Konstruirajte projekcije ravnin, pravokotnih na dane premice. Ravne črte, vzporedne in pravokotne na ravnine

Konstrukcijo ravnine p, pravokotne na ravnino a, lahko izvedemo na dva načina: I) ravnino p narišemo skozi premico, pravokotno na ravnino a; 2) ravnina p je narisana pravokotno na premico, ki leži v ravnini a ali vzporedno s to ravnino. Za pridobitev edinstvene rešitve so potrebni dodatni pogoji. Slika 148 prikazuje konstrukcijo ravnine, pravokotne na ravnino, ki jo določa trikotnik CDE. Dodaten pogoj pri tem je, da mora želena ravnina potekati skozi premico AB. Posledično je želena ravnina določena z ravnino AB in navpičnico na ravnino trikotnika. Da narišemo to pravokotno na ravnino CDE, vzamemo fronte CN in vodoravno CM: če B"F" ± C"N" in B"G 1 CM\ potem BFX ravnine CDF. Ravnina, ki nastane s presekanjem premici AB in BF je pravokotna na ravnino CDE, Kako poteka skozi pravokotnico na to ravnino? Ali lahko pravokotnost istoimenskih sledi ravnin služi kot znak pravokotnosti samih ravnin? to velja tudi za medsebojno pravokotnost dveh horizontalno štrlečih ravnin, pri čemer sta horizontalni sledovi medsebojno pravokotni z medsebojno pravokotnostjo čelnih ravnin, ki sta medsebojno pravokotni ravnina p pravokotna na ravnino. splošni položaj A. Če je ravnina p pravokotna na ravnino i in na ravnino a, potem je p 1 glede na presečišče ravnine a in ravnine i. Zato je h"0a 1р in zato h"0u 1 р", kot ena od ravnih črt v ravnini р. Torej, pravokotnost vodoravnih sledi ravnine splošnega položaja in vodoravno štrleče ravnine ustreza medsebojni pravokotnost teh ravnin Očitno je pravokotnost čelnih sledov čelno projicirana ravnina in ravnina v splošni legi ustreza tudi medsebojni pravokotnosti teh ravnin , potem same ravnine niso pravokotne ena na drugo, saj ni izpolnjen noben od pogojev, navedenih na začetku tega odstavka. 1. Kako je ravnina določena na risbi? na projekcijsko ravnino? 3. Kje se nahajata čelna projekcija čelne sledi ravnine? risbo, ki pripada dani ravnini? 6. Kako se nahaja nt v sistemu? in 713 splošna položajna ravnina? 7. Kaj so čelna projekcija, horizontalna projekcija in profilna projekcijska ravnina? 8. Kako je na risbi narisana ravnina, ki projicira frotalno, skozi premico, narisano v splošnem položaju? 9. Kakšno medsebojno lego lahko zavzameta dve ravnini? 10. Kaj je znak vzporednosti dveh ravnin? 11. Kako se medsebojno nahajajo istoimenski tiri dveh med seboj vzporednih ravnin? 12. Kako ugotovimo relativni položaj premice in ravnine? 13. Kaj je to? splošna metoda konstruiranje presečišča dveh ravnin? 14. Kakšna je splošna metoda za konstruiranje presečišča premice z ravnino? 15. Kako določiti "vidnost", ko črta seka ravnino? 16. Kaj določa medsebojno vzporednost dveh ravnin? 17. Kako skozi točko narišemo ravnino, vzporedno z dano ravnino? 18. Kako se nahaja projekcija navpičnice na ravnino? 19. Kako sestavimo medsebojno pravokotni ravnini?

KONSTRUKCIJA MEDSEBOJNO PRAVOKOTNE RAVNICE IN RAVNINE

Med vsemi možnimi položaji premice, ki seka ravnino, omenimo primer, ko je premica pravokotna na ravnino, in upoštevamo lastnosti projekcij takšne premice.

Na sl. 185 je podana ravnina, ki jo določata dve sekajoči se ravnini AN in AM, pri čemer je AN vodoravna in AM fronta te ravnine. Premica AB, prikazana na isti risbi, je pravokotna na AN in AM in je torej pravokotna na ravnino, ki ju določata.

