Spletni kalkulator odstotkov. Kako izračunati obresti

Odstotek (kar pomeni "na sto") je primerjava s 100.

Simbol odstotka %. Tako je na primer 5 odstotkov zapisano kot 5%.

Predpostavimo, da so v sobi 4 osebe.

50% je polovica - 2 osebi.
25% je četrtina - 1 oseba.
0% ni nič - 0 ljudi.
100% je cela - vse 4 osebe v sobi.
Če v sobo vstopijo še 4 osebe, potem njihovo število postane 200%.

1 % je $\frac(1)(100)$
Če je skupaj 100 ljudi, je 1 % od tega ena oseba.

Če želite matematično izraziti število X kot odstotek Y, naredite naslednje:
$X: Y \krat 100 = \frac(X)(Y) \krat 100$

primer: Koliko odstotkov od 160 je 80?

rešitev:

$\frac(80)(160) \krat 100 = 50\%$

Povečanje/zmanjšanje odstotka

Ko se število poveča glede na drugo število, je znesek povečanja predstavljen kot:

Povečanje = Nova številka - Stara številka

Ko pa se število zmanjša glede na drugo število, je to vrednost mogoče predstaviti kot:

Zmanjšanje = stara številka - nova številka

Povečanje ali zmanjšanje števila je vedno izraženo na podlagi starega števila.
Zato:

% Povečanje = 100 ⋅ (Nova številka - Stara številka) Stara številka

% Zmanjšanje = 100 ⋅ (staro število - novo število) Staro število

Na primer, imeli ste 80 poštnih znamk in ste začeli zbirati ta mesec skupna količina poštnih znamk je doseglo 120. Odstotek povečanja števila znamk, ki jih imate, je

$\frac(120 - 80)(80) \krat 100 = 50\%$

Ko ste imeli 120 znamk, ste se s prijateljem dogovorili, da zamenjate igro Lego za nekaj teh znamk. Vaš prijatelj je vzel nekaj znamk, ki so mu bile všeč, in ko ste prešteli preostale znamke, ste ugotovili, da vam je ostalo 100 znamk. Odstotek zmanjšanja števila blagovnih znamk se lahko izračuna kot:

$\frac(120 - 100)(120) \krat 100 = 16,67\%$

Kalkulator odstotkov

Kako odstotki pomagajo v resničnem življenju

Obstajata dva načina, kako nam odstotki pomagajo pri reševanju vsakodnevnih težav:

1. Primerjamo dve različni količini, ko so vse količine povezane z isto osnovno količino 100. Da bi to pojasnili, si oglejmo naslednji primer:

primer: Tom je odprl novo trgovino z živili. V prvem mesecu je kupil živil za 650 $ in jih prodal za 800 $, v drugem pa jih je kupil za 800 $ in jih prodal za 1200 $. Izračunati moramo, ali ima Tom več dobička ali ne.

rešitev:

Iz teh številk ne moremo neposredno ugotoviti, ali Tomovi prihodki rastejo ali ne, saj so stroški in prihodki vsak mesec drugačni. Da bi rešili to težavo, moramo vse vrednosti povezati s fiksno osnovno vrednostjo 100. Izrazimo odstotek njegovih prihodkov v odhodkih v prvem mesecu:

(800 - 650) 650 ⋅ 100 = 23,08 %

To pomeni, da če je Tom porabil 100 $, je v prvem mesecu ustvaril dobiček 23,08.

Zdaj uporabimo isto za drugi mesec:

(1200 - 800) 800 ⋅ 100 = 50 %

Torej, če je Tom v drugem mesecu porabil 100 USD, je bil njegov dohodek 50 USD (ker je 100⋅50 % = 100⋅50100 = 50 USD). Zdaj je jasno, da Tomovi prihodki rastejo.

2. Določimo lahko količino kosa večja velikost, če je znan odstotek tega dela. Da bi to pojasnili, si oglejmo naslednji primer:

primer: Cindy želi kupiti 8 metrov cevi za svoj vrt. Šla je v trgovino in odkrila, da je tam kolut za cev, dolg 30 metrov. Opazila pa je, da na kolutu piše, da je 60% že prodanih. Ugotoviti mora, ali ji preostala cev zadostuje.

rešitev:

Znak to pravi

$\frac(Prodano\ dolžina)(Skupna\ dolžina) \krat 100 = 60\%$

$Prodano\ dolžina = \frac(60 \krat 30)(100) = 18m$

Ostanek je torej 30 - 18 = 12m, kar je za Cindy povsem dovolj.

