Splošni pogled na matriko. Dejanja na matricah

>> Matrice

4.1.Matrike. Operacije na matricah

Pravokotna matrika velikosti mxn je zbirka mxn števil, urejenih v obliki pravokotne tabele, ki vsebuje m vrstic in n stolpcev. Zapisali ga bomo v obrazec

ali skrajšano kot A = (a i j) (i = ; j = ), števila a i j imenujemo njegovi elementi; Prvi indeks označuje številko vrstice, drugi - številko stolpca. A = (a i j) in B = (b i j) enake velikosti se imenujeta enaka, če sta njuna elementa, ki stojita na istih mestih, po paru enaka, to je A = B, če je a i j = b i j.

Matrika, ki je sestavljena iz ene vrstice ali enega stolpca, se imenuje vektor vrstice oziroma vektor stolpca. Vektorje stolpcev in vektorje vrstic preprosto imenujemo vektorji.

S tem številom se identificira matrika, sestavljena iz enega števila. A velikosti mxn, katerega vsi elementi so enaki nič, imenujemo nič in jih označimo z 0. Elemente z enakimi indeksi imenujemo elementi glavne diagonale. Če je število vrstic enako številu stolpcev, to je m = n, potem se matrika imenuje kvadratna matrika reda n. Kvadratne matrike, v katerih so samo elementi glavne diagonale različni od nič, imenujemo diagonalne in jih zapišemo na naslednji način:

.

Če so vsi elementi a i i diagonale enaki 1, potem se imenuje enota in je označena s črko E:

.

Kvadratna matrika se imenuje trikotna, če so vsi elementi nad (ali pod) glavno diagonalo enaki nič. Transpozicija je transformacija, pri kateri se vrstice in stolpci zamenjajo, pri čemer se ohranijo njihove številke. Transpozicija je označena s T na vrhu.

Če preuredimo vrstice in stolpce v (4.1), dobimo

,

ki bo transponiran glede na A. Predvsem pri transponiranju stolpčnega vektorja dobimo vrstični vektor in obratno.

Produkt A in števila b je matrika, katere elemente dobimo iz ustreznih elementov A z množenjem s številom b: b A = (b a i j).

Vsota A = (a i j) in B = (b i j) enake velikosti se imenuje C = (c i j) enake velikosti, katere elementi so določeni s formulo c i j = a i j + b i j.

Produkt AB je določen ob predpostavki, da je število stolpcev A enako številu vrstic B.

Produkt AB, kjer je A = (a i j) in B = (b j k), kjer je i = , j= , k= , podan v določenem vrstnem redu AB, se imenuje C = (c i k), katerega elementi so določeni z naslednje pravilo:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4,2)

Z drugimi besedami, element produkta AB je določen takole: element i-te vrstice in k-tega stolpca C je enak vsoti produktov elementov i-te vrstice A in ustrezni elementi k-tega stolpca B.

Primer 2.1. Poiščite zmnožek AB in .

rešitev. Imamo: A velikosti 2x3, B velikosti 3x3, potem produkt AB = C obstaja in elementi C so enaki.

Od 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, od 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, od 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, izdelek BA pa ne obstaja.

Primer 2.2. Tabela prikazuje število enot izdelkov, ki se dnevno odpremijo iz mlekarn 1 in 2 v prodajalne M 1, M 2 in M ​​3, dostava enote proizvoda iz vsake mlekarne v skladišče M 1 pa stane 50 den. enot, v trgovino M 2 - 70 in v M 3 - 130 den. enote Izračunajte dnevne transportne stroške posameznega obrata.

rešitev. Označimo z A matriko, ki nam je dana v pogoju, in z
B - matrika, ki označuje stroške dostave enote izdelka v trgovine, tj.

,

Potem bo matrika transportnih stroškov videti takole:

.

Tako prva tovarna dnevno porabi 4.750 denijev za prevoz. enot, drugi - 3680 denarnih enot.

