Presečišče valja in stožca. Preučevanje teorije koničnih prerezov Besedilni zapis lekcije

PREPIS BESEDILA LEKCIJE:

Še naprej preučujemo razdelek stereometrije "Telesa vrtenja".

Med rotacijska telesa spadajo: valji, stožci, krogle.

Spomnimo se definicij.

Višina je razdalja od vrha figure ali telesa do dna figure (telesa). V nasprotnem primeru segment, ki povezuje zgornji in spodnji del figure in je pravokoten nanj.

Ne pozabite, da bi našli površino kroga, morate pi pomnožiti s kvadratom polmera.

Površina kroga je enaka.

Spomnimo se, kako najti površino kroga, če poznamo premer? Ker

Vstavimo ga v formulo:

Stožec je tudi vrtilno telo.

Stožec (natančneje, krožni stožec) je telo, ki je sestavljeno iz kroga - osnove stožca, točke, ki ne leži v ravnini tega kroga - vrha stožca in vseh segmentov, ki povezujejo vrh stožca. stožec z osnovnimi točkami.

Spoznajmo formulo za iskanje volumna stožca.

Izrek. Prostornina stožca je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove in višine.

Dokažimo ta izrek.

Podano: stožec, S - površina njegove baze,

h - višina stožca

Dokaži: V=

Dokaz: Vzemimo stožec z volumnom V, osnovnim polmerom R, višino h in vrhom v točki O.

Vstavimo os Ox skozi OM - os stožca. Poljubni odsek stožca z ravnino, pravokotno na os Ox, je krog s središčem v točki

M1 - točka presečišča te ravnine z osjo Ox. Polmer tega kroga označimo z R1, površino prereza pa s S(x), kjer je x abscisa točke M1.

Iz podobnosti pravokotnih trikotnikov ОМ1A1 in ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА - premice, ے MOA-splošno, kar pomeni, da sta si trikotnika podobna pod dvema kotoma) sledi, da

Slika prikazuje, da je OM1=x, OM=h

ali od koder z lastnostjo sorazmerja najdemo R1 = .

Ker je prerez krog, potem je S(x)=πR12, nadomestite prejšnji izraz namesto R1, je površina prereza enaka razmerju produkta pier kvadrata s kvadratom x na kvadrat od višine:

Uporabimo osnovno formulo

izračun volumnov teles, pri a=0, b=h, dobimo izraz (1)

Ker je osnova stožca krog, bo ploščina S osnove stožca enaka kvadratu pira

v formuli za izračun prostornine telesa vrednost pier kvadrata nadomestimo s ploščino osnove in ugotovimo, da je prostornina stožca enaka tretjini zmnožka ploščine osnova in višina

Izrek je dokazan.

Posledica izreka (formula za prostornino prisekanega stožca)

Prostornina V prisekanega stožca, katerega višina je h, in ploščina baz S in S1, se izračuna po formuli

Ve je enak tretjini osi, pomnoženi z vsoto ploščin baz in kvadratnega korena zmnožka ploščin baze.

Reševanje problemov

Pravokotni trikotnik s katetama 3 cm in 4 cm se vrti okoli hipotenuze. Določite prostornino nastalega telesa.

Ko trikotnik zavrtimo okoli hipotenuze, dobimo stožec. Pri reševanju tega problema je pomembno razumeti, da sta možna dva primera. V vsakem od njih uporabimo formulo za iskanje prostornine stožca: prostornina stožca je enaka tretjini zmnožka osnove in višine

V prvem primeru bo risba videti takole: podan je stožec. Naj bo polmer r = 4, višina h = 3

Površina osnove je enaka π-kratniku kvadrata polmera

Potem je prostornina stožca enaka tretjini zmnožka π s kvadratom polmera in višine.

Nadomestimo vrednost v formulo, izkaže se, da je prostornina stožca 16π.

V drugem primeru takole: dan stožec. Naj bo polmer r = 3, višina h = 4

Prostornina stožca je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove in višine:

Površina osnove je enaka π-kratniku kvadrata polmera:

Potem je prostornina stožca enaka tretjini zmnožka π s kvadratom polmera in višine:

Če nadomestimo vrednost v formulo, se izkaže, da je prostornina stožca 12π.

Odgovor: Prostornina stožca V je 16 π ali 12 π

Naloga 2. Podan je pravilen krožni stožec s polmerom 6 cm, kot BCO = 45.

Poiščite prostornino stožca.

Rešitev: Za ta problem je na voljo že pripravljena risba.

Zapišimo formulo za iskanje volumna stožca:

Izrazimo ga skozi polmer osnove R:

Najdemo h = BO po konstrukciji - pravokotne, ker kot BOC = 90 (vsota kotov trikotnika), sta kota pri dnu enaka, kar pomeni, da je trikotnik ΔBOC enakokrak in BO = OC = 6 cm.

V valj = S glavni. ∙h

Primer 2. Podan je pravilen krožni stožec ABC, enakostranični, BO = 10. Poiščite prostornino stožca.

rešitev

Poiščimo polmer osnove stožca. C=60 0, B=30 0,

Naj OS = A, potem je BC = 2 A. Po Pitagorovem izreku:

odgovor: .

