 dneh bo koncentracija bakterij minimalna.

(iz grščine λόγος - "beseda", "relacija" in ἀριθμός - "število") števila b temelji na a(log α b) imenujemo takšno število c, In b= a c, to je zapisi log α b=c in b=ac so enakovredne. Logaritem je smiseln, če je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Z drugimi besedami logaritemštevilke b temelji na A formuliran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobiš številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).

Iz te formulacije sledi, da je izračun x= log α b, je enakovredno reševanju enačbe a x =b.

Na primer:

log 2 8 = 3, ker je 8 = 2 3 .

Naj poudarimo, da navedena formulacija logaritma omogoča takojšnjo določitev vrednost logaritma, ko število pod znakom logaritma deluje kot določena potenca osnove. Dejansko formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b temelji na a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritmov tesno povezana s temo potence števila.

Izračunavanje logaritma se imenuje logaritem. Logaritem je matematična operacija logaritmiranja. Pri logaritmiranju se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.

Potenciranje je inverzna matematična operacija logaritmu. Med potenciranjem se dana baza dvigne do stopnje izražanja, nad katero se izvaja potenciranje. V tem primeru se vsote členov pretvorijo v produkt faktorjev.

Precej pogosto se uporabljajo pravi logaritmi z osnovami 2 (binarni), Eulerjevim številom e ≈ 2,718 (naravni logaritem) in 10 (decimalni).

Na tej stopnji je priporočljivo razmisliti vzorci logaritmov dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

In vnosi lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nimajo smisla, saj je v prvem od njih negativno število postavljeno pod znak logaritma, v drugem pa je negativno število v osnovi, v tretji pa je pod logaritmom negativno število in na osnovi enota.

Pogoji za določitev logaritma.

Ločeno je vredno razmisliti o pogojih a > 0, a ≠ 1, b > 0, pod katerimi dobimo definicija logaritma. Razmislimo, zakaj so bile sprejete te omejitve. Pri tem nam bo pomagala enakost oblike x = log α b, ki se imenuje osnovna logaritemska identiteta, ki neposredno izhaja iz zgoraj navedene definicije logaritma.

Vzemimo pogoj a≠1. Ker je ena na poljubno potenco enako ena, potem velja enakost x=log α b lahko obstaja samo takrat, ko b=1, vendar bo log 1 1 poljubno realno število. Da bi odpravili to dvoumnost, vzamemo a≠1.

Dokažimo nujnost pogoja a>0. pri a=0 Glede na formulacijo logaritma lahko obstaja le, ko b=0. In temu primerno potem dnevnik 0 0 je lahko katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič na katero koli potenco, ki ni nič, nič. To dvoumnost lahko odpravi pogoj a≠0. In kdaj a<0 morali bi zavrniti analizo racionalnih in iracionalnih vrednosti logaritma, saj je stopnja z racionalnim in iracionalnim eksponentom definirana samo za nenegativne baze. Zaradi tega je pogoj določen a>0.

In zadnji pogoj b>0 izhaja iz neenakosti a>0, ker je x=log α b, in vrednost stopnje s pozitivno osnovo a vedno pozitivno.

Značilnosti logaritmov.

Logaritmi zaznamuje izrazit funkcije, kar je pripeljalo do njihove široke uporabe za znatno olajšanje mukotrpnih izračunov. Ko se premaknemo »v svet logaritmov«, se množenje spremeni v veliko lažje seštevanje, deljenje v odštevanje, potenciranje in pridobivanje korena pa v množenje oziroma deljenje z eksponentom.

Formulacijo logaritmov in tabelo njihovih vrednosti (za trigonometrične funkcije) je leta 1614 prvič objavil škotski matematik John Napier. Logaritemske tabele, ki so jih povečali in podrobno opisali drugi znanstveniki, so se pogosto uporabljale v znanstvenih in inženirskih izračunih in so ostale pomembne vse do uporabe elektronskih kalkulatorjev in računalnikov.

