Neodvisni testi in Bernoullijeva formula. Neodvisno ponovno testiranje in Bernoullijeva formula

Naj se izvede n neodvisni poskusi, od katerih vsak vsebuje nek dogodek A Lahko se pojavi ali pa ne. Naj se zgodi verjetnost dogodka A v enem testu stalen in enak str(verjetnost, da se dogodek ne zgodi A enako q = 1–str).

Pod temi pogoji je verjetnost, da dogodek A pri vodenju n testi bodo prišli točno k določeni časi Bernoullijeva formula:

Številka pojava dogodka A pri neodvisnih testih se imenuje najverjetneje, če je verjetnost, da dogodek A se v teh testih pojavi enkrat, presega (ali ni manjša od) verjetnosti izidov drugih testov. Število določimo z dvojno neenakostjo:

Če je delno število, potem obstaja eno najbolj verjetno število.

Če je celo število, potem obstajata dve najverjetnejši števili in .

Če je celo število, potem .

Naloga. Verjetnost, da izdelek ne bo prestal pregleda, je 0,125. Poiščite verjetnost, da med 12 izdelki ne bo niti enega z napako.

rešitev. Označimo dogodek A- "izdelek ne bo prestal pregleda." Dirigirano n= 12 neodvisnih poskusov. Najti moramo verjetnost, da dogodek A se bo zgodilo k= 0-krat (inšpekcija ne bo opravila niti enega izdelka). Verjetnost pojava dogodka A str= 0,125=1/8, nenastopanje – q= 0,875=7/8. Z uporabo Bernoullijeve formule (17.1) dobimo:

Poissonova formula

V primeru, ko z naraščanjem n verjetnost str pojav dogodka, ki nas zanima, se zmanjšuje in je konstantno število (predvidevamo, da a£ 10), potem je verjetnost, da dogodek A pri vodenju n testi bodo prišli točno kčase je mogoče izračunati z Poissonova formula:

Poissonova formula je dober približek Bernoullijeve formule v primeru, ko je verjetnost dogodka majhna ( str® 0, ) in število testov n odlično. Poissonova formula se imenuje zakon redkih dogodkov.

Tok dogodkov je zaporedje dogodkov, ki se zgodijo ob naključnih trenutkih.

Intenzivnost pretoka l je povprečno število dogodkov, ki se zgodijo na enoto časa.

Verjetnost pojava k najenostavnejši dogodki tečejo skozi čas t se določi s Poissonovo formulo:

Naloga. 6 okvarjenih delov zapusti tekoči trak na dan. Tekoči trak deluje v treh izmenah. Določite verjetnost, da med izmeno ne bo okvarjenih delov.

rešitev. Intenzivnost pojava napak je l = 6/24 = 0,25. Časovno obdobje t = 8 (dopoldne) – izmena. Poiščimo verjetnost, da med izmeno ne bo napak:

Diskretne naključne spremenljivke.

Numerične značilnosti diskretnih slučajnih spremenljivk.

Distribucijska funkcija

Naključna spremenljivka je količina, ki kot rezultat testiranja prevzame katerokoli prej neznano vrednost iz določenega številskega niza. Vrednost naključne spremenljivke je odvisna od številnih naključnih dejavnikov, ki jih ni mogoče upoštevati pred eksperimentiranjem.

Naključna spremenljivka se imenuje diskretna, če vzame vrednosti iz neke fiksne končne ali štetne množice. V tem primeru je mogoče vrednosti naključne spremenljivke oštevilčiti.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke se imenuje ujemanje med njegovimi možnimi vrednostmi in njihovimi verjetnostmi. Porazdelitveni zakon je mogoče določiti analitično, grafično in tabelarično. Zakon porazdelitve v obliki tabele ima obliko:

Prva vrstica tabele vsebuje možne vrednosti naključne spremenljivke X, v drugem - verjetnosti teh vrednosti. Pri vsakem poskusu naključna spremenljivka X ima lahko le eno vrednost, torej dogodki X = x 1 , X = x 2 , …, X = x n tvorijo popolno skupino po parih nekompatibilnih dogodkov in zato .

