Pravilo nezdružljivih dogodkov za dodajanje verjetnosti. Neodvisnost dogodkov
Naj dogodki A in IN- nedosledna in verjetnosti teh dogodkov so znane. Vprašanje: kako najti verjetnost, da se bo zgodilo eno od teh? nezdružljivi dogodki? Odgovor na to vprašanje daje adicijski izrek.
Izrek.Verjetnost, da se zgodi eden od dveh nezdružljivih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:
str(A + IN) = str(A) + str(IN) (1.6)
Dokaz. Res, naj n– skupno število vseh enako možnih in nezdružljivih (tj. elementarnih) izidov. Naj dogodek A uslug m 1 izidi in dogodek IN – m 2 izida. Potem so po klasični definiciji verjetnosti teh dogodkov enake: str(A) = m 1 / n, str(B) = m 2 / n .
Od dogodkov A in IN nezdružljiv, potem nobeden od rezultatov ni ugoden za dogodek A, ne spodbuja dogodka IN(glej spodnji diagram).
Zato dogodek A+IN bo ugodno m 1 + m 2 izida. Zato za verjetnost str(A + B) dobimo:
Posledica 1. Vsota verjetnosti nastanka dogodkov polna skupina, je enako ena:
str(A) + str(IN) + str(Z) + … + str(D) = 1.
Dejansko naj dogodki A,IN,Z, … , D tvorijo popolno skupino. Zaradi tega sta nezdružljiva in edina možna. Zato dogodek A + B + C + …+D, ki sestoji iz pojava (kot rezultat testiranja) vsaj enega od teh dogodkov, je zanesljiv, tj. A+B+C+…+D = in str(A+B+C+ …+D) = 1.
Zaradi nezdružljivosti dogodkov A,IN,Z, … , D formula je pravilna:
str(A+B+C+ …+D) = str(A) + str(IN) + str(Z) + … + str(D) = 1.
Primer. V žari je 30 kroglic, od tega 10 rdečih, 5 modrih in 15 belih. Poiščite verjetnost, da izvlečete rdečo ali modro kroglo, pod pogojem, da je iz žare izvlečena samo ena krogla.
rešitev. Naj dogodek A 1 – žrebanje rdeče kroglice in dogodek A 2 – izvlečenje modre kroglice. Ti dogodki so nezdružljivi in str(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; str(A 2) = 5/30 = 1/6. Z adicijskim izrekom dobimo:
str(A 1 + A 2) = str(A 1) + str(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.
Opomba 1. Poudarjamo, da je glede na pomen problema treba najprej ugotoviti naravo obravnavanih dogodkov - ali so nekompatibilni. Če zgornji izrek uporabimo za skupne dogodke, bo rezultat napačen.
Pojem dogodka in verjetnost dogodka. Zanesljivi in nemogoči dogodki. Klasična definicija verjetnosti. Verjetnostni adicijski izrek. Teorem o množenju verjetnosti. Reševanje najenostavnejših problemov določanja verjetnosti s seštevanjem verjetnosti.
Navodila za temo 3.1:
Pojem dogodka in verjetnost dogodka. Zanesljivi in nemogoči dogodki. Klasična definicija verjetnosti:
Preučevanje vsakega pojava po vrstnem redu opazovanja ali eksperimentiranja je povezano z izvajanjem določenega sklopa pogojev (testov). Kliče se vsak rezultat ali rezultat testa dogodek.
Če dogodek danih pogojih se lahko zgodi ali pa tudi ne, se imenuje naključno. Ko je dogodek gotov, se ga pokliče zanesljiv, in v primeru, ko se to očitno ne more zgoditi, - nemogoče.
Dogodki se imenujejo nezdružljivo,če se lahko vsakič pojavi le eden od njih. Dogodki se imenujejo sklep,če pod danimi pogoji pojav enega od teh dogodkov ne izključuje pojava drugega med istim preskusom.
Dogodki se imenujejo nasprotje,če so pod pogoji preskusa, ker so njegovi edini rezultati, nezdružljivi.
Verjetnost dogodka se obravnava kot merilo objektivne možnosti pojava naključnega dogodka.