Primeri:

1. Ryan rad zbira športne karte svojih najljubših igralcev. Ima 32 kart za bejzbol, 25 kart za nogomet in 47 kart za košarko. Kolikšen je odstotek kart vsakega športa v njegovi zbirki?

rešitev:

Skupno število kart = 32 + 25 + 47 = 104

Odstotek bejzbolske karte = 32/104 x 100 = 30,8 %

Odstotek nogometne karte = 25/104 x 100 = 24 %

Odstotek košarkarske karte = 47/104 x 100 = 45,2 %

Upoštevajte, da če seštejete vse odstotke, dobite 100 %, kar predstavlja skupno število kart.

2. Pri pouku je bil test iz matematike. Test je obsegal 5 vprašanj; za tri so dali trem po 3 točke, za preostali dve pa štiri točke. Uspelo vam je pravilno odgovoriti na dve vprašanji v vrednosti 3 točke in na eno vprašanje v vrednosti 4 točke. Koliko odstotkov točk ste prejeli na tem testu?

rešitev:

Skupaj = 3x3 + 2x4 = 17 točk

Prejete točke = 2x3 + 4 = 10 točk

Odstotek prejetih točk = 10/17 x 100 = 58,8 %

3. Kupili ste video igro za 40 $. Nato so se cene teh iger zvišale za 20%. Kakšna je nova cena video igre?

rešitev:

Zvišanje cene je 40 x 20/100 = \$8

Nova cena je 40 + 8 = \$48

Odstotek (ali razmerje) dveh števil je razmerje med enim številom in drugim, pomnoženo s 100 %.

Odstotno razmerje dveh števil lahko zapišemo na naslednji način:

Primer odstotka

Na primer, obstajata dve številki: 750 in 1100.

Odstotno razmerje 750 proti 1100 je enako

Število 750 je 68,18 % od 1100.

Odstotno razmerje 1100 proti 750 je

Število 1100 je 146,67 % od 750.

Primer naloge 1

Standard tovarne za proizvodnjo avtomobilov je 250 avtomobilov na mesec. Tovarna je v enem mesecu sestavila 315 avtomobilov. vprašanje: Za koliko odstotkov je obrat presegel načrt?

Razmerje v odstotkih 315 proti 250 = 315:250*100 = 126 % .

Načrt smo izpolnili 126 %. Plan je bil presežen za 126 % - 100 % = 26 %.

Primer naloge 2

Dobiček družbe za leto 2011 je znašal 126 milijonov dolarjev, leta 2012 je dobiček znašal 89 milijonov dolarjev. vprašanje: Za koliko odstotkov je padel dobiček v letu 2012?

Razmerje v odstotkih 89 milijonov proti 126 milijonom = 89:126*100 = 70,63 %

Dobiček padel za 100% - 70,63% = 29,37%

Obresti- eden od konceptov uporabna matematika, ki jih pogosto najdemo v vsakdanje življenje. Tako lahko pogosto preberete ali slišite, da se je na primer volitev udeležilo 56,3 % volivcev, rating zmagovalca tekmovanja je 74 %, industrijska proizvodnja se je povečala za 3,2 %, banka zaračunava 8 % letno, mleko vsebuje 1,5 % maščobe, tkanina vsebuje 100 % bombaž itd. Jasno je, da je razumevanje takšnih informacij v sodobni družbi nujno.

En odstotek katere koli vrednosti - vsota denarja, število učencev itd. - ena stotina se imenuje.
Odstotek je označen z znakom %.

1 % je 0,01 ali \(\frac(1)(100)\) del vrednosti
Tukaj je nekaj primerov:
- 1% minimalne plače 2300 rub. (september 2007) - to je 2300/100 = 23 rubljev;
- 1% prebivalstva Rusije, kar je približno 145 milijonov ljudi (2007), je 1,45 milijona ljudi;

- 3% koncentracija raztopine soli je 3 g soli v 100 g raztopine (spomnimo se, da je koncentracija raztopine del, ki je masa raztopljene snovi od mase celotne raztopine).

