Volumen stožca. Vse formule za prostornine geometrijskih teles
1. Izračun prostornine kocke
a- stranica kocke
Formula za prostornino kocke, ( V ):
2. Poiščite s formulo prostornino pravokotnega paralelopipeda
a, b, c- stranice paralelepipeda
Včasih se stran paralelepipeda imenuje rob.
Formula za prostornino paralelepipeda, ( V):
3. Formula za izračun prostornine krogle, krogle
R — polmer kroglice
Z uporabo formule, če je podan polmer, lahko najdete prostornino krogle, ( V):
4. Kako izračunamo prostornino valja?
h- višina cilindra
r— osnovni polmer
S pomočjo formule poiščite prostornino valja, če sta znana njegov osnovni polmer in višina, ( V):
5. Kako najti prostornino stožca?
R— osnovni radij
H— višina stožca
Formula za prostornino stožca, če sta znana polmer in višina ( V):
7. Formula za prostornino prisekanega stožca
r — radij zgornje baze
R— spodnji radij
h - višina stožca
Formula za prostornino prisekanega stožca, če je znana - polmer spodnje osnove, polmer zgornje osnove in višina stožca ( V):
8. Prostornina pravilnega tetraedra
Pravilni tetraeder je piramida, katere vse ploskve so enakostranični trikotniki.
A- rob tetraedra
Formula za izračun prostornine pravilnega tetraedra ( V):
9. Prostornina pravilne štirikotne piramide
Piramida s kvadratno osnovo in enakimi enakokrakimi trikotniki na njenih stranicah se imenuje pravilna štirikotna piramida.
a- osnovna stran
h- višina piramide
Formula za izračun prostornine pravilne štirikotne piramide, ( V):
10. Prostornina pravilne trikotne piramide
Piramida, katere osnova je enakostranični trikotnik in katere stranice so enake, enakokraki trikotniki, se imenuje pravilna trikotna piramida.
a- osnovna stran
h- višina piramide
Formula za prostornino pravilne trikotne piramide glede na višino in stranico osnove ( V):
11. Poiščite prostornino pravilne piramide
Piramida s pravilnim mnogokotnikom in enakimi trikotniki na dnu se imenuje pravilna.
h- višina piramide
a- stran baze piramide
n- število strani mnogokotnika na dnu
Formula za prostornino pravilne piramide, če poznate višino, stran baze in število teh strani ( V):
Vse formule za prostornine geometrijskih teles
Geometrija, Algebra, Fizika
Formule volumna
Prostornina geometrijske figure- kvantitativna značilnost prostora, ki ga telo ali snov zaseda. V najenostavnejših primerih merimo prostornino s številom enotskih kock, ki se prilegajo telesu, torej kock z robom, ki je enak dolžinski enoti. Prostornina trupa oziroma prostornina posode je določena z njeno obliko in linearnimi merami.
Formula za prostornino kocke
1) Prostornina kocke je enaka kocki njenega roba.
V- prostornina kocke
H— višina roba kocke
Formula za prostornino piramide
1) Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka osnovne ploščine S (ABCD) in višine h (OS).
V- prostornina piramide
S- območje osnove piramide
h- višina piramide
Formule za prostornino stožca
1) Prostornina stožca je enaka tretjini zmnožka površine osnove in višine.
2) Prostornina stožca je enaka tretjini zmnožka števila pi (3,1415) s kvadratom polmera osnove in višine.
V- volumen stožca
S- območje dna stožca
h— višina stožca
π — število pi (3,1415)
r— polmer stožca
Formule prostornine valja
1) Prostornina valja je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.
2) Prostornina valja je enaka produktu števila pi (3,1415) s kvadratom polmera osnove in višine.
V- prostornina cilindra
S- območje osnove cilindra
h- višina cilindra
π — število pi (3,1415)
r— polmer cilindra
Formula za prostornino žoge
1) Prostornina žoge se izračuna po spodnji formuli.
V- prostornina žoge
π — število pi (3,1415)
R- polmer krogle
Formula za prostornino tetraedra
1) Prostornina tetraedra je enaka ulomku, katerega števec je kvadratni koren iz dva, pomnožen s kubom dolžine roba tetraedra, v imenovalcu pa dvanajst.
