Prostornina žoge. Razvoj preprostega programa za izračun ploščine kroga in prostornine krogle kot Windows aplikacije

V geometriji žoga je opredeljeno kot določeno telo, ki je zbirka vseh točk v prostoru, ki se nahajajo od središča na razdalji, ki ni večja od dane, imenovane polmer krogle. Površino žoge imenujemo krogla, sama krogla pa nastane tako, da se okrog njenega premera vrti polkrog, pri čemer ostane negibna.

Inženirji in arhitekti se zelo pogosto srečujejo s tem geometrijskim telesom, ki se pogosto morajo izračuna prostornino krogle. Na primer, pri zasnovi prednjega vzmetenja velike večine sodobnih avtomobilov se uporabljajo tako imenovani kroglični zglobi, v katerih je, kot zlahka uganete že iz samega imena, eden od glavni elementi so ravno žogice. Z njihovo pomočjo so povezana pesta krmiljenih koles in ročic. O tem, kako pravilno bo izračunano njihova prostornina je v veliki meri odvisna ne le od trajnosti teh enot in pravilnosti njihovega delovanja, temveč tudi od prometne varnosti.

V tehnologiji najširša distribucija prejel takšne dele, kot so kroglični ležaji, s pomočjo katerih so osi pritrjene v fiksnih delih različnih komponent in sklopov ter zagotovljeno njihovo vrtenje. Treba je opozoriti, da pri njihovem izračunu oblikovalci potrebujejo poiščite prostornino krogle(oziroma kroglice, postavljene v kletko) s visoka stopnja natančnost. Kar se tiče izdelave kovinskih ležajnih kroglic, so te izdelane iz kovinske žice po zapletenem postopku, ki vključuje faze oblikovanja, utrjevanja, grobega brušenja, končne obdelave in čiščenja. Mimogrede, tiste kroglice, ki so vključene v zasnovo vseh kemični svinčniki, so izdelani po popolnoma enaki tehnologiji.

Pogosto se krogle uporabljajo v arhitekturi, kjer so najpogosteje okrasni elementi zgradb in drugih objektov. V večini primerov so izdelani iz granita, kar pogosto zahteva visoki stroški ročno delo. Seveda pri izdelavi teh kroglic ni treba vzdrževati tako visoke natančnosti, kot so tiste, ki se uporabljajo v različnih enotah in mehanizmih.

Tako zanimiva in priljubljena igra, kot je biljard, si je nepredstavljiva brez žog. Za njihovo proizvodnjo se uporabljajo različne materiale(kost, kamen, kovina, plastika) in se uporabljajo različni tehnološki postopki. Ena od glavnih zahtev za biljardne krogle je njihova visoka trdnost in sposobnost, da prenesejo visoke mehanske obremenitve (predvsem udarce). Poleg tega mora biti njihova površina natančna krogla, da se zagotovi gladko in enakomerno kotaljenje po površini biljardnih miz.

Končno brez tega geometrijska telesa, tako kot kroglice, niti eno novoletno ali božično drevo ni popolno. Ti okraski so v večini primerov izdelani iz stekla z metodo pihanja in med izdelavo največjo pozornost Poudarek ni na dimenzijski natančnosti, temveč na estetiki izdelkov. Proces Hkrati so božične kroglice skoraj popolnoma avtomatizirane in se pakirajo samo ročno.

Formule

PROSTORNINA CILINDRA

VOLUMEN STOŽCA

VOLUMEN PRISEŽANEGA STOŽCA

VOLUMEN ŽOGE

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

Formule za izračun prostornine: sfera, sferični sektor, sferična plast, sferični sektor in sferično območje

• Površina krogle je:

S=4 π R 2 ,

kjer je R polmer krogle

• Prostornina žoge je:

V=1 ⅓ π R 3 = 4/3 π R 3

kjer je R polmer krogle

• Prostornina sferičnega segmenta je enaka:

V= π h 2 (R - ⅓ h) ,

kjer je R polmer krogle in h višina segmenta

• Prostornina sferične plasti je enaka:

V=V 1 –V 2 ,

kjer je V 1 prostornina enega sferičnega segmenta, V 2 pa je prostornina drugega sferičnega segmenta

• Prostornina sferičnega sektorja je enaka:

V= ⅔ π R 2 h ,

kjer je R polmer krogle in h višina segmenta krogle

Teoretični diktat

Možnost 1

Dopolni manjkajoče besede v besedilu .