Beseda "odstotek" izvira iz latinskega pro centum, kar pomeni "od sto" ali "na 100". Ta izraz najdemo tudi v sodobnem govoru. Na primer, pravijo: "Od vsakih 100 udeležencev loterije je 7 udeležencev prejelo nagrade." Če ta izraz vzamemo dobesedno, potem je ta izjava seveda napačna: jasno je, da je mogoče izbrati 100 ljudi, ki so sodelovali v loteriji in niso prejeli nagrad. Pravzaprav je natančen pomen tega izraza, da je 7% udeležencev loterije prejelo nagrade, in to razumevanje ustreza izvoru besede "odstotek": 7% je 7 od 100, 7 ljudi od 100 ljudi.

Znak "%" je postal razširjen v konec XVII stoletja. Leta 1685 je v Parizu izšla knjiga "Manual of Commercial Aritmetic" Mathieu de la Porte. Na enem mestu je šlo za odstotek, ki so ga takrat poimenovali »cto« (okrajšava za cento). Vendar je pisec ta "s/o" zamenjal za ulomek in natisnil "%". Tako je zaradi tipkarske napake ta znak prišel v uporabo.

Poljubno število odstotkov lahko zapišemo kot decimalno, ki izraža del količine.

Če želite odstotke izraziti kot številke, morate število odstotkov deliti s 100. Na primer:

Za vzvratni prehod se izvede obratno dejanje. torej Če želite izraziti število v odstotkih, ga morate pomnožiti s 100:

IN praktično življenje Koristno je razumeti razmerje med najpreprostejšimi odstotki in ustreznimi ulomki: polovica - 50 %, četrtina - 25 %, tri četrtine - 75 %, petina - 20 %, tri petine - 60 % itd.

Koristno je tudi razumeti različne oblike izrazi enake spremembe količine, formulirani brez odstotkov in z uporabo odstotkov. Na primer, sporočila »Minimalna plača se je od februarja zvišala za 50%« in »Minimalna plača se je od februarja zvišala za 1,5-krat« govorita isto. Na enak način povečati za 2-krat pomeni povečati za 100%, povečati za 3-krat pomeni povečati za 200%, zmanjšati za 2-krat pomeni zmanjšati za 50%.

Prav tako
- povečanje za 300% - to pomeni povečanje 4-krat,
- znižanje za 80% - to pomeni zmanjšanje za 5-krat.

Težave z odstotki

Ker je odstotke mogoče izraziti kot ulomke, so težave z odstotki v bistvu enake težavam z ulomki. V najpreprostejših problemih z odstotki je določena vrednost a vzeta za 100 % (»celo«), njen del b pa je izražen s številom p%.

Glede na to, kaj je neznano - a, b ali p, obstajajo tri vrste problemov, ki vključujejo odstotke. Te naloge rešujemo na enak način kot ustrezne naloge z ulomki, le da pred njihovo rešitvijo število p% izrazimo kot ulomek.

1. Iskanje odstotka števila.
Če želite najti \(\frac(p)(100) \) iz a, morate a pomnožiti z \(\frac(p)(100) \):

Torej, da bi našli p% števila, morate to število pomnožiti z ulomkom \(\frac(p)(100)\). Na primer, 20 % od 45 kg je enako 45 0,2 = 9 kg, 118 % od x pa je enako 1,18x

2. Iskanje števila po odstotku.
Če želite najti število iz njegovega dela b, izraženega kot ulomek \(\frac(p)(100) , \; (p \neq 0) \), morate b deliti z \(\frac(p)(100 ) \):
\(a = b: \frac(p)(100)\)

3. Ugotovitev odstotek dve številki.
Če želite ugotoviti, koliko odstotkov je število b od a \((a \neq 0) \), morate najprej ugotoviti, kateri del b je od a, nato pa ta del izraziti kot odstotek:

Kvocient dveh števil, izražen v odstotkih, se imenuje odstotek te številke. Zato se imenuje zadnje pravilo pravilo za iskanje odstotnega razmerja dveh števil.

Preprosto je videti, da formule

Sestavljene probleme z odstotki rešujemo podobno kot probleme z ulomki.