Formule volumna
Formule za prostornino in spletni programi za izračun prostornine
Formula volumna.
Formula volumna potrebno za izračun parametrov in značilnosti geometrijske figure.
Volumen figure je kvantitativna značilnost prostora, ki ga telo ali snov zaseda. V najpreprostejših primerih se prostornina meri s številom enotskih kock, ki se prilegajo telesu, torej kock z robom, ki je enak dolžinski enoti. Prostornina trupa oziroma prostornina posode je določena z njeno obliko in linearnimi merami.
Paralelepiped.
Prostornina pravokotnega paralelepipeda je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.
Cilinder.
Prostornina valja je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.
Prostornina valja je enaka zmnožku pi (3,1415) s kvadratom polmera osnove in višine.
Piramida.
Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove S (ABCDE) in višine h (OS).
Pravilna piramida- to je piramida, na dnu katere leži pravilen mnogokotnik, višina pa poteka skozi središče včrtanega kroga na dnu.
Pravilna trikotna piramida je piramida, katere osnova je enakostranični trikotnik, stranice pa enaki enakokraki trikotniki.
Pravilna štirikotna piramida je piramida, katere osnova je kvadrat, stranice pa enaki enakokraki trikotniki.
Tetraeder je piramida, katere vse ploskve so enakostranični trikotniki.
Prisekana piramida.
Prostornina prisekane piramide je enaka eni tretjini zmnožka višine h (OS) z vsoto ploščin zgornje osnove S 1 (abcde), spodnje osnove prisekane piramide S 2 (ABCDE) in povprečno razmerje med njima.
Prostornino kocke je enostavno izračunati - pomnožiti morate dolžino, širino in višino. Ker ima kocka dolžino, ki je enaka njeni širini in enaki njeni višini, je prostornina kocke enaka s 3 .
Stožec je telo v evklidskem prostoru, ki ga dobimo z združevanjem vseh žarkov, ki izhajajo iz ene točke (vrh stožca) in gredo skozi ravno površino.
Frustum delovalo bo, če v stožcu narišete prerez vzporedno z osnovo.
V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)
Prostornina krogle je eninpolkrat manjša od prostornine okrog nje opisanega valja.
Prizma.
Prostornina prizme je enaka zmnožku ploščine osnove prizme in njene višine.
Sektor za žogo.
Prostornina sferičnega sektorja je enaka prostornini piramide, katere osnova ima enako površino kot del sferične ploskve, ki jo izrezuje sektor, višina pa je enaka polmeru krogle.
Kroglična plast- to je del žoge, ki je zaprt med dvema sekantnima vzporednima ravninama.
Segment žoge- ta del žoge, odrezan z neko ravnino, se imenuje sferični ali sferični segment
Formula volumna
Formula za prostornino kocke, krogle, piramide, paralelograma, valja, tetraedra, stožca, prizme in prostornine drugih geometrijskih likov.
Pri tečaju stereometrije je eno glavnih vprašanj, kako izračunati prostornino določenega geometrijskega telesa. Vse se začne s preprostim paralelepipedom in konča s kroglo.
Tudi v življenju se morate pogosto soočiti s podobnimi težavami. Na primer za izračun količine vode, ki se prilega vedru ali sodu.
Lastnosti, ki veljajo za prostornino vsakega telesa
- Ta vrednost je vedno pozitivno število.
- Če lahko telo razdelimo na dele tako, da ni presečišč, potem se izkaže, da je skupna prostornina enaka vsoti prostornin delov.
- Enaka telesa imajo enake prostornine.
- Če je manjše telo popolnoma vsebovano v večjem, potem je prostornina prvega manjša od prostornine drugega.
Splošne oznake za vsa telesa
Vsak od njih ima robove in podstavke, v njih pa so vgrajene višine. Zato so takšni elementi enako označeni zanje. Točno tako so zapisani v formulah. Nadalje se bomo naučili izračunati prostornino posameznega telesa in uporabiti nova znanja v praksi.
Nekatere formule imajo druge količine. O njihovem imenovanju se bo razpravljalo, ko se bo pojavila taka potreba.
Prizma, paralelepiped (ravna in nagnjena) in kocka
Ta telesa so združena, ker so videti zelo podobna, formule za izračun prostornine pa so enake:
V = S * h.
