Določitev težišča teles kompleksne oblike. Metode za določanje koordinat težišča

Težišče je točka, skozi katero poteka premica delovanja rezultante elementarnih gravitacijskih sil. Ima lastnost središča vzporednih sil (E.M. Nikitin, § 42). Zato formule za določanje položaja težišča različnih teles imajo obliko:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i.

Če je telo, katerega težišče je treba določiti, mogoče identificirati s figuro, sestavljeno iz črt (na primer zaprta ali odprta kontura iz žice, kot na sliki 173), potem je teža G i vsakega segmenta l i lahko predstavljamo kot izdelek
G i = l i d,
kjer je d konstantna teža enote dolžine materiala za celotno sliko.

Po zamenjavi njihovih vrednosti l i d v formule (1) namesto G i lahko konstantni faktor d v vsakem členu števca in imenovalca vzamemo iz oklepajev (nad znakom vsote) in zmanjšamo. torej formule za določanje koordinat težišča figure, sestavljene iz segmentov, bo imel obliko:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i.

Če ima telo obliko figure, sestavljene iz ravnin ali ukrivljenih površin, razporejenih na različne načine (slika 174), potem lahko težo vsake ravnine (površine) predstavimo na naslednji način:
G i = F i p,
kjer je F i površina vsake površine, p pa teža na enoto površine figure.

Po nadomestitvi te vrednosti G i v formule (1) dobimo formule za koordinate težišča figure, sestavljene iz območij:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i.

Če lahko homogeno telo razdelimo na preproste dele določene geometrijske oblike (slika 175), potem je teža vsakega dela
G i = V i γ,
kjer je V i prostornina vsakega dela, γ pa teža na enoto prostornine telesa.

Po zamenjavi vrednosti G i v formule (1) dobimo formule za določanje koordinat težišča telesa, sestavljenega iz homogenih volumnov:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i.

Pri reševanju nekaterih problemov določanja položaja težišča teles je včasih treba vedeti, kje se nahaja težišče krožnega loka, krožnega sektorja ali trikotnika.

Če sta znana polmer loka r in središčni kot 2α, ki ga pokriva lok in izražen v radianih, potem je položaj težišča C (slika 176, a) glede na središče loka O določen z formula:
(5) x c = (r sin α)/α.

Če je podana tetiva AB=b loka, lahko v formuli (5) izvedete zamenjavo
sin α = b/(2r)
in potem
(5a) x c = b/(2α).

V posebnem primeru za polkrog bosta obe formuli imeli obliko (slika 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Položaj težišča krožnega sektorja, če je podan njegov polmer r (slika 176, c), se določi po formuli:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Če je podan sektorski akord, potem:
(6a) x c = b/(3α).

V posebnem primeru za polkrog bosta obe zadnji formuli imeli obliko (slika 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Težišče območja katerega koli trikotnika se nahaja s katere koli strani na razdalji, ki je enaka tretjini ustrezne višine.

V pravokotnem trikotniku se težišče nahaja na presečišču pravokotnic, dvignjenih na noge iz točk, ki se nahajajo na razdalji ene tretjine dolžine nog, šteto od vrha pravega kota (slika 177).

Pri reševanju problemov določanja položaja težišča katerega koli homogenega telesa, sestavljenega iz tankih palic (črt) ali plošč (območij) ali volumnov, je priporočljivo upoštevati naslednji vrstni red:

1) narišite telo, katerega položaj težišča je treba določiti. Ker so običajno vse mere telesa znane, je treba upoštevati merilo;

2) razdelite telo na sestavne dele (odseke ali območja ali prostornine), položaj težišč se določi glede na velikost telesa;

3) določi bodisi dolžine bodisi površine ali prostornine sestavnih delov;

4) izberite lokacijo koordinatnih osi;

5) določite koordinate težišč komponent;

6) nadomestiti ugotovljene vrednosti dolžin ali površin ali prostornine posameznih delov, kot tudi koordinate njihovih težišč, v ustrezne formule in izračunati koordinate težišča celotnega telesa;

7) z najdenimi koordinatami na sliki označite položaj težišča telesa.

