Eksponentna funkcija. Eksponentne enačbe in neenačbe

1. Eksponentna funkcija je funkcija oblike y(x) = a x, odvisna od eksponenta x, s konstantno vrednostjo osnove stopnje a, kjer je a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množica realnih števil).

Razmislimo graf funkcije, če baza ne izpolnjuje pogoja: a>0
a) a< 0
Če< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Če je a = 0, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 0

c) a =1
Če je a = 1, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 1

2. Oglejmo si podrobneje eksponentno funkcijo:

0

Funkcijska domena (DOF)

Razpon dovoljenih funkcijskih vrednosti (APV)

3. Ničle funkcije (y = 0)

4. Presečišča z ordinatno osjo oy (x = 0)

5. Naraščajoče, padajoče funkcije

Če , potem funkcija f(x) narašča
Če , potem funkcija f(x) pada
Funkcija y= , pri 0 Funkcija y = pri a> 1 monotono narašča
To izhaja iz lastnosti monotonosti potence z realnim eksponentom.

6. Soda, liha funkcija

Funkcija y = ni simetrična glede na os 0y in glede na izhodišče koordinat, zato ni niti soda niti liha. (Splošna funkcija)

7. Funkcija y = nima ekstremov

8. Lastnosti stopnje z realnim eksponentom:

Naj bo a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Potem za xϵR; yϵR:

Lastnosti stopnje monotonosti:

če, potem
Na primer:

Če je a> 0, potem .
Eksponentna funkcija je zvezna v kateri koli točki ϵ R.

9. Relativni položaj funkcije

Čim večja je osnova a, tem bližje osema x in oy

a > 1, a = 20

Če je a0, ima eksponentna funkcija obliko, ki je blizu y = 0.
Če je a1, potem dlje od osi ox in oy in graf dobi obliko, ki je blizu funkciji y = 1.

Primer 1.
Zgradite graf za y =

Koncentracija pozornosti:

Opredelitev. funkcija vrsta se imenuje eksponentna funkcija .

Komentiraj. Izključitev iz osnovnih vrednosti aštevilke 0; 1 in negativne vrednosti a pojasnjujejo naslednje okoliščine:

Sam analitični izraz a x v teh primerih ohrani svoj pomen in se lahko uporablja pri reševanju problemov. Na primer za izraz x y pika x = 1; l = 1 je v območju sprejemljivih vrednosti.

Zgradite grafe funkcij: in.

Graf eksponentne funkcije
y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1

Lastnosti eksponentne funkcije

Lastnosti eksponentne funkcije	y = a x, a > 1	y = a x , 0< a < 1
Domena funkcije
2. Obseg funkcij
3. Intervali primerjave z enoto	pri x> 0, a x > 1	pri x > 0, 0< a x < 1
	pri x < 0, 0< a x < 1	pri x < 0, a x > 1
4. Sodo, liho.	Funkcija ni niti soda niti liha (funkcija splošne oblike).
5. Monotonost.	monotono narašča za R	monotono zmanjša za R
6. Ekstremi.	Eksponentna funkcija nima ekstremov.
7.Asimptota	O-os x je horizontalna asimptota.
8. Za vse realne vrednosti x in l;

Ko je tabela izpolnjena, se naloge rešujejo vzporedno z izpolnjevanjem.

Naloga št. 1. (Iskati domeno definicije funkcije).

Katere vrednosti argumentov so veljavne za funkcije:

Naloga št. 2. (Iskati obseg vrednosti funkcije).

Slika prikazuje graf funkcije. Določite domeno definicije in obseg vrednosti funkcije:

Naloga št. 3. (Označiti intervale primerjave z enim).

Primerjajte vsako od naslednjih moči z eno:

Naloga št. 4. (Preučevanje funkcije za monotonost).

Primerjajte realna števila po velikosti m in nče:

Naloga št. 5. (Preučevanje funkcije za monotonost).