Primer 2.3. Šiviljsko podjetje izdeluje zimske plašče, demi sezonske plašče in dežne plašče. Načrtovani rezultat za desetletje je označen z vektorjem X = (10, 15, 23). Uporabljajo se štiri vrste tkanin: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabela prikazuje porabo blaga (v metrih) za vsak izdelek. Vektor C = (40, 35, 24, 16) podaja ceno metra blaga vsake vrste, vektor P = (5, 3, 2, 2) pa stroške transporta metra blaga posamezne vrste.

1. Koliko metrov vsake vrste blaga bo potrebnih za dokončanje načrta?

2. Poiščite stroške tkanine, porabljene za šivanje vsake vrste izdelka.

3. Določite stroške vseh tkanin, potrebnih za dokončanje načrta.

rešitev. Označimo z A matriko, ki nam je dana v pogoju, tj.

,

potem, da bi našli število metrov tkanine, potrebne za dokončanje načrta, morate pomnožiti vektor X z matriko A:

Stroške tkanine, porabljene za šivanje izdelkov vsake vrste, ugotovimo tako, da pomnožimo matriko A in vektor C T:

.

Stroški vseh tkanin, potrebnih za dokončanje načrta, bodo določeni s formulo:

Končno, ob upoštevanju transportnih stroškov, bo celoten znesek enak stroškom tkanine, to je 9472 den. enote, plus vrednost

X A P T =
.

Torej, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (denarne enote).

Reševanje matrik– koncept, ki posplošuje operacije na matricah. Matematična matrika je tabela elementov. Za podobno tabelo z m vrsticami in n stolpci pravimo, da je matrika m x n.
Splošni pogled na matriko

Glavni elementi matrice:
Glavna diagonala. Sestavljen je iz elementov a 11, a 22.....a mn
Stranska diagonala. Sestavljen je iz elementov a 1n in 2n-1.....a m1.
Preden preidemo na reševanje matrik, razmislimo o glavnih vrstah matrik:
kvadrat– v katerem je število vrstic enako številu stolpcev (m=n)
Nič – vsi elementi te matrike so enaki 0.
Transponirana matrika- matrika B, dobljena iz izvirne matrike A z zamenjavo vrstic s stolpci.
Samski– vsi elementi glavne diagonale so enaki 1, vsi ostali pa 0.
Inverzna matrika- matriko, pri množenju s katero izvirna matrika povzroči identitetno matriko.
Matrika je lahko simetrična glede na glavno in stransko diagonalo. To je, če je a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. potem je matrika simetrična glede na glavno diagonalo. Samo kvadratne matrike so simetrične.
Zdaj pa preidimo neposredno na vprašanje, kako rešiti matrike.

Dodatek matrike.

Matrike lahko dodajamo algebraično, če imajo enako dimenzijo. Če želite dodati matriko A z matriko B, morate dodati element prve vrstice prvega stolpca matrike A s prvim elementom prve vrstice matrike B, element drugega stolpca prve vrstice matrike A z elementom drugega stolpca prve vrstice matrike B itd.
Lastnosti dodajanja
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Matrično množenje.

Matrike je mogoče množiti, če so skladne. Matriki A in B veljata za konsistentni, če je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B.
Če ima A dimenzije m x n, B ima dimenzijo n x k, potem bo matrika C=A*B dimenzija m x k ​​in bo sestavljena iz elementov

Kjer je C 11 vsota parnih produktov elementov vrstice matrike A in stolpca matrike B, kar pomeni, da je element vsota produkta elementa prvega stolpca prve vrstice matrike A z elementom prvega stolpca prve vrstice matrike B, elementom drugega stolpca prve vrstice matrike A z elementom prvega stolpca druge vrstične matrike B itd.
Pri množenju je pomemben vrstni red množenja. A*B ni enako B*A.

Iskanje determinante.

Vsaka kvadratna matrika lahko ustvari determinanto ali determinanto. Piše det. ali | matrični elementi |
Za matrike dimenzij 2 krat 2. Določite razliko med zmnožkom elementov glavne in elementov stranske diagonale.