§ 23. Določitev položaja težišča telesa, sestavljenega iz tankih homogenih palic

§ 24. Določitev položaja težišča figur, sestavljenih iz plošč

Pri zadnji nalogi, kot tudi pri nalogah iz prejšnjega odstavka, delitev figur na njihove sestavne dele ne povzroča posebnih težav. Toda včasih ima figura obliko, ki omogoča, da jo razdelimo na sestavne dele na več načinov, na primer tanko pravokotno ploščo s trikotnim izrezom (slika 183). Pri določanju položaja težišča takšne plošče lahko njeno površino razdelimo na štiri pravokotnike (1, 2, 3 in 4) in en pravokotni trikotnik 5 - na več načinov. Dve možnosti sta prikazani na sl. 183, a in b.

Najbolj racionalen način razdelitve figure na sestavne dele je tisti, pri katerem nastane najmanjše število delov. Če so na sliki izrezi, jih je mogoče vključiti tudi med sestavne dele figure, vendar se površina izrezanega dela šteje za negativno. Zato se ta delitev imenuje metoda negativnih območij.

Plošča na sl. 183, v je s to metodo razdeljen na samo dva dela: pravokotnik 1 s površino celotne plošče, kot da bi bila cela, in trikotnik 2 s površino, ki jo štejemo za negativno.

§ 26. Določitev položaja težišča telesa, sestavljenega iz delov, ki imajo preprosto geometrijsko obliko

Če želite rešiti težave pri določanju položaja težišča telesa, sestavljenega iz delov, ki imajo preprosto geometrijsko obliko, morate imeti veščine za določanje koordinat težišča figur, sestavljenih iz črt ali območij.

Navodila

Poskusite najti središče gravitacija stanovanje figure empirično. Vzemite nov, nenabrušen svinčnik in ga postavite navpično. Nanjo položite ravno figuro. Označite točko na sliki, kjer se trdno drži na svinčniku. To bo središče gravitacija tvoje figure. Namesto svinčnika preprosto uporabite navzgor iztegnjen kazalec. Toda to je zato, ker morate zagotoviti, da prst stoji naravnost, da ne niha ali trepeta.

Da bi dokazali, da je nastala točka središče mase, vanjo naredite luknjo z iglo. Skozi luknjo napeljite nit in na enem koncu zavežite vozel, da nit ne skoči ven. Držite drugi konec niti in nanj obesite svoje telo. Če center gravitacija Tako je, figura bo postavljena natančno, vzporedno s tlemi. Njene stranice ne bodo nihale.

Poiščite središče gravitacija figure geometrijsko. Če vam je dan trikotnik, sestavite . Ti segmenti povezujejo oglišča trikotnika s sredino nasprotne stranice. Točka bo postala center trikotne mase. Če želite najti sredino stranice, lahko lik celo prepognete na pol, vendar ne pozabite, da bo to porušilo enotnost figure.

Primerjaj dobljene rezultate geometrijsko in eksperimentalno. Poročaj o napredku poskusa. Majhne napake veljajo za normalne. Razlagajo jih nepopolnost figure, netočnost instrumentov, človeški faktor (manjše napake pri delu, nepopolnost človeškega očesa itd.).

Viri:

• Izračun koordinat težišča ploščate figure

V enakomernem gravitacijskem polju težišče sovpada s središčem mase. V geometriji sta pojma "težišče" in "središče mase" enakovredna, saj obstoj gravitacijskega polja ni upoštevan. Središče mase imenujemo tudi vztrajnostno središče in barycenter (iz grškega barusa - težek, kentron - središče). Označuje gibanje telesa ali sistema delcev. Tako se telo pri prostem padu vrti okoli svojega vztrajnostnega središča.

