Območje trikotnika vzdolž ene stranice. Kako izračunati površino trikotnika

Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najpreprostejša in najpogosteje uporabljena ta, da višino pomnožimo z dolžino osnove in nato rezultat delimo z dva. Vendar ta metoda daleč od edinega. Spodaj si lahko preberete, kako poiščete površino trikotnika z uporabo različne formule.

Ločeno si bomo ogledali načine za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnih, enakokrakih in enakostraničnih. Vsako formulo pospremimo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalne metode za iskanje območja trikotnika

Spodnje formule uporabljajo posebne zapise. Vsakega od njih bomo dešifrirali:

• a, b, c - dolžine treh strani figure, ki jo obravnavamo;
• r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
• R je polmer kroga, ki ga je mogoče opisati okoli njega;
• α je velikost kota, ki ga tvorita stranici b in c;
• β je velikost kota med a in c;
• γ je velikost kota, ki ga tvorita stranici a in b;
• h je višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
• p – polovična vsota strani a, b in c.

Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete območje trikotnika. Trikotnik je mogoče zlahka sestaviti v paralelogram, v katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Ploščino paralelograma najdemo tako, da dolžino ene od njegovih strani pomnožimo z vrednostjo višine, ki je na njej narisana. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaki trikotniki. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S=½ a b sin γ

V skladu s to formulo se območje trikotnika najde tako, da se dolžini njegovih dveh strani, to je a in b, pomnoži s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če znižamo višino od kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotni trikotnik, ko pomnožimo dolžino stranice a s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je h.

Območje zadevne figure se ugotovi tako, da se polovica polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnoži z njegovim obodom. Z drugimi besedami, poiščemo zmnožek pol-obsega in polmera omenjenega kroga.

S= a b c/4R

V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da produkt strani figure delimo s 4 polmeri kroga, opisanega okoli njega.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (razmerno, enakokrako, enakostranično, pravokotno). To je mogoče storiti tudi z več zapleteni izračuni, na katerem se ne bomo podrobneje zadrževali.

Površine trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najti območje pravokotnega trikotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kateta in c postane hipotenuza, potem območje najdemo takole:

Kako najti območje enakokrakega trikotnika? Ima dve strani z dolžino a in eno stran z dolžino b. Posledično lahko njegovo ploščino določimo tako, da produkt kvadrata stranice a s sinusom kota γ delimo z 2.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika? V njej je dolžina vseh stranic enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a in kvadratnega korena iz 3. Da bi našli ploščino navaden trikotnik, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti s 4.

Šolski kurikulum predvideva poučevanje geometrije otrok s zgodnja starost. Eden najbolj osnovno znanje To območje je iskanje območja različnih figur. V tem članku bomo poskušali prinesti vse možne načine pridobivanje te vrednosti, od najpreprostejših do najbolj zapletenih.

Warp

Prva formula, ki se je otroci učijo v šoli, vključuje iskanje površine trikotnika skozi dolžino njegove višine in osnove. Višina je segment, narisan iz vrha trikotnika pod pravim kotom na nasprotno stran, ki bo osnova. Kako najti površino trikotnika s temi količinami?

Če je V višina in O osnova, potem je ploščina S=V*O:2.

Druga možnost za pridobitev želene vrednosti zahteva, da poznamo dolžini obeh stranic, kot tudi velikost kota med njima. Če imamo L in M ​​- dolžini stranic, in Q - kot med njima, potem lahko površino dobite s formulo S=(L*M*sin(Q))/2.

Heronova formula

Poleg vseh drugih odgovorov na vprašanje, kako izračunati površino trikotnika, obstaja formula, ki nam omogoča, da dobimo vrednost, ki jo potrebujemo, če poznamo le dolžine strani. Se pravi, če poznamo dolžine vseh stranic, potem nam ni treba narisati višine in izračunati njene dolžine. Uporabimo lahko tako imenovano Heronovo formulo.

Če so M, N, L dolžine stranic, potem lahko območje trikotnika najdemo na naslednji način. P=(M+N+L)/2, potem je vrednost, ki jo potrebujemo, S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Na koncu moramo samo še izračunati koren.

Za pravokotni trikotnik je Heronova formula nekoliko poenostavljena. Če sta M, L noge, potem je S=(P-M)*(P-L).

Krogi

Drug način za iskanje površine trikotnika je uporaba vpisanih in obkroženih krogov. Da dobimo vrednost, ki jo potrebujemo z včrtanim krogom, moramo poznati njegov polmer. Označimo ga z "r". Potem bo formula, po kateri bomo izvajali izračune, dobila naslednjo obliko: S=r*P, kjer je P polovica vsote dolžin vseh stranic.