Samo S se bo razlikoval. V primeru paralelepipeda se izračuna kot za pravokotnik ali kvadrat. V prizmi je lahko osnova trikotnik, paralelogram, poljuben štirikotnik ali drug mnogokotnik.
Za kocko je formula bistveno poenostavljena, ker so vse njene dimenzije enake:
V = a 3.
Piramida, tetraeder, prisekana piramida
Za prvo od teh teles obstaja formula za izračun prostornine:
V = 1/3 * S * n.
Tetraeder je poseben primer trikotne piramide. Vsi robovi v njem so enaki. Zato ponovno dobimo poenostavljeno formulo:
V = (a 3 * √2) / 12 ali V = 1/3 S h
Piramida postane prisekana, ko ji odrežemo zgornji del. Zato je njegova prostornina enaka razliki med dvema piramidama: tisto, ki bi bila nedotaknjena, in odstranjenim vrhom. Če je mogoče najti obe osnovi takšne piramide (S 1 - večja in S 2 - manjša), je za izračun prostornine priročno uporabiti to formulo:
Valj, stožec in prisekan stožec
V =π * r 2 * h.
Situacija s stožcem je nekoliko bolj zapletena. Za to obstaja formula:
V = 1/3 π * r 2 * h. Je zelo podoben tistemu, ki je naveden za valj, le da se vrednost zmanjša za trikrat.
Tako kot pri prisekani piramidi tudi pri stožcu, ki ima dve osnovi, ni enostavno. Formula za izračun prostornine prisekanega stožca je videti takole:
V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Tukaj je r 1 polmer spodnje baze, r 2 je polmer zgornje (manjše).
Žoga, segmenti krogle in sektor
To so formule, ki si jih je najtežje zapomniti. Za prostornino žoge je videti takole:
V = 4/3 π *r 3 .
Pri težavah se pogosto pojavlja vprašanje, kako izračunati prostornino sferičnega segmenta - dela krogle, ki je tako rekoč izrezan vzporedno s premerom. V tem primeru vam bo na pomoč priskočila naslednja formula:
V = π h 2 * (r - h/3). V njej je h vzeta kot višina segmenta, to je del, ki poteka vzdolž polmera krogle.
Sektor je razdeljen na dva dela: stožec in sferični segment. Zato je njegova prostornina definirana kot vsota teh teles. Formula po transformacijah izgleda takole:
V = 2/3 πr 2 * h. Tukaj je h tudi višina segmenta.
Vzorčne težave
O prostorninah valja, krogle in stožca
Pogoj: premer valja (1. telo) je enak njegovi višini, premer krogle (2. telo) in višina stožca (3. telo), preverite sorazmernost volumnov V 1: V 2: V 3 = 3:2:1
rešitev. Najprej morate zapisati tri formule za količine. Nato upoštevajte, da je polmer polovica premera. To pomeni, da bo višina enaka dvema polmeroma: h = 2r. S preprosto zamenjavo se izkaže, da bodo formule za količine videti takole:
V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Formula za prostornino krogle se ne spremeni, ker se v njej ne pojavi višina.
Zdaj je treba zapisati prostorninska razmerja in izvesti redukcijo 2π in r 3. Izkazalo se je, da je V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Te številke lahko enostavno zapišemo kot 3:2:1.
O volumnu žoge
Pogoj: Obstajata dve lubenici s polmeroma 15 in 20 cm, kaj se bolj splača pojesti: prvo s štirimi ljudmi ali drugo z osmimi?
rešitev.Če želite odgovoriti na to vprašanje, boste morali najti razmerje med volumni delov, ki bodo izhajali iz vsake lubenice. Glede na to, da gre za krogle, moramo zapisati dve formuli za prostornine. Nato upoštevajte, da bodo od prvega vsi dobili le četrtino, od drugega pa osmino.
Ostaja še zapisati razmerje prostornin delov. Videti bo takole:
(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Po transformaciji ostane samo ulomek: (2 r 1 3) / r 2 3. Po zamenjavi vrednosti in izračunu dobimo frakcijo 6750/8000. Iz nje je razvidno, da bo delež prve lubenice manjši kot delež druge.