Za matrice z dimenzijami 3 x 3 ali več. Operacija iskanja determinante je bolj zapletena.
Predstavimo pojme:
Minorni element– je determinanta matrike, dobljena iz izvirne matrike s prečrtanjem vrstice in stolpca izvirne matrike, v kateri je bil ta element.
Algebrski komplement element matrike je produkt minora tega elementa za -1 na potenco vsote vrstice in stolpca prvotne matrike, v kateri je bil ta element.
Determinant katere koli kvadratne matrike je enak vsoti produkta elementov katere koli vrstice matrike z njihovimi ustreznimi algebrskimi dopolnili.

Inverzija matrice

Inverzija matrike je postopek iskanja inverza matrike, katerega definicijo smo podali na začetku. Inverzna matrika je označena na enak način kot prvotna z dodatkom stopnje -1.
Poiščite inverzno matriko s pomočjo formule.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Kjer je A * T transponirana matrika algebraičnih komplementov.

Primere reševanja matrik smo naredili v obliki video vadnice

:

Če želite to ugotoviti, si ga vsekakor oglejte.

To so osnovne operacije za reševanje matrik. Če imate dodatna vprašanja o kako rešiti matrike, vas prosimo, da napišete v komentarje.

Če še vedno ne morete ugotoviti, se poskusite obrniti na strokovnjaka.

Linearna algebra 1

Matrike 1

Operacije na matricah 2

Matrične determinante 6

Inverzna matrika 13

Matrični rang 16

Linearna neodvisnost 21

Sistemi linearnih enačb 24

Metode reševanja sistemov linearnih enačb 27

Metoda inverzne matrike 27

Metoda reševanja sistemov linearnih enačb s kvadratno matriko z uporabo Cramerjevih formul 29

Gaussova metoda (metoda zaporednega izločanja spremenljivk) 31

Matrike linearne algebre

Matrix velikost mxn je pravokotna tabela števil, ki vsebuje m vrstic in n stolpcev. Števila, ki sestavljajo matriko, se imenujejo elementi matrike.

Matrike so običajno označene z velikimi latiničnimi črkami, elementi pa z enakimi, vendar malimi črkami z dvojnim indeksiranjem.

Na primer, razmislite o 2 x 3 matriki A:

Ta matrika ima dve vrstici (m = 2) in tri stolpce (n = 3), tj. sestavljena je iz šestih elementov a ij, kjer je i številka vrstice, j številka stolpca. V tem primeru ima vrednosti od 1 do 2 in od ena do tri (napisano
). Namreč, a 12 = 0; a 21 = 1,5; a 23 = 5.

Imenujemo matriki A in B enake velikosti (mxn). enaka, če sovpadajo element za elementom, tj. a ij =b ij za
, tj. za poljubna i in j (lahko zapišemo i, j).

Matrična vrstica je matrika, sestavljena iz ene vrstice in matrični stolpec je matrika, sestavljena iz enega stolpca.

na primer
je vrstična matrika in
.

Kvadratna matrica n-ti red je matrika, število vrstic je enako številu stolpcev in je enako n.

na primer
- kvadratna matrika drugega reda.

Diagonala elementi matrike so elementi, katerih številka vrstice je enaka številki stolpca (a ij ,i=j). Ti elementi tvorijo glavna diagonala matrice. V prejšnjem primeru glavno diagonalo tvorita elementa a 11 = 3 in a 22 = 5.

Diagonalna matrika je kvadratna matrika, v kateri so vsi nediagonalni elementi nič. na primer
- diagonalna matrika tretjega reda. Če so vsi diagonalni elementi enaki eni, se pokliče matrika samski(običajno označeno s črko E). na primer
je identitetna matrika tretjega reda.

Matrica se imenuje null, če so vsi njegovi elementi enaki nič.

Kvadratna matrika se imenuje trikotne, če so vsi njegovi elementi pod (ali nad) glavno diagonalo enaki nič. na primer
- trikotna matrika tretjega reda.

Operacije na matricah

Na matricah je mogoče izvajati naslednje operacije:

1. Množenje matrike s številom. Produkt matrike A in števila je matrika B =A, katere elementi so b ij =a ij za poljubna i in j.

Na primer, če
, To
.

2. Dodatek matrike. Vsota dveh matrik A in B enake velikosti m x n je matrika C = A + B, katere elementi so z ij =a ij +b ij zai,j.

Na primer, če
to

.