Poligon(mnogokotnik)distribucija diskretne naključne spremenljivke je grafični prikaz zakona njene porazdelitve. Za konstrukcijo porazdelitvenega poligona v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu je potrebno zaporedno povezati točke s koordinatami , kjer so možne vrednosti naključne spremenljivke X, - ustrezne verjetnosti ( i = 1, 2, …, n).

Matematično pričakovanje M(X X je vsota produktov vseh možnih vrednosti in njihovih verjetnosti:

Varianca(razpršenost) D(X) diskretna naključna spremenljivka X je matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja:

Primerno je izračunati varianco po formuli:

Standardni odklon s( X)diskretna naključna spremenljivka X se imenuje kvadratni koren variance:

Distribucijska funkcija (integralna funkcija) naključna spremenljivka X imenovana funkcija F(x), ki določa verjetnost, da naključna spremenljivka X kot rezultat testa bo vrednost manjša X:

Lastnosti porazdelitvene funkcije

1. Vrednosti distribucijske funkcije pripadajo segmentu:

2. - nepadajoča funkcija, tj. , Če .

3. Če možne vrednosti naključne spremenljivke pripadajo intervalu ( a, b), nato ob , ob .

4. Verjetnost, da naključna spremenljivka X bo prevzel vrednost, ki pripada intervalu [ a, b), je enaka prirastku porazdelitvene funkcije na tem intervalu:

Naloga. Diskretna naključna spremenljivka X ki ga določa distribucijski zakon:

1. Konstruirajte porazdelitveni poligon.

2. Poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon.

3. Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X in ga začrtaj.

4. Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa naključna spremenljivka X bo vzel vrednost iz intervala. Numerične značilnosti X:

torej . Z reševanjem tega sistema dobimo dva para vrednosti: . Ker glede na pogoje problema končno imamo: .

odgovor: .

Primer 2.11. V povprečju pod 10 % pogodb zavarovalnica izplača zavarovalne zneske v zvezi z nastankom zavarovalnega primera. Izračunajte matematično pričakovanje in disperzijo števila takih pogodb med štirimi naključno izbranimi.

rešitev: Matematično pričakovanje in varianco je mogoče najti z uporabo formul:

.

Možne vrednosti SV (število pogodb (od štirih) z nastankom zavarovalnega dogodka): 0, 1, 2, 3, 4.

Za izračun verjetnosti različnih števil pogodb (od štirih), za katere so bile plačane zavarovalne vsote, uporabimo Bernoullijevo formulo:

.

Distribucijska serija IC (število pogodb z nastankom zavarovalnega dogodka) ima obliko:

Odgovor: , .

Primer 2.12. Od petih vrtnic sta dve beli. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke, ki izraža število belih vrtnic med dvema sočasno vzetima vrtnicama.

rešitev: V izboru dveh vrtnic lahko ni bele vrtnice ali pa sta ena ali dve beli vrtnici. Zato je naključna spremenljivka X lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

kje -- število vrtnic;

-- število belih vrtnic;

– število vrtnic, vzetih hkrati;

-- število belih vrtnic med odvzetimi.

.

.

.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.13. Med 15 sestavljenimi enotami jih 6 potrebuje dodatno mazanje. Sestavite porazdelitveni zakon za število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje, med petimi naključno izbranimi izmed skupnega števila.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje med petimi izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

kje -- število sestavljenih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje;

– število izbranih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje med izbranimi.

.

.

.

.

.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.14. Od 10 ur, prejetih v popravilo, jih 7 potrebuje generalno čiščenje mehanizma. Ure niso razvrščene po vrsti popravila. Mojster, ki želi najti ure, ki jih je treba očistiti, jih pregleda eno za drugo in, ko najde takšne ure, preneha z nadaljnjim ogledom. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila gledanih ur.

rešitev: Naključna spremenljivka X– število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med petimi izbranimi – lahko zavzame naslednje vrednosti: 1, 2, 3, 4. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, ga najdemo po formuli:

.