Odgovori. Bolj donosno je pojesti osmino lubenice s polmerom 20 cm.
O prostorninah piramide in kocke
Pogoj: obstaja piramida iz gline s pravokotno osnovo 8X9 cm in višino 9 cm, iz istega kosa gline je bila narejena kocka, kakšen je njen rob?
rešitev.Če stranice pravokotnika označimo s črkama b in c, potem se površina osnove piramide izračuna kot njihov produkt. Potem je formula za njegovo prostornino:
Formula za prostornino kocke je zapisana v zgornjem članku. Ti dve vrednosti sta enaki: V 1 = V 2 . Vse, kar ostane, je enačiti desne strani formul in narediti potrebne izračune. Izkazalo se je, da bo rob kocke enak 6 cm.
O prostornini paralelepipeda
Pogoj: morate narediti škatlo s prostornino 0,96 m3, njegova širina in dolžina sta znani - 1,2 in 0,8 metra, kakšna naj bo njegova višina?
rešitev. Ker je osnova paralelepipeda pravokotnik, je njegova ploščina definirana kot produkt dolžine (a) in širine (b). Zato je formula za količino videti takole:
Iz njega je enostavno določiti višino tako, da prostornino delimo s površino. Izkazalo se je, da mora biti višina 1 m.
Odgovori. Višina škatle je en meter.
Kako izračunati prostornino različnih geometrijskih teles?
Pri tečaju stereometrije je ena glavnih nalog, kako izračunati prostornino določenega geometrijskega telesa. Vse se začne s preprostim paralelepipedom in konča s kroglo.
V kocko je včrtana krogla, katere prostornina je 8π. Poiščite prostornino kocke.
rešitev
Naj bo a stranica kocke. Potem je prostornina kocke V = a 3.
Ker je krogla včrtana v kocko, je polmer krogle enak polovici roba kocke, to je R = a/2 (glej sliko).
Prostornina krogle je enaka V w = (4/3)πR 3 in enaka 8π, torej
(4/3)πR 3 = 8π,
In prostornina kocke je enaka V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Naloga B9 (Tipične možnosti 2015)
Prostornina stožca je 32. Skozi sredino višine, vzporedno z osnovo stožca, je narisan prerez, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
rešitev
Razmislimo o nalogah:
72353. Prostornina stožca je 10. Skozi sredino višine je narisan prerez, vzporeden z osnovo stožca, ki je osnovka manjšega stožca z enakim vrhom. Poišči prostornino manjšega stožca.
Naj takoj opozorimo, da sta prvotni in odrezani stožec podobna in če upoštevamo odrezani stožec glede na prvotni, lahko rečemo tole: manjši stožec je podoben večjemu s koeficientom, ki je enak polovici ali 0,5. . Lahko zapišemo:
Lahko bi napisali:
Lahko bi si mislili!
Razmislimo o prvotnem stožcu glede na odsekanega. Lahko rečemo, da je večji stožec podoben odseku s koeficientom, ki je enak dve, zapišimo:
Zdaj si oglejte rešitev brez uporabe lastnosti podobnosti.
Prostornina stožca je enaka eni tretjini zmnožka površine njegove osnove in njegove višine:
Upoštevajte stransko projekcijo (stranski pogled) z navedenim prečnim prerezom:
Naj bo polmer večjega stožca enak R, višina H. Prerez (osnova manjšega stožca) poteka skozi sredino višine, kar pomeni, da bo njegova višina enaka H/2. In polmer baze je enak R/2, kar izhaja iz podobnosti trikotnikov.
Zapišimo prostornino prvotnega stožca:
Prostornina odrezanega stožca bo enaka:
Tako podrobne rešitve so predstavljene, da lahko vidite, kako je mogoče zgraditi sklepanje. Delujte na kakršen koli način - glavna stvar je, da razumete bistvo odločitve. Tudi če pot, ki ste jo izbrali, ni racionalna, je rezultat (pravilen rezultat) pomemben.
Odgovor: 1,25
318145. V posodi stožčaste oblike nivo tekočine doseže polovico njene višine. Prostornina tekočine je 70 ml. Koliko mililitrov tekočine je treba dodati, da se posoda popolnoma napolni?