Upoštevajte, da je s prejšnjimi operacijami mogoče določiti matrično odštevanje enake velikosti: razlika A-B = A + (-1)*B.

3. Matrično množenje. Produkt matrike A velikosti mxn z matriko B velikosti nxp je takšna matrika C, katere vsak element z ij je enak vsoti produktov elementov i-te vrstice matrike A z ustreznimi elementi j-tega stolpca matrike B, tj.
.

Na primer, če

, potem bo velikost produktne matrike 2 x 3 in bo videti takole:

V tem primeru pravimo, da je matrika A skladna z matriko B.

Na podlagi operacije množenja za kvadratne matrike je definirana operacija potenciranje. Potenca pozitivnega celega števila A m (m > 1) kvadratne matrike A je produkt m matrik, ki so enake A, tj.

Poudarjamo, da seštevanje (odštevanje) in množenje matrik nista definirana za kateri koli dve matriki, temveč le za tisti, ki izpolnjujeta določene zahteve glede svoje dimenzije. Če želite najti vsoto ali razliko matrik, mora biti njihova velikost enaka. Če želite najti produkt matrik, mora število stolpcev prve od njih sovpadati s številom vrstic druge (takšne matrike se imenujejo dogovorjeno).

Razmislimo o nekaterih lastnostih obravnavanih operacij, podobnih lastnostim operacij na številih.

1) Komutativni (komutativni) zakon dodajanja:

A + B = B + A

2) Asociativni (kombinativni) zakon dodajanja:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributivni (distributivni) zakon množenja glede na seštevanje:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Asociativni (kombinativni) zakon množenja:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Naj poudarimo, da komutativni zakon množenja za matrike v splošnem primeru NI izpolnjen, tj. AB BA. Poleg tega obstoj AB ne pomeni nujno obstoja BA (matrike morda niso konsistentne in potem njihov produkt sploh ni definiran, kot v zgornjem primeru množenja matrik). A tudi če obe deli obstajata, sta običajno različni.

V določenem primeru ima produkt poljubne kvadratne matrike A in identitetne matrike istega reda komutativni zakon in ta produkt je enak A (množenje z identitetno matriko je tukaj podobno množenju z ena pri množenju števil):

AE = EA = A

pravzaprav

Naj poudarimo še eno razliko med množenjem matrik in množenjem števil. Zmnožek števil je lahko enak nič, če in samo če je vsaj eno od njih enako nič. Tega ne moremo reči za matrice, tj. produkt neničelnih matrik je lahko enak ničelni matriki. na primer

Nadaljujmo z obravnavo operacij na matricah.

4. Prenos matrice predstavlja operacijo prehoda iz matrike A velikosti mxn v matriko A T velikosti nxm, pri kateri se vrstice in stolpci zamenjajo:

%.

Lastnosti operacije transponiranja:

1) Iz definicije sledi, da če matriko transponiramo dvakrat, se vrnemo na prvotno matriko: (A T) T = A.

2) Konstantni faktor lahko vzamemo iz transpozicijskega znaka: (A) ​​​​T =A T .

3) Transpozicija je distributivna glede na matrično množenje in seštevanje: (AB) T =B T A T in (A+B) T =B T +A T .

DEFINICIJA MATRIKE. VRSTE MATRIK

Matrica velikosti m× n imenovan niz m·nštevilke, razvrščene v pravokotno tabelo m vrstice in n stolpce. Ta tabela je običajno v oklepajih. Na primer, matrika je lahko videti takole:

Zaradi kratkosti lahko matriko označimo z eno veliko začetnico, na primer A oz IN.

Na splošno matrika velikosti m× n napiši takole

.

Števila, ki sestavljajo matriko, se imenujejo matrični elementi. Primerno je zagotoviti matrične elemente z dvema indeksoma a ij: Prva označuje številko vrstice, druga pa številko stolpca. na primer a 23– element je v 2. vrstici, 3. stolpcu.

Če ima matrika enako število vrstic kot število stolpcev, se matrika imenuje kvadrat, in kliče se število njegovih vrstic ali stolpcev v redu matrice. V zgornjih primerih je druga matrika kvadratna - njen vrstni red je 3, četrta matrika pa je njen vrstni red 1.