Verjetnost dogodkov imenujemo razmerje števila izidov m, ugoden za nastanek danega dogodka, na število n vseh izidov (nezdružljivih, edino možnih in enako možnih), tj.
Verjetnost nobenega dogodka ne more biti manjša od nič in večja od ena, tj. . Nemogoč dogodek ustreza verjetnosti, zanesljiv dogodek pa verjetnosti
Primer 1. V loteriji 1000 srečk je 200 dobitnih. Ena vstopnica se vzame naključno. Kakšna je verjetnost, da je ta listek zmagovalni?
Skupno število obstajajo različni izidi n= 1000. Število izidov, ugodnih za zmago, je m= 200. Po formuli dobimo .
Primer 2. Iz žare, v kateri je 5 belih in 3 črne kroglice, se izvleče ena kroglica. Poiščite verjetnost, da je krogla črna.
Dogodek, ki sestoji iz pojava črne krogle, označimo z . Skupno število primerov. Število primerov m, ugodno za nastanek dogodka, je enako 3. S formulo dobimo .
Primer 3. Iz žare, v kateri je 12 belih in 8 črnih kroglic, naključno izžrebamo dve žogici. Kolikšna je verjetnost, da sta obe krogli črni?
Dogodek, ki sestoji iz pojava dveh črnih kroglic, označimo z . Skupno število možnih primerov n enako številu kombinacij 20 elementov (12 + 8) po dva:
Število primerov m, dogodku naklonjen, je
S formulo najdemo verjetnost, da se pojavita dve črni krogli:
Verjetnostni adicijski izrek. Reševanje najpreprostejših problemov določanja verjetnosti z izrekom o dodajanju verjetnosti:
Izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov. Verjetnost pojava enega od več parno nekompatibilnih dogodkov, ne glede na katerega, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:
Izrek za seštevanje verjetnosti skupnih dogodkov. Verjetnost nastopa vsaj enega od dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov brez verjetnosti njihovega skupnega nastopa:
Primer 4. V škatli je v naključnem vrstnem redu 20 delov, od katerih je pet standardnih. Delavec naključno vzame tri dele. Poiščite verjetnost, da bo vsaj eden od izbranih delov standarden.
Očitno bo vsaj eden od posnetih delov standarden, če pride do katerega koli od treh nezdružljivih dogodkov: B- en del je standardni, dva sta nestandardna; C- dva dela sta standardna, eden je nestandardni in D- trije deli so standardni.
Torej dogodek A lahko predstavimo kot vsoto teh treh dogodkov: A = B + C + D. Po adicijskem izreku imamo P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Poiščite verjetnost vsakega od teh dogodkov:
Če dodamo najdene vrednosti, dobimo 
Primer 5. Poiščite verjetnost, da je naključno vzeta dvomestno število bo večkratnik števila 3 ali 5 ali obojega.
Naj A- dogodek, ki sestoji iz dejstva, da je naključno izbrano število večkratnik števila 3, in B- je, da je večkratnik 5. Poiščimo Since A in B skupnih dogodkov, potem uporabimo formulo:
Skupno je 90 dvomestnih števil: 10, 11, 98, 99. Od teh je 30 večkratnikov števila 3 (naklonjeni pojavu dogodka A); 18 - večkratniki števila 5 (naklonjeni pojavu dogodka B) in 6 - večkratniki 3 in 5 hkrati (naklonjeni pojavu dogodka AB). Tako, tj.
Teorem o množenju verjetnosti:
Izrek za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov. Verjetnost skupnega nastopa dveh neodvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov:
Verjetnost pojava več dogodkov, ki so v agregatu neodvisni, se izračuna po formuli:
Izrek za množenje verjetnosti odvisnih dogodkov. Verjetnost skupnega nastopa dveh odvisnih dogodkov je enaka produktu enega od njiju in pogojne verjetnosti drugega:
Primer 6. V eni žari so 4 bele in 8 črnih kroglic, v drugi pa 3 bele in 9 črnih kroglic. Iz vsake žare je bila vzeta žoga. Poiščite verjetnost, da sta obe krogli beli.