Navodila

Naj bo sistem sestavljen iz dveh enakih točk. Potem se očitno nahaja na sredini med njimi. Če imata točki s koordinatama x1 in x2 različni masi m1 in m2, potem je koordinata središča mase x(c)=(m1 x1+m2 x2)/(m1+m2). Glede na izbrano "ničlo" referenčnega sistema so lahko koordinate tudi negativne.

Točke na ravnini imajo dve koordinati: x in y. Ko je določeno v prostoru, se doda tretja koordinata z. Da ne bi opisovali vsake koordinate posebej, je priročno upoštevati vektor polmera točke: r=x jaz+y j+z· k, Kje jaz,j,k− enotski vektorji koordinatnih osi.

Naj zdaj sistem sestavljajo tri točke z masami m1, m2 in m3. Njihovi radijski vektorji oz. r1, r2 in r3. Nato radij vektor njihovega težišča r(c)=(m1· r1+m2· r2+m3· r3)/(m1+m2+m3).

Če je sistem sestavljen iz poljubnih točk, se vektor polmera po definiciji najde po formuli:
r(c)=∑m(i) r(i)/∑m(i). Seštevanje se izvede z indeksom i (zapisan pod znakom za vsoto ∑). Tukaj je m(i) nek i-ti sistem, r(i)− njegov polmerni vektor.

Če je telo po masi homogeno, gre vsota v integral. Miselno razbijte telo na neskončno majhne koščke mase dm. Ker je telo homogeno, lahko maso vsakega kosa zapišemo kot dm=ρ·dV, kjer je dV elementarna prostornina tega kosa, ρ je gostota (enaka po vsej prostornini homogenega telesa).

Integralni seštevek mase vseh kosov bo dal maso celotnega telesa: ∑m(i)=∫dm=M. Tako se izkaže r(c)=1/M·∫ρ·dV· dr. Gostoto, konstantno vrednost, lahko vzamemo izpod integralnega znaka: r(c)=ρ/M·∫dV· dr. Za neposredno integracijo boste morali nastaviti posebno funkcijo med dV in dr, kar je odvisno od parametrov figure.

Na primer, težišče segmenta (dolge homogene palice) je na sredini. Središče mase krogle in krogle se nahaja v središču. Baricenter stožca se nahaja na višini osnega segmenta, šteto od baze.

Središče lahko določimo tudi eksperimentalno. Iz lista debelega papirja ali kartona izrežite poljubno obliko (na primer isti trikotnik). Poskusite ga položiti na konico navpično iztegnjenega prsta. Mesto, na katerem je to mogoče storiti, bo središče vztrajnosti telesa.

Viri:

• "Mehanika", D.V. Sivuhin, 2006.
• Določanje koordinat težišča plovila

V običajnem smislu je težišče zaznano kot točka, na katero je mogoče uporabiti rezultanto vseh sil, ki delujejo na telo. Najenostavnejši primer je otroška gugalnica v obliki navadne deske. Brez kakršnih koli izračunov bo vsak otrok izbral oporo deske tako, da bo uravnotežil (in morda celo odtehtal) težkega človeka na gugalnici. Pri kompleksnih telesih in prerezih so nepogrešljivi natančni izračuni in ustrezne formule. Tudi če dobite okorne izraze, je glavna stvar, da se jih ne bojite, ampak da se spomnite, da sprva govorimo o skoraj osnovni nalogi.

Navodila

Razmislite o najpreprostejšem vzvodu (glej sliko 1) v ravnotežnem položaju. Postavite x₁₂ na vodoravno os z absciso in postavite materialne točke z maso m₁ in m₂ na robove. Upoštevajte njihove koordinate vzdolž osi 0x kot znane in enake x₁ in x₂. Ročica je v ravnotežnem položaju, če sta momenta sil teže Р₁=m₁g in P₂=m₂g enaka. Moment je enak zmnožku sile z njenim krakom, ki ga lahko najdemo kot dolžino navpičnice, spuščene iz točke delovanja sile na navpičnico x=x₁₂. Zato je v skladu s sliko 1 m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Potem je m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Rešite to enačbo in dobite x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂).