Enostavna rast v odstotkih

Če oseba ne plača najemnine pravočasno, je predmet globe, imenovane "kazen" (iz latinskega roena - kazen). Torej, če je kazen 0,1% zneska najemnine za vsak dan zamude, potem bo na primer za 19 dni zamude znesek 1,9% zneska najemnine. Torej, skupaj z, recimo, 1000 rubljev. najemnine, bo oseba morala plačati kazen v višini 1000 0,019 = 19 rubljev, skupaj pa 1019 rubljev.

Jasno je, da v različna mesta in pri različni ljudje najemnina, višina kazni in zamudno obdobje so različni. Zato je smiselno oblikovati splošno formulo najemnine za površne plačnike, ki bi veljala v vseh okoliščinah.

Naj bo S mesečna najemnina, kazen je p% najemnine za vsak dan zamude, n pa število dni zamude. Znesek, ki ga mora oseba plačati po n dneh zamude, bomo označili s S n.
Potem bo kazen za n dni zamude pn% od S ali \(\frac(pn)(100)S\), skupaj pa boste morali plačati \(S + \frac(pn)(100) S = \levo(1+ \frac(pn)(100) \desno) S\)
Torej:
\(S_n = \levo(1+ \frac(pn)(100) \desno) S \)

Ta formula opisuje številne posebne situacije in ima posebno ime: preprosta formula za odstotek rasti.

Podobno formulo dobimo, če se določena vrednost v določenem časovnem obdobju zmanjša za določeno število odstotkov. Kot zgoraj, je to v tem primeru enostavno preveriti
\(S_n = \levo(1- \frac(pn)(100) \desno) S \)

Ta formula se imenuje tudi preprosta formula za odstotek rastičeprav nastavljeno vrednost se dejansko zmanjšuje. Rast je v tem primeru "negativna".

Rast obrestne mere

V ruskih bankah je za nekatere vrste depozitov (tako imenovane vezane depozite, ki jih ni mogoče sprejeti prej kot po roku, določenem v pogodbi, na primer eno leto), sprejet naslednji sistem izplačila dohodka: za prvi leto, da je položeni znesek na računu, prihodek je na primer 10% od nje. Vlagatelj lahko ob koncu leta iz banke dvigne vloženi denar in zaslužene prihodke – »obresti«, kot se temu običajno reče.

Če vlagatelj tega ni storil, se obresti prištejejo k začetnemu vlogu (usredstvenemu) in zato banka ob koncu naslednjega leta k novemu povečanemu znesku doda 10 %. Z drugimi besedami, s takšnim sistemom se izračunajo "obresti na obresti" ali, kot se običajno imenujejo, obrestne mere.

Izračunajmo, koliko denarja bo vlagatelj prejel v 3 letih, če je položil 1000 rubljev na bančni račun za določen čas. in nikoli ne bo vzel denarja z računa tri leta.

10% od 1000 rub. so 0,1 1000 = 100 rubljev, torej čez eno leto bo njegov račun imel
1000 + 100 = 1100 (r.)

10 % od nov znesek 1100 rubljev. so 0,1 1100 = 110 rubljev, torej po 2 letih bo
1100 + 110 = 1210 (r.)

10% novega zneska 1210 rub. so 0,1 1210 = 121 rubljev, torej po 3 letih bo
1210 + 121 = 1331 (r.)

Ni si težko predstavljati, koliko časa bi ob tako neposrednem, »čelnem« izračunu potrebovali, da bi po 20 letih ugotovili višino depozita. Medtem je izračun mogoče narediti veliko lažje.

Namreč, v enem letu se bo začetni znesek zvišal za 10 %, torej bo znašal 110 % začetnega zneska, ali z drugimi besedami, povečal se bo za 1,1-krat. Prihodnje leto se bo za enakih 10 % povečal tudi nov, že povečan znesek. Zato se bo po 2 letih začetni znesek povečal za 1,1 1,1 = 1,1 2-krat.

V naslednjem letu se bo ta znesek povečal za 1,1-krat, torej se bo začetni znesek povečal za 1,1 1,1 2 = 1,1 3-krat. S to metodo sklepanja dobimo veliko enostavnejšo rešitev našega problema: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (r.)

Rešimo zdaj ta problem v splošni pogled. Naj banka obračuna dohodek v višini p% na leto, položeni znesek je enak S rub., in znesek, ki bo na računu čez n let, je enak S n rub.