Naj bo videz bele krogle iz prve žare in naj bo videz bele krogle iz druge žare. Očitno je, da so dogodki neodvisni. Bomo našli
Z uporabo formule dobimo:
Vprašanja za samotestiranje pri temi 3.1:
1. Kaj je dogodek?
2. Kateri dogodki se imenujejo zanesljivi?
3. Kateri dogodki se imenujejo nemogoči?
4. Definirajte verjetnost.
5. Oblikujte izrek za seštevanje verjetnosti.
6. Formulirajte izrek verjetnostnega množenja.
Naloge za neodvisna odločitev na temo 3.1:
1. Škatla vsebuje 10 delov v naključnem vrstnem redu, od katerih so 4 standardni. Inšpektor je naključno vzel 3 dele. Poiščite verjetnost, da se je vsaj eden od vzetih delov izkazal za standardnega.
2. Žara vsebuje 10 belih, 15 črnih, 20 modrih in 25 rdečih kroglic. Poiščite verjetnost, da bo izvlečena kroglica: 1) bela; 2) črna ali rdeča.
3. Poiščite verjetnost, da bo naključno izbrano dvomestno število večkratnik števila 4 ali 5 ali obojega.
4. Delavec servisira dva stroja, ki delujeta neodvisno drug od drugega. Verjetnost, da prvi stroj ne bo zahteval pozornosti delavca v eni uri, je 0,8, za drugi stroj pa 0,7. Poiščite verjetnost, da v eni uri noben stroj ne bo zahteval pozornosti delavca.
5. Žara vsebuje 6 kroglic, od katerih so 3 bele. Dve žogici sta naključno izžrebani ena za drugo. Izračunajte verjetnost, da sta obe krogli beli.
6. Žara vsebuje 10 belih in 6 črnih kroglic. Poiščite verjetnost, da se tri naključno izvlečene kroglice ena za drugo izkažejo za črne.
Razmišlja se o poskusu E. Predpostavlja se, da se lahko izvaja večkrat. Kot rezultat poskusa se lahko pojavijo različni dogodki, ki sestavljajo določen niz F. Opazljive dogodke delimo na tri vrste: zanesljive, nemogoče, naključne.
Zanesljiv imenujemo dogodek, ki se bo zagotovo zgodil kot rezultat poskusa E. Označeno z Ω.
Nemogoče imenujemo dogodek, za katerega je znano, da se ne zgodi kot rezultat poskusa E. Označeno z .
Naključno imenujemo dogodek, ki se lahko ali pa tudi ne zgodi kot rezultat poskusa E.
Dodatno (nasproti) dogodek A je dogodek, označen z , ki se zgodi, če in samo če se dogodek ne zgodi A.
Vsota (kombinacija) dogodki je dogodek, ki se zgodi, če in samo, če se zgodi vsaj eden od teh dogodkov (slika 3.1). Notacija.
Slika 3.1
Produkt (presek) dogodki je dogodek, ki se zgodi, če in samo, če se vsi ti dogodki zgodijo skupaj (hkrati) (slika 3.2). Notacija. Očitno je, da dogodka A in B nezdružljivo , Če .
Slika 3.2
Celotna skupina dogodkov je niz dogodkov, katerih vsota je določen dogodek:
Dogodek IN klical poseben primer dogodka A, če z nastankom dogodka IN se pojavi dogodek A. Pravijo še, da dogodek IN vključuje dogodek A(Slika 3.3). Imenovanje
Slika 3.3
Dogodki A in IN se imenujejo enakovreden , če se med poskusom pojavijo skupaj ali ne E. Imenovanje Očitno, če ...
Težak dogodek pokličite opazovani dogodek, izražen z drugimi dogodki, opaženimi v istem poskusu, z uporabo algebraičnih operacij.
Verjetnost nastopa določenega kompleksnega dogodka se izračuna s pomočjo formul za seštevanje in množenje verjetnosti.