Če želite izvedeti ordinato y₁₂, uporabite enako sklepanje in izračune kot v koraku 1. Še vedno sledite ilustraciji, prikazani na sliki 1, kjer je m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂. Potem je m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Rezultat je y₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Nato upoštevajte, da namesto sistema dveh točk obstaja ena točka M₁₂(x12,у12) skupne mase (m₁+m₂).

Sistemu dveh točk dodajte še eno maso (m₃) s koordinatami (x₃, y₃). Pri izračunu še vedno predpostavljajte, da imate opravka z dvema točkama, pri čemer ima druga maso (m₁+m₂) in koordinate (x12,y12). Če ponovite vsa dejanja korakov 1 in 2 za ti dve točki, boste prišli do središča treh točk x₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m3), y₁₂₃=(m₁у₁+m₂у₂+m3y₃)/( m₁ +m₂ +m3). Nato dodajte četrto, peto in tako naprej. Po večkratni ponovitvi istega postopka se prepričajte, da so za sistem n točk koordinate težišča izračunane po formuli (glej sliko 2). Upoštevajte dejstvo, da se je med delom gravitacijski pospešek g zmanjšal. Zato koordinate težišča in težišča sovpadajo.

Predstavljajte si, da je v obravnavanem odseku določeno območje D, katerega površinska gostota je ρ=1. Od zgoraj in spodaj je slika omejena z grafoma krivulj y=φ(x) in y=ψ(x), x є [a,b]. Območje D razdelite z navpičnicami x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) na tanke trakove, tako da jih lahko približno obravnavate kot pravokotnike z osnovami ∆хi (glej sliko .3). V tem primeru menimo, da sredina segmenta ∆хi sovpada z absciso središča mase ξi=(1/2). Za višino pravokotnika velja, da je približno enaka [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Potem je ordinata središča mase elementarne površine ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].

Zaradi enakomerne porazdelitve gostote predpostavimo, da bo središče mase traku sovpadalo z njegovim geometrijskim središčem. Ustrezna elementarna masa ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi je skoncentrirana v točki (ξi,ηi). Prišel je trenutek za obratni prehod od mase, predstavljene v diskretni obliki, k kontinuirani. V skladu s formulami za izračun koordinat (glej sliko 2) težišča se oblikujejo integralne vsote, ki jih prikazuje slika 4a. Pri prehodu do meje pri ∆xi→0 (ξi→xi) od vsot do določenih integralov dobimo končni odgovor (slika 4b). V odgovoru ni mase. Enakost S=M je treba razumeti samo kot kvantitativno. Dimenzije se tukaj med seboj razlikujejo.

Določanje težišča poljubnega telesa z zaporednim seštevanjem sil, ki delujejo na njegove posamezne dele, je težka naloga; postane lažja le pri telesih razmeroma preproste oblike.

Naj bo telo sestavljeno le iz dveh mas in povezanih s palico (slika 125). Če je masa palice majhna v primerjavi z masama in , jo lahko zanemarimo. Na vsako od mas delujejo gravitacijske sile, ki so enake oz. oba sta usmerjena navpično navzdol, torej vzporedno drug z drugim. Kot vemo, deluje rezultanta dveh vzporednih sil v točki, ki jo določimo iz pogoja

riž. 125. Določitev težišča telesa, sestavljenega iz dveh bremen

Posledično težišče deli razdaljo med dvema bremenoma v razmerju, obratnem razmerju med njunima masama. Če to telo obesimo na točko , bo ostalo v ravnovesju.

Ker imata dve enaki masi skupno težišče v točki, ki razpolavlja razdaljo med tema masama, je takoj jasno, da na primer leži težišče homogene palice na sredini palice (slika 126).