Vrednost p% S je \(\frac(p)(100)S \) rub., Po enem letu pa bo znesek na računu
\(S_1 = S+ \frac(p)(100)S = \left(1+ \frac(p)(100) \desno)S \)
to pomeni, da se bo začetni znesek povečal za \(1+ \frac(p)(100)\)-krat.

V naslednjem letu se bo znesek S 1 povečal za enak znesek, tako da bo čez dve leti na računu znesek
\(S_2 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S_1 = \left(1+ \frac(p)(100) \desno) \left(1+ \frac(p)(100) ) ) \desno)S = \levo(1+ \frac(p)(100) \desno)^2 S \)

Podobno \(S_3 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^3 S \), itd. Z drugimi besedami, enakost je resnična
\(S_n = \levo(1+ \frac(p)(100) \desno)^n S \)

Ta formula se imenuje formula obrestne obresti, ali samo formula obrestne obresti.

Odstotek (ali razmerje) dveh števil je razmerje med enim številom in drugim, pomnoženo s 100 %.

Odstotno razmerje dveh števil lahko zapišemo na naslednji način:

Primer odstotka

Na primer, obstajata dve številki: 750 in 1100.

Odstotno razmerje 750 proti 1100 je enako

Število 750 je 68,18 % od 1100.

Odstotno razmerje 1100 proti 750 je

Število 1100 je 146,67 % od 750.

Primer naloge 1

Standard tovarne za proizvodnjo avtomobilov je 250 avtomobilov na mesec. Tovarna je v enem mesecu sestavila 315 avtomobilov. vprašanje: Za koliko odstotkov je obrat presegel načrt?

Razmerje v odstotkih 315 proti 250 = 315:250*100 = 126 % .

Načrt smo izpolnili 126 %. Plan je bil presežen za 126 % - 100 % = 26 %.

Primer naloge 2

Dobiček družbe za leto 2011 je znašal 126 milijonov dolarjev, leta 2012 je dobiček znašal 89 milijonov dolarjev. vprašanje: Za koliko odstotkov je padel dobiček v letu 2012?

Razmerje v odstotkih 89 milijonov proti 126 milijonom = 89:126*100 = 70,63 %

Dobiček padel za 100% - 70,63% = 29,37%

Obresti je eden od konceptov uporabne matematike, ki se pogosto srečuje v vsakdanjem življenju. Tako lahko pogosto preberete ali slišite, da se je na primer volitev udeležilo 56,3 % volivcev, rating zmagovalca tekmovanja je 74 %, industrijska proizvodnja se je povečala za 3,2 %, banka zaračunava 8 % letno, mleko vsebuje 1,5 % maščobe, tkanina vsebuje 100 % bombaž itd. Jasno je, da je razumevanje takšnih informacij v sodobni družbi nujno.

En odstotek katere koli vrednosti - vsota denarja, število učencev itd. - ena stotina se imenuje.
Odstotek je označen z znakom %.

1 % je 0,01 ali \(\frac(1)(100)\) del vrednosti
Tukaj je nekaj primerov:
- 1% minimalne plače 2300 rub. (september 2007) - to je 2300/100 = 23 rubljev;
- 1% prebivalstva Rusije, kar je približno 145 milijonov ljudi (2007), je 1,45 milijona ljudi;

- 3% koncentracija raztopine soli je 3 g soli v 100 g raztopine (spomnimo se, da je koncentracija raztopine del, ki je masa raztopljene snovi od mase celotne raztopine).

Beseda "odstotek" izvira iz latinskega pro centum, kar pomeni "od sto" ali "na 100". Ta izraz najdemo tudi v sodobnem govoru. Na primer, pravijo: "Od vsakih 100 udeležencev loterije je 7 udeležencev prejelo nagrade." Če ta izraz vzamemo dobesedno, potem je ta izjava seveda napačna: jasno je, da je mogoče izbrati 100 ljudi, ki so sodelovali v loteriji in niso prejeli nagrad. Pravzaprav je natančen pomen tega izraza, da je 7% udeležencev loterije prejelo nagrade, in to razumevanje ustreza izvoru besede "odstotek": 7% je 7 od 100, 7 ljudi od 100 ljudi.