• Vsak prerez krogle z ravnino je krog. Središče tega kroga je …………………… pravokotnica, spuščena iz središča krogle na sekantno ravnino.

2. Središče žoge je njen ………………….……. simetrija.

3. Aksialni odsek tam je žoga …………………………….

4. Presečišča dveh krogel so…………………

5. Ravnine, ki so enako oddaljene od središča, sekajo kroglo v ……………...krogih.

6. Okoli vsake pravilne piramide lahko opišemo kroglo, katere središče leži na ……………….. piramide.

osnova

center

krog

krog

enaka

višina

Teoretični diktat

Možnost 2

letalo

krog

višina

pravokotno

dotik

višina

Kartica št. 1

Ravnina, pravokotna na premer krogle, deli njeni deli na 3 cm in 9 cm. Poiščite prostornino krogle?

288 P cm³

Kartica št. 2

Dve enaki krogli sta nameščeni tako, da središče ene leži na površini druge. Kako je prostornina celotnega dela kroglic povezana s prostornino celotne krogle?

5 / 16

Kartica št. 3

Kolikšen del prostornine krogle je prostornina sferičnega segmenta, katerega višina je enaka 0,1 premera krogle, ki je enaka 20 cm?

Naloga št. 1

Prostornina krogle s polmerom R je enaka V. Ugotovite: prostornino krogle s polmerom: a) 2 R b) 0,5 R

Naloga št. 2

Kolikšna je prostornina sferičnega sektorja, če je polmer osnovnega kroga 60 cm, polmer krogle pa 75 cm.

HITRO IN KRATKO PIŠITE ODGOVORE NA VPRAŠANJA:

• Koliko kroglic lahko narišemo:

a) skozi isti krog;

b) skozi krožnico in točko, ki ne pripada njeni ravnini?

2. Koliko krogel lahko narišemo skozi štiri točke, ki so oglišča:

a) kvadrat;

b) enakokraki trapez;

3. Ali drži, da en velik krog poteka skozi kateri koli dve točki na krogli?

4. Skozi kateri dve točki krogle je mogoče narisati več velikih krogov?

5. Kako naj bosta postavljena? enake kroge tako da gre lahko skoznje krogla enakega polmera?

neskončno

eno

neskončno

neskončno

Noben

Diametralno nasprotno

imeti skupno središče

Teoretični diktat

Možnost 2

Dopolni manjkajoče besede v besedilu.

• Vsaka diametralna ravnina krogle je njena ………………… simetrija.

2. Osni prerez krogle je ………………..

3. Središče krogle, ki je opisana okrog pravilne piramide, leži na …………………. piramide.

4. Polmer krogle, narisan na točko stika krogle in ravnine………………...…………………..na tangentno ravnino.

5. Tangentna ravnina ima samo eno tangentno ravnino s kroglico skupna točka …………………….

6. Kadarkoli pravilna piramida lahko vpišete kroglo, njeno središče pa leži na ……………… .…….piramidi.

letalo

krog

višina

pravokotno

dotik

višina

Lv.52

1. stopnja Možnost 1

1. Na razdalji 12 cm od središča krogle je narisan prerez, katerega polmer je 9 cm. Poiščite prostornino krogle in njeno površino.

2. Krogla s polmerom 3cm ima središče v točki O (4;-2;1). Napišite enačbo za kroglo, v katero bo šla ta krogla, če je simetrična glede na ravnino OXY. Poiščite prostornino krogle, ki jo omejuje dana krogla.

1. stopnja Možnost 2

1. Skozi točko, ki leži na krogli, je narisan odsek s polmerom 3 cm pod kotom 60° na polmer krogle, narisan na to točko. Poiščite površino krogle in prostornino krogle.

2. Krogla s polmerom 3 ima središče v točki O (-2;5;3). Zapišite enačbo krogle, v katero bo šla ta krogla, ko bo simetrična glede na ravnino OX Z. Poiščite območje te krogle.