Verjetnostni adicijski izrek
Posledice:
1) če dogodki A in IN so nedosledni, ima adicijski izrek obliko:
2) pri treh členih je adicijski izrek zapisan v obliki
3) vsota verjetnosti medsebojno nasprotnih dogodkov je enaka 1:
Niz dogodkov ,, ..., se imenuje celotna skupina dogodkov , Če
Vsota verjetnosti dogodkov, ki tvorijo popolno skupino, je enaka 1:
Verjetnost pojava dogodka A pod pogojem, da dogodek IN zgodilo, pravijo pogojna verjetnost in označujejo oz.
A in IN – odvisni dogodki , Če .
A in IN – samostojni dogodki , Če .
Teorem o množenju verjetnosti
Posledice:
1) za samostojne dogodke A in IN
2) v splošnem primeru ima izrek o množenju verjetnosti za produkt treh dogodkov obliko:
Primeri reševanja problemov
Primer1 - IN električni tokokrog Trije elementi so zaporedno povezani in delujejo neodvisno drug od drugega. Verjetnost odpovedi prvega, drugega in tretjega elementa je enaka ,. Poiščite verjetnost, da v tokokrogu ne bo toka.
rešitev
Prvi način.
Označimo naslednje dogodke: - v vezju je prišlo do okvare prvega, drugega in tretjega elementa.
Dogodek A– v tokokrogu ne bo toka (vsaj eden od elementov bo odpovedal, ker so povezani zaporedno).
Dogodek - v vezju je tok (delujejo trije elementi), . Verjetnost nasprotnih dogodkov je povezana s formulo (3.4). Dogodek je produkt treh dogodkov, ki so v paru neodvisni. Z uporabo izreka za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov dobimo
Potem je verjetnost želenega dogodka .
Drugi način.
Ob upoštevanju prej sprejetega zapisa zapišemo želeni dogodek A– vsaj eden od elementov bo odpovedal:
Ker so členi, vključeni v vsoto, združljivi, je treba uporabiti izrek seštevanja verjetnosti v splošni pogled za primer treh členov (3.3):
odgovor: 0,388.
Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno
1 Čitalnica ima šest učbenikov teorije verjetnosti, od tega tri vezane. Knjižničarka je naključno vzela dva učbenika. Poiščite verjetnost, da bosta oba učbenika vezana.
2 V vrečki so mešane niti, od katerih je 30% belih, ostalo pa rdečih. Določite verjetnosti, da bosta dve naključno izvlečeni niti: enake barve; različne barve.
3 Naprava je sestavljena iz treh elementov, ki delujejo neodvisno. Verjetnost brezhibnega delovanja v določenem časovnem obdobju prvega, drugega in tretjega elementa je 0,6; 0,7; 0,8. Poiščite verjetnosti, da bo v tem času samo en element deloval brez napak; samo dva elementa; vsi trije elementi; vsaj dva elementa.
4 Vržene so tri kocke. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:
a) na vsaki narisani strani se pojavi pet točk;
b) na vseh izpadlih straneh bo enako število točk;
c) na dveh izpuščenih straneh se pojavi ena točka, na tretji strani pa drugo število točk;
d) na vseh izpuščenih ploskvah se pojavi različno število točk.
5 Verjetnost, da bo strelec z enim strelom zadel tarčo, je 0,8. Koliko strelov mora strelec izstreliti, da z verjetnostjo, manjšo od 0,4, lahko pričakujemo, da ne bo pogreškov?
6 Izmed števil 1, 2, 3, 4, 5 se najprej izbere ena, nato pa se iz preostalih štirih izbere druga številka. Predpostavlja se, da je vseh 20 možnih izidov enako verjetnih. Poiščite verjetnost, da bo izbrano liho število: prvič; že drugič; obakrat.
7 Verjetnost, da na oddelku za moške čevlje v trgovini še enkrat prodan bo par čevljev velikosti 46, kar je enako 0,01. Koliko parov čevljev mora biti prodanih v trgovini, da lahko z verjetnostjo vsaj 0,9 pričakujemo, da bo prodan vsaj en par čevljev številka 46?
8 Škatla vsebuje 10 delov, vključno z dvema nestandardnima. Poiščite verjetnost, da od šestih naključno izbranih delov ne bo več kot en nestandardni.