V pravokotnem trikotniku je ta formula nekoliko spremenjena. Seveda lahko uporabite zgornjega, vendar je bolje uporabiti drug izraz za izračune. S=E*W, kjer sta E in W dolžini odsekov, na katere je hipotenuza razdeljena s tangentno točko kroga.

Ko govorimo o obrobnem krogu, tudi iskanje območja trikotnika ni težko. Z uvedbo oznake R kot polmera opisanega kroga lahko dobite naslednjo formulo, potrebno za izračun zahtevane vrednosti: S= (M*N*L):(4*R). Pri čemer so prve tri količine stranice trikotnika.

Ko govorimo o enakostraničnem trikotniku, zaradi številnih najpreprostejših matematične transformacije Dobite lahko nekoliko spremenjene formule:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

V vsakem primeru lahko katero koli formulo, ki vam omogoča, da najdete območje trikotnika, spremenite v skladu s podatki naloge. Vsi pisni izrazi torej niso absolutni. Pri reševanju težav razmislite, da bi našli najprimernejšo rešitev.

Koordinate

Pri študiju koordinatne osi Naloge, s katerimi se srečujejo učenci, postanejo bolj zapletene. Vendar pa ne toliko, da bi povzročali paniko. Da bi našli območje trikotnika iz koordinat vrhov, lahko uporabite isto, vendar nekoliko spremenjeno Heronovo formulo. Za koordinate ima naslednjo obliko:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.

Vendar nihče ne prepoveduje, da bi z uporabo koordinat izračunali dolžine strani trikotnika in nato z uporabo zgoraj napisanih formul izračunali površino. Za pretvorbo koordinat v dolžino uporabite naslednjo formulo:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Opombe

V članku so bili uporabljeni standardni zapisi za količine, ki se uporabljajo v večini nalog. V tem primeru moč "1/2" pomeni, da morate izvleči koren celotnega izraza pod oklepaji.

Bodite previdni pri izbiri formule. Nekateri od njih izgubijo svojo pomembnost glede na začetni pogoji. Na primer, formula kroga. V vsakem primeru vam lahko izračuna rezultat, vendar lahko pride do situacije, ko trikotnik z danimi parametri sploh ne obstaja.

Če sediš doma in delaš domača naloga, potem lahko uporabite spletni kalkulator. Številna spletna mesta ponujajo možnost izračuna različnih količin z uporabo danih parametrov, in ni pomembno, kateri. Začetne podatke lahko preprosto vnesete v polja in računalnik (spletna stran) vam bo izračunal rezultat. Tako se lahko izognete napakam, ki so nastale zaradi malomarnosti.

Upamo, da je naš članek odgovoril na vsa vaša vprašanja v zvezi z izračunom največjega območja različne trikotnike in vam ne bo treba iskati dodatnih informacij drugje. Vso srečo pri študiju!

Trikotnik je eden najpogostejših geometrijske oblike, ki jih spoznavamo že v osnovna šola. Vsak učenec se pri pouku geometrije sooča z vprašanjem, kako najti površino trikotnika. Torej, katere značilnosti iskanja območja dane figure je mogoče prepoznati? V tem članku si bomo ogledali osnovne formule, potrebne za dokončanje takšne naloge, in analizirali tudi vrste trikotnikov.

Vrste trikotnikov

Popolnoma lahko najdete površino trikotnika na različne načine, ker v geometriji obstaja več kot ena vrsta likov s tremi koti. Te vrste vključujejo:

• Topo.
• Enakostranična (pravilna).
• Pravokotni trikotnik.
• Enakokraki.

Oglejmo si vsakega od njih podrobneje obstoječe vrste trikotniki.

Ta geometrijska figura velja za najpogostejšo pri reševanju geometrijske težave. Ko je potrebno risati poljuben trikotnik, ta možnost pride na pomoč.

V ostrokotnem trikotniku, kot pove že ime, so vsi koti ostri in skupaj znašajo 180°.

Tudi ta vrsta trikotnika je zelo pogosta, vendar je nekoliko manj pogosta kot ostrokotni trikotnik. Na primer, ko rešujete trikotnike (to pomeni, da je znanih več njegovih strani in kotov in morate najti preostale elemente), morate včasih ugotoviti, ali je kot tup ali ne. Kosinus je negativno število.

B, vrednost enega od kotov presega 90 °, zato lahko preostala dva kota sprejmeta majhne vrednosti (na primer 15 ° ali celo 3 °).

Da bi našli območje trikotnika te vrste, morate vedeti nekaj odtenkov, o katerih bomo govorili naslednjič.

Pravilni in enakokraki trikotniki

Pravilni mnogokotnik je figura, ki vključuje n kotov in katere stranice in koti so enaki. To je navadni trikotnik. Ker je vsota vseh kotov trikotnika 180°, je vsak od treh kotov 60°.