Imenuje se matrika, v kateri število vrstic ni enako številu stolpcev pravokotne. V primerih je to prva matrika in tretja.

Obstajajo tudi matrike, ki imajo samo eno vrstico ali en stolpec.

Imenuje se matrika s samo eno vrstico matrika - vrstica(ali niz) in matriko s samo enim stolpcem matrika - stolpec.

Imenuje se matrika, katere vsi elementi so nič null in je označena z (0) ali preprosto 0. Na primer,

.

Glavna diagonala kvadratne matrike imenujemo diagonala, ki poteka od zgornjega levega do spodnjega desnega kota.

Imenuje se kvadratna matrika, pri kateri so vsi elementi pod glavno diagonalo enaki nič trikotne matrica.

.

Kvadratno matriko, v kateri so vsi elementi, razen morda tistih na glavni diagonali, enaki nič, imenujemo diagonala matrica. Na primer oz.

Imenuje se diagonalna matrika, v kateri so vsi diagonalni elementi enaki ena samski matrika in je označena s črko E. Na primer, identitetna matrika 3. reda ima obliko .

DEJANJA NA MATRIKAH

Matrična enakost. Dve matriki A in B pravimo, da so enaki, če imajo enako število vrstic in stolpcev in so njihovi ustrezni elementi enaki a ij = b ij. Torej, če in , To A=B, Če a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 in a 22 = b 22.

Transponiraj. Razmislite o poljubni matriki A od m vrstice in n stolpce. Lahko ga povežemo z naslednjo matriko B od n vrstice in m stolpcev, v katerih je vsaka vrstica stolpec matrike A z isto številko (zato je vsak stolpec vrstica matrike A z isto številko). Torej, če , To .

Ta matrica B klical prestavljeno matrica A, in prehod iz A Za B prenos.

Tako je transpozicija zamenjava vlog vrstic in stolpcev matrike. Matrika prestavljena v matriko A, običajno označeno A T.

Komunikacija med matriko A in njegov prenos lahko zapišemo v obliki .

Na primer. Poiščite matriko, transponirano iz dane.

Dodatek matrike. Naj matrice A in B sestavljeni iz enakega števila vrstic in enakega števila stolpcev, tj. imajo enake velikosti. Nato za dodajanje matrik A in B potrebni za matrične elemente A dodajte matrične elemente B stojijo na istih mestih. Torej vsota dveh matrik A in B imenovana matrika C, ki ga določa pravilo, npr.

Primeri. Poiščite vsoto matrik:

Preprosto je preveriti, da se pri seštevanju matrik upoštevajo naslednji zakoni: komutativnost A+B=B+A in asociativno ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrike s številom. Za množenje matrike A na številko k vsak element matrike je potreben A pomnožite s tem številom. Torej, matrični produkt A na številko k obstaja nova matrika, ki je določena s pravilom ali .

Za poljubne številke a in b in matrice A in B veljajo naslednje enakosti:

Primeri.

Matrično množenje. Ta operacija se izvaja po posebnem zakonu. Najprej upoštevamo, da morajo biti velikosti faktorskih matrik konsistentne. Množite lahko samo tiste matrike, v katerih število stolpcev prve matrike sovpada s številom vrstic druge matrike (tj. dolžina prve vrstice je enaka višini drugega stolpca). delo matrice A ni matrica B imenovana nova matrica C=AB, katerega elementi so sestavljeni na naslednji način:

Tako na primer za pridobitev izdelka (tj. v matriki C) element, ki se nahaja v 1. vrstici in 3. stolpcu od 13, morate vzeti 1. vrstico v 1. matriki, 3. stolpec v 2. in nato pomnožiti elemente vrstice z ustreznimi elementi stolpca in dodati dobljene produkte. In drugi elementi produktne matrike so pridobljeni z uporabo podobnega produkta vrstic prve matrike in stolpcev druge matrike.

Na splošno, če pomnožimo matriko A = (a ij) velikost m× n na matrico B = (b ij) velikost n× str, potem dobimo matriko C velikost m× str, katerega elementi se izračunajo na naslednji način: element c ij dobimo kot rezultat produkta elementov i vrstico matrike A na ustrezne elemente j stolpec matrike B in njihove dodatke.