Navpičnica na ravnino je pravokotna na katero koli premico, narisano v tej ravnini. Toda da bi bila projekcija pravokotnice na splošno ravnino pravokotna na istoimensko projekcijo na katero koli ravno črto te ravnine, mora biti ravna črta vodoravna, čelna ali profilna ravna ravnina. Zato, ko želijo zgraditi pravokotno na ravnino, v splošnem primeru vzamejo dve taki ravni črti (na primer vodoravno in čelno, kot je prikazano na sliki 185).

Torej, pri pravokotnici na ravnino je njena vodoravna projekcija pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, čelna projekcija je pravokotna na čelno projekcijo fronte, profilna projekcija je pravokotna na profilno projekcijo profilne črte tega letalo.

Očitno je, da v primeru, ko je ravnina izražena s sledmi (slika 186), dobimo naslednji zaključek: če je ravna črta pravokotna na ravnino, potem je vodoravna projekcija te črte pravokotna na vodoravno sled ravnine , čelna projekcija pa je pravokotna na čelno sled ravnine.

Torej, če je v sistemu π 1 p 2 vodoravna projekcija črte pravokotna na vodoravno sled in je čelna projekcija črte pravokotna na čelno sled ravnine, potem v primeru ravnin splošnega položaja (Sl. 186), kot tudi vodoravno in čelno štrlečo črto, je pravokotna na ravnino. Toda za ravnino, ki projicira profil, se lahko izkaže, da premica na to ravnino ni pravokotna, čeprav so projekcije premice ustrezno pravokotne na vodoravno in čelno sled ravnine. Zato je treba tudi pri profilni projekcijski ravnini upoštevati relativni položaj profilne projekcije premice in profilne sledi dane ravnine in šele nato ugotoviti, ali sta dana premica in ravnina. bodo pravokotni drug na drugega.

Očitno (slika 187) se vodoravna projekcija navpičnice na ravnino združi z vodoravno projekcijo naklonske črte, ki je v ravnini narisana skozi vznožje navpičnice.

Na sl. 186 iz točke A je potegnjena navpičnica na kvadrat. a (А"С" ⊥ f" 0a, А"С" ⊥ h" 0a) in prikazuje konstrukcijo točke E, v kateri navpičnica AC seka pl. A. Konstrukcija je bila narejena z vodoravno štrlečim kvadratom. β, narisano skozi navpičnico AE.

Na sl. 188 prikazuje konstrukcijo navpičnice na definirano ravnino trikotnik ABC. Skozi točko A je narisana navpičnica.

Ker mora biti čelna projekcija pravokotnice na ravnino pravokotna na čelno projekcijo fronte ravnine, njena vodoravna projekcija pa je pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, potem v ravnini skozi točko A nastane fronta s projekcijami A Narisana sta "D" in A"D" ter vodoravni A"E", A"E". Seveda ni treba, da so te črte potegnjene natančno skozi točko A.

Sledijo projekcije navpičnice: M"N" ⊥ A"D", M"N" ⊥ A"E". Zakaj so projekcije na sl. 188 v razdelkih A"N" in "A"M" sta prikazana s črtkano črto? Ker tukaj razmišljamo o letalu, podana s trikotnikom ABC, in ne le ta trikotnik: navpičnica je deloma pred ravnino, deloma za njo.

Na sl. 189 in 190 prikazujeta konstrukcijo ravnine, ki poteka skozi točko A pravokotno na premico BC. Na sl. 189 je ravnina izražena s sledmi. Konstrukcija se je začela z risanjem vodoravne črte želene ravnine skozi točko A: ker mora biti vodoravna sled ravnine pravokotna na B "C", mora biti vodoravna projekcija vodoravne črte pravokotna na B "C". Zato A"N" ⊥ B"C. Projekcija A"N" || osi x, kot bi morala biti na vodoravni ravnini. Nato narišite skozi točko N" (N" je čelna projekcija čelne sledi vodoravno AN) sled f" 0a ⊥ B "C", dobimo točko X a in narišemo sled h" 0a || A"N" (h" 0a ⊥ B"C).