Ker vsak premer homogenega okroglega diska razdeli na dva popolnoma enaka simetrična dela (slika 127), mora težišče ležati na vsakem premeru diska, to je na presečišču premerov - v geometrijskem središču diska. disk. Če sklepamo na podoben način, lahko ugotovimo, da leži težišče homogene žoge v njenem geometrijskem središču, težišče enakomernega pravokotnega paralelepipeda leži v presečišču njegovih diagonal itd. Težišče obroča ali prstan leži v njenem središču. Zadnji primer kaže, da je lahko težišče telesa zunaj telesa.

riž. 126. Težišče homogene palice leži na njeni sredini

riž. 127. Središče homogenega diska leži v njegovem geometrijskem središču

Če ima telo nepravilno obliko ali če je heterogeno (na primer ima praznine), je izračun položaja težišča pogosto težaven in je bolj priročno najti ta položaj s poskusom. Recimo, da želite najti težišče kosa vezanega lesa. Obesimo ga na nit (slika 128). Očitno mora težišče telesa v ravnotežnem položaju ležati na podaljšku niti, sicer bo sila težnosti imela moment glede na točko vzmetenja, ki bi začelo telo vrteti. Če torej na naš kos vezanega lesa narišemo ravno črto, ki predstavlja nadaljevanje niti, lahko rečemo, da leži težišče na tej ravni črti.

Z obešanjem telesa na različnih točkah in risanjem navpičnih črt bomo namreč poskrbeli, da se vse sekajo v eni točki. Ta točka je težišče telesa (saj mora ležati hkrati na vseh teh črtah). Na podoben način lahko določite položaj težišča ne le ravne figure, ampak tudi bolj zapletenega telesa. Položaj težišča letala se določi tako, da se njegova kolesa zakotalijo na ploščad za tehtanje. Rezultanta sil teže, ki delujejo na vsako kolo, bo usmerjena navpično, premica, vzdolž katere deluje, pa je mogoče najti z uporabo zakona seštevanja vzporednih sil.

riž. 128. Točka presečišča navpičnih črt, narisanih skozi obešalne točke, je težišče telesa

Ko se spremeni masa posameznih delov telesa ali ko se spremeni oblika telesa, se spremeni položaj težišča. Tako se težišče letala premakne, ko se gorivo porabi iz rezervoarjev, pri nalaganju prtljage itd. Za vizualni poskus, ki ponazarja gibanje težišča ob spremembi oblike telesa, je priročno vzeti dva enake palice, povezane s tečajem (slika 129). V primeru, ko palice tvorijo nadaljevanje druga druge, leži težišče na osi palic. Če so palice upognjene na tečaju, potem je težišče zunaj palic, na simetrali kota, ki ga tvorijo. Če dodatno obremenite eno od palic, se bo težišče premaknilo proti tej obremenitvi.

riž. 129. a) Težišče palic, povezanih s tečajem, ki se nahaja na eni ravni črti, leži na osi palic, b) Težišče upognjenega sistema palic leži zunaj palic

81.1. Kje je težišče dveh enakih tankih palic dolžine 12 cm, ki sta pritrjeni v obliki črke T?

81.2. Dokaži, da leži težišče homogene trikotne plošče v presečišču središč.

riž. 130. Za vajo 81.3

81.3. Homogena plošča z maso 60 kg leži na dveh nosilcih, kot je prikazano na sl. 130. Določite sile, ki delujejo na nosilce.

Opomba. Težišče simetričnega lika je na simetrični osi.

Težišče palice je na sredini višine. Za reševanje težav se uporabljajo naslednje metode:

1. simetrijska metoda: težišče simetričnih likov je na simetrični osi;

2. metoda ločevanja: kompleksni odseki so razdeljeni na več enostavnih delov, katerih lego težišč je enostavno določiti;

3. metoda negativnega območja: votline (luknje) se obravnavajo kot del odseka z negativnim območjem.

Primeri reševanja problemov

Primer 1. Določite položaj težišča slike, prikazane na sl. 8.4.

rešitev

Figuro razdelimo na tri dele:

Podobno opredeljeno pri C = 4,5 cm.

