Transformacije nedoločenih integralov.
Omejitev integralne transformacije Fourier, Hankel in delno Laplace na eni strani ter nujna potreba po reševanju problemov s končnim obsegom sprememb spremenljivk na drugi strani so pripeljali do nastanka metod končnih integralnih transformacij. Tudi v primerih, ko te metode omogočajo reševanje vrste problemov, ki se rešujejo klasične metode z uporabo Fourierjevih ali Fourier-Besselovih nizov, jim je treba dati prednost. Enostavnost tehnike reševanja – njena “standardizacija” – daje metodi končnih integralnih transformacij velike prednosti pred klasičnimi metodami, čeprav je matematično enakovredna metodi lastnih funkcij.
Prvič ideja o metodi končnih integralnih transformacij tipa
je predlagal N.S. Koshlyakov. Najbolj popolno teorijo takih integralnih transformacij je razvil G.A. Greenberg, ki je te metode posplošil na primer nenadne spremembe lastnosti medija v smeri koordinate, po kateri se izvaja transformacija. Podroben razvoj integralnih transformacij z končne meje so izvedli Sneddon, Tranter, Deitch et al.
Če je integracijska meja med 0 in l, imajo jedra končne sinusne in kosinusne Fourierjeve transformacije, kot tudi Henklove transformacije, obliko:
(za robne pogoje prve in druge vrste, za robne pogoje tretje vrste pa so koreni enačbe);
kjer je koren enačbe (robni pogoji prve vrste), pri čemer so robni pogoji tretje vrste določeni iz enačbe
Inverzijsko formulo običajno najdemo z razširitvijo funkcije v serije v ortogonalnih funkcijah ustreznega Sturm-Louivillovega problema. Zato imajo rešitve, pridobljene s temi metodami, enake temeljne slabosti kot rešitve, pridobljene s klasičnimi metodami.
Da bi premagali zgoraj omenjene težave, različne metode približne integralne transformacije, pri katerih sta bila direktna transformacija in inverzni prehod izvedena po približnih formulah. Hkrati se je porodila ideja o razvoju metode tako imenovanih končnih integralnih Laplaceovih transformacij ali pravilneje končnih integralnih Greenovih transformacij. Oglejmo si zadnje vprašanje nekoliko podrobneje.
Inverzijska formula za integralno Laplaceovo transformacijo v splošnem primeru je Riemann-Mellinov integral. Ta formula nam omogoča, da dobimo rešitve v obliki, ki nas zanima. Ideja metode je, da se izbira jedra integralne transformacije izvede v skladu z diferencialno enačbo in robnimi pogoji, tj. ob upoštevanju geometrijska oblika telo in zakon njegove interakcije z okolju. Z drugimi besedami, jedro transformacije je Greenova funkcija za dani problem. Feature Image f(x) pridobljeno z integralno transformacijo
in inverzno transformacijo v skladu s formulo (2.24), kjer je namesto tega treba nadomestiti.
Ta način integralne transformacije ima svojo fizično utemeljitev. Dejstvo je, da je vsaka integralna transformacija po prostorskih koordinatah fizična točka vid z nekim povprečenjem preučenega fizikalna količina. Povsem naravno je, da se to povprečenje izvede ne le v skladu z naravo procesa in obliko telesa (vrsta diferencialne enačbe), temveč tudi v skladu z robnimi pogoji. V tem primeru bo rešitev za prikaz funkcije neodvisno zanimiva, saj je taka transformacija v fizično bo predstavljal prehod od analize dejanskih vrednosti preučevanih funkcij (diferencialna enačba, pogoji edinstvenosti) do povprečnih vrednosti, izdelanih v skladu s specifično formulacijo določenega problema. Tako pridobijo metode integralne transformacije novo, zelo pomembno prednost pred klasičnimi metodami, saj omogočajo pridobitev številnih vzorcev toka. fizikalni procesi na podlagi analize rešitve za povprečne vrednosti preučevane fizikalne količine (analiza rešitve za sliko). Ta okoliščina približa podatke analitične metode z metodami teorije podobnosti.