Na sl. 190 je ravnina določena s sprednjim delom AM in vodoravnim AN. Te črte so pravokotne na BC (А"М"" ⊥ В"С", A"N" ⊥ В"С); ravnina, ki jo definirajo, je pravokotna na sonce.

Ker je navpičnica na ravnino pravokotna na vsako premico, narisano v tej ravnini, potem ko ste se naučili narisati ravnino, pravokotno na premico, lahko s tem narišete navpičnico iz določene točke A na splošno premico BC. Očitno lahko začrtamo naslednji načrt za izdelavo projekcij želene črte:

1) skozi točko A nariši ravnino (recimo ji ϒ), pravokotno na BC;

2) določite točko K presečišča premice BC s kvadratom. ϒ;

3) povežite točki A in K z ravnim odsekom.

Premici AK in BC sta medsebojno pravokotni.

Primer konstrukcije je podan na sl. 191. Skozi točko A je narisana ravnina (ϒ), pravokotna na BC. To naredimo s fronto, katere čelna projekcija A"F" je pravokotna na čelno projekcijo B"C" in vodoravno, katere vodoravna projekcija je pravokotna na B"C".

Nato najdemo točko K, v kateri premica BC seka kvadrat. ϒ. V ta namen narišemo vodoravno štrlečo ravnino β skozi premico BC (na risbi je določena le z vodoravno sledjo β"). Kvadrat β seka kvadrat ϒ v ravni črti s projekcijama 1"2' in 1"2 ". V presečišču te premice s premico BC dobimo točko K premico AK iskana navpičnica na BC. Dejansko premica AK seka premico BC in je v kvadratu. ϒ, pravokotna na premico BC; torej AK ⊥ BC.

Na sl. 192 prikazuje ravnino splošne lege a, ki poteka skozi točko A, in pravokotno AM na to ravnino, razširjeno do presečišča z ravnino. n 1, v točki B".

Kot f 1 med pl. a in pl. n 1 in kot f med premico AM in kvadratom. n 1 so ostri koti pravokotni trikotnik V "AM" in zato φ 1 + φ = 90°. Prav tako, če pl. in znaša pl. p 2 kot σ 2, premica AM, pravokotna na a, pa tvori c pl. n 2 kot σ, potem je σ 2 + σ = 90°. Iz tega najprej sledi, da je ravnina splošne lege, ki naj bo enaka pl. p 1 kot f 1 a s pl. n 2 kot σ 2 lahko konstruiramo le, če je 180° > Ф 1 + σ2 > 90°.

Dejansko seštejemo člen za členom Ф 1 + Ф = 90° in σ 2 + σ = 90°, dobimo Ф 1 + σ 2 + Ф + σ = 180°, tj. Ф 1 + σ 2< 180, а так как Ф + σ < 90 , то Ф 1 + σ 2 >90°. Če vzamete F 1 + σ 2 =90°, dobite profilno projekcijsko ravnino, če pa vzamete F 1 + σ 2 = 180°, dobite profilno ravnino, tj. v obeh primerih ravnina ni splošno stališče, vendar posebnega.

KONSTRUKCIJA MEDSEBOJNO PRAVOKOTNIH RAVNIN

Konstrukcijo ravnine β, pravokotne na ravnino a, lahko izvedemo na dva načina: 1) pl. β je narisan skozi premico, pravokotno na kvadrat. A; 2) pl. β je narisan pravokotno na premico, ki leži v kvadratu. a ali vzporedno s to ravnino. Za pridobitev edinstvene rešitve so potrebni dodatni pogoji.

Na sl. 193 je prikazana konstrukcija ravnine, pravokotne na ravnino, ki jo določa trikotnik CDE. Dodaten pogoj pri tem je, da mora želena ravnina potekati skozi premico A B. Posledično je želena ravnina določena z ravnino AB in pravokotnico na ravnino trikotnika. Da to narišemo pravokotno na kvadrat. CDE v njem sta vzeta čelni CN in vodoravni CM: če B"F" ⊥ C“N" in B"F"⊥C"M", potem BF⊥ kvadrat CDE.