Iz tega pravila sledi, da lahko vedno pomnožite dve kvadratni matriki istega reda in kot rezultat dobimo kvadratno matriko istega reda. Zlasti lahko kvadratno matriko vedno pomnožimo samo s seboj, tj. na kvadrat.

Drug pomemben primer je množenje vrstične matrike s stolpčno matriko, pri čemer mora biti širina prve enaka višini druge, kar ima za posledico matriko prvega reda (tj. en element). res,

.

Primeri.

Tako ti preprosti primeri kažejo, da matrike na splošno ne komutirajo med seboj, tj. A∙B ≠ B∙A . Zato morate pri množenju matrik skrbno spremljati vrstni red faktorjev.

Preverimo lahko, da množenje matrik upošteva asociativne in distribucijske zakone, tj. (AB)C=A(BC) in (A+B)C=AC+BC.

To je tudi enostavno preveriti pri množenju kvadratne matrike A na matriko identitete E istega reda ponovno dobimo matriko A, in AE=EA=A.

Opozoriti je mogoče na naslednje zanimivo dejstvo. Kot veste, produkt 2 števil, ki nista nič, ni enak 0. Za matrike to morda ne velja, tj. produkt 2 neničelnih matrik se lahko izkaže za enak ničelni matriki.

Na primer, Če , To

.

POJEM DETERMINANT

Naj bo podana matrika drugega reda - kvadratna matrika, sestavljena iz dveh vrstic in dveh stolpcev .

Določnica drugega reda ki ustreza dani matriki, je število, dobljeno na naslednji način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Določevalnik je označen s simbolom .

Torej, da bi našli determinanto drugega reda, morate produkt elementov vzdolž druge diagonale odšteti od produkta elementov glavne diagonale.

Primeri. Izračunajte determinante drugega reda.

Podobno lahko obravnavamo matriko tretjega reda in njeno ustrezno determinanto.

Determinanta tretjega reda, ki ustreza dani kvadratni matriki tretjega reda, je število, označeno in pridobljeno na naslednji način:

.

Tako ta formula daje razširitev determinante tretjega reda glede na elemente prve vrstice a 11, a 12, a 13 in zmanjša izračun determinante tretjega reda na izračun determinant drugega reda.

Primeri. Izračunajte determinanto tretjega reda.

Podobno lahko uvedemo koncepte determinant četrtega, petega itd. reda, ki svoj vrstni red znižujejo z razširitvijo v elemente 1. vrstice, pri čemer se menjavata znaka »+« in »–« izrazov.

Torej, za razliko od matrike, ki je tabela števil, je determinanta število, ki je matriki dodeljeno na določen način.

V tej temi bomo obravnavali koncept matrike in vrste matrik. Ker je v tej temi veliko izrazov, bom za lažje krmarjenje po gradivu dodal kratek povzetek.

Definicija matrike in njenega elementa. Notacija.

Matrix je tabela z $m$ vrsticami in $n$ stolpci. Elementi matrike so lahko objekti popolnoma drugačne narave: števila, spremenljivke ali na primer druge matrike. Na primer, matrika $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ vsebuje 3 vrstice in 2 stolpca; njegovi elementi so cela števila. Matrika $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ vsebuje 2 vrstici in 4 stolpce.

Različni načini pisanja matrik: pokaži\skrij

Matriko lahko zapišemo ne le v okroglih, ampak tudi v oglatih ali dvojnih ravnih oklepajih. To pomeni, da spodnji vnosi pomenijo isto matriko:

$$ \left(\begin(matrika) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(matrika) \desno);\;\; \left[ \begin(matrika) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(matrika) \desno]; \;\; \left \Vert \begin(matrika) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(matrika) \right \Vert $$

Produkt $m\krat n$ se imenuje velikost matrice. Na primer, če matrika vsebuje 5 vrstic in 3 stolpce, potem govorimo o matriki velikosti $5\krat 3$. Matrika $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ima velikost $3 \times 2$.