Posebne prednosti integralnih transformacij se pokažejo pri reševanju sistemov diferencialne enačbe v delnih izpeljankah. Tehnika reševanja sistemov enačb se bistveno ne razlikuje od tehnike reševanja posameznih enačb in se izvaja z nizom zaporednih operacij. Na primer, za enodimenzionalne probleme prevodnosti toplote, ki so odvisni od koordinat in časa, je potrebno:
1) na podlagi analize diferencialne enačbe in robnih pogojev izbrati primerno integralno transformacijo ali skupino integralnih transformacij;
2) pomnožite diferencialno enačbo in robne pogoje z izbranim transformacijskim jedrom ter integrirajte dobljene izraze v ustreznih mejah nad spremenljivko, ki jo želite izločiti; posledično dobimo namesto sistema parcialnih diferencialnih enačb glede na izvorne funkcije sistem navadnih diferencialnih enačb za slike funkcij;
3) reši navadno diferencialno enačbo za transformirane funkcije;
4) pojasni izraze poljubnih konstant, ki jih vsebuje rešitev enačbe, za katere so uporabljeni robni pogoji;
5) poiščite izvirnike transformiranih funkcij in torej končna odločitev naloge.
Transformacija, ki preslika funkcijo realnih spremenljivk v funkcijo
Realne spremenljivke in spremenljivka 7, na splošno kompleksna, se imenujejo integralne transformacije glede na spremenljivko transformacijska spremenljivka. Zaradi jasnosti spodaj pretvorbena spremenljivka bomo označili s simbolom Integralna transformacija (1) je določena z limiti transformacije, jedro in utežna funkcija sta lahko neskončna; Lastnosti funkcij bodo nastavljene spodaj. Funkcija se imenuje integralna transformacija, pa tudi integralna transformacija, slika ali slika funkcije. V nadaljevanju bo pretežno uporabljen prvi od teh enakovrednih izrazov. Funkcija se pogosto imenuje izvirnik ali prototip funkcije
Integralne transformacije so možne nad več ali vsemi spremenljivkami hkrati. Posplošitev na ta primer zgoraj
definicije so očitne. Spodaj bomo obravnavali transformacije samo za eno spremenljivko. Zaporedna uporaba takšnih transformacij pa je enakovredna neki transformaciji več spremenljivk.
Transformirane funkcije bomo označili z enakimi simboli kot pred transformacijo, vendar z nekakšno ikono nad simbolom: črta, valovita črta in S katero spremenljivko je bila izvedena transformacija, bo razvidno iz katerih argumentov transformirana funkcija je odvisna od. Na primer, ne bomo izrecno zapisali integralne transformacije funkcije glede na spremenljive argumente v primerih, ko to ne more povzročiti nesporazumov.
Transformacijo, s katero se funkcija spet pretvori v funkcijo, imenujemo inverzna integralna transformacija (1) ali preprosto inverzna transformacija. V tem primeru se sama transformacija (1) imenuje neposredna.
Integralna transformacija je definirana, ko obstaja integral na desni strani (1). Za praktična uporaba integralnih transformacij, vendar je pomembno, da obstajajo tudi inverzne transformacije, ki bi skupaj z (1) vzpostavile korespondenco ena proti ena med dvema razredoma funkcij: izvornim razredom funkcij in razredom funkcij, ki so njihove integralne transformacije. Pod tem pogojem je mogoče vzpostaviti tudi korespondenco med operacijami na obeh razredih funkcij in rešitev problema, podanega za funkcije enega razreda, lahko vodi do problema za funkcije drugega razreda, ki je lahko enostavnejši. Po rešitvi tega slednjega problema je rešitev prvotnega problema najdena z inverzno transformacijo. Bralcu dobro znan primer je operacijski račun, ki temelji na uporabi Laplaceove integralne transformacije. Tu diferenciacija funkcij prvotnega razreda funkcij ustreza množenju z neodvisnim funkcijska spremenljivka, ki so Laplaceove transformacije. Zahvaljujoč temu so težave za navadne diferencialne enačbe z stalni koeficienti se reducirajo na algebraične probleme za transformirane funkcije.