Test samostojno delo stopnja 52

2. stopnja Možnost 1

1. Na razdalji 2√7 cm od središča krogle je narisan prerez. Tetiva tega odseka je enaka 4 cm in zajema kot 90°. Poiščite prostornino krogle in njeno površino.

2. Krogla s središčem v točki O (2;1;-2) poteka skozi izhodišče. Napišite enačbo za kroglo, v katero bo šla ta krogla, če je simetrična glede na abscisno os. Poiščite prostornino krogle, ki jo omejuje nastala krogla.

2. stopnja Možnost 2

1. Na razdalji 4 cm od središča krogle je narejen prerez. Tetiva, ki je od središča tega odseka oddaljena za √5 cm in zajema kot 120°. Poiščite prostornino krogle in njeno površino.

2. Krogla s središčem v točki O (-1;-2;2) poteka skozi izhodišče. Napišite enačbo za kroglo, v katero bo šla ta krogla, ko bo simetrična glede na ravnino Z = 1. Poiščite območje krogle.

Samostojno delo

Možnost 2

• Premer krogle ½ palca. Izračunaj prostornino krogle in ploščino krogle.

2. Žoga za odbojko ima polmer 12 cm. Kolikšna je količina zraka v krogli?

Možnost 1

• Polmer kroglice ¾ dm. Izračunaj prostornino krogle in ploščino krogle.

2. Nogometna žoga ima premer 30 dm. Kolikšna je količina zraka v krogli?

Samostojno delo

Možnost 1

Možnost 2

• Rešite težave :

• Zapišite formule za površino krogle, prostornino krogle in njenih delov.
• Rešite težave :

№ 1. Prostornina krogle je 36 Psm³. Poiščite območje krogle, ki obdaja to žogo.

№ 2. Krogla s polmerom 15 cm ima presek s površino 81 cm². Poiščite prostornino manjšega sferičnega segmenta, ki ga odseka sekalna ravnina.

№ 3. Poiščite prostornino sferičnega sektorja, če je polmer krogle 6 cm in je višina ustreznega segmenta šestina premera krogle.

№ 1. Površina krogle je 144P cm². Poiščite prostornino te žoge.

№ 2. Na razdalji 9 m od središča krogle je narisan prerez, katerega obseg je 24P cm. Poiščite prostornino manjšega krogličnega odseka, ki ga odseka ravnina odseka.

№ 3. Poiščite prostornino sferičnega sektorja, če je polmer krogle 6 cm in je višina stožca, ki tvori sektor, ena tretjina premera krogle.

Reševanje nalog s samotestiranjem.

Podano: žoga; V=113,04 cm³,

Najdi: R, S.

Rešitev: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

Odgovor: 3,36π.

Podano: žoga; S=64π cm²

Najdi: R, V

Rešitev: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

Odgovor: 4,256π/3.

3. Podano: kroglični segment, r osnova = 60 cm, R krogla = 75 cm.

Najdi: Vsferični segment.

Rešitev: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45

h= OS-OS ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.

Odgovor: 58500π.

Odsev

Odražajte svoje razpoloženje s čustvenim simbolom.

Vzemite smeška, ki se ujema z vašim razpoloženjem ob koncu ure in ga ob odhodu pritrdite na tablo z magnetno podlago.

domača naloga

• domača naloga

• Ponovimo formule za prostornine krogle, sferičnega segmenta, sferične plasti in sferičnega sektorja. št. 723, št. 724, št. 755

Literatura in internetni viri

Učbenik o geometriji 10-11 razred Atanasyan L.S., 2008

Gavrilova N.F. Razvoj na podlagi lekcije pri geometriji 11.r

Napišite program za izračun površine kroga S in prostornino žoge V glede na dani radij R. Implementirajte program kot aplikacijo za Windows.

Matematična formulacija problema

Pred začetkom razvoja aplikacije je potrebno izvesti matematično formulacijo problema, to je določiti formule, po katerih se bo izvajal izračun, ter vhodne podatke in izhodne rezultate.