.

.

.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Zdaj pa izračunajmo numerične značilnosti količine:

Odgovor: , .

Primer 2.15. Naročnik je pozabil zadnjo številko telefonske številke, ki jo potrebuje, vendar se spomni, da je liha. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila klicev telefonske številke, preden doseže želeno številko, če naključno pokliče zadnjo številko in pozneje ne pokliče klicane številke.

rešitev: Naključna spremenljivka ima lahko naslednje vrednosti: . Ker naročnik v prihodnje ne pokliče klicane številke, sta verjetnosti teh vrednosti enaki.

Sestavimo porazdelitveni niz naključne spremenljivke:

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco števila poskusov klicanja:

Odgovor: , .

Primer 2.16. Verjetnost okvare med testiranjem zanesljivosti za vsako napravo v seriji je enaka str. Določite matematično pričakovanje števila naprav, ki niso uspele, če so bile testirane n naprave.

rešitev: Diskretna naključna spremenljivka X je število okvarjenih naprav v n neodvisni testi, pri vsakem od katerih je verjetnost neuspeha enaka p, porazdeljena po binomskem zakonu. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti, da se dogodek zgodi v enem poskusu:

Primer 2.17. Diskretna naključna spremenljivka X ima 3 možne vrednosti: z verjetnostjo ; z verjetnostjo in z verjetnostjo. Poiščite in , vedoč, da M( X) = 8.

rešitev: Uporabljamo definiciji matematičnega pričakovanja in porazdelitvenega zakona diskretne naključne spremenljivke:

Najdemo:.

Primer 2.18. Oddelek za tehnični nadzor preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je izdelek standarden, je 0,9. Vsaka serija vsebuje 5 izdelkov. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X– število serij, od katerih vsaka vsebuje točno 4 standardne izdelke, če je predmet pregleda 50 serij.

rešitev: V tem primeru so vsi izvedeni poskusi neodvisni in verjetnosti, da vsaka serija vsebuje natanko 4 standardne izdelke, so enake, zato lahko matematično pričakovanje določimo s formulo:

,

kje je število strank;

Verjetnost, da serija vsebuje točno 4 standardne izdelke.

Verjetnost najdemo z uporabo Bernoullijeve formule:

odgovor: .

Primer 2.19. Poiščite varianco naključne spremenljivke X– število ponovitev dogodka A v dveh neodvisnih poskusih, če sta verjetnosti pojava dogodka v teh poskusih enaki in je znano, da M(X) = 0,9.

rešitev: Problem je mogoče rešiti na dva načina.

1) Možne vrednosti SV X: 0, 1, 2. Z Bernoullijevo formulo določimo verjetnosti teh dogodkov:

, , .

Potem zakon o distribuciji X ima obliko:

Iz definicije matematičnega pričakovanja določimo verjetnost:

Poiščimo disperzijo SV X:

.

2) Lahko uporabite formulo:

.

odgovor: .

Primer 2.20. Pričakovanje in standardni odklon normalno porazdeljene naključne spremenljivke X enako 20 in 5. Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa X bo prevzel vrednost v intervalu (15; 25).

rešitev: Verjetnost zadetka normalne naključne spremenljivke X na odseku od do je izražena z Laplaceovo funkcijo:

Primer 2.21. Dana funkcija:

Pri kateri vrednosti parametra C ta funkcija je gostota porazdelitve neke zvezne naključne spremenljivke X? Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke X.

rešitev: Da bi bila funkcija porazdelitvena gostota neke naključne spremenljivke, mora biti nenegativna in mora izpolnjevati lastnost:

.

Zato:

Izračunajmo matematično pričakovanje po formuli:

.

Izračunajmo varianco po formuli:

T je enako str. Treba je najti matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.

rešitev: Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke X - število pojavitev dogodka v neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost, da se dogodek zgodi enaka , se imenuje binom. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava dogodka A v enem poskusu:

.