Zamisel o uporabi integralnih transformacij v problemih za parcialne diferencialne enačbe je podobna: prizadevajo si izbrati integralno transformacijo, ki bi omogočala zamenjavo diferencialnih operacij na eni od spremenljivk algebraične operacije. Ko je to uspešno, je preoblikovani problem navadno preprostejši od prvotnega. Ko najdejo rešitev transformiranega problema, z inverzno transformacijo najdejo tudi rešitev prvotnega. Glavna razlika od operacijski račun pri uporabi integralnih transformacij na enačbe z
delnih odvodov je uporaba širšega spektra integralnih transformacij, kar je pomembno, kadar so koeficienti enačb spremenljivi.
Transformacije nedoločenih integralov Tako kot v algebri so podana pravila, ki omogočajo transformacijo algebrski izrazi da bi jih poenostavili ter za nedoločen integral obstajajo pravila, ki omogočajo njegovo preoblikovanje. I. Integral algebraične vsote funkcij je enak algebraična vsota integrali vsakega člena posebej, tj. S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" stalni faktor lahko "izbrišete =" znak="" integrala, e.="" ( c-konstantna vrednost formula za integracijo po delih, in sicer: Dokažimo formulo (III). Vzemimo diferencial z desne strani enakosti (III) Z uporabo formule 4 iz tabele v § 2 pogl. IX, dobimo x. Izraz transformiramo po formuli 5 iste tabele: in izraz d J /" (d:) f (l;) dx po formuli (B) § 1 tega poglavja je enak d\f (*) f = =/ (x) f" (l:) dx + f (x) /" (x) dx -/" (x) f (*) dx = =f(x)y"(x)dx, tj. dobimo, kar dobimo pri diferenciranju leve strani enakosti (III). Formuli (I) in (II) preverimo podobno. ^ (l* - Uporabimo integracijsko pravilo I in formule 1 in 5 iz tabele. integrali, dobimo J (x1 - sin l:) dx= ^ xg dx-^ sin xdx = x* x9 = (-cosх) + C= y + cos x + C. Primer 2. I ^ dx Uporaba pravila. II in formulo J COS X 6 iz tabele integralov dobimo J cos2* J COS2* do 1 Primer 3. ^ Inx dx V tabeli integralov v § 1. Izračunajmo z integracijo po delih, bomo ta integral prepisali na naslednji način: J In xdx= ^ In l: 1 dx = In l: and<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.
Metode delovanja.
Pri številnih problemih toplotne prevodnosti se uporaba klasičnih metod izkaže za neučinkovito, na primer uporaba metode ločevanja spremenljivk pri problemih z notranjimi viri toplote.
Osnovna pravila in izreke operacijskega računa sta pridobila M. Vishchenko-Zakharchenko in Heaviswid. Najbolj so se razširili v elektrotehniki zahvaljujoč delu Heaviside.
Heaviswidova operativna metoda je enakovredna metodi Laplaceove integralne transformacije.
Metoda Laplaceove transformacije je sestavljena iz preučevanja ne same funkcije (izvirnika), temveč njene spremembe (slike).
Integralna transformacija funkcije 
se določi s formulo
(40)
Tukaj je S lahko kompleksno število; vendar je hkrati del stvari večji od 0.
- original; 
- slika funkcije. Da slika obstaja, mora integral (51) konvergirati.
Če je problem rešen v slikah, se izvirnik določi iz slike (transformacija) z inverzijsko formulo
(41)
Namesto formule (52) za določitev izvirnika funkcije iz njene slike lahko uporabite naslednjo inverzijsko formulo
(41.a)
Ta formula omogoča pridobitev izvirne funkcije le z uporabo operacije diferenciacije in prehoda na mejo.