Površina kroga se izračuna po formuli:

S = π · R²

Vhodna vrednost tukaj je polmer kroga R, rezultat je površina kroga - S.
Prostornina žoge se izračuna po formuli:

V = 4/3 π R³

Vhodna vrednost tukaj je spet polmer kroga R, rezultat je prostornina krogle (čeprav, kot veste, "krogla" nima prostornine).
Obe formuli vsebujeta konstanto π , enako 3,14159.
Tako bomo narisali zaporedje stopenj za rešitev problema (slika 1).

riž. 1. Faze reševanja problema

Izvedba

1. Izdelava aplikacije tipa VCL Form Application.

Zaženite sistem za razvoj vizualnih aplikacij Embracadero RAD Studio Delphi 2010 in ustvarite aplikacijo Windows. Podroben primer Opisana je izdelava aplikacije s predlogo Windows Form Application.

Začetni pogled obrazca za prijavo pred začetkom načrtovanja je prikazan na sliki 2.

riž. 2. Pogled na okno programa

2. Standardni zavihek palete orodij.

IN to aplikacijo Uporabiti morate več komponent, ki so navedene spodaj:

• vrsto komponente TLabel, ki predstavlja vrstico besedila, ki je prikazano na obrazcu;
• vrsto komponente TButton, ki predstavlja gumb na obrazcu;
• vrsto komponente TEdi t , ki je niz za vnos besedila.

Vse te komponente se nahajajo na orodni paleti na zavihku Standard (glejte sliko 3.).

riž. 3. Standardni zavihek na paleti komponent

3. Komponenta TLabel

3.1. Namestitev komponente TLabel na obrazec

Če želite to narediti, morate klikniti komponento TLabel (slika 4) in nato klikniti v zgornji levi kot obrazca, kot je prikazano na sliki. 5.

riž. 4. Komponenta TLabel na orodni paleti

riž. 5. Komponenta tipa TLabel na glavni obliki programa

3.2. Nastavitev besedila v TLabel

Če želite izvesti kakršna koli dejanja s komponento TLabel, jo morate najprej izbrati z miško ali tako, da jo izberete na plošči Object Inspector. Po tem nastavite lastnost Caption komponente TLabel na vrednost " R=«(slika 6).

riž. 6. Lastnost napisa

Posledično se bo besedilo »Label1« na obrazcu spremenilo v besedilo »R = «.
Inšpektor objektov vam omogoča ogled številnih drugih lastnosti te komponente. V našem primeru nas bo zanimala lastnost Name, ki vsebuje vrednost imena spremenljivke (objekta). Privzeto je ta vrednost "Label1". To pomeni, da lahko pri pisanju programske kode do lastnosti te komponente dostopamo s predpono “Label“. Na primer, če želite spremeniti lastnost Caption v programu, morate vnesti naslednjo vrstico:

Na enak način postavimo komponente na obrazec z imenom Label2 in Label3 tik pod prejšnjo komponento. Nastavite vrednosti lastnosti Caption na "S = " oziroma "V = ".

Prijavnica bi morala izgledati nekako tako (slika 7).

riž. 7. Prijavnica po postavitvi komponent Label1, Label2, Label3

Prenos in obdelava vseh ostalih komponent iz Tool Palette poteka na enak način.

4. Komponenta TEdit

Dodajte komponento TEdit iz orodne palete na zavihku Standard, ki predstavlja vnosno vrstico. S to komponento bomo pridobili vrednosti polmera kroga, ki jih uporabnik vnese s tipkovnice. Po dodajanju komponente v obrazec Delphi ustvari spremenljivo komponento z imenom Edit1 (lastnost Name).

Počistite lastnost Besedilo komponente.

5. Komponenta TButton

Iz palete orodij dodajte komponento TButton, ki je običajni gumb, po kliku na katerega se izračunata površina kroga in prostornina žoge. V aplikaciji bo Delphi samodejno dodal spremenljivo komponento z imenom Button1.

Lastnost Caption komponente nastavite na vrednost »Izračunaj«.

Obrazec za prijavo v načinu oblikovanja bo videti, kot je prikazano na sl. 8.

riž. 8. Prijavnica po dodajanju komponent TEdit in TButton

6. Programiranje klika na gumb “Izračunaj”.

Naslednji korak v aplikaciji, ki se razvija, je programiranje dogodka v Delphiju, ki se zgodi ob kliku Button1.

Dogodek klika miške na gumb se imenuje OnClick.

konec ;

Glede na pogoje problema bomo v našem programu opisali tri spremenljivke z ustrezno oznako:

• R – polmer kroga;
• S – območje kroga;
• V – prostornina žoge.