Pravilni trikotnik zaradi svoje lastnosti imenujemo tudi enakostranični lik.

Omeniti velja tudi, da je v pravilni trikotnik lahko vpisan samo en krog, okoli njega pa je mogoče opisati samo en krog, njuni središči pa sta v isti točki.

Poleg enakostraničnega tipa lahko ločimo tudi enakokraki trikotnik, ki se od njega nekoliko razlikuje. V takem trikotniku sta dve strani in dva kota enaki drug drugemu, tretja stranica (na katero mejita enaki koti) je osnova.

Slika prikazuje enakokraki trikotnik DEF, katerega kota D in F sta enaka, DF pa je osnova.

Pravokotni trikotnik

Pravokotni trikotnik se tako imenuje, ker je eden od njegovih kotov pravi, to je enak 90°. Seštevek ostalih dveh kotov znaša 90°.

Najbolj velika stran takega trikotnika je tista, ki leži nasproti kota 90°, hipotenuza, preostali dve strani pa sta kateta. Za to vrsto trikotnika velja Pitagorov izrek:

Vsota kvadratov dolžin katet je enaka kvadratu dolžine hipotenuze.

Slika prikazuje pravokotni trikotnik BAC s hipotenuzo AC in krakoma AB in BC.

Če želite najti območje trikotnika s pravim kotom, morate vedeti številske vrednosti svoje noge.

Pojdimo na formule za iskanje območja dane figure.

Osnovne formule za iskanje površine

V geometriji lahko ločimo dve formuli, ki sta primerni za iskanje ploščine večine vrst trikotnikov, in sicer ostri, topi, pravilni in enakokraki trikotniki. Oglejmo si vsakega od njih.

Po boku in višini

Ta formula je univerzalen za iskanje območja figure, ki jo obravnavamo. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate dolžino stranice in dolžino višine, ki je na njej narisana. Sama formula (polovica produkta osnove in višine) je naslednja:

kjer je A stranica dani trikotnik, in H je višina trikotnika.

Na primer, da bi našli območje ostrokotni trikotnik ACB, morate njegovo stran AB pomnožiti z višino CD in dobljeno vrednost deliti z dve.

Vendar na ta način ni vedno enostavno najti območja trikotnika. Na primer, če želite uporabiti to formulo za tupi trikotnik, morate eno od njegovih strani razširiti in ji šele nato narisati nadmorsko višino.

V praksi se ta formula uporablja pogosteje kot druge.

Na obeh straneh in kotu

Ta formula je, tako kot prejšnja, primerna za večino trikotnikov in je po pomenu posledica formule za iskanje površine ob strani in višine trikotnika. To pomeni, da je zadevno formulo mogoče zlahka izpeljati iz prejšnje. Njegova formulacija izgleda takole:

S = ½*sinO*A*B,

kjer sta A in B stranici trikotnika, O pa je kot med stranicama A in B.

Spomnimo se, da si sinus kota lahko ogledate v posebni tabeli, imenovani po izjemnem sovjetskem matematiku V. M. Bradisu.

Zdaj pa preidimo na druge formule, ki so primerne samo za izjemne vrste trikotnikov.

Območje pravokotnega trikotnika

Poleg univerzalne formule, ki vključuje potrebo po iskanju nadmorske višine v trikotniku, je območje trikotnika, ki vsebuje pravi kot, mogoče najti iz njegovih nog.

Tako je površina trikotnika, ki vsebuje pravi kot, polovica produkta njegovih krakov ali:

kjer sta a in b kraka pravokotnega trikotnika.

Pravilni trikotnik

Ta vrsta geometrijskih likov se razlikuje po tem, da je njegovo območje mogoče najti z navedeno vrednostjo samo ene od njegovih strani (ker so vse strani pravilnega trikotnika enake). Torej, ko se soočite z nalogo "iskanje območja trikotnika, ko so stranice enake", morate uporabiti naslednjo formulo:

S = A 2 *√3 / 4,

kjer je A stranica enakostraničnega trikotnika.

Heronova formula

Zadnja možnost da bi našli površino trikotnika, je Heronova formula. Če ga želite uporabiti, morate poznati dolžine treh strani figure. Heronova formula izgleda takole:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

kjer so a, b in c stranice danega trikotnika.

Včasih je podana težava: "območje pravilnega trikotnika je najti dolžino njegove stranice." V tem primeru moramo za iskanje površine pravilnega trikotnika uporabiti formulo, ki jo že poznamo, in iz nje izpeljati vrednost stranice (ali njenega kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Izpitne naloge

V nalogah GIA v matematiki je veliko formul. Poleg tega je pogosto treba najti območje trikotnika na karirastem papirju.