Ravnina, ki jo tvorita sekajoči se premici AB in BF, je pravokotna na kvadrat. COE, saj gre skozi pravokotnico na to ravnino. Na sl. 194 vodoravno projicirana ravnina β poteka skozi točko K pravokotno na ravnino, ki jo določa trikotnik ABC. Tu je bil dodatni pogoj pravokotnost želene ravnine na dve ravnini hkrati: na kvadrat. ABC in na pl. str 1. Zato je odgovor vodoravna projekcijska ravnina. In ker je narisana pravokotno na vodoravno črto AD, tj. na ravno črto, ki pripada pl. ABC, nato pl. β je pravokoten na kvadrat. ABC.

Ali lahko pravokotnost istoimenskih sledi ravnin služi kot znak pravokotnosti samih ravnin?

Očitni primeri, ko je temu tako, vključujejo medsebojno pravokotnost dveh vodoravno štrlečih ravnin, pri čemer sta vodoravni sledi medsebojno pravokotni. To se zgodi tudi, kadar so čelne sledi čelno štrlečih ravnin medsebojno pravokotne; ti ravnini sta medsebojno pravokotni.

Oglejmo si (sl. 195) vodoravno štrlečo ravnino β, pravokotno na splošno ravnino a.

Če pl. β je pravokoten na kvadrat. l, p 1 pl. a, potem β⊥h" 0a glede na presečišče ploskve a in ploskve p 1. Zato je h" 0a ⊥ β in zato h" 0a ⊥ β, kot ene od premic v območju β.

Torej pravokotnost vodoravnih sledi ravnine splošnega položaja in vodoravno štrleče ravnine ustreza medsebojni pravokotnosti teh ravnin.

Očitno pravokotnost čelnih sledi frontalno štrleče ravnine in ravnine splošnega položaja ustreza tudi medsebojni pravokotnosti teh ravnin.

Če pa sta istoimenski sledi dveh ravnin v splošnem položaju medsebojno pravokotni, potem ravnini sami nista pravokotni druga na drugo, saj tukaj ni izpolnjen noben od pogojev, navedenih na začetku tega razdelka.

Za zaključek si poglejmo sl. 196. Tu gre za primer medsebojne pravokotnosti istoimenskih sledi v obeh njihovih parih in pravokotnosti samih ravnin: obeh ravnin posebnega (posebnega) položaja - profila ϒ in profila, ki štrli a.

Med vsemi možnimi položaji premice, ki seka ravnino, omenimo primer, ko je premica pravokotna na ravnino, in upoštevamo lastnosti projekcij takšne premice.

Na sl. 185 je podana ravnina, ki jo določata dve sekajoči se premici AN in AM, kjer je AN vodoravna in AM čelna na to ravnino. Premica AB, prikazana na isti risbi, je pravokotna na AN in AM in torej pravokotna na ravnino, ki ju določata.

Torej, pri pravokotnici na ravnino je njena vodoravna projekcija pravokotna na vodoravno projekcijo horizontale, čelna projekcija je pravokotna na čelno projekcijo fronte, profilna projekcija je pravokotna na profilno projekcijo profilne črte te ravnine.

Očitno je, da v primeru, ko je ravnina izražena s sledmi (slika 186), dobimo naslednji zaključek: če je premica pravokotna na ravnino, potem je vodoravna projekcija te premice pravokotna na vodoravno sled ravnine, čelna projekcija pa je pravokotna na čelno sled ravnine.

Torej, če je v sistemu π 1, π 2 vodoravna projekcija črte pravokotna na vodoravno sled in je čelna projekcija črte pravokotna na čelno sled ravnine, potem v primeru ravnin splošnega položaja (slika 186), pa tudi vodoravno in čelno štrleče, je ravna črta pravokotna na ravnino. Toda za profilno projekcijsko ravnino se lahko izkaže, da premica na to ravnino ni pravokotna, čeprav

projekciji premice sta pravokotni na vodoravno in čelno sled ravnine. Zato je treba tudi pri profilni projekcijski ravnini upoštevati relativni položaj profilne projekcije premice in profilne sledi dane ravnine in šele po tem ugotoviti, ali bosta dani premica in ravnina. biti pravokotni drug na drugega,

Očitno (slika 187) se vodoravna projekcija navpičnice na ravnino združi z vodoravno projekcijo naklonske črte, ki je v ravnini narisana skozi vznožje navpičnice.