Vse spremenljivke morajo biti realnega tipa.
Program uporablja tudi eno konstanto - število Pi. Označimo ga z imenom Pi. Upoštevati je treba, da ima Delphi vgrajeno funkcijo, imenovano Pi, vendar ta ne bo uporabljena v naši aplikaciji. Tako bo opis spremenljivk in konstant pred besedo begin naslednji:

Med začetnim in končnim stavkom vnesemo naslednje vrstice glavne programske kode:

Razložimo nekatere funkcije (metode), uporabljene v programski kodi. Funkcija StrToFloat pretvori vrednost niza Edit1.Text v realno število. Na primer po izvedbi naslednje kode

vrednost x bo postala -3,675.

V odstavkih 2 in 3 potekajo običajni izračuni površine kroga in prostornine krogle z uporabo aritmetične operacije jezik Pascal.

V 4. odstavku so prikazani rezultati. Ker je program implementiran kot Windows aplikacija, je za prikaz rezultata dovolj, da izpolnite vrednost lastnosti Caption v komponentah Label2 (območje) in Label3 (volumen).

Funkcija FloatToStrF izvede inverzno pretvorbo v funkcijo StrToFloat, to pomeni, da pretvori realno število v niz. Na primer, če želite pretvoriti število 2,87 v niz z natančnostjo 4 decimalnih mest, morate napisati:

kjer je v spremenljivka realnega tipa; str – spremenljivka niza; ffFixed – oblika pretvorbe. Konstanta 8 pomeni, da je uporabljena skupna izhodna širina 8 znakov. Konstanta 4 pomeni decimalno natančnost.

Splošni seznam postopka za obdelavo dogodka OnClick komponente Button1 izgleda takole:

Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 );

7. Nastavitev imena aplikacije Če želite spremeniti ime aplikacije namesto nerazumljivega »Form1«, morate lastnost Caption glavnega obrazca nastaviti na »«.

Izračun površine kroga in prostornine krogle

8. Rezultat izvajanja aplikacije

Po zagonu aplikacije (programa) za izvedbo se prikaže okno, v katerem vnesemo polmer kroga R. Vnesite vrednost 2,5. Okno z rezultatom izvajanja programa je prikazano na sliki 9.

riž. 9. Rezultat izvajanja aplikacije

Rezultati

• Za rešitev te težave so bile uporabljene naslednje vrste komponent:
• TLabel je komponenta tipa »label«, ki predstavlja običajni besedilni niz za prikaz na obrazcu;
• TButton - komponenta, ki predstavlja običajni gumb na obrazcu;

TEdit je komponenta, ki izvaja vnosno vrstico, namenjeno sprejemanju informacij, ki jih uporabnik vnese s tipkovnico.

Za oblikovanje programskega vmesnika smo uporabili Tool Palette in Object Inspector.

• Upoštevamo tudi dve dodatni funkciji, ki pretvorita niz v število in nazaj, in sicer:
• funkcija StrToFloat, ki pretvori niz, ki predstavlja število, v realno število (na primer '3,678' => 3,678), ob upoštevanju regionalnih nastavitev sistema Windows; funkcijo FloatToStrF, ki ustrezno pretvori realno število v obliko niza danem formatu

(na primer 2,88 => '2,880') ob upoštevanju regionalnih nastavitev sistema Windows. Prostornina krogle Izrek Prostornina krogle s polmerom R je enaka 4/3 πR 3 R x B O C M A Dokaz Oglejmo si kroglo s polmerom R s središčem v točki O in poljubno izberimo os Ox. Presek krogle z ravnino, pravokotno na os Ox in poteka skozi točko M te osi, je krog s središčem v točki M. Označimo polmer tega kroga z R, njegovo ploščino pa s S(x) , kjer je x abscisa točke M. Izrazimo S( x) skozi x in R. Iz pravokotni trikotnik

Prostornine sferičnega segmenta, sferične plasti in sferičnega sektorja A) Sferični segment je del krogle, ki ga od nje odseka neka ravnina. Na sliki 1 sečna ravnina α, ki poteka skozi točko B, razdeli kroglo na 2 sferična segmenta. Krog, dobljen v odseku, se imenuje osnova vsakega od teh segmentov, dolžini segmentov AB in BC s premerom AC, pravokotno na rezalno ravnino, pa se imenujejo višine segmentov. x AB=h α O A C Kroglični segment Sl