9 Oddelek za tehnični nadzor preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je izdelek nestandarden, je 0,1. Poiščite verjetnost, da:
a) od treh testiranih izdelkov se bosta samo dva izkazala za nestandardna;
b) le četrti testirani izdelek po vrsti se bo izkazal za nestandardnega.
10 Na izrezanih abecednih kartah je napisanih 32 črk ruske abecede:
a) naključno eno za drugo vzamemo tri karte in jih položimo na mizo po vrstnem redu. Poiščite verjetnost, da se bo pojavila beseda "svet";
b) tri odstranjene karte je mogoče zamenjati na kakršen koli način. Kakšna je verjetnost, da jih je mogoče uporabiti za sestavo besede "svet"?
11 Lovec napade bombnik in vanj izstreli dva neodvisna rafala. Verjetnost sestrelitve bombnika s prvim rafalom je 0,2, z drugim pa 0,3. Če bombnik ni sestreljen, strelja na lovca iz zadnjega topa in ga sestreli z verjetnostjo 0,25. Poiščite verjetnost, da bo bombnik ali lovec sestreljen zaradi zračne bitke.
domača naloga
1 Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula.
2 Rešite težave
Naloga1 . Delavec upravlja tri stroje, ki delujejo neodvisno drug od drugega. Verjetnost, da prvi stroj ne bo zahteval pozornosti delavca v eni uri, je 0,9, drugi - 0,8 in tretji - 0,85. Poiščite verjetnost, da bo v eni uri vsaj en stroj zahteval pozornost delavca.
Naloga2 . Računalniški center, ki mora nenehno obdelovati dohodne informacije, ima dve računalniški napravi. Znano je, da ima vsak od njih verjetnost okvare v določenem času 0,2. Določiti morate verjetnost:
a) dejstvo, da bo ena od naprav odpovedala, druga pa bo delovala;
b) nemoteno delovanje vsake naprave.
Naloga3 . Štirje lovci so se dogovorili, da bodo streljali na divjad v določenem zaporedju: naslednji lovec strelja le, če prejšnji zgreši. Verjetnost zadetka za prvega lovca je 0,6, za drugega - 0,7, za tretjega - 0,8. Poiščite verjetnost, da bodo izstreljeni streli:
d) štiri.
Naloga4 . Del gre skozi štiri obdelave. Verjetnost prejema napake med prvo operacijo je 0,01, med drugo - 0,02, med tretjo - 0,03 in med četrto - 0,04. Poiščite verjetnost prejema dela brez napak po štirih operacijah ob predpostavki, da so dogodki prevzemnih napak pri posameznih operacijah neodvisni.
Osnovni pojmi
Dogodki se imenujejo nekompatibilni, če pojav enega od njih izključuje pojav drugih dogodkov v istem poskusu. IN drugače imenujejo se sklepni.
Popolna skupina je niz dogodkov, katerih kombinacija je zanesljiv dogodek.
Edina dva možna dogodka, ki tvorita popolno skupino, imenujemo nasprotna.
Dogodki se imenujejo odvisni, če je verjetnost pojava enega od njih odvisna od pojava ali nepojavljanja drugih dogodkov.
Dogodki se imenujejo neodvisni, če verjetnost enega od njih ni odvisna od pojava ali nepojavljanja drugih.
Izrek za seštevanje verjetnosti nekompatibilnih dogodkov
P(A+B)=P(A)+P(B),
kjer sta A, B nekompatibilna dogodka.
Izrek za seštevanje verjetnosti skupnih dogodkov
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), kjer sta A in B skupna dogodka.
Izrek za množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov
,
kjer sta A in B neodvisna dogodka.
Izrek za množenje verjetnosti odvisnih dogodkov
P(AB)=P(A)P A (B),
kjer je P A (B) verjetnost pojava dogodka B, pod pogojem, da se je dogodek A zgodil; A in B sta odvisna dogodka.
Naloga 1.
Strelec izstreli dva strela v tarčo. Verjetnost zadetka vsakega strela je 0,8. Sestavite celotno skupino dogodkov in poiščite njihove verjetnosti. rešitev.
Preizkus - Na tarčo se izstrelita dva strela.
Dogodek A- obakrat zgrešil.
Dogodek IN- udari enkrat.