Primer 2. Poiščite položaj težišča simetričnega paličnega nosilca ADBE(Sl. 116), katerega dimenzije so naslednje: AB = 6m, DE = 3 m in EF = 1m.

rešitev

Ker je nosilec simetričen, leži njegovo težišče na simetrični osi D.F. Z izbranim (sl. 116) sistemom koordinatnih osi je abscisa težišča nosilca

Posledično je neznana samo ordinata pri C težišče kmetije. Da bi ga določili, razdelimo nosilec na ločene dele (palice). Njihove dolžine so določene iz ustreznih trikotnikov.

Od ΔAEF imamo

Od ΔADF imamo

Težišče vsake palice leži na njeni sredini; koordinate teh centrov zlahka določimo iz risbe (slika 116).

Ugotovljene dolžine in ordinate težišč posameznih delov nosilca vnesemo v tabelo in po formuli

določi ordinato y s težišče danega ravnega nosilca.

Zato težišče Z celoten nosilec leži na osi DF simetrija nosilca na razdalji 1,59 m od točke F.

Primer 3. Določite koordinate težišča sestavljenega odseka. Odsek je sestavljen iz pločevine in valjanih profilov (slika 8.5).

Opomba. Pogosto so okvirji varjeni iz različnih profilov, da ustvarijo zahtevano strukturo. Tako se zmanjša poraba kovine in oblikuje se struktura visoke trdnosti.

Za standardne valjane profile so znane lastne geometrijske značilnosti. Podani so v ustreznih standardih.

rešitev

1. Številke označimo s številkami in iz tabel izpišemo potrebne podatke:

1 - kanal št. 10 (GOST 8240-89); višina h = 100 mm; širina police b= 46 mm; površina prečnega prereza A 1= 10,9 cm 2;

2 - I-žarek št. 16 (GOST 8239-89); višina 160 mm; širina police 81 mm; površina prečnega prereza A 2 - 20,2 cm 2;

3 - list 5x100; debelina 5 mm; širina 100 mm; površina preseka A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.

2. Koordinate težišč posamezne figure lahko določimo iz risbe.

Sestavljeni prerez je simetričen, zato je težišče na simetrični osi in koordinatni X C = 0.

3. Določitev težišča kompozitnega odseka:

Primer 4. Določite koordinate težišča odseka, prikazanega na sl. 8, A. Odsek je sestavljen iz dveh kotov 56x4 in kanala št. 18. Preverite pravilnost določanja položaja težišča. Označite njegov položaj na odseku.

rešitev

1. : dva vogala 56 x 4 in kanal št. 18. Označimo jih z 1, 2, 3 (glej sliko 8, A).

2. Označimo težišča vsak profil, z uporabo tabele 1 in 4 adj. I, in jih označimo C 1, C 2, C 3.

3. Izberite sistem koordinatnih osi. os pri združljiv s simetrijsko osjo in os X narišite skozi težišča vogalov.

4. Določite koordinate težišča celotnega odseka. Ker je os pri sovpada s simetrijsko osjo, potem gre skozi težišče odseka, torej x s= 0. Koordinata y s bomo določili s formulo

S pomočjo tabel v prilogi določimo površine posameznega profila in koordinate težišč:

Koordinate ob 1 in ob 2 so enake nič, saj je os X poteka skozi težišča vogalov. Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo za določitev y s:

5. Označimo težišče odseka na sl. 8, a in jo označimo s črko C. Pokažimo razdaljo y C = 2,43 cm od osi X do točke C.

Ker so vogali simetrično nameščeni in imajo enako površino in koordinate, potem A 1 = A 2, y 1 = y 2. Zato formula za določanje pri C lahko poenostavimo:

6. Preverimo. V ta namen os X Narišimo vzdolž spodnjega roba kotne police (slika 8, b). os pri Pustimo kot v prvi rešitvi. Formule za določanje x C in pri C ne spremeni:

Površine profilov bodo ostale enake, spremenile pa se bodo koordinate težišč kotov in kanalov. Zapišimo jih:

Poiščite koordinato težišča:

Glede na najdene koordinate x s in y s nariši točko C na risbi, ki jo najdemo na dva načina, v isti točki. Preverimo. Razlika med koordinatami y s, najdeno v prvi in ​​drugi rešitvi je: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.

