Monom in njegova standardna oblika. II

V matematiki obstaja veliko različnih matematičnih izrazov in nekateri od njih imajo svoja imena. Seznanili se bomo z enim od teh konceptov - to je monom.

Monom je matematični izraz, ki je sestavljen iz produkta števil, spremenljivk, od katerih je vsaka lahko do neke mere vključena v izdelek. Da bi bolje razumeli nov koncept, se morate seznaniti z več primeri.

Primeri monomov

Izrazi 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 so monomi. Kot lahko vidite, je samo eno število ali spremenljivka (s potenco ali brez) tudi monom. Toda na primer izrazi 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 so že niso monomi, saj ne ustrezajo definicijam. Prvi izraz uporablja »vsoto«, kar je nesprejemljivo, drugi uporablja »deljenje«, tretji pa razliko.

Razmislimo še nekaj primerov.

Na primer, izraz 2*a^3*b/3 je prav tako monom, čeprav je vključeno deljenje. Toda v tem primeru pride do delitve s številom, zato lahko ustrezen izraz prepišemo na naslednji način: 2/3*a^3*b. Še en primer: Kateri od izrazov 2/x in x/2 je monom in kateri ne? Pravilen odgovor je, da prvi izraz ni monom, drugi pa je monom.

Standardna oblika monoma

Oglejte si naslednja dva monomska izraza: ¾*a^2*b^3 in 3*a*1/4*b^3*a. Pravzaprav sta to dva enaka monoma. Ali ni res, da se prvi izraz zdi primernejši od drugega?

Razlog za to je, da je prvi izraz zapisan v standardni obliki. Standardna oblika polinoma je produkt, sestavljen iz numeričnega faktorja in potenc različnih spremenljivk. Numerični faktor se imenuje koeficient monoma.

Da bi monom dobil standardno obliko, je dovolj, da pomnožimo vse numerične faktorje, ki so prisotni v monomu, in dobljeno število postavimo na prvo mesto. Nato pomnožite vse potence, ki imajo enako črkovno osnovo.

Redukcija monoma na njegovo standardno obliko

Če v našem primeru v drugem izrazu pomnožimo vse številske faktorje 3*1/4 in nato pomnožimo a*a, dobimo prvi monom. To dejanje se imenuje redukcija monoma na njegovo standardno obliko.

Če se dva monoma razlikujeta le po numeričnem koeficientu ali sta med seboj enaka, se takšna monoma v matematiki imenujeta podobna.

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Vrsta lekcije: integrirano (z IKT), pouk uvajanja novih znanj.

Cilji in cilji (algebra): uvesti pojem monoma; stopnja monoma; standardni pogled monom. Učence nauči reducirati monome na standardno obliko. Nadaljujte z razvojem spretnosti pri izvajanju dejanj z diplomami. Izboljšati računalniške sposobnosti učencev. Razviti pozornost in natančnost.

Cilji in cilji (IKT): naučiti uporabljati v praktične dejavnosti vgrajen urejevalnik formul v MS Office Word; razviti spretnost samostojno delo.

Materiali, uporabljeni v lekciji: predstavitev, računalniški razred z nameščenim MS Office (Word), referenčni povzetek praktično delo, naloge za samostojno delo, multimedijska instalacija.

Napredek lekcije

I. Organizacijski trenutek.

Pozdrav študentom.

II. Ustne vaje.

(diapozitiv na zaslonu 2).

• Prisoten kot potenca: y 3 *y 2 ; (y 3) 5; y 7 *y 3; (y 7) 4; a 10 /a 8 .
• Kakšno število (pozitivno ali negativno) je vrednost izraza: (-8) 10 ; (-5) 27; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
• Izračunaj: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8/3 7 .

III. Učenje nove snovi.

Poročanje o temi lekcije ter ciljih in ciljih lekcije (diapozitiv 3, 4).