Dogodek Z- udaril obakrat. 
.
Nadzor: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Naloga 2.
Po napovedi meteorologov P(dež)=0,4; P(veter)=0,7; R(dež in veter)=0,2. Kakšna je verjetnost, da bo dež ali veter?
rešitev. Po izreku seštevanja verjetnosti in zaradi združljivosti predlaganih dogodkov imamo:
P(dež ali veter ali oboje)=P(dež) +P(veter) –P(dež in veter)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Naloga 3. rešitev. Na odhodni postaji je 8 naročil za odpremo blaga: pet za domače pošiljke in tri za izvoz. Kakšna je verjetnost, da bosta dve naključno izbrani naročili namenjeni domači porabi? A Dogodek IN– prvo naključno vzeto naročilo je znotraj države. Dogodek 
– drugi je prav tako namenjen domači porabi. Najti moramo verjetnost. Potem imamo po izreku o množenju verjetnosti odvisnih dogodkov
Naloga 4.
Iz serije izdelkov trgovec naključno izbere izdelke najvišjega razreda. Verjetnost, da bo izbrani artikel najvišje kakovosti, je 0,8; prvi razred – 0,7; drugi razred – 0,5. Poiščite verjetnost, da bo izmed treh naključno izbranih izdelkov:
a) samo dva vrhunska razreda; rešitev. b) vsak je drugačen.
Naj bo dogodek produkt najvišje kakovosti; dogodek - prvovrsten izdelek; prireditev je drugorazredni produkt.
Glede na pogoje problema; ; Dogodki so neodvisni. A a) Dogodek
– tako bosta takrat izgledala le dva vrhunska izdelka IN b) Dogodek 
– vsi trije izdelki so različni – recimo takole:
, potem .
Naloga 5. Verjetnosti zadetka tarče pri streljanju iz treh pušk so naslednje: 0,8; p1==0,7; p2 p3 A=0,9. Poiščite verjetnost vsaj enega zadetka (dogodka rešitev. Verjetnost, da vsaka puška zadene tarčo, ni odvisna od rezultatov streljanja iz drugih pušk, zato so obravnavani dogodki (zadet s prvo puško), (zadet z drugo puško) in (zadet s tretjo puško) neodvisni. v agregatu.
Verjetnosti dogodkov, nasprotnih dogodkom (tj. verjetnost zgrešenih dogodkov), so enake: 
Zahtevana verjetnost
Naloga 6.
Tiskarna ima 4 tiskarske stroje. Za vsak stroj je verjetnost, da deluje v v tem trenutku, je enako 0,9. Poiščite verjetnost, da vsaj en stroj trenutno deluje (dogodek A).
rešitev. Dogodka »stroj dela« in »stroj ne dela« (trenutno) sta nasprotna, zato je vsota njunih verjetnosti enaka ena:
Zato je verjetnost, da stroj trenutno ne deluje, enaka
Zahtevana verjetnost.
rešitev. Naloga 7. V čitalnici je 6 učbenikov teorije verjetnosti, od tega so trije vezani. Knjižničarka je naključno vzela dva učbenika. Poiščite verjetnost, da bosta oba učbenika vezana.
Razmislite o naslednjih dogodkih:
A1 - prvi vzeti vezan učbenik;
A2 je drugi vezan učbenik.
Dogodek, ki sestoji iz dejstva, da sta oba prevzeta učbenika vezana. Dogodka A1 in A2 sta odvisna, saj je verjetnost nastopa dogodka A2 odvisna od nastopa dogodka A1. Za rešitev tega problema uporabimo izrek za množenje verjetnosti odvisnih dogodkov: . Verjetnost pojava dogodka A1 p(A1) v skladu z klasična definicija
verjetnosti:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Verjetnost nastopa dogodka A2 je določena s pogojno verjetnostjo nastopa dogodka A2 glede na nastop dogodka A1, tj. (A2)==0,4.
Potem je želena verjetnost, da se dogodek zgodi:
P(A)=0,5*0,4=0,2.