Na sl. 186 iz točke A je potegnjena navpičnica na kvadrat. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) in prikazuje konstrukcijo točke E, v kateri navpičnica AC seka pl. α. Konstrukcija je bila narejena z vodoravno štrlečim kvadratom. β, narisano skozi navpičnico AE.

Na sl. 188 prikazuje konstrukcijo navpičnice na ravnino, ki jo določa trikotnik ABC. Skozi točko A je narisana navpičnica.

Ker mora biti čelna projekcija pravokotnice na ravnino pravokotna na čelno projekcijo fronte ravnine, njena vodoravna projekcija pa je pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, potem v ravnini skozi točko A nastane fronta s projekcijami A Narisana sta "D" in A"D" ter vodoravni A"E", A"E", seveda ni treba, da so te črte narisane točno skozi točko A.

Sledijo projekcije navpičnice: M"N"⊥A"D", M"N"⊥A"E". Zakaj so projekcije na sl. 188 v razdelkih A"N" in "A"M" sta prikazana s črtkano črto? Ker tukaj obravnavamo ravnino, ki jo določa trikotnik ABC, in ne samo ta trikotnik: navpičnica je deloma pred ravnino, deloma za njo.

Na sl. 189 in 190 prikazujeta konstrukcijo ravnine, ki poteka skozi točko A pravokotno na premico BC. Na sl. 189 je ravnina izražena s sledmi. Konstrukcija se je začela z risanjem vodoravne črte želene ravnine skozi točko A: ker mora biti vodoravna sled ravnine pravokotna na B "C", mora biti vodoravna projekcija vodoravne črte pravokotna na B "C". Torej A"N"⊥B"C". Projekcija osi A"N"||x, kot bi morala biti vodoravna. Nato skozi točko N"(N" narišemo sled f" 0α ⊥B"C - čelno projekcijo čelne sledi premice AN), dobimo točko X α in sled h" 0α ||A "N" (h" 0α ⊥B" je narisano Z").

Na sl. 190 je ravnina definirana s sprednjim delom AM in vodoravnim AN. Te črte so pravokotne na BC (A"M"⊥B"C", A"N"⊥B"C"); ravnina, ki jo definirajo, je pravokotna na sonce.

1) skozi točko A nariši ravnino (imenujmo jo γ), pravokotno na BC;

2) določite točko K presečišča premice BC s kvadratom. γ;

3) povežite točki A in K z ravnim odsekom.

Premici AK in BC sta medsebojno pravokotni.

Primer konstrukcije je podan na sl. 191. Skozi točko A je narisana ravnina (γ), pravokotna na BC. To naredimo s fronto, katere čelna projekcija A"F" je pravokotna na čelno projekcijo B"C", in horizontalo, katere vodoravna projekcija je pravokotna na B"C".

Nato najdemo točko K, v kateri premica BC seka kvadrat. γ. V ta namen narišemo vodoravno štrlečo ravnino β skozi premico BC (na risbi je določena samo z vodoravno sledjo (β"). Kvadrat β seka kvadrat γ vzdolž premice s projekcijama 1"2" in 1" 2". V presečišču te premice s premico ВС je točka K. Premica АК je zahtevana pravokotna na ВС. Dejansko premica AK seka premico ВС in je v območju γ, torej , АК⊥ВС.

V § 15 je bilo prikazano (slika 92), kako se da narisati navpičnico iz točke na premico. Toda tam je bilo to doseženo z uvedbo dodatne ravnine v sistem π 1, π 2 in s tem oblikovanjem sistema π 3, π 1, v katerem je pl. π 3 je narisana vzporedno z dano premico. Priporočamo primerjavo konstrukcij, prikazanih na sl. 92 in 191.

Na sl. 192 prikazuje ravnino v splošnem položaju - α, ki poteka skozi točko A, in pravokotno AM na to ravnino, podaljšano do presečišča s kvadratom. π 1 v točki B".

Kot φ 1 med kvadrati. α, in pl.π 1 ter kot φ med premico AM in pl. π 1 so ostri koti pravokotnega trikotnika B"AM", zato je φ 1 +φ=90°. Podobno, če je pl.α enako pl. π 2 kot σ 2, premica AM, pravokotna na α, pa je sq. π 2 kot σ, potem σ 2 +σ=90°. Iz tega najprej sledi, da je ravnina v splošnem položaju, ki naj tvori kot φ 1 s pl.π 1, s pl. π 2 kot σ 2 lahko konstruiramo le, če je 180° > φ 1 +σ 2 >90°.

Če seštejemo člen za členom φ 1 + φ=90° in σ 2 +σ=90°, dobimo φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, tj. φ 1 +σ 2 90°. Če vzamemo φ 1 +σ 2 =90°, dobimo profilno projekcijsko ravnino, če vzamemo φ 1 +σ 2 =180°, pa dobimo profilno ravnino, tj. v obeh teh primerih ravnina ni splošnega položaja, ampak posebnega.

Znak pravokotnosti premice in ravnine nam omogoča sestavo medsebojno pravokotnih premic in ravnin, torej dokazovanje obstoja takih premic in ravnin. Začnimo s konstruiranjem ravnine, ki je pravokotna na dano premico in poteka skozi to točko. Rešimo dva konstrukcijska problema, ki ustrezata dvema možnostma lokacije dane točke in dane premice.

Naloga 1. Skozi dano točko A na dani premici a nariši ravnino, pravokotno na to premico.

Narišimo poljubni dve ravnini skozi premico a in v vsako od teh ravnin skozi točko A narišimo premico, pravokotno na premico a, in ju označimo z b in c (slika 2.17). Ravnina a, ki poteka skozi premice bis, vsebuje točko A in je pravokotna na premico a (glede na pravokotnost premice in ravnine). Zato je želena ravnina a. Problem je rešen.

Problem ima samo eno (tj. edinstveno) rešitev. Dejansko predpostavimo nasprotno. Nato poteka skozi točko A poleg ravnine a še ena ravnina P, pravokotna na premico a (slika 2.18). V ravnino P vzemimo poljubno premico, ki poteka skozi točko A in ne leži v ravnini a. Narišimo ravnino y skozi sečišče a in . Ravnina y seka ravnino a po premici q. Premica q ne sovpada s premico , saj q leži v in ne leži v a. Obe premici ležita v ravnini y, potekata skozi točko A in sta pravokotni na premico a od in podobno od in. Toda to je v nasprotju slavni izrek planimetrija, po kateri poteka v ravnini skozi vsako točko samo ena premica, pravokotna na dano premico.

Torej, ob predpostavki, da dve ravnini, pravokotni na premico, potekata skozi točko A, smo prišli do protislovja. Zato je problem edina rešitev.

Naloga 2. Skozi dano točko A, ki ne leži na dani premici a, nariši ravnino, pravokotno na to premico.

Skozi točko A narišemo premico b pravokotno na premico a. Naj bo B presečišče a in b. Skozi točko B narišemo tudi premico c, pravokotno na premico a (slika 2.19). Ravnina, ki poteka skozi obe narisani premici, bo po kriteriju pravokotnosti (2. izrek) pravokotna na a.

Tako kot v nalogi 1 je konstruirana ravnina edinstvena. Res, vzemimo poljubno ravnino, ki poteka skozi točko A pravokotno na premico a. Takšna ravnina vsebuje premico, ki je pravokotna na premico a in poteka skozi točko A. Vendar obstaja samo ena taka premica. To je premica b, ki poteka skozi točko B. To pomeni, da mora ravnina, ki poteka skozi A in je pravokotna na premico a vsebovati točko B, skozi točko B pa poteka samo ena ravnina, pravokotna na premico a (1. naloga). Ko smo torej rešili te konstrukcijske probleme in dokazali edinstvenost njihovih rešitev, smo dokazali naslednji pomemben izrek.

Izrek 3 (o ravnini, pravokotni na premico). Skozi vsako točko poteka ravnina, pravokotna na dano premico, in to samo ena.

Posledica (o ravnini navpičnic). Premice, pravokotne na dano premico v dani točki, ležijo v isti ravnini in jo pokrivajo.

Naj bo a dana premica in A poljubna točka na njej. Skozi to leti letalo. Z definicijo pravokotnosti premice in ravnine je pokrita

prekrit z ravnimi črtami, pravokotnimi na ravnino a v točki A, tj. skozi vsako točko ravnine a poteka premica, pravokotna na premico a.

Predpostavimo, da gre premica skozi točko A in ne leži v ravnini a. Skozi njo narišimo ravnino P in ravnina P bo sekala a po določeni ravnini c (slika 2.20). In ker se izkaže, da skozi točko A v ravnini P potekata premici b in c, pravokotni na premico a. To je nemogoče. To pomeni, da v točki A ni premic, ki so pravokotne na premico a in ne ležijo v ravnini a. Vsi ležijo v tej ravnini.

Primer posledice izreka 3 so napere v kolesu, pravokotne na njegovo os: pri vrtenju rišejo ravnino (natančneje krog), pri čemer zavzamejo vse položaje pravokotno na os vrtenja.

Izreka 2 in 3 pomagata zagotoviti preprosto rešitev naslednjega problema.

Naloga 3. Skozi točko na dani ravnini nariši premico, pravokotno na to ravnino.

Naj sta podani ravnina a in točka A v ravnini a. Narišimo premico a v ravnini a skozi točko A. Skozi točko A narišemo ravnino, pravokotno na premico a (1. naloga). Ravnina bo sekala ravnino a po neki premici b (slika 2.21). Narišimo premico c v ravnini P skozi točko A, pravokotno na premico b. Ker (ker c leži v ravnini

In), potem po izreku 2. Edinstvenost njegove rešitve je ugotovljena v razdelku 2.1.

Komentiraj. O konstrukcijah v prostoru. Spomnimo se, da v 1. poglavju preučujemo "strukturno geometrijo". In na tej točki smo rešili tri probleme, ki vključujejo gradnjo v prostoru. Kaj v stereometriji pomenijo izrazi "konstruirati", "risati", "vpisati" itd.? s tem dokažemo njegov obstoj Na splošno pri reševanju konstrukcijskega problema dokažemo izrek za obstoj figure z dane lastnosti. Ta rešitev se zmanjša na sestavo nekega algoritma za konstrukcijo želene figure, tj. za označevanje zaporedja izvajanja najpreprostejših operacij, ki vodijo do zahtevani rezultat. Najenostavnejše operacije so risanje odsekov, krogov in iskanje njihovih presečišč. Nato se s pomočjo risarskih orodij figura neposredno sestavi na papir ali tablo.

Torej ima v planimetriji rešitev konstrukcijskega problema tako rekoč dve plati: teoretično - konstrukcijski algoritem - in praktično - izvajanje tega algoritma, na primer s kompasom in ravnilom.

Stereometrična konstrukcijska naloga ima le še eno plat - teoretično, saj v prostoru ni orodij za gradnjo, kot sta šestilo in ravnilo.

Osnovne konstrukcije v prostoru so tiste, ki jih zagotavljajo aksiomi in izreki o obstoju premic in ravnin. To je risanje premice skozi dve točki, risanje ravnine (propozicije klavzule 1.1 in aksiom 1 klavzule 1.4), kot tudi konstruiranje črte presečišča katerih koli dveh konstruiranih ravnin (aksiom 2 klavzule 1.4). Poleg tega bomo seveda domnevali, da je možno izvajati planimetrične konstrukcije v že izdelanih ravninah.

Reševanje konstrukcijskega problema v prostoru pomeni nakazovanje zaporedja osnovnih konstrukcij, ki povzročijo želeno postavo. Običajno niso izrecno navedene vse osnovne konstrukcije, ampak se sklicuje na že rešene konstrukcijske probleme, t.j. na že dokazanih propozicijah in izrekih o možnosti takšnih konstrukcij.

Poleg konstrukcij - eksistencnih izrekov v stereometriji sta možni še dve vrsti problemov, povezanih s konstrukcijami.

Najprej so naloge na sliki ali risbi. To so težave za rezanje poliedrov ali drugih teles. Samega odseka pravzaprav ne gradimo, ampak le upodabljamo

risbo ali risbo, ki jo že imamo. Takšne konstrukcije se izvajajo kot planimetrične, ob upoštevanju aksiomov in izrekov stereometrije in slikovnih pravil. Težave te vrste se nenehno rešujejo v risarski in oblikovalski praksi.

Drugič, naloge o gradnji teles na površinah. Problem: "Konstruirajte točke na površini kocke, ki so od danega vozlišča oddaljene za dano razdaljo" - lahko rešimo s pomočjo kompasa (kako?). Problem: "Konstruiraj točke na površini krogle, ki so od dane točke oddaljene na določeni razdalji" - lahko rešimo tudi s pomočjo šestilo (kako?). Težave te vrste se ne rešujejo pri pouku geometrije - rešuje jih marker, seveda z natančnostjo, ki mu jo omogoča njegovo orodje. Toda pri reševanju takšnih nalog se zanaša na geometrijo.

V okviru te teme morate biti sposobni:

1. Določite ravnino, pravokotno na premico.
2. Določite ravno črto, pravokotno na ravnino.

Pri reševanju teh medsebojno povezanih problemov je pomembno razumeti, kako morajo biti pravokotne projekcije usmerjene glede na ravninske projekcije. Da bi to pojasnili, rešimo problem A in B.

Problem A

Pogoj. Skozi točko A, vzeto na premici GP, nariši ravnino, pravokotno na to premico.

rešitev. Znano je, da ravnina je pravokotna na premico in dve premici, ki ležita v tej ravnini, sta pravokotni na dano premico.

Zato je v našem primeru dovolj, da skozi točko A narišemo dve premici, od katerih bi bila vsaka pravokotna na m, potem pa bosta ti premici v paru določili želeno ravnino.

Naj bo ena od ravnin, ki določajo to ravnino, vodoravna. Njegova čelna projekcija 1ъ bo minila vodoravno (sl. 4.7) in vodoravno projekcijo h| - pod neposredno kot na m 1 (na podlagi izreka o pravokotni projekciji).

Druga ravna črta, ki določa želeno ravnino, bo čelna. EU vodoravna projekcija f| bo potekal vodoravno.

A čelna projekcija f2 - jod pravokotno na mi (na podlagi istega izreka).

riž. 4.7

Tako je problem rešen. Če jo analiziramo, lahko opazimo, da je glede na konstruirano ravnino (f x h) dana premica m pravokotno. To vodi do pomembnega praktičnega zaključka:

vodoravna projekcija pravokotnice na ravnino naj bo pravokotna na vodoravno projekcijo vodoravnice, čelna projekcija pa pravokotna na čelno projekcijo fronte.

Problem B

Pogoji. Navpičnico iz točke B spustimo na ravnino DEF (določimo njeno vidnost glede na ravnino).

riž. 4.8a - grafični pogoji problema

riž. 4.86

riž. 4.8c - določitev osnove in naravne velikosti navpičnice

rešitev. Najprej narišimo projekciji DEF in B (slika 4.8a).

Ko smo se lotili reševanja problema, bomo izpostavili tri

značilne faze:

1. Konstrukcija smeri za pravokotne projekcije.
2. Konstrukcija osnove pravokotnice (točka njenega presečišča z ravnino).
3. Določitev naravne velikosti navpičnice.

Izvedimo te konstrukcije. Najprej določimo smer

pravokotne projekcije. Za to morate v ravnino DEF najprej narisati vodoravno črto h in čelno črto f, ki sta vodila za njene projekcije.

Zdaj poiščimo osnovo navpičnice kot presečišče dobljene premice z ravnino DEF. To opravilo nam je že znano (glej razdelek 3.3.4). V obravnavanem primeru leži želena točka K zunaj trikotnika, ki omejuje ravnino (slika 4.8c). Nahaja se na premici 2-3, ki po konstrukciji pripada ravnini DEF. To pomeni, da ji pripada tudi točka K. Če so projekcije navpičnice delno ali popolnoma zakrite s projekcijami trikotnika DEF, je treba dodatno določiti vidnost navpičnice glede na ravnino.

Naravno vrednost pravokotnice VC je mogoče najti s katero koli od metod, obravnavanih prej v i. 2.2. Na sliki 4.8c je za ta namen uporabljena metoda pravokotnega trikotnika.

Upoštevajte, da je ta problem pogosto formuliran kot določanje razdalje od točke B do ravnine trikotnika DEF.