Če je polmer krogle enak R, višina segmenta pa h (na sliki 1 h = AB), se prostornina V sferičnega segmenta izračuna po formuli: V = рh² (R -1/3h). · B) Sferična plast je del krogle, ki je zaprt med 2 vzporednima sečnima ravninama (slika 2). Kroge, ki jih dobimo v prerezu krogle s temi ravninami, imenujemo osnove sferične plasti, razdalja med ravninama pa je višina sferične plasti. Prostornino sferične plasti lahko izračunamo kot razliko v prostorninah dveh sferičnih segmentov. A B C x Slika 2 Kroglična plast

C) Kroglasti sektor je telo, ki ga dobimo z vrtenjem krožnega sektorja pod kotom, manjšim od 90 stopinj, okrog premice, ki vsebuje enega od polmerov, ki omejujejo krožni sektor (slika 3). Sferični sektor je sestavljen iz sferičnega segmenta in stožca. Če je polmer krogle enak R in je višina sferičnega segmenta enaka h, se prostornina V sferičnega sektorja izračuna po formuli: V = 2/3 pR² h h O R r Slika 3 Krogla sektor

Območje krogle Za razliko od stranske površine valja ali stožca, krogle ni mogoče obrniti na ravnino, zato metoda določanja in izračuna površine z uporabo razvoja zanjo ni primerna. Za določitev površine krogle uporabljamo koncept omejenega poliedra. Naj ima polieder, opisan okoli krogle, n ploskev. N bomo neomejeno povečevali tako, da bo največja velikost vsake ploskve opisanih poliedrov težila k nič. Za površino krogle vzamemo mejo zaporedja površin poliedrov, opisanih v bližini krogle, saj težijo k ničli največja velikost vsak obraz => ">

Polmer krogle (označen z r ali R) je segment, ki povezuje središče krogle s katero koli točko na njeni površini. Tako kot pri krogu je polmer krogle pomembna količina, potrebna za določitev premera, obsega, površine in/ali prostornine krogle. Toda polmer krogle je mogoče najti tudi z dano vrednost premer, obseg in druge količine. Uporabite formulo, v katero lahko nadomestite te vrednosti.

Koraki

Formule za izračun polmera

Iz premera izračunajte polmer. Radij enaka polovici premera, zato uporabite formulo g = D/2. To je ista formula, ki se uporablja za izračun polmera in premera kroga.

• Na primer, podana je krogla s premerom 16 cm: r = 16/2 8 cm. Če je premer 42 cm, potem je polmer enak 21 cm (42/2=21).

1. Izračunajte polmer iz oboda. Uporabite formulo: r = C/2π. Ker je obseg kroga C = πD = 2πr, potem formulo za izračun obsega delimo z 2π in dobimo formulo za iskanje polmera.

   • Na primer, dana krogla z obsegom 20 cm je: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Ista formula se uporablja za izračun polmera in obsega kroga.

2. Iz prostornine krogle izračunajte polmer. Uporabite formulo: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Prostornina žoge se izračuna po formuli V = (4/3)πr 3. Če ločimo r na eni strani enačbe, dobimo formulo ((V/π)(3/4)) 3 = r, to pomeni, da izračunamo polmer, prostornino krogle delimo s π, rezultat pomnožimo z 3/4 in povišajte dobljeni rezultat na potenco 1/3 (ali vzemite kubični koren).

   • Na primer, dana je krogla s prostornino 100 cm 3 . Polmer te krogle se izračuna na naslednji način:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Izračunajte polmer iz površine. Uporabite formulo: g = √(A/(4 π)). Površina krogle se izračuna po formuli A = 4πr 2. Če ločimo r na eni strani enačbe, dobimo formulo √(A/(4π)) = r, kar pomeni, da za izračun polmera morate izluščiti kvadratni koren od površine, deljene s 4π. Namesto da bi vzeli koren, lahko izraz (A/(4π)) dvignemo na potenco 1/2.