Naredite sklep glede osnove a, Če:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Kako so med seboj povezani grafi eksponentnih funkcij za x > 0, x = 0, x< 0?

Naslednji grafi funkcij so narisani v eni koordinatni ravnini:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.

Kako so med seboj povezani grafi eksponentnih funkcij za x > 0, x = 0, x< 0?

številka ena najpomembnejših konstant v matematiki. Po definiciji je enaka meji zaporedja z neomejenim povečanje n . Imenovanje e vneseno Leonard Euler leta 1736. Izračunal je prvih 23 števk tega števila v decimalnem zapisu, samo število pa je bilo po Napierju poimenovano »število, ki ni Pierre«. številka e ima posebno vlogo v matematični analizi. Eksponentna funkcija z bazo e, imenovan eksponent in je določen y = e x. Prvi znaki številke e enostavno zapomniti: dva, vejica, sedem, leto rojstva Leva Tolstoja - dvakrat, petinštirideset, devetdeset, petinštirideset.

Domača naloga:

Kolmogorov odstavek 35; št. 445-447; 451; 453.

Ponovite algoritem za gradnjo grafov funkcij, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula.

EKSPONENTARNE IN LOGARITEMSKE FUNKCIJE VIII

§ 179 Osnovne lastnosti eksponentne funkcije

V tem razdelku bomo preučili osnovne lastnosti eksponentne funkcije

y = a x (1)

Spomnimo se, da pod A v formuli (1) mislimo katero koli fiksno pozitivno število, ki ni 1.

Lastnost 1. Domena eksponentne funkcije je množica vseh realnih števil.

Pravzaprav s pozitivnim A izražanje A x definirana za poljubno realno število X .

Lastnost 2. Eksponentna funkcija sprejema samo pozitivne vrednosti.

Res, če X > 0, potem je, kot je bilo dokazano v § 176,

A x > 0.

če X <. 0, то

A x =

Kje - X že več kot nič. Zato A - x > 0. Ampak potem

A x = > 0.

Končno, kdaj X = 0

A x = 1.

2. lastnost eksponentne funkcije ima preprosto grafično razlago. To je v tem, da se graf te funkcije (glej sliki 246 in 247) nahaja povsem nad osjo abscise.

Nepremičnina 3. če A >1, kdaj potem X > 0 A x > 1, in kdaj X < 0 A x < 1. če A < 1, тoh, nasprotno, kdaj X > 0 A x < 1, in kdaj X < 0 A x > 1.

Ta lastnost eksponentne funkcije omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo. pri A > 1 (slika 246) krivulj y = a x ki se nahaja nad ravno črto pri = 1 at X > 0 in pod ravno črto pri = 1 at X < 0.

če A < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x ki se nahaja pod ravno črto pri = 1 at X > 0 in nad to premico pri X < 0.

Naj podamo strog dokaz 3. lastnosti. Pustiti A > 1 in X - poljubno pozitivno število. Pokažimo to

A x > 1.

Če število X racionalno ( X = m / n ), To A x = A m/ n = n √a m .

Zaradi A > 1, torej A m > 1, vendar je koren števila, večjega od ena, očitno tudi večji od 1.

če X je iracionalno, potem obstajajo pozitivna racionalna števila X" in X" , ki služijo kot decimalni približki števila x :

X"< х < х" .

Ampak potem, po definiciji stopnje z iracionalnim eksponentom

A x" < A x < A x"" .

Kot je prikazano zgoraj, številka A x" več kot en. Zato število A x , večji kot A x" , mora biti tudi večji od 1,

Torej, pokazali smo, da kdaj a >1 in poljubno pozitivno X

A x > 1.

Če število X bil negativen, potem bi imeli

A x =

kjer je številka X bi bilo že pozitivno. Zato A - x > 1. Zato,

A x = < 1.

Torej, ko A > 1 in poljubno negativno x

A x < 1.