Če je slika funkcija
(42)
ki je delni primer dveh celih transcendentalnih funkcij, potem imamo po ekspanzijskem izreku
(43)
kje 
- preprosti koreni funkcije 
; v tem primeru imenovalec ne vsebuje prostih členov in 
2. Če je slika 
predstavlja razmerje dveh apoenov (ulomno-racionalna funkcija) in stopnjo apoena 
manjša od nominalne vrednosti 
, in poimenovanje 
ima v točkah korenine množice K 
, To
kjer je vsota prevzeta po vseh korenih 
. Če so vse korenine preproste, tj. vsi K so enaki ena, potem formula (5) preide v (43)
Integralna Laplaceova transformacija ima svoje pomanjkljivosti. Predvsem se težave pojavljajo pri reševanju problemov, kjer so pogoji podani v funkciji prostorskih koordinat, ali reševanju večdimenzionalnih problemov.
V zvezi s tem so bile predlagane številne metode za integralne transformacije vzdolž prostorskih koordinat v skladu z geometrijsko obliko telesa.
Če transformacijo vzamemo po prostorski koordinati x, potem je integralna transformacija funkcije 
lahko predstavimo takole:
(44)
Če transformacijsko jedro K(p,x) vzamemo v obliki 
oz 
, potem se ta integralna transformacija imenuje sinusna ali kosinusna Fourierjeva transformacija.
Če je za transformacijsko jedro izbrana Besselova funkcija 
, potem se imenuje Hanklova transformacija.
Kompleksno Fourierjevo transformacijo je priročno uporabljati za telesa neomejenega obsega; sinusno Fourierjevo transformacijo je treba uporabiti, kadar je vrednost določena na površini telesa s formulami, tj. pri GU!, kosinus pa je Fourierjeva transformacija, ko je diferencial rešen. transportne enačbe na GI2. Hanklove transformacije so uporabne, ko je telo osno simetrično. Praktična uporaba teh integralnih transformacij ob prisotnosti podrobnih slikovnih tabel ne povzroča posebnih težav.
Prehod s slik na izvirnike je mogoče izvesti z inverzijskimi formulami za:
Kompleksna Fourierjeva transformacija
(45)
Sinusna Fourierjeva transformacija
(46)
Kosinusna Fourierjeva transformacija
(47)
Hanklovo preoblikovanje
(48)
Obravnavane integralne transformacije so uporabne za telesa polomejenega obsega.
Transformacije končnih integralov
Omejitve Fourierjevih, Hanklovih in deloma Laplaceovih integralnih transformacij na eni strani ter nujna potreba po reševanju problemov s končnim obsegom sprememb spremenljivk na drugi strani so pripeljale do ustvarjanja metod za končne integralne transformacije. . Bolj prednostni so tudi pri problemih, ki jih rešujemo s klasičnimi metodami.
Zamisel o metodi transformacije končnega integrala je predlagal N.S. Kommekov
(49)
Nadaljnja izdelava vprašanj metode končnih integralnih transformacij se je odražala v delih Griabarga G.A., Sleddona, Tranterja, Deuga (Deiga) in drugih.
Če je integracijska meja med 0 in e, imata jedro končne sinusne in kosinusne Fourierjeve transformacije, kot tudi Hanklove transformacije, obliko:
(50)
(51)
Z GU1 in GU2 
in na GU3 
so koreni enačbe 
(52)
stran 1
Uporaba integralne transformacije za prvo skupino podatkov se očitno zmanjša na zamenjavo funkcij spremenljivke Ау.
Uporaba integralnih transformacij (4) reducira rešitev viskoelastičnega problema (3) na rešitev čisto elastičnega problema (5) v slikah. Ob upoštevanju predhodno podane rešitve (16) razdelek.
Uporaba integralnih transformacij nad prostorskimi koordinatami na končnih intervalih in drugih strogih analitičnih metod k robnim problemom za diferencialne transportne enačbe daje rešitve v obliki neskončnih funkcijskih nizov. V tem primeru se iz dobljene rešitve za praktične izračune uporabi le glavnina te serije. Zato bi morala biti preprosta metoda za določitev približne rešitve, ki je enaka glavnemu delu natančne rešitve, nedvomno velikega praktičnega pomena.
Uporaba integralne Fourierjeve transformacije pri problemih na premici in polpremici.