Seštevanje in množenje verjetnosti. Ta članek se bo osredotočil na reševanje problemov v teoriji verjetnosti. Prej smo že analizirali nekaj najpreprostejših nalog, dovolj je poznati in razumeti formulo (svetujem vam, da jo ponovite).Obstaja nekaj bolj zapletenih problemov, ki jih morate poznati in razumeti: pravilo seštevanja verjetnosti, pravilo množenja verjetnosti, koncepti odvisnih in neodvisnih dogodkov, nasprotni dogodki, združljivi in nezdružljivi dogodki. Naj vas definicije ne prestrašijo, preprosto je)).
V tem članku bomo obravnavali prav takšne naloge.
Malo pomembne in preproste teorije: nezdružljivo
Klasičen primer: pri metu kocke lahko pride samo ena, ali samo dvojka, ali samo trojka itd. Vsak od teh dogodkov je nezdružljiv z drugimi in pojav enega od njih izključuje pojav drugega (v enem poskusu). Enako je s kovancem – ko pridejo glave, odpravi možnost, da pridejo repi.
To velja tudi za bolj zapletene kombinacije. Na primer, dve svetilki svetita. Vsak od njih lahko sčasoma izgori ali pa tudi ne. Obstajajo možnosti:
- Prvi pregori in drugi pregori
- Prvi pregori, drugi pa ne izgori
- Prvi ne pregori, drugi pa pregori
- Prvi ne pregori, drugi pa pregori.
Vse te 4 možnosti za dogodke so nezdružljive - preprosto se ne morejo zgoditi skupaj in nobena od njih z nobeno drugo ...
Definicija: Dogodki se imenujejo skupni, če pojav enega od njih ne izključuje pojava drugega.
Primer: kraljica bo vzeta iz kompleta kart, karta pik pa bo vzeta iz kompleta kart. Upoštevana sta dva dogodka. Ti dogodki se med seboj ne izključujejo – lahko izžrebate pikovo damo in tako se bosta zgodila oba dogodka.
O vsoti verjetnosti
Vsoto dveh dogodkov A in B imenujemo dogodek A+B, ki je sestavljen iz dejstva, da se bo zgodil dogodek A ali dogodek B ali oba hkrati.
Če obstajajo nezdružljivo dogodkov A in B, potem je verjetnost vsote teh dogodkov enaka vsoti verjetnosti dogodkov:
Primer z kocke:
Odnehajmo kocke. Kakšna je verjetnost, da vržete število, manjše od štiri?
Števila, manjša od štiri, so 1,2,3. Vemo, da je verjetnost, da dobimo ena, 1/6, dvojka 1/6 in trojka 1/6. To so nezdružljivi dogodki. Uporabimo lahko pravilo dodajanja. Verjetnost, da vržete število, manjše od štiri, je:
Dejansko, če izhajamo iz koncepta klasične verjetnosti: potem je število možnih izidov 6 (število vseh strani kocke), število ugodnih izidov je 3 (pojav ena, dve ali tri). Želena verjetnost je 3 proti 6 ali 3/6 = 0,5.
*Verjetnost vsote dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov brez upoštevanja njihovega skupnega pojava: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)
O množenju verjetnosti
Naj se zgodita dva nekompatibilna dogodka A in B, njuni verjetnosti sta enaki P(A) oziroma P(B). Produkt dveh dogodkov A in B je dogodek A B, kar pomeni, da se bosta ta dogodka zgodila skupaj, to pomeni, da se bosta zgodila tako dogodek A kot dogodek B. Verjetnost takega dogodka je enaka produktu verjetnosti dogodkov A in B.Izračunano po formuli:
Kot ste že opazili, logični veznik IN pomeni množenje.
Primer z isto kocko:Kocko vržemo dvakrat. Kakšna je verjetnost, da vržemo dve šestici?
Verjetnost, da prvič vržete šestico, je 1/6. Drugi čas je prav tako enak 1/6. Verjetnost, da vržemo šestico prvič in drugič, je enaka produktu verjetnosti:
Govorjenje v preprostem jeziku: ko se v enem poskusu zgodi nek dogodek IN se nato zgodi še en (drugi), potem je verjetnost, da se bosta zgodila skupaj, enaka produktu verjetnosti teh dogodkov.
Naloge smo reