Ploščina trikotnika abc je znotraj enaka. Ploščina trikotnika ABC je
Območje trikotnika ABC enako 12
. Na ravni črti AC sprejeta točka D torej
pika C je sredina segmenta AD. Pika K– sredina strani AB,
naravnost KD prečka stran B.C. na točki L.
a) Dokaži to BL:LC=2:1.
b) Poiščite ploščino trikotnika BLK.
Najprej bomo skrbno naredili risbo, pri čemer bomo opazovali enakost segmentov.
Zdaj je to enostavno videti, če povežete pike IN in D, dobimo trikotnik ABD,
v katerem DK in sonce so mediane po definiciji (se spomnite?)
In mediane na presečišču so razdeljene v razmerju 2: 1
, šteto od zgoraj.
Končano je. Napiši, ali lahko sam dokažeš to lastnost?
Poiščite površino trikotnika BLK to je mogoče storiti na različne načine. Naj AE- tretja mediana
trikotnik ABD, bo šel skozi točko L presečišče prvih dveh.
Mediana sonce deli trikotnik ABD na dva enaka trikotnika.
Zato območje ABD podvojeno več območja ABC in je enako 12 2 = 24.
Tri mediane delijo trikotnik na šest enakih trikotnikov.
Od tu je enostavno najti območje želenega trikotnika BLK. 24:6 = 4
.
Opažam, da bi obe trditvi morali biti tudi dokazani.
========================================
Lahko primerjate ploščine trikotnikov BLK in ABC brez dotika mediane.
Ti trikotniki imajo skupni kot IN, izkoristimo to dejstvo.
Poiščimo zdaj razmerje površin:
Tako območje BLK trikrat manjša površina ABC.
Recimo, da morate določiti površino trikotnika ABC. Skozi njeni oglišči C in B narišimo premici, vzporedni s stranicama AB in AC.
Dobimo paralelogram ABC. Njegova ploščina je enaka zmnožku osnove AB in višine CO. Paralelogram ABCD je sestavljen iz dveh enaki trikotniki ABC in BCD, torej je ploščina trikotnika ABC enaka polovici ploščine paralelograma, tj. S \(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.
Od tukaj: Površina trikotnika je enaka polovici produkta njegove osnove in višine.
S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)
To formulo je mogoče predstaviti na naslednji način:
S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h ali S \(\Delta\) = a\(\frac(h)(2)\).
Formule za izračun površine trikotnika
1. Iz geometrije je znana Heronova formula:
$$ S = \sqrt(р (р - а)(р - b) (р - с)),$$
(kjer je p = ( a + b + c) / 2 -polperimeter), ki vam omogoča izračun površine trikotnika glede na njegove stranice.
2 . Izrek. Površina trikotnika je enaka polovici produkta obeh stranic in sinusa kota med njima:
S = 1/2 pr greh A.
Dokaz. Iz geometrije je znano, da je površina trikotnika enaka polovici zmnožka stranice trikotnika in višine, spuščene na to stran z nasprotnega vrha.
S = 1/2 b h b (1)
Če je kot A oster, potem iz trikotnika ABN najdemo VН = h b = c greh A.
Če je kot A top, potem
VN = h b = c sin (π - A)= z greh A.
Če je kot A pravi, potem je sin A = 1 in
h b= AB = z = z greh A.
Zato v vseh primerih h b = c sin A. Z zamenjavo v enačbo (1) dobimo formulo, ki jo dokazujemo.
Na enak način dobimo formule: S = 1 / 2 ab greh C= 1/2 ac greh B
3. Na podlagi sinusnega izreka:
$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$
Če te izraze nadomestimo v formulo (1), dobimo naslednjo formulo:
$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$
kvadrat trikotnik ABC je enaka 198. Simetrala AL seka mediano BM v točki K. Poiščite ploščino štirikotnika MCLK, če je znano, da je BL:CL=7:4.
Izdelamo skico:
Težko je takoj videti napredek pri reševanju problema, vedno pa si lahko zastavimo vprašanje: kaj lahko najdemo s podatki v stanju in nam znanih lastnostih?
Določimo lahko površine nekaterih trikotnikov, upoštevajte:
Ker je AM=MC, to pomeni, da bosta ploščini trikotnikov enaki, to je:
Razmislite o trikotnikih ALB in ALC. Pogoj pravi, da je BL:CL=7:4. Predstavimo sorazmernostni koeficient "x" in zapišimo formule za njihova območja:
Razmerje površin bo:
Vemo tudi, da je S ALB +S ALC =198. Površine lahko izračunamo:
Upoštevajte, da nam v pogoju niso podani nobeni koti in linearne mere (dolžine elementov), zato se ni treba truditi z izračunom kotov in dolžin (stranice, mediane, simetrale itd.). Zakaj?
Ko pogoj podaja razmerja segmentov (kotov) in ni ene same specifične vrednosti, je najverjetneje s takšnimi podatki mogoče sestaviti veliko različic figure. * Vsak študent tega ne vidi takoj;
Zato v podobnih primerih stremeti k uporabi odnosov - in sicer: odnosov med elementi, območji, če je mogoče, uporabite podobnost trikotnikov.
Tukaj lahko najdemo razmerje stranic trikotnika. Izrazimo površine trikotnikov:
Na podlagi dejstva, da je AM=MS, sledi, da
Zdaj pa pozor! Blizu smo konca. Obstaja še ena relacija, iz katere lahko ugotovimo razmerje ploščin dveh trikotnikov. Izrazimo ploščine trikotnikov.