   • Na primer, dana je krogla s površino 1200 cm 3. Polmer te krogle se izračuna na naslednji način:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Določitev osnovnih količin

   1. Zapomnite si osnovne količine, ki so pomembne za izračun polmera krogle. Polmer krogle je segment, ki povezuje središče krogle s katero koli točko na njeni površini. Polmer krogle je mogoče izračunati iz danih vrednosti premera, obsega, prostornine ali površine.

      Uporabite vrednosti teh količin, da poiščete polmer. Polmer je mogoče izračunati iz danih vrednosti premera, obsega, prostornine in površine. Poleg tega je navedene vrednosti mogoče najti iz dane vrednosti polmera. Če želite izračunati polmer, preprosto pretvorite formule in poiščite prikazane vrednosti. Spodaj so formule (ki vključujejo polmer) za izračun premera, obsega, prostornine in površine.

   Iskanje polmera iz razdalje med dvema točkama

   1. Poiščite koordinate (x, y, z) središča krogle. Polmer kroglice enako razdalji med njenim središčem in katero koli točko, ki leži na površini krogle. Če so koordinate središča krogle in katere koli točke, ki leži na njeni površini, znane, lahko polmer krogle poiščete s posebno formulo, tako da izračunate razdaljo med dvema točkama. Najprej poiščite koordinate središča krogle. Ker je krogla tridimenzionalna figura, ne pozabite, da bo imela točka tri koordinate (x, y, z) namesto dveh (x, y).

      • Poglejmo si primer. Dana krogla s središčnimi koordinatami (4,-1,12) . S temi koordinatami poiščite polmer krogle.

   2. Poiščite koordinate točke, ki leži na površini žoge. Sedaj moramo najti koordinate (x,y,z) katerikoli točka, ki leži na površini žoge. Ker so vse točke, ki ležijo na površini krogle, na enaki razdalji od središča krogle, lahko izberete katero koli točko za izračun polmera krogle.

      • V našem primeru predpostavimo, da ima neka točka, ki leži na površini krogle, koordinate (3,3,0) . Z izračunom razdalje med to točko in središčem krogle boste našli polmer.

   3. Izračunajte polmer z uporabo formule d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Ko najdete koordinate središča krogle in točke, ki leži na njeni površini, lahko najdete razdaljo med njima, ki je enaka polmeru krogle. Razdalja med dvema točkama se izračuna po formuli d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), kjer je d razdalja med točkama , (x 1, y 1 ,z 1) – koordinate središča krogle, (x 2 , y 2 , z 2) – koordinate točke, ki leži na površini krogle.

      • V obravnavanem primeru namesto (x 1 ,y 1 ,z 1) nadomestimo (4,-1,12) in namesto (x 2 ,y 2 ,z 2) nadomestimo (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. To je želeni polmer krogle.

   4. Upoštevajte, da je v splošnih primerih r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Vse točke, ki ležijo na površini krogle, se nahajajo na enaki razdalji od središča krogle. Če v formuli za iskanje razdalje med dvema točkama "d" zamenjamo z "r", dobimo formulo za izračun polmera krogle po znane koordinate(x 1 ,y 1 ,z 1) središča krogle in koordinate (x 2 ,y 2 ,z 2) poljubne točke, ki leži na površini krogle.

      • Kvadrirajte obe strani te enačbe in dobite r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Upoštevajte, da ta enačba ustreza enačbi krogle r 2 = x 2 + y 2 + z 2 s središčem na koordinatah (0,0,0).
   • Ne pozabite na vrstni red izvajanja matematičnih operacij. Če se tega vrstnega reda ne spomnite in vaš kalkulator zna delati z oklepaji, jih uporabite.
   • Ta članek govori o izračunu polmera krogle. Če pa imate težave z učenjem geometrije, je najbolje, da začnete z izračunom količin, povezanih s kroglo, z uporabo znana vrednost polmer.
   • π (Pi) je črka grška abeceda, ki označuje konstanto, enako razmerju premer kroga na njegov obseg. Pi je iracionalno število, ki ni zapisan kot relacija realna števila. Obstaja veliko približkov, na primer razmerje 333/106 vam bo omogočilo, da poiščete število Pi s štirimestno natančnostjo. decimalno vejico. Praviloma uporabljajo približna vrednost Pi, kar je 3,14.