6*x 2 *y; 2*x 3; mn 7 ; ab; -8 (diapozitiv 5)

• Preberite izraze, zapisane na tabli.
• Kaj ti izrazi predstavljajo?

Izrazi te vrste se imenujejo monomi.

DEFINICIJA: monom je zmnožek števil in spremenljivk, potenc spremenljivk ali števila, spremenljivke, potenc spremenljivke.

Pozorno poglejte zaslon (diapozitiv 7). Kateri od naslednjih izrazov so monomi? Zakaj?

IV. Utrjevanje nove snovi.

št. 463 – samostojno. Čelni pregled. (Slide 8).

V. Učenje nove snovi.

Naj imam monome

2x 2 y*9y 2 in 8x*9xy (slide 9)

Uporabimo komutativni in asociativni zakon množenja. Dobimo:

2*9*x 2 *y*y 2 =18x 2 y 3 in 8*9*x*x*y=72x 2 y.

• Kaj smo dobili?
• Kaj predstavlja?

Monom smo predstavili kot zmnožek predvsem numeričnega faktorja in potenc različnih spremenljivk. Ta vrsta monoma se imenuje standardna oblika.

• Kateri monom imenujemo monom standardne oblike?

DEFINICIJA: monom imenujemo monom standardne oblike, če ima na prvem mestu 1 numerični faktor (koeficient), zmnožek enakih spremenljivk v njem pa zapišemo kot potenco.

Preberi tiste monome, ki so zapisani v standardni obliki. Poimenujte njihove koeficiente.

VI. Utrjevanje nove snovi.

št. 464 - ustno, št. 465 - pod vodstvom učitelja.

VII. Naloga, ki se izvaja na računalniku (praktično delo).

Program MS Word. Vgrajen urejevalnik formul. Uporaba vgrajenega urejevalnika formul za pisanje monomov. Datoteka "Standardni pogled monoma" na namizju. Izpolnite pripravljeno tabelo z vgrajenim urejevalnikom formul.

Izpolni tabelo. (Slide 15)

Preverite - na ekranu (slide 16) in shranjene dijaške datoteke.

VIII. Učenje nove snovi.

• Kaj piše na tabli?
• Kaj je eksponent spremenljivke X?
• Kaj je eksponent spremenljivke Y?
• Poiščite vsoto eksponentov. Ta številka se imenuje stopnja monom.

Na strani 84 učbenika poišči definicijo stopnje monoma. preberi.

IX. Utrjevanje nove snovi.

št. 473 – ustno;

Št. 467 (a; d) - komentirano na tabli.

X. Samostojno delo.

Na zaslonu glede na možnosti (slide 19). (Vsak učenec ima na mizi list papirja z nalogo za dokončanje dela – Dodatek 2)

Preverjanje – samotestiranje s snemanjem (prosojnica 20 na ekranu).

XI. Če povzamem.

• Kaj je monom?
• Kakšen monom se imenuje? standardni monom?
• Kakšna je stopnja monoma?

XII. domača naloga.

Str.19, št. 466, 468, 476, 470.

Hvala za lekcijo! (diapozitiv 23)

Seznam uporabljene literature:

1. Algebra. 7. razred : učbenik za izobraževalne ustanove/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neškov, S.B. Suvorov]; uredil S.A. Teljakovski. - M.: Izobraževanje, 2007.

Koncept monoma

Definicija monoma: monom je algebrski izraz, ki uporablja samo množenje.

Standardna oblika monoma

Kakšna je standardna oblika monoma? Monom je zapisan v standardni obliki, če ima na prvem mestu numerični faktor in se ta faktor imenuje koeficient monoma, v monomu je le ena, črke monoma se nahajajo v abecednem redu in vsaka črka se pojavi samo enkrat.

Primer monoma v standardni obliki:

tu je na prvem mestu število, koeficient monoma, in to število je v našem monomu samo eno, vsaka črka se pojavi samo enkrat in črke so razvrščene po abecedi, v tem primeru je to latinica.