Primer 2.25. V tarčo se izstrelijo trije neodvisni streli. Verjetnost zadetka vsakega strela je 0,25. Določite standardni odklon števila zadetkov s tremi streli.

rešitev: Ker so izvedeni trije neodvisni poskusi in je verjetnost pojava dogodka A (zadetek) v vsakem poskusu enaka, bomo predpostavili, da je diskretna naključna spremenljivka X - število zadetkov na tarči - porazdeljena glede na binomski zakon.

Varianca binomske porazdelitve je enaka zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava in nepojavitve dogodka v enem poskusu:

Primer 2.26. Povprečno število strank, ki obiščejo zavarovalnico v 10 minutah, je tri. Poiščite verjetnost, da bo vsaj ena stranka prispela v naslednjih 5 minutah.

Povprečno število strank, ki pridejo v 5 minutah: . .

Primer 2.29.Čakalni čas za aplikacijo v čakalni vrsti procesorja je podrejen eksponentnemu zakonu porazdelitve s povprečno vrednostjo 20 sekund. Poiščite verjetnost, da bo naslednja (naključna) zahteva čakala na procesorju več kot 35 sekund.

rešitev: V tem primeru matematično pričakovanje , stopnja napak pa je enaka .

Potem je želena verjetnost:

Primer 2.30. Skupina 15 študentov ima srečanje v dvorani z 20 vrstami po 10 sedežev. Vsak učenec si mesto v dvorani zavzame naključno. Kakšna je verjetnost, da na sedmem mestu v vrsti ne bodo več kot tri osebe?

rešitev:

Primer 2.31.

Potem, po klasični definiciji verjetnosti:

kje -- število delov v seriji;

-- število nestandardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število nestandardnih delov med izbranimi.

Potem bo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke naslednji.

Konec dela -

Ta tema spada v razdelek:

Glede na diferencialno funkcijo naključne spremenljivke x: poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa x prevzel vrednosti, ki pripadajo intervalu 0,5; 1

Kaj je hipoteza, ki vsebuje samo eno predpostavko, imenovana preprosta hipoteza?

Če potrebujete dodatno gradivo o tej temi ali niste našli tistega, kar ste iskali, priporočamo iskanje v naši bazi del:

Kaj bomo naredili s prejetim materialom:

Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v družabnih omrežjih:

V tej lekciji bomo ugotovili verjetnost, da se dogodek zgodi v neodvisnih poskusih pri ponavljanju poskusov . Poskusi se imenujejo neodvisni, če verjetnost enega ali drugega izida posameznega poskusa ni odvisna od rezultatov drugih poskusov. . Neodvisni testi se lahko izvajajo tako pod enakimi kot pod različnimi pogoji. V prvem primeru je verjetnost nastopa nekega dogodka v vseh poskusih enaka, v drugem primeru pa se od poskusa do poskusa spreminja.

Primeri neodvisnih ponovnih testov :

• eno od vozlišč naprave ali dve ali tri vozlišča bodo odpovedali in odpoved vsakega vozlišča ni odvisna od drugega vozlišča, verjetnost odpovedi enega vozlišča pa je konstantna pri vseh testih;
• del ali trije, štirje, pet delov, izdelani pod določenimi stalnimi tehnološkimi pogoji, se bodo izkazali za nestandardne in en del se lahko izkaže za nestandardnega ne glede na kateri koli drug del in verjetnost, da se bo del spremenil biti nestandarden je konstanten pri vseh testih;
• od več strelov v tarčo en, trije ali štirje streli zadenejo tarčo ne glede na izid drugih strelov in je verjetnost zadetka tarče konstantna pri vseh poskusih;
• ko vrže kovanec, bo stroj pravilno deloval enkrat, dvakrat ali večkrat, ne glede na izid drugih padcev kovancev, in verjetnost, da bo stroj deloval pravilno, je konstantna v vseh poskusih.