Običajno so matrike označene z velikimi črkami latinske abecede: $A$, $B$, $C$ in tako naprej. Na primer, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Številčenje vrstic poteka od zgoraj navzdol; stolpci - od leve proti desni. Na primer, prva vrstica matrike $B$ vsebuje elemente 5 in 3, drugi stolpec pa elemente 3, -87, 0.

Elementi matrik so običajno označeni z malimi črkami. Na primer, elemente matrike $A$ označujemo z $a_(ij)$. Dvojni indeks $ij$ vsebuje informacijo o položaju elementa v matriki. Število $i$ je številka vrstice, število $j$ pa številka stolpca, v presečišču katerega je element $a_(ij)$. Na primer, na presečišču druge vrstice in petega stolpca matrike $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= 59 $:

Na enak način imamo na presečišču prve vrstice in prvega stolpca element $a_(11)=51$; na presečišču tretje vrstice in drugega stolpca - element $a_(32)=-15$ in tako naprej. Upoštevajte, da se vnos $a_(32)$ glasi "a tri dva", ne pa "dvaintrideset".

Za skrajšanje matrike $A$, katere velikost je $m\krat n$, se uporablja zapis $A_(m\krat n)$. Lahko ga napišete malo bolj podrobno:

$$ A_(m\krat n)=(a_(ij)) $$

kjer zapis $(a_(ij))$ označuje elemente matrike $A$. V svoji popolnoma razširjeni obliki lahko matriko $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ zapišemo takole:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Predstavimo še en izraz - enake matrike.

Dve matriki enake velikosti $A_(m\krat n)=(a_(ij))$ in $B_(m\krat n)=(b_(ij))$ se imenujeta enaka, če so njuni ustrezni elementi enaki, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ za vse $i=\overline(1,m)$ in $j=\overline(1,n)$.

Razlaga za vnos $i=\overline(1,m)$: pokaži\skrij

Zapis "$i=\overline(1,m)$" pomeni, da se parameter $i$ spreminja od 1 do m. Na primer, vnos $i=\overline(1,5)$ označuje, da ima parameter $i$ vrednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Torej, da so matrike enake, morata biti izpolnjena dva pogoja: sovpadanje velikosti in enakost ustreznih elementov. Na primer, matrika $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ni enaka matriki $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, ker ima matrika $A$ velikost $3\krat 2$ in matriko $B$ ima velikost $2\krat $2. Poleg tega matrika $A$ ni enaka matriki $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , saj je $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Toda za matriko $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ lahko varno zapišemo $A= F$, ker tako velikosti kot ustrezni elementi matrik $A$ in $F$ sovpadajo.

Primer št. 1

Določite velikost matrike $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(matrika) \desno)$. Označite, čemu so enaki elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ta matrika vsebuje 5 vrstic in 3 stolpce, zato je njena velikost $5\krat 3$. Za to matriko lahko uporabite tudi zapis $A_(5\krat 3)$.

Element $a_(12)$ je na presečišču prve vrstice in drugega stolpca, tako da je $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ je na presečišču tretje vrstice in tretjega stolpca, torej $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ je na presečišču četrte vrstice in tretjega stolpca, torej $a_(43)=-5$.

Odgovori: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Vrste matrik glede na njihovo velikost. Glavna in stranska diagonala. Matrična sled.

Naj bo podana določena matrika $A_(m\krat n)$. Če je $m=1$ (matrika je sestavljena iz ene vrstice), se dana matrika imenuje matrična vrstica. Če je $n=1$ (matrika je sestavljena iz enega stolpca), se taka matrika imenuje matrični stolpec. Na primer, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ je matrika vrstic in $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(matrika) \right)$ je matrika stolpcev.

Če matrika $A_(m\times n)$ izpolnjuje pogoj $m\neq n$ (tj. število vrstic ni enako številu stolpcev), se pogosto reče, da je $A$ pravokotnik matrica. Na primer, matrika $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ima velikost $2\times 4 $, tiste. vsebuje 2 vrstici in 4 stolpce. Ker število vrstic ni enako številu stolpcev, je ta matrika pravokotna.