To je enako razdalji med osjo x v prvi in ​​drugi rešitvi: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Odgovor: s= 2,43 cm, če gre os x skozi težišča vogalov oz. y c = 6,51 cm, če os x poteka vzdolž spodnjega roba vogalne prirobnice.

Primer 5. Določite koordinate težišča odseka, prikazanega na sl. 9, A. Odsek je sestavljen iz I-nosilca št. 24 in kanala št. 24a. Pokaži položaj težišča na odseku.

rešitev

1.Razdelimo odsek na valjane profile: I-žarek in kanal. Označimo jih s številkama 1 in 2.

3. Označimo težišča vsakega profila C 1 in C 2 z uporabo tabel aplikacij.

4. Izberite sistem koordinatnih osi. Os x je združljiva s simetrično osjo, os y pa je narisana skozi težišče I-žarka.

5. Določite koordinate težišča odseka. Koordinata y c = 0, saj je os X sovpada s simetrično osjo. Koordinato x določimo s formulo

Glede na tabelo 3 in 4 adj. I in diagram prečnega prereza določimo

Zamenjajmo številske vrednosti v formulo in dobimo

5. Narišemo točko C (težišče odseka) z uporabo najdenih vrednosti x c in y c (glej sliko 9, a).

Rešitev je treba preveriti neodvisno z osmi, nameščenimi, kot je prikazano na sl. 9, b. Kot rezultat rešitve dobimo x c = 11,86 cm, razlika med vrednostmi x c za prvo in drugo rešitev je 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, kar je enako razdalji med y osema za isto raztopine b dv /2 = 5,75 cm.

Odgovor: x c = 6,11 cm, če y-os poteka skozi težišče I-nosilca; x c = 11,86 cm, če y-os poteka skozi leve skrajne točke I-nosilca.

Primer 6.Železniški žerjav stoji na tirnicah, katerih razdalja je AB = 1,5 m (slika 1.102). Gravitacijska sila vozička žerjava je G r = 30 kN, težišče vozička je v točki C, ki leži na premici KL presečišča ravnine simetrije vozička z ravnino risbe. Na točki deluje gravitacijska sila vitla žerjava Q l = 10 kN D. Sila težnosti protiuteži G„=20 kN deluje v točki E. Sila težnosti ogrodja G c = 5 kN deluje v točki H. Doseg žerjava glede na črto KL je 2 m koeficient stabilnosti žerjava v neobremenjenem stanju in kakšno obremenitev F se lahko dvigne s tem žerjavom, pod pogojem, da mora biti koeficient stabilnosti vsaj dva.

rešitev

1. Ko je raztovorjeno, obstaja nevarnost, da se žerjav prevrne, ko se obrača okoli tirnice A. Zato glede na točko A trenutek stabilnosti

2. Moment prevračanja glede na točko A nastane zaradi gravitacijske sile protiuteži, tj.

3. Od tod koeficient stabilnosti žerjava v neobremenjenem stanju

4. Pri nalaganju roke žerjava s tovorom F obstaja nevarnost prevrnitve žerjava pri obračanju blizu tirnice B. Zato glede na točko IN trenutek stabilnosti

5. Moment prevračanja glede na tirnico IN

6. Glede na pogoje problema je dovoljeno delovanje žerjava s koeficientom stabilnosti k B ≥ 2, tj.

Testna vprašanja in naloge

1. Zakaj lahko sile privlačnosti Zemlje, ki delujejo na točke telesa, jemljemo kot sistem vzporednih sil?

2. Zapišite formule za določitev lege težišča nehomogenih in homogenih teles, formule za določitev lege težišča ravnih prerezov.