Uporaba integralne Fourierjeve transformacije pri problemih na premici in polpremici. Definicija integralne Fourierove transformacije in splošna shema uporabe pri reševanju robnih problemov sta podani v poglavju.
Uporaba integralnih transformacij predstavlja uporabno metodo za reševanje predvsem ravninskih in tudi prostorskih problemov v teoriji elastičnosti. Bistveno je, da je mogoče zmanjšati število neodvisnih spremenljivk v parcialnih diferencialnih enačbah. Vloga pripadajočih neodvisnih spremenljivk preide na parametre, zato je mogoče parcialne diferencialne enačbe glede na številne spremenljivke reducirati na navadne diferencialne enačbe.
Uporaba integralnih transformacij za konstrukcijo natančnih rešitev problemov filtracije v razpokano-poroznih medijih // Mehanska analiza in njene aplikacije: S.
Uporaba integralnih transformacij nam omogoča, da zmanjšamo problem integracije parcialnih diferencialnih enačb na integracijo sistema navadnih diferencialnih enačb za predstavitev zahtevanih funkcij. Za ponazoritev te ideje tukaj predstavljamo rešitev problema elastične polravnine z uporabo Fourierove transformacije; Za domene drugih tipov se druge integralne transformacije izkažejo za priročne. Tako se lahko problem polravnine zmanjša na določitev ene same funkcije p (z) iz danih vrednosti njenega realnega ali imaginarnega dela na meji. Če se omejimo na tiste primere, ki smo jih obravnavali v § 10.4, preidemo na predstavitev metode integralnih transformacij.
Po uporabi integralnih transformacij se problem reducira na parne integralne enačbe, konstruira se približna rešitev z razširitvijo v kosinusni niz, časovna inverzija transformacije pa se izvede po trapezni metodi. Predstavljeni so numerični rezultati, ki ponazarjajo vpliv Poissonovega razmerja na posedanje.
Po uporabi Hankelovih integralnih transformacij v koordinatah in Laplaceovih transformacij v času je konstruirana približna rešitev problema z razširitvijo v sistem delno konstantnih funkcij, pri čemer je poudarjena statična lastnost pod robom matrice. Inverzijo Laplaceove transformacije izvedemo numerično. Prikazanih je nekaj rezultatov numeričnih izračunov za enakomerno porazdeljeno obremenitev plošče, raziskan je vpliv prepustnosti in togosti plošče ter Poissonovega količnika zemljine na stopnjo konsolidacije.
Prednost uporabe integralnih transformacij pred drugimi analitičnimi metodami za preučevanje toplotnih procesov, povezanih z integracijo diferencialnih enačb prenosa energije, je predvsem v standardizaciji in enostavnosti iskanja rešitev.
Pri uporabi Mellinove integralne transformacije za splošne rešitve enačb ravninske teorije elastičnosti (6.1.1) - (6.1.5) v Papkovich-Neuberjevi obliki (6.5.34) in (6.5.35) so vprašanja a nastanejo splošna in posebna narava.
Zamisel o uporabi integralnih transformacij v problemih za parcialne diferencialne enačbe je podobna: stremimo se k izbiri integralne transformacije, ki bi omogočala zamenjavo diferencialnih operacij ene od spremenljivk z algebraičnimi operacijami. Ko je to uspešno, je preoblikovani problem navadno preprostejši od prvotnega. Ko najdejo rešitev transformiranega problema, z inverzno transformacijo najdejo tudi rešitev prvotnega.
Glavni pogoj za uporabo integralnih transformacij je prisotnost inverzijskega izreka, ki omogoča iskanje izvirne funkcije ob poznavanju njene podobe. Glede na utežno funkcijo in področje integracije so obravnavane transformacije Fourierja, Laplacea, Mellina, Hankla, Meyerja, Hilberta itd. S pomočjo teh transformacij se obravnavajo številni problemi v teoriji nihanja, toplotne prevodnosti, difuzije in zmernost nevtronov, hidrodinamiko, teorijo elastičnosti in fizikalno kinetiko je mogoče rešiti.
Naj na kratko orišemo shemo uporabe navedene integralne transformacije.