Če matrika $A_(m\krat n)$ izpolnjuje pogoj $m=n$ (tj. število vrstic je enako številu stolpcev), potem pravimo, da je $A$ kvadratna matrika reda $ n$. Na primer, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ je kvadratna matrika drugega reda; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ je kvadratna matrika tretjega reda. Na splošno lahko kvadratno matriko $A_(n\krat n)$ zapišemo takole:

$$ A_(n\krat n)=\levo(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementi $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ naj bi bili na glavna diagonala matrike $A_(n\krat n)$. Ti elementi se imenujejo glavni diagonalni elementi(ali samo diagonalni elementi). Elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ so na stranska (manjša) diagonala; se imenujejo stranski diagonalni elementi. Na primer, za matriko $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ imamo:

Elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ so glavni diagonalni elementi; elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ so stranski diagonalni elementi.

Vsota glavnih diagonalnih elementov se imenuje sledi matrika in je označena z $\Tr A$ (ali $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na primer, za matriko $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ imamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Koncept diagonalnih elementov se uporablja tudi za nekvadratne matrike. Na primer, za matriko $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ bodo glavni diagonalni elementi $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Vrste matrik glede na vrednosti njihovih elementov.

Če so vsi elementi matrike $A_(m\times n)$ enaki nič, se taka matrika imenuje null in se običajno označuje s črko $O$. Na primer, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(matrika) \right)$ - ničelne matrike.

Naj ima matrika $A_(m\krat n)$ naslednjo obliko:

Nato se ta matrika pokliče trapezna. Morda ne vsebuje nič vrstic, če pa obstajajo, se nahajajo na dnu matrike. V bolj splošni obliki lahko trapezoidno matriko zapišemo na naslednji način:

Še enkrat, zadnje ničelne vrstice niso potrebne. Tisti. Formalno lahko ločimo naslednje pogoje za trapezoidno matriko:

1. Vsi elementi pod glavno diagonalo so nič.
2. Vsi elementi od $a_(11)$ do $a_(rr)$, ki ležijo na glavni diagonali, niso enaki nič: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Ali so vsi elementi zadnjih $m-r$ vrstic enaki nič ali $m=r$ (tj. ničelnih vrstic sploh ni).

Primeri trapeznih matrik:

Pojdimo na naslednjo definicijo. Pokliče se matrika $A_(m\krat n)$ stopil, če izpolnjuje naslednje pogoje:

Na primer, matrike korakov bi bile:

Za primerjavo matrika $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ni ešalon, ker ima tretja vrstica enak ničelni del kot druga vrstica. To pomeni, da je kršeno načelo "nižja kot je črta, večji je ničelni del". Dodal bom, da je trapezna matrika poseben primer stopničaste matrike.

Pojdimo na naslednjo definicijo. Če so vsi elementi kvadratne matrike, ki se nahajajo pod glavno diagonalo, enaki nič, se taka matrika imenuje zgornja trikotna matrika. Na primer, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ je zgornja trikotna matrika. Upoštevajte, da definicija zgornje trikotne matrike ne pove ničesar o vrednostih elementov, ki se nahajajo nad glavno diagonalo ali na glavni diagonali. Lahko so nič ali ne - ni pomembno. Na primer, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je prav tako zgornja trikotna matrika.

Če so vsi elementi kvadratne matrike, ki se nahajajo nad glavno diagonalo, enaki nič, se taka matrika imenuje spodnja trikotna matrika. Na primer, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - spodnja trikotna matrika. Upoštevajte, da definicija spodnje trikotne matrike ne pove ničesar o vrednostih elementov, ki se nahajajo pod ali na glavni diagonali. Lahko so nič ali ne - ni pomembno. Na primer, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ in $\left(\ begin (matrika) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(matrika) \right)$ so tudi nižje trikotne matrike.

Kvadratna matrika se imenuje diagonala, če so vsi elementi te matrike, ki ne ležijo na glavni diagonali, enaki nič. Primer: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ konec (matrika)\desno)$. Elementi na glavni diagonali so lahko karkoli (enaki nič ali ne) - ni pomembno.

Diagonalna matrika se imenuje samski, če so vsi elementi te matrike, ki se nahajajo na glavni diagonali, enaki 1. Na primer, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - identitetna matrika četrtega reda; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ je identitetna matrika drugega reda.