Logaritem pozitivnega števila b na osnovi a (a>0, a ni enako 1) je število c tako, da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Upoštevajte, da je logaritem nepozitivnega števila nedefiniran. Poleg tega mora biti osnova logaritma pozitivno število, ki ni enako 1. Na primer, če kvadriramo -2, dobimo število 4, vendar to ne pomeni, da je logaritem na osnovi -2 od 4 je enako 2.

Osnovna logaritemska identiteta

Pomembno je, da je obseg definicije desne in leve strani te formule različen. Leva stran je definirana samo za b>0, a>0 in a ≠ 1. Desna stran je definirana za poljuben b in sploh ni odvisna od a. Tako lahko uporaba osnovne logaritemske "identitete" pri reševanju enačb in neenačb povzroči spremembo OD.

Dve očitni posledici definicije logaritma

Res je, da pri dvigu števila a na prvo potenco dobimo enako število, pri dvigu na ničelno potenco pa dobimo enoto.

Logaritem produkta in logaritem količnika

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Šolarje bi rad posvaril pred nepremišljeno uporabo teh formul pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb. Pri njihovi uporabi »od leve proti desni« se ODZ zoži, pri prehodu iz vsote ali razlike logaritmov na logaritem produkta ali količnika pa se ODZ razširi.

Dejansko je izraz log a (f (x) g (x)) definiran v dveh primerih: ko sta obe funkciji strogo pozitivni ali ko sta f (x) in g (x) obe manjši od nič.

Če ta izraz pretvorimo v vsoto log a f (x) + log a g (x) , smo se prisiljeni omejiti le na primer, ko je f(x)>0 in g(x)>0. Obstaja zoženje obsega sprejemljivih vrednosti, kar je kategorično nesprejemljivo, saj lahko povzroči izgubo rešitev. Podoben problem obstaja za formulo (6).

Stopnjo lahko vzamemo iz znaka logaritma

In spet bi rad pozval k natančnosti. Razmislite o naslednjem primeru:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Leva stran enakosti je očitno definirana za vse vrednosti f(x), razen nič. Desna stran je samo za f(x)>0! Z odvzemom stopnje logaritmu ponovno zožimo ODZ. Obratni postopek vodi do razširitve območja sprejemljivih vrednosti. Vse te opombe ne veljajo le za potencijo 2, ampak tudi za katero koli sodo potencijo.

Formula za prehod na novo podlago

Tisti redki primer, ko se ODZ med transformacijo ne spremeni. Če ste pametno izbrali osnovo c (pozitivno in ni enako 1), je formula za prehod na novo osnovo popolnoma varna.

Če za novo osnovo c izberemo število b, dobimo pomemben poseben primer formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekaj ​​preprostih primerov z logaritmi

Primer 1. Izračunajte: log2 + log50.
rešitev. log2 + log50 = log100 = 2. Uporabili smo formulo za vsoto logaritmov (5) in definicijo decimalnega logaritma.

Primer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
rešitev. log125/log5 = log 5 125 = 3. Uporabili smo formulo za premik na novo bazo (8).

Tabela formul, povezanih z logaritmi

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in dnevnik a l. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. dnevnik a x+ dnevnik a l= dnevnik a (x · l);
2. dnevnik a x− dnevnik a l= dnevnik a (x : l).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo »Kaj je logaritem«). Oglejte si primere in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne samo od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis k sliki]

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo dan logaritem a x. Potem za poljubno število c tako da c> 0 in c≠ 1 velja enakost:

[Napis k sliki]

Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:

[Napis k sliki]

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru številka n postane pokazatelj stopnje veljave v argumentu. številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je samo vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Temu se reče: osnovna logaritemska identiteta.

Pravzaprav, kaj se bo zgodilo, če bo številka b dvigniti na takšno moč, da število b tej moči daje število a? Tako je: dobite isto številko a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis k sliki]

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - preprosto smo vzeli kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. dnevnik a a= 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na poljubno osnovo a iz te baze je enako ena.
2. dnevnik a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.