Primer, ko je 0< A < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Lastnina 4. Če x = 0, potem ne glede na a A x =1.

To izhaja iz definicije stopinje nič; ničelna potenca katerega koli števila, ki ni nič, je enaka 1. Grafično je ta lastnost izražena v dejstvu, da za katero koli A krivulja pri = A x (glej sliki 246 in 247) seka os pri v točki z ordinato 1.

Lastnina 5. pri A >1 eksponentna funkcija = A x monotono narašča in za a < 1 - monotono padajo.

Ta lastnost omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo.

pri A > 1 (slika 246) krivulja pri = A x z rastjo X dviguje vse višje in ko A < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Naj podamo strog dokaz 5. lastnosti.

Pustiti A > 1 in X 2 > X 1. Pokažimo to

A x 2 > A x 1

Zaradi X 2 > X 1., potem X 2 = X 1 + d , Kje d - neko pozitivno število. Zato

A x 2 - A x 1 = A x 1 + d - A x 1 = A x 1 (A d - 1)

Z 2. lastnostjo eksponentne funkcije A x 1 > 0. Ker d > 0, potem pa po 3. lastnosti eksponentne funkcije A d > 1. Oba dejavnika v izdelku A x 1 (A d - 1) so pozitivni, zato je ta izdelek sam pozitiven. pomeni, A x 2 - A x 1 > 0 oz A x 2 > A x 1, kar je bilo treba dokazati.

Torej, kdaj a > 1 funkcija pri = A x monotono narašča. Podobno je dokazano, da ko A < 1 функция pri = A x monotono pada.

Posledica. Če sta dve potenci istega pozitivnega števila, ki ni 1, enaki, sta njuna eksponenta enaka.

Z drugimi besedami, če

A b = A c (A > 0 in A =/= 1),

b = c .

Dejansko, če številke b in z niso bili enaki, potem zaradi monotonosti funkcije pri = A x večji od njih bi ustrezal A >1 večji in kdaj A < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или A b > A c , oz A b < A c . Oboje je v nasprotju s pogojem A b = A c . Ostaja še to priznati b = c .

Lastnina 6. Če > 1, nato z neomejenim povečanjem argumenta X (X -> ∞ ) funkcijske vrednosti pri = A x tudi rastejo v nedogled (pri -> ∞ ). Ko se argument neomejeno zmanjša X (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije se nagibajo k ničli, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0).

Ob upoštevanju monotonosti zgoraj dokazane funkcije pri = A x , lahko rečemo, da je v obravnavanem primeru funkcija pri = A x monotono narašča od 0 do ∞ .

če 0 <A < 1, potem z neomejenim povečanjem argumenta x (x -> ∞) se vrednosti funkcije y = a x nagibajo k ničli, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0). Ko se argument x neomejeno zmanjšuje (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije rastejo neomejeno (pri -> ∞ ).

Zaradi monotonosti funkcije y = a x lahko rečemo, da v tem primeru funkcija pri = A x monotono pada od ∞ na 0.

6. lastnost eksponentne funkcije je jasno prikazana na slikah 246 in 247. Ne bomo je strogo dokazovali.

Vse, kar moramo storiti, je določiti obseg variacije eksponentne funkcije y = a x (A > 0, A =/= 1).

Zgoraj smo dokazali, da funkcija y = a x ima samo pozitivne vrednosti in bodisi monotono narašča od 0 do ∞ (pri A > 1) ali monotono pada od ∞ na 0 (na 0< A <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x So kakšni preskoki pri menjavi? Ali ima kakšne pozitivne vrednosti? To vprašanje je pozitivno rešeno. če A > 0 in A =/= 1, potem karkoli že je pozitivno število pri 0 se zagotovo najde X 0, tako da

A x 0 = pri 0 .

(Zaradi monotonosti funkcije y = a x določeno vrednost X 0 bo seveda edini.)