Znak "%" je postal razširjen konec 17. stoletja. Leta 1685 je v Parizu izšla knjiga "Manual of Commercial Aritmetic" Mathieu de la Porte. Na enem mestu je bilo govora o odstotku, ki so ga takrat poimenovali »cto« (okrajšava za cento). Vendar je pisec ta "s/o" zamenjal za ulomek in natisnil "%". Tako je zaradi tipkarske napake ta znak prišel v uporabo.

Poljubno število odstotkov je mogoče zapisati kot decimalni ulomek, ki izraža del količine.

Če želite odstotke izraziti kot številke, morate število odstotkov deliti s 100. Na primer:

Za vzvratni prehod se izvede obratno dejanje. torej Če želite izraziti število v odstotkih, ga morate pomnožiti s 100:

V praktičnem življenju je koristno razumeti razmerje med najpreprostejšimi odstotnimi vrednostmi in ustreznimi frakcijami: polovica - 50%, četrtina - 25%, tri četrtine - 75%, petina - 20%, tri petine - 60 % itd.

Koristno je tudi razumeti različne oblike izražanja iste spremembe količine, oblikovane brez odstotkov in z uporabo odstotkov. Na primer, sporočila »Minimalna plača se je od februarja zvišala za 50%« in »Minimalna plača se je od februarja zvišala za 1,5-krat« govorita isto. Na enak način povečati za 2-krat pomeni povečati za 100%, povečati za 3-krat pomeni povečati za 200%, zmanjšati za 2-krat pomeni zmanjšati za 50%.

Prav tako
- povečanje za 300% - to pomeni povečanje 4-krat,
- znižanje za 80% - to pomeni zmanjšanje za 5-krat.

Težave z odstotki

Ker je odstotke mogoče izraziti kot ulomke, so težave z odstotki v bistvu enake težavam z ulomki. V najpreprostejših problemih z odstotki je določena vrednost a vzeta za 100 % (»celo«), njen del b pa je izražen s številom p%.

Glede na to, kaj je neznano - a, b ali p, obstajajo tri vrste problemov, ki vključujejo odstotke. Te naloge rešujemo na enak način kot ustrezne naloge z ulomki, le da pred njihovo rešitvijo število p% izrazimo kot ulomek.

1. Iskanje odstotka števila.
Če želite najti \(\frac(p)(100) \) iz a, morate a pomnožiti z \(\frac(p)(100) \):

Torej, da bi našli p% števila, morate to število pomnožiti z ulomkom \(\frac(p)(100)\). Na primer, 20 % od 45 kg je enako 45 0,2 = 9 kg, 118 % od x pa je enako 1,18x

2. Iskanje števila po odstotku.
Če želite najti število iz njegovega dela b, izraženega kot ulomek \(\frac(p)(100) , \; (p \neq 0) \), morate b deliti z \(\frac(p)(100 ) \):
\(a = b: \frac(p)(100)\)

3. Iskanje odstotnega razmerja dveh števil.
Če želite ugotoviti, koliko odstotkov je število b od a \((a \neq 0) \), morate najprej ugotoviti, kateri del b je od a, nato pa ta del izraziti kot odstotek:

Kvocient dveh števil, izražen v odstotkih, se imenuje odstotek te številke. Zato se imenuje zadnje pravilo pravilo za iskanje odstotnega razmerja dveh števil.

Preprosto je videti, da formule

Sestavljene probleme z odstotki rešujemo podobno kot probleme z ulomki.

Enostavna rast v odstotkih

Če oseba ne plača najemnine pravočasno, je predmet globe, imenovane "kazen" (iz latinskega roena - kazen). Torej, če je kazen 0,1% zneska najemnine za vsak dan zamude, potem bo na primer za 19 dni zamude znesek 1,9% zneska najemnine. Torej, skupaj z, recimo, 1000 rubljev. najemnine, bo oseba morala plačati kazen v višini 1000 0,019 = 19 rubljev, skupaj pa 1019 rubljev.

Jasno je, da so v različnih mestih in različnih ljudeh najemnina, višina kazni in čas zamude različni. Zato je smiselno oblikovati splošno formulo najemnine za površne plačnike, ki bi veljala v vseh okoliščinah.