Še en primer monoma v standardni obliki:

vsaka črka se pojavi samo enkrat, urejene so po latiničnem abecednem vrstnem redu, kje pa je koeficient monoma, tj. numerični dejavnik, ki bi moral biti prvi? Tukaj je enako ena: 1 adm.

Ali je lahko koeficient monoma negativen? Da, morda, primer: -5a.

Ali je lahko koeficient monoma ulomek? Da, morda, primer: 5.2a.

Če je monom sestavljen samo iz števila, tj. nima črk, kako ga lahko spravim v standardno obliko? Vsak monom, ki je število, je že v standardni obliki, na primer: število 5 je monom v standardni obliki.

Redukcija monomov na standardno obliko

Kako spraviti monom v standardno obliko? Poglejmo si primere.

Naj bo dan monom 2a4b; Pomnožimo njegova dva številska faktorja in dobimo 8ab. Zdaj je monom zapisan v standardni obliki, tj. ima samo en numerični faktor, zapisan na prvem mestu, vsaka črka v monomu se pojavi samo enkrat in te črke so razvrščene po abecednem vrstnem redu. Torej 2a4b = 8ab.

Podano: monom 2a4a, pripeljite monom v standardno obliko. Pomnožimo števili 2 in 4, pri čemer produkt aa nadomestimo z drugo potenco 2. Dobimo: 8a 2 . To je standardna oblika tega monoma. Torej 2a4a = 8a 2 .

Podobni monomi

Kaj so podobni monomi? Če se monomi razlikujejo samo v koeficientih ali so enaki, se imenujejo podobni.

Primer podobnih monomov: 5a in 2a. Ti monomi se razlikujejo samo v koeficientih, kar pomeni, da so si podobni.

Ali sta si monoma 5abc in 10cba podobna? Pripravimo drugi monom v standardno obliko in dobimo 10abc. Sedaj vidimo, da se monoma 5abc in 10abc razlikujeta le v koeficientih, kar pomeni, da sta si podobna.

Seštevanje monomov

Kakšna je vsota monomov? Podobne monome lahko samo seštejemo. Oglejmo si primer seštevanja monomov. Kolikšna je vsota monomov 5a in 2a? Vsota teh monomov bo njim podoben monom, katerega koeficient enaka vsoti koeficienti izrazov. Torej je vsota monomov 5a + 2a = 7a.

Več primerov seštevanja monomov:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Spet. Seštevate lahko samo podobne monome; seštevanje se zmanjša na seštevanje njihovih koeficientov.

Odštevanje monomov

Kakšna je razlika med monomi? Odštejemo lahko samo podobne monome. Oglejmo si primer odštevanja monomov. Kakšna je razlika med monoma 5a in 2a? Razlika teh monomov bo njim podoben monom, katerega koeficient enako razliki koeficienti teh monomov. Torej je razlika monomov 5a - 2a = 3a.

Več primerov odštevanja monomov:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Množenje monomov

Kaj je produkt monomov? Poglejmo primer:

tiste. produkt monomov je enak monomu, katerega faktorji so sestavljeni iz faktorjev prvotnih monomov.

Še en primer:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Kako je prišlo do tega rezultata? Vsak faktor vsebuje "a" na potenco: v prvem - "a" na potenco 2, v drugem pa "a" na potenco 5. To pomeni, da bo produkt vseboval "a" na potenco od 7, ker se pri množenju enakih črk eksponenti njihovih potenc zložijo navzgor:

A 2 * a 5 = a 7 .

Enako velja za faktor "b".

Koeficient prvega faktorja je dva, drugega pa ena, tako da je rezultat 2 * 1 = 2.

Takole je bil izračunan rezultat: 2a 7 b 12.

Iz teh primerov je jasno, da se koeficienti monomov pomnožijo in enake črke nadomestijo vsote njihovih potenc v produktu.