Te dogodke je mogoče opisati v enem diagramu. Vsak dogodek se zgodi v vsakem poskusu z enako verjetnostjo, ki se ne spremeni, če postanejo znani rezultati prejšnjih poskusov. Takšni testi se imenujejo neodvisni, vezje pa se imenuje Bernoullijeva shema . Predvideva se, da je takšne teste mogoče ponoviti kolikorkrat želite.

Če je verjetnost str pojav dogodka A je konstantna v vsakem poskusu, potem je verjetnost, da v n dogodek neodvisnega testiranja A bo prišel m krat, se nahaja pri Bernoullijeva formula :

(Kje q= 1 – str- verjetnost, da se dogodek ne bo zgodil)

Postavimo si nalogo - najti verjetnost, da se zgodi dogodek te vrste n bodo prišli neodvisni testi m enkrat.

Bernoullijeva formula: primeri reševanja problemov

Primer 1. Poiščite verjetnost, da sta med petimi naključno vzetimi deli dva standardna, če je verjetnost, da se vsak del izkaže za standardnega, 0,9.

rešitev. Verjetnost dogodka A, ki sestoji iz dejstva, da je naključni del standarden, obstaja str=0,9 , verjetnost, da je nestandardna, pa je q=1–str=0,1. Dogodek, označen v izjavi o problemu (označujemo ga z IN) se bo zgodilo, če se na primer prva dva dela izkažeta za standardna, naslednji trije pa so nestandardni. Ampak dogodek IN se bo zgodilo tudi, če se izkaže, da sta prvi in ​​tretji del standardna, preostali pa nestandardni, ali če sta drugi in peti del standardna, ostali pa nestandardni. Obstajajo tudi druge možnosti, da se dogodek zgodi. IN. Za katerega koli od njih je značilno, da se od petih odvzetih delov dva, ki zasedeta poljubna mesta od petih, izkažeta za standardna. Torej skupno število različnih možnosti za pojav dogodka IN je enako številu možnosti za postavitev dveh standardnih delov na petih mestih, tj. je enako številu kombinacij petih elementov po dva in .

Verjetnost vsake možnosti po izreku o množenju verjetnosti je enaka zmnožku petih faktorjev, od katerih sta dva, ki ustrezata videzu standardnih delov, enaka 0,9, preostali trije pa ustrezajo videzu nestandardnih delov. delov, so enaki 0,1, tj. ta verjetnost je. Ker je teh deset možnosti nekompatibilnih dogodkov, je po izreku dodatka verjetnost dogodka IN, ki ga označujemo

Primer 2. Verjetnost, da bo stroj zahteval pozornost delavca v eni uri, je 0,6. Ob predpostavki, da so težave na strojih neodvisne, poiščite verjetnost, da bo v eni uri delavčevo pozornost zahteval kateri koli stroj od štirih, ki jih upravlja.

rešitev. Uporaba Bernoullijeva formula pri n=4 , m=1 , str=0,6 in q=1–str=0,4, dobimo

Primer 3. Za normalno delovanje skupnega prevoza mora biti na progi vsaj osem vozil, teh pa je deset. Verjetnost, da vsako vozilo ne stopi na črto, je 0,1. Poiščite verjetnost normalnega delovanja depoja avtomobilov v naslednjem dnevu.

rešitev. Skupna vožnja bo delovala normalno (dogodek F), če se oglasi osem ali osem (dogodek A), ali devet (dogodek IN), ali dogodek vseh deset avtomobilov (dogodek C). Po izreku seštevanja verjetnosti je

Najdemo vsak izraz po Bernoullijevi formuli. Tukaj n=10 , m=8; 10 in str=1-0,1=0,9, saj str mora navesti verjetnost, da vozilo zapelje na črto; Potem q=0,1. Kot rezultat dobimo

Primer 4. Naj bo verjetnost, da stranka potrebuje moške čevlje številka 41, 0,25. Poiščite verjetnost, da od šestih kupcev vsaj dva potrebujeta čevlje številke 41.