Ta naloga je podobna prejšnji. Čeprav tukaj govorimo o tekočini, je princip rešitve enak.
Imamo dva stožca - to je sama posoda in "majhen" stožec (napolnjen s tekočino), sta si podobna. Znano je, da so prostornine takih teles povezane na naslednji način:
Začetni stožec (posoda) je podoben stožcu, napolnjenem s tekočino s koeficientom 2, saj pravijo, da nivo tekočine doseže polovico višine. Lahko napišete bolj podrobno:
Izračunamo:
Tako morate dodati:
Druge težave s tekočinami.
74257. Poiščite prostornino V stožca, katerega generatrisa je enaka 44 in je nagnjena na ravnino osnove pod kotom 30 0. V odgovoru navedite V/Pi.
Volumen stožca:
Višino stožca poiščemo z uporabo lastnosti pravokotnega trikotnika.
Krak, ki leži nasproti kota 30°, je enak polovici hipotenuze. Hipotenuza je v tem primeru generator stožca. Zato je višina stožca 22.
Kvadrat polmera baze najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka:
*Potrebujemo kvadrat polmera, ne polmera samega.
Vrtilna telesa, ki jih preučujejo v šoli, so valj, stožec in krogla.
Če morate v nalogi na enotnem državnem izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.
Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Učijo na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.
Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.
2. Kolikokrat je prostornina stožca, opisanega okrog pravilne štirikotne piramide, večja od prostornine stožca, včrtanega tej piramidi?
Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.
Še ena pomembna točka. Spomnimo se, da je v nalogah dela B Enotnega državnega izpita iz matematike odgovor zapisan kot celo število ali končni decimalni ulomek. Zato v vašem odgovoru v delu B ne sme biti nobenega ali. Tudi približne vrednosti števila ni treba zamenjati! Vsekakor se mora skrčiti! V ta namen je v nekaterih težavah naloga oblikovana, na primer, kot sledi: "Poiščite površino bočne površine valja, deljeno s."
Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v nalogi C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.
Geometrija je težka znanost, a uporabna. V šoli smo se vsi naučili izračunati prostornine tridimenzionalnih teles, vendar se vsi ne spomnijo dobro formul za te izračune. Ta članek vam bo pomagal obnoviti, kako najti prostornino stožca. Ta tridimenzionalna figura nastane s krožnim vrtenjem pravokotnega trikotnika. Njegovo prostornino lahko izračunate na različne načine, odvisno od začetnih podatkov, ki jih imate.
Navodila:
- V večini primerov se za izračun uporabita polmer osnovnega kroga in višina. Formula za prostornino stožca v tem primeru izgleda takole: V= πRh, Kje π=3,14, R– polmer baze, h– višina figure. Preprosto povedano, s to formulo izračunamo površino baze in jo pomnožimo z višino. Vendar pa lahko izračun volumna stožca poteka v drugačni obliki, če poznate druge parametre vaše figure.
- Če poznate dolžino stranice stožca in polmer osnove, morate za določitev prostornine figure ugotoviti, kakšna je njegova višina. To nam bo pomagalo Pitagorov izrek , ker je polmer baze v tem primeru noga pravokotni trikotnik in stransko stran, hipotenuza. Da bi našli dolžino druge noge, ki je višina stožca, bomo uporabili dobro znano formulo a^2+b^2=c^2 .
- Toda kako najti prostornino stožca, če nista znana niti dolžina stranice niti polmer baze? V tem primeru morate vedeti stopinja kota na vrhu stožca in njegovi višini. S temi podatki lahko izračunate polmer baze. Ne pozabite, da je stožec figura, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od njegovih krakov. Če ogliščni kot razdelimo na dvoje, dobimo stopinjo enega od dveh ostrih kotov tega trikotnika. S pomočjo definicij trigonometričnih funkcij lahko ugotovimo dolžino stranice nasproti tega kota, to je v našem primeru polmer baze. V tem primeru bo enako l*sin(α), Kje l– dolžina od vrha stožca do podnožja, bo višina v skladu s tem enaka l*cos(α), z uporabo teh vrednosti izpeljemo naslednjo formulo za polmer baze R= h/cos(α)*sin(α) ali enakovredno, R = h*tan (α).