3. Ponovi formule za določanje lege težišča enostavnih geometrijskih likov: pravokotnika, trikotnika, trapeza in polkroga.

4.
Kaj je statični moment površine?

5. Izračunajte statični moment te figure glede na os Ox. h= 30 cm; b= 120 cm; z= 10 cm (slika 8.6).

6. Določite koordinate težišča zasenčene figure (slika 8.7). Mere so podane v mm.

7. Določite koordinato pri slika 1 sestavljenega odseka (slika 8.8).

Pri odločanju uporabite referenčne podatke iz tabel GOST "Vroče valjano jeklo" (glej Dodatek 1).

Pravokotnik. Ker ima pravokotnik dve simetrijski osi, je njegovo težišče v presečišču simetrijskih osi, tj. na presečišču diagonal pravokotnika.

Trikotnik. Težišče leži na presečišču njegovih median. Iz geometrije je znano, da se mediani trikotnika sekata v eni točki in sta od osnove deljeni v razmerju 1:2.

Krog. Ker ima krog dve simetrični osi, je njegovo težišče v presečišču simetrijskih osi.

Polkrog. Polkrog ima eno simetrijsko os, potem težišče leži na tej osi. Druga koordinata težišča se izračuna po formuli: .

Številni strukturni elementi so izdelani iz standardnih valjanih izdelkov - kotov, I-nosilcev, kanalov in drugih. Vse dimenzije, kot tudi geometrijske značilnosti valjanih profilov, so tabelarični podatki, ki jih je mogoče najti v referenčni literaturi v tabelah običajnega asortimana (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Primer 1. Določite položaj težišča figure, prikazane na sliki.

rešitev:

Koordinatne osi izberemo tako, da poteka os Ox vzdolž skrajne spodnje celotne dimenzije, os Oy pa vzdolž skrajne leve celotne dimenzije.

Kompleksno figuro razdelimo na minimalno število preprostih figur:

pravokotnik 20x10;

trikotnik 15x10;

krog R=3 cm.

Izračunamo površino vsake preproste figure in njene koordinate težišča. Rezultate izračuna vnesemo v tabelo

odgovor: C(14,5; 4,5)

Primer 2 . Določite koordinate težišča kompozitnega odseka, sestavljenega iz pločevine in valjanih profilov.

rešitev.

Izberemo koordinatne osi, kot je prikazano na sliki.

Številke označimo s številkami in iz tabele izpišemo potrebne podatke:

Izračunamo koordinate težišča figure po formulah:

odgovor: C(0; 10)

Laboratorijsko delo št. 1 "Določanje težišča sestavljenih ravnih figur"

Cilj: Z eksperimentalnimi in analitičnimi metodami določite težišče dane ploščate kompleksne figure in primerjajte njihove rezultate.

Delovni nalog

V zvezke narišite svojo ploščato figuro v velikosti, pri čemer označite koordinatne osi.

Analitično določite težišče.

1. Lik razdelimo na najmanjše število likov, ki jim znamo določiti težišča.

   Označite številke ploščin in koordinate težišča posamezne figure.

   Izračunajte koordinate težišča vsake figure.

   Izračunajte površino vsake figure.

   Izračunajte koordinate težišča celotne figure po formulah (položaj težišča je narisan na risbi figure):

Naprava za eksperimentalno določanje koordinat težišča z metodo obešanja je sestavljena iz navpičnega stojala 1 (glej sliko), na katerega je pritrjena igla 2 . Ravna figura 3 Iz kartona, v katerega je enostavno luknjati. Luknje A in IN preluknjani na naključno nameščenih točkah (po možnosti na najbolj oddaljeni med seboj). Ploščata figura je obešena na iglo, najprej na konici A , nato pa na točki IN . Uporaba navpične vrvice 4 , pritrjen na isto iglo, s svinčnikom na sliki narišite navpično črto, ki ustreza navoju navpične črte. Težišče Z figura se bo nahajala na presečišču navpičnih črt, narisanih pri obešanju figure na točke A in IN .