Dokazovanje tega dejstva presega obseg našega programa. Njegova geometrijska razlaga je, da za vsako pozitivno vrednost pri 0 funkcijski graf y = a x se bo zagotovo sekala z ravno črto pri = pri 0 in poleg tega le v eni točki (slika 248).

Iz tega lahko potegnemo naslednji sklep, ki ga oblikujemo kot lastnost 7.

Lastnina 7. Območje spremembe eksponentne funkcije y = a x (A > 0, A =/= 1)je množica vseh pozitivnih števil.

vaje

1368. Poiščite domene definicije naslednjih funkcij:

1369. Katero od teh števil je večje od 1 in katero manjše od 1:

1370. Na podlagi katere lastnosti eksponentne funkcije lahko trdimo, da

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Katero število je večje:

A) π - √3 ali (1/ π ) - √3 ; c) (2 / 3) 1 + √6 ali (2 / 3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 ali ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 ali (√3) √3 - 2 ?

1372. Ali sta neenačbi enakovredni:

1373. Kaj lahko rečemo o številkah X in pri , Če a x = in y , Kje A - dano pozitivno število?

1374. 1) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2x označite:

2) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2 | x| označite:

a) največja vrednost; b) najmanjšo vrednost?

Lekcija št.2

Tema: Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf.

Cilj: Preverite kakovost obvladovanja pojma "eksponentna funkcija"; razvijati sposobnosti prepoznavanja eksponentne funkcije, uporabe njenih lastnosti in grafov, učiti učence uporabljati analitične in grafične oblike zapisa eksponentne funkcije; zagotoviti delovno okolje v razredu.

Oprema: tabla, plakati

Obrazec lekcije: razredna ura

Vrsta lekcije: praktični pouk

Vrsta lekcije: lekcija poučevanja spretnosti in spretnosti

Učni načrt

1. Organizacijski trenutek

2. Samostojno delo in preverjanje domače naloge

3. Reševanje problemov

4. Povzemanje

5. Domača naloga

Med poukom.

1. Organizacijski trenutek :

Zdravo. Odprite zvezke, zapišite današnji datum in temo lekcije "Eksponentna funkcija". Danes bomo nadaljevali s preučevanjem eksponentne funkcije, njenih lastnosti in grafa.

2. Samostojno delo in preverjanje domače naloge .

Cilj: preveriti kakovost obvladovanja pojma "eksponentna funkcija" in preveriti opravljen teoretični del domače naloge

metoda: testna naloga, frontalna anketa

Za domačo nalogo ste dobili številke iz nalognice in odstavek iz učbenika. Vašega izvajanja števil iz učbenika zdaj ne bomo preverjali, zvezke pa boste oddali ob koncu ure. Zdaj bomo teorijo preizkusili v obliki majhnega testa. Naloga je enaka za vse: dan vam je seznam funkcij, ugotoviti morate, katere so okvirne (podčrtajte jih). In poleg eksponentne funkcije morate napisati, ali narašča ali pada.

Sedaj pa se skupaj spomnimo, katera funkcija se imenuje eksponentna?

Funkcija oblike , kjer je in , se imenuje eksponentna funkcija.

Kakšen je obseg te funkcije?

Vsa realna števila.

Kakšen je obseg eksponentne funkcije?

Vsa pozitivna realna števila.

Zmanjša se, če je osnova potence večja od nič, vendar manjša od ena.

V katerem primeru se eksponentna funkcija zmanjšuje v svojem definicijskem področju?

Narašča, če je osnova potence večja od ena.

3. Reševanje problemov

Tarča: razvijati sposobnosti prepoznavanja eksponentne funkcije, uporabe njenih lastnosti in grafov, naučiti študente uporabljati analitične in grafične oblike zapisa eksponentne funkcije.

Metoda: učiteljeva demonstracija reševanja tipičnih nalog, ustno delo, delo ob tabli, delo v zvezku, pogovor med učiteljem in učenci.