V tej lekciji bomo podali strogo definicijo monoma, razmislite različni primeri iz učbenika. Spomnimo se pravil za množenje potenc z enakimi osnovami. Določimo standardno obliko monoma, koeficient monoma in njegov črkovni del. Oglejmo si dve glavni tipični operaciji na monomih, in sicer redukcijo na standardno obliko in izračun določene numerične vrednosti monoma pri dane vrednosti dobesedne spremenljivke, ki so vanj vključene. Oblikujmo pravilo za redukcijo monoma na standardno obliko. Naučimo se reševati tipične naloge s poljubnimi monomi.

Zadeva:Monomi. Aritmetične operacije nad monomi

Lekcija:Koncept monoma. Standardna oblika monoma

Razmislite o nekaj primerih:

3. ;

Bomo našli skupne značilnosti za podane izraze. V vseh treh primerih je izraz produkt števil in spremenljivk, dvignjenih na potenco. Na podlagi tega dajemo monomska definicija : Monom je algebraični izraz, ki je sestavljen iz produkta potenc in števil.

Zdaj podajamo primere izrazov, ki niso monomi:

Poiščimo razliko med temi izrazi in prejšnjimi. Sestoji iz dejstva, da so v primerih 4-7 operacije seštevanja, odštevanja ali deljenja, medtem ko v primerih 1-3, ki so monomi, teh operacij ni.

Tu je še nekaj primerov:

Izraz številka 8 je monom, ker je zmnožek stopnje in števila, medtem ko primer 9 ni monom.

Zdaj pa ugotovimo dejanja na monome .

1. Poenostavitev. Poglejmo primer št. 3 ;in primer št. 2 /

V drugem primeru vidimo samo en koeficient - , vsaka spremenljivka se pojavi samo enkrat, to je spremenljivka " A" je v eni kopiji predstavljen kot "", podobno se spremenljivki "" in "" pojavita samo enkrat.

V primeru št. 3, nasprotno, obstajata dva različna koeficienta - in , spremenljivko "" vidimo dvakrat - kot "" in kot "", podobno se spremenljivka "" pojavi dvakrat. To pomeni, da je treba ta izraz poenostaviti, tako pridemo do prvo dejanje, izvedeno na monomih, je reduciranje monoma na standardno obliko . Da bi to naredili, bomo reducirali izraz iz primera 3 na standardno obliko, nato bomo definirali to operacijo in se naučili reducirati poljuben monom na standardno obliko.

Torej, razmislite o primeru:

Prvo dejanje v operaciji redukcije na standardno obliko je vedno množenje vseh številskih faktorjev:

;

Rezultat tega dejanja bo poklican koeficient monoma .

Nato morate pomnožiti moči. Pomnožimo potence spremenljivke " X»po pravilu za množenje potence z enakimi osnovami, ki pravi, da se pri množenju eksponenti seštejejo:

Zdaj pa pomnožimo moči " pri»:

;

Torej, tukaj je poenostavljen izraz:

;

Vsak monom je mogoče reducirati na standardno obliko. Oblikujmo pravilo standardizacije :

Pomnožite vse številske faktorje;

Dobljeni koeficient postavite na prvo mesto;

Pomnožite vse stopinje, to je, da dobite del črke;

To pomeni, da je vsak monom označen s koeficientom in črkovnim delom. Če pogledamo naprej, opazimo, da se monomi, ki imajo enak črkovni del, imenujejo podobni.

Zdaj moramo telovaditi tehnika redukcije monomov na standardno obliko . Razmislite o primerih iz učbenika:

Naloga: prinesite monom v standardno obliko, poimenujte koeficient in črkovni del.

Za dokončanje naloge bomo uporabili pravilo redukcije monoma na standardno obliko in lastnosti potenc.