Primer 3. Izračunajte prostornine likov, ki jih tvorijo vrtljive ploskve, ki jih omejujejo označene črte.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Integracijske meje a = 0, b = 4.

V= | =32π

Naloge

Možnost 1

1. Osni prerez valja je kvadrat, katerega diagonala je 4 dm. Poiščite prostornino valja.

2. Zunanji premer votle krogle je 18 cm, debelina sten je 3 cm.

X lik, omejen s črtami y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

Možnost 2

1. Polmeri treh kroglic so 6 cm, 8 cm, 10 cm. Določi polmer kroglice, katere prostornina je enaka vsoti prostornin teh kroglic.

2. Površina osnove stožca je 9 cm 2, površina njegove celotne površine je 24 cm 2. Poiščite prostornino stožca.

3. Izračunajte prostornino telesa, ki nastane z vrtenjem okoli osi O X lik, ki ga omejujejo črte y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Varnostna vprašanja:

1. Napiši lastnosti volumnov teles.

2. Napišite formulo za izračun prostornine vrtilnega telesa okoli osi Oy.

Diagnostično delo je sestavljeno iz dveh delov, ki vključuje 19 nalog. 1. del vsebuje 8 nalog osnovne zahtevnostne stopnje s kratkim odgovorom. 2. del vsebuje 4 naloge povišane stopnje zahtevnosti s kratkim odgovorom in 7 nalog povišane in visoke stopnje zahtevnosti s podrobnejšim odgovorom.
Za dokončanje diagnostičnega dela pri matematiki je namenjenih 3 ure 55 minut (235 minut).
Odgovori nalog 1-12 so zapisani kot celo število ali končni decimalni ulomek. Vnesite številke v polja za odgovore v besedilu dela in jih nato prenesite v obrazec za odgovore št. 1. Pri izpolnjevanju nalog 13-19 morate zapisati celotno rešitev in odgovoriti v obrazcu za odgovore št. 2.
Vsi obrazci morajo biti izpolnjeni s svetlo črnim črnilom. Uporabite lahko gelska, kapilarna ali nalivna peresa.
Pri izpolnjevanju nalog lahko uporabite osnutek. Zapisi v osnutku se pri ocenjevanju dela ne upoštevajo.
Točke, ki jih prejmete za opravljene naloge, se seštejejo.
Želimo vam uspeh!

Problemski pogoji

1. Poiščite, če
2. Za pridobitev povečane slike žarnice na zaslonu v laboratoriju se uporablja zbirna leča z glavno goriščno razdaljo = 30 cm. Razdalja od leče do žarnice je lahko od 40 do 65 cm. od objektiva do zaslona - v razponu od 75 do 100 cm bo slika na zaslonu jasna, če je razmerje izpolnjeno. Navedite, na kolikšni največji razdalji od leče lahko postavite žarnico, da bo njena slika na zaslonu jasna. Odgovor izrazite v centimetrih.
3. Motorna ladja potuje po reki do cilja 300 km in se po ustavitvi vrne na izhodišče. Poišči hitrost toka, če je hitrost ladje v mirni vodi 15 km/h, bivanje traja 5 ur in se ladja vrne na izhodišče 50 ur po izplutju. Odgovorite v km/h.
4. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na odseku
5. a) Reši enačbo b) Poiščite vse korene te enačbe, ki pripadajo odseku
6. Podan je pravilen krožni stožec z vrhom M. Osni prerez stožca je trikotnik s kotom 120° na vrhu M. Generatris stožca je . Skozi točko M odsek stožca je narisan pravokotno na eno od generatris.
   a) Dokaži, da je dobljeni trikotnik v prerezu topi.
   b) Poiščite razdaljo od središča O osnovo stožca na prerezno ravnino.
7. Reši enačbo
8. Krog s središčem O dotika strani AB enakokraki trikotnik ABC, razširitev strani AC in nadaljevanje fundacije sonce na točki n. Pika M- sredina baze sonce
   a) Dokaži to MN = AC.
   b) Poiščite OS,če so stranice trikotnika ABC so enake 5, 5 in 8.
9. Poslovni projekt "A" predvideva povečanje vloženih sredstev za 34,56% letno v prvih dveh letih in za 44% letno v naslednjih dveh letih. Projekt B predvideva rast za konstantno celo število n odstotkov letno. Poiščite najmanjšo vrednost n, pri katerem bo v prvih štirih letih projekt »B« donosnejši od projekta »A«.
10. Poiščite vse vrednosti parametra , , za vsako od katerih je sistem enačb ima edinstveno rešitev
11. Anya igra igro: na tabli sta napisani dve različni naravni števili in , obe sta manjši od 1000. Če sta obe naravni, potem Anya naredi potezo - nadomesti prejšnji s tema dvema številkama. Če vsaj ena od teh številk ni naravna, se igra konča.
    a) Ali lahko igra traja točno tri poteze?
    b) Ali obstajata dve začetni številki, da bo igra trajala vsaj 9 potez?
    c) Anya je naredila prvo potezo v igri. Poiščite največje možno razmerje med zmnožkom obeh dobljenih števil in zmnožkom