Lastnosti eksponentne funkcije se lahko uporabljajo pri primerjavi dveh ali več števil. Na primer: št. 000. Primerjajte vrednosti in če a) ..gif" width="37" height="20 src=">, potem je to precej zapleteno delo: morali bi vzeti kubni koren iz 3 in 9 in ju primerjati. Vendar vemo, da se povečuje, to po svoje pomeni, da se z naraščanjem argumenta povečuje vrednost funkcije, to pomeni, da moramo samo primerjati vrednosti argumenta in , očitno je, da (lahko se prikaže na plakatu, ki prikazuje naraščajočo eksponentno funkcijo). In vedno pri reševanju takšnih primerov najprej določite osnovo eksponentne funkcije, jo primerjate z 1, določite monotonost in nadaljujete s primerjavo argumentov. Pri padajoči funkciji: ko argument narašča, vrednost funkcije pada, zato spremenimo predznak neenakosti, ko preidemo iz neenakosti argumentov v neenakost funkcij. Nato ustno rešujemo: b)

-

IN)

-

G)

-

- Št. 000. Primerjaj številki: a) in

Zato se funkcija poveča, potem

Zakaj?

Povečanje delovanja in

Torej se funkcija zmanjšuje

Obe funkciji naraščata skozi celotno domeno definicije, saj sta eksponentni z bazo moči, večjo od ena.

Kakšen pomen je za tem?

Gradimo grafe:

Katera funkcija se poveča hitreje pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Katera funkcija se hitreje zmanjša pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprej poglejmo obseg definicije teh funkcij. Ali sovpadajo?

Da, domena teh funkcij so vsa realna števila.

Poimenujte obseg vsake od teh funkcij.

Območja teh funkcij sovpadajo: vsa pozitivna realna števila.

Določite vrsto monotonosti vsake funkcije.

Vse tri funkcije padajo skozi celotno definicijsko področje, saj so eksponentne z osnovo potenc, manjših od ena in večjih od nič.

Katera posebna točka obstaja na grafu eksponentne funkcije?

Kakšen pomen je za tem?

Ne glede na osnovo stopnje eksponentne funkcije, če eksponent vsebuje 0, potem je vrednost te funkcije 1.

Gradimo grafe:

Analizirajmo grafe. Koliko presečišč imata grafa funkcij?

Katera funkcija se hitreje zmanjša pri poskusu https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Katera funkcija se poveča hitreje pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?

Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?

Zakaj imajo eksponentne funkcije z različnimi bazami samo eno presečišče?

Eksponentne funkcije so strogo monotone v celotnem območju definicije, zato se lahko sekajo le v eni točki.

Naslednja naloga se bo osredotočila na uporabo te lastnosti. 000. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije na danem intervalu a) . Spomnimo se, da ima strogo monotona funkcija najmanjšo in največjo vrednost na koncu danega segmenta. In če funkcija narašča, bo njena največja vrednost na desnem koncu segmenta, najmanjša pa na levem koncu segmenta (demonstracija na plakatu na primeru eksponentne funkcije). Če je funkcija padajoča, bo njena največja vrednost na levem koncu odseka, najmanjša pa na desnem koncu odseka (prikaz na plakatu na primeru eksponentne funkcije). Funkcija narašča, ker bo zato najmanjša vrednost funkcije v točki https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Točke b) , V) d) sami rešite zvezke, ustno jih bomo preverili.

Učenci nalogo rešijo v zvezkih

- št. 000. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije na danem intervalu a) . Ta naloga je skoraj enaka prejšnji. Toda tukaj ni odsek, ampak žarek. Vemo, da funkcija narašča in nima niti največje niti najmanjše vrednosti na celotni številski premici https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, in teži k , tj. na žarku funkcija pri teži k 0, vendar nima najmanjše vrednosti, ima pa največjo vrednost v točki . Točke b) , V) , G) Sami rešite zvezke, ustno jih bomo preverjali.