1. ;

3. ;

Komentarji na prvi primer: Najprej ugotovimo, ali je ta izraz res monom, preverimo, ali vsebuje operacije množenja števil in potence ter ali vsebuje operacije seštevanja, odštevanja ali deljenja. Lahko rečemo, da je ta izraz monom, ker je zgornji pogoj izpolnjen. Nato v skladu s pravilom redukcije monoma na standardno obliko pomnožimo numerične faktorje:

- ugotovili smo koeficient danega monoma;

; ; ; to pomeni, da dobimo dobesedni del izraza:;

Zapišimo odgovor: ;

Komentarji k drugemu primeru: Po pravilu, ki ga izvajamo:

1) pomnožite številčne faktorje:

2) pomnožite moči:

Spremenljivke so predstavljene v enem izvodu, to pomeni, da jih ni mogoče pomnožiti z ničemer, se prepišejo brez sprememb, stopnja se pomnoži:

Zapišimo odgovor:

;

IN v tem primeru koeficient monoma je enak ena, črkovni del pa .

Komentarji k tretjemu primeru: a Podobno kot v prejšnjih primerih izvajamo naslednja dejanja:

1) pomnožite številčne faktorje:

;

2) pomnožite moči:

;

Zapišimo odgovor: ;

V tem primeru je koeficient monoma "", del črke pa .

Zdaj pa razmislimo druga standardna operacija na monomih . Ker je monom algebraični izraz, sestavljen iz dobesednih spremenljivk, ki lahko prevzamejo specifično številčne vrednosti, potem imamo aritmetiko številski izraz, ki jih je treba izračunati. To pomeni, da je naslednja operacija na polinomih izračun njihove specifične numerične vrednosti .

Poglejmo si primer. Podan monom:

ta monom je že reduciran na standardno obliko, njegov koeficient je enak ena in črkovni del

Prej smo rekli, da algebraičnega izraza ni mogoče vedno izračunati, to pomeni, da spremenljivke, ki so vanj vključene, ne morejo prevzeti nobene vrednosti. V primeru monoma so lahko spremenljivke, ki so vključene v monom;

Torej, v podan primer potrebno je izračunati vrednost monoma pri , , , .

Monomi so produkti števil, spremenljivk in njihovih potenc. Števila, spremenljivke in njihove moči se prav tako štejejo za monome. Na primer: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Monom 5aa2b2b se lahko reducira na obliko 20a^2b^2. To pomeni, da je standardna oblika monoma zmnožek koeficienta (ki je prvi) in potenc. spremenljivke. Koeficienta 1 in -1 ne zapišemo, od -1 pa ohranimo minus. Monom in njegova standardna oblika

Izrazi 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x so produkti števil, spremenljivk in njihovih potenc. Takšni izrazi se imenujejo monomi. Števila, spremenljivke in njihove moči se prav tako štejejo za monome.

Na primer, izrazi 8, 35,y in y2 so monomi.

Standardna oblika monoma je monom v obliki zmnožka numeričnega faktorja na prvem mestu in potenc različnih spremenljivk. Vsak monom je mogoče zmanjšati na standardno obliko z množenjem vseh spremenljivk in števil, ki so v njem. Tukaj je primer redukcije monoma na standardno obliko:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Numerični faktor monoma, zapisan v standardni obliki, se imenuje koeficient monoma. Na primer, koeficient monoma -7x2y2 je enak -7. Koeficienti monomov x3 in -xy veljajo za enake 1 in -1, ker je x3 = 1x3 in -xy = -1xy

Stopnja monoma je vsota eksponentov vseh spremenljivk, ki so vanj vključene. Če monom ne vsebuje spremenljivk, to je število, se šteje, da je njegova stopnja enaka nič.

Na primer, stopnja monoma 8x3yz2 je 6, stopnja monoma 6x je 1 in stopnja -10 je 0.

Množenje monomov. Dvigovanje monomov na potence

Pri množenju monomov in dvigovanju monomov na potence se uporablja pravilo množenja potenc z enaka osnova in pravilo za povišanje diplome v diplomo. To ustvari monom, ki je običajno predstavljen v standardni obliki.

Na primer

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6