V tem primeru je najprimerneje narisati višino na eno od strani figure, določiti njeno dolžino iz celic in uporabiti univerzalna formula za iskanje območja:

Torej, po preučevanju formul, predstavljenih v članku, ne boste imeli težav pri iskanju območja trikotnika katere koli vrste.

Iz nasprotnega vrha) in dobljeni produkt razdelite na dva. To izgleda takole:

S = ½ * a * h,

kje:
S - območje trikotnika,
a je dolžina njegove stranice,
h je višina, spuščena na to stran.

Navesti je treba dolžino in višino stranice enake enote meritve. V tem primeru bo površina trikotnika pridobljena v ustreznih enotah " ".

Primer.
Na eno stran trikotnika, dolgega 20 cm, je spuščena navpičnica iz nasprotnega vrha, dolga 10 cm.
Zahtevana je površina trikotnika.
rešitev.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Če sta znani dolžini poljubnih dveh strani skalenskega trikotnika in kota med njima, uporabite formulo:

S = ½ * a * b * sinγ,

kjer sta: a, b dolžini dveh poljubnih stranic, γ pa kot med njima.

V praksi, na primer, pri merjenju zemljiške parcele, je uporaba zgornjih formul včasih težavna, saj zahteva dodatne konstrukcije in meritve kotov.

Če poznate dolžine vseh treh strani skalenskega trikotnika, uporabite Heronovo formulo:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – dolžine stranic trikotnika,
p – polobod: p = (a+b+c)/2.

Če je poleg dolžin vseh strani znan tudi polmer kroga, včrtanega v trikotnik, potem uporabimo naslednjo kompaktno formulo:

kjer je: r – polmer včrtanega kroga (р – polobod).

Za izračun površine skalnega trikotnika in dolžine njegovih strani uporabite formulo:

kjer je: R – polmer opisanega kroga.

Če so znani dolžina ene od stranic trikotnika in trije koti (načeloma sta dovolj dva - vrednost tretjega se izračuna iz enakosti vsote treh kotov trikotnika - 180º), potem uporabite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kjer je α vrednost kota nasproti strani a;
β, γ – vrednosti preostalih dveh kotov trikotnika.

Potreba po iskanju različnih elementov, vključno s površino trikotnik, pojavil mnogo stoletij pred našim štetjem med učenimi astronomi Stara Grčija. kvadrat trikotnik mogoče izračunati na različne načine uporabo različnih formul. Način izračuna je odvisen od elementov trikotnik znan.

Navodila

Če iz pogoja poznamo vrednosti dveh stranic b, c in kota, ki ju tvorita?, potem območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti dveh stranic a, b in kota, ki ju ne tvorita?, potem območje trikotnik ABC se nahaja na naslednji način:
Iskanje kota?, greh? = bsin?/a, nato s tabelo določi sam kot.
Iskanje kota?, ? = 180°-?-?.
Najdemo samo območje S = (absin?)/2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti le treh strani trikotnik a, b in c, nato območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kjer je p polobod p = (a+b+c)/2

Če iz problemskih pogojev poznamo višino trikotnik h in stran, na katero je ta višina spuščena, nato območje trikotnik ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Če poznamo pomene stranic trikotnik a, b, c in o tem opisani polmer trikotnik R, potem območje tega trikotnik ABC je določen s formulo:
S = abc/4R.
Če so znane tri stranice a, b, c in polmer včrtane, potem je ploščina trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = pr, kjer je p polobod, p = (a+b+c)/2.

Če je ABC enakostraničen, se ploščina najde po formuli:
S = (a^2v3)/4.
če trikotnik ABC– enakokraki, potem je območje določeno s formulo:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kjer c – trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten, potem je ploščina določena s formulo:
S = ab/2, kjer sta a in b kraka trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten enakokraki trikotnik, potem je ploščina določena s formulo:
S = c^2/4 = a^2/2, kjer je c hipotenuza trikotnik, a=b – krak.

Video na temo

Viri:

• kako izmeriti površino trikotnika

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika, če je kot znan

Poznavanje samo enega parametra (kot) ni dovolj za iskanje območja tre kvadrat . Če obstajajo dodatne dimenzije, lahko za določitev območja izberete eno od formul, v kateri se vrednost kota uporablja kot ena od znanih spremenljivk. Nekaj ​​najpogosteje uporabljenih formul je navedenih spodaj.

Navodila

Če poleg velikosti kota (γ), ki ga tvorita obe stranici tre kvadrat , potem sta znani tudi dolžini teh stranic (A in B). kvadrat(S) številke lahko definiramo kot polovico produkta dolžin stranic in sinusa tega znani kot: S=½×A×B×sin(γ).