Naj bo S mesečna najemnina, kazen je p% najemnine za vsak dan zamude, n pa število dni zamude. Znesek, ki ga mora oseba plačati po n dneh zamude, bomo označili s S n.
Potem bo kazen za n dni zamude pn% od S ali \(\frac(pn)(100)S\), skupaj pa boste morali plačati \(S + \frac(pn)(100) S = \levo(1+ \frac(pn)(100) \desno) S\)
Torej:
\(S_n = \levo(1+ \frac(pn)(100) \desno) S \)

Ta formula opisuje številne posebne situacije in ima posebno ime: preprosta formula za odstotek rasti.

Podobno formulo dobimo, če se določena vrednost v določenem časovnem obdobju zmanjša za določeno število odstotkov. Kot zgoraj, je to v tem primeru enostavno preveriti
\(S_n = \levo(1- \frac(pn)(100) \desno) S \)

Ta formula se imenuje tudi preprosta formula za odstotek rastičeprav se podana vrednost dejansko zmanjša. Rast je v tem primeru "negativna".

Rast obrestne mere

V ruskih bankah je za nekatere vrste depozitov (tako imenovane vezane depozite, ki jih ni mogoče sprejeti prej kot po roku, določenem v pogodbi, na primer eno leto), sprejet naslednji sistem izplačila dohodka: za prvi leto, da je položeni znesek na računu, prihodek je na primer 10% od nje. Vlagatelj lahko ob koncu leta iz banke dvigne vloženi denar in zaslužene prihodke – »obresti«, kot se temu običajno reče.

Če vlagatelj tega ni storil, se obresti prištejejo k začetnemu vlogu (usredstvenemu) in zato banka ob koncu naslednjega leta k novemu povečanemu znesku doda 10 %. Z drugimi besedami, s takšnim sistemom se izračunajo "obresti na obresti" ali, kot se običajno imenujejo, obrestne mere.

Izračunajmo, koliko denarja bo vlagatelj prejel v 3 letih, če je položil 1000 rubljev na bančni račun za določen čas. in nikoli ne bo vzel denarja z računa tri leta.

10% od 1000 rub. so 0,1 1000 = 100 rubljev, torej čez eno leto bo njegov račun imel
1000 + 100 = 1100 (r.)

10% novega zneska 1100 rub. so 0,1 1100 = 110 rubljev, torej po 2 letih bo
1100 + 110 = 1210 (r.)

10% novega zneska 1210 rub. so 0,1 1210 = 121 rubljev, torej po 3 letih bo
1210 + 121 = 1331 (r.)

Ni si težko predstavljati, koliko časa bi ob tako neposrednem, »čelnem« izračunu potrebovali, da bi po 20 letih ugotovili višino depozita. Medtem je izračun mogoče narediti veliko lažje.

Namreč, v enem letu se bo začetni znesek zvišal za 10 %, torej bo znašal 110 % začetnega zneska, ali z drugimi besedami, povečal se bo za 1,1-krat. Prihodnje leto se bo za enakih 10 % povečal tudi nov, že povečan znesek. Zato se bo po 2 letih začetni znesek povečal za 1,1 1,1 = 1,1 2-krat.

V naslednjem letu se bo ta znesek povečal za 1,1-krat, torej se bo začetni znesek povečal za 1,1 1,1 2 = 1,1 3-krat. S to metodo sklepanja dobimo veliko enostavnejšo rešitev našega problema: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (r.)

Rešimo zdaj ta problem v splošni obliki. Naj banka obračuna dohodek v višini p% na leto, položeni znesek je enak S rub., in znesek, ki bo na računu čez n let, je enak S n rub.

Vrednost p% S je \(\frac(p)(100)S \) rub., Po enem letu pa bo znesek na računu
\(S_1 = S+ \frac(p)(100)S = \left(1+ \frac(p)(100) \desno)S \)
to pomeni, da se bo začetni znesek povečal za \(1+ \frac(p)(100)\)-krat.

V naslednjem letu se bo znesek S 1 povečal za enak znesek, tako da bo čez dve leti na računu znesek
\(S_2 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)S_1 = \left(1+ \frac(p)(100) \desno) \left(1+ \frac(p)(100) ) ) \desno)S = \levo(1+ \frac(p)(100) \desno)^2 S \)

Podobno \(S_3 = \left(1+ \frac(p)(100) \right)^3 S \), itd. Z drugimi besedami, enakost je resnična
\(S_n = \levo(1+ \frac(p)(100) \desno)^n S \)

Ta formula se imenuje formula obrestne obresti, ali samo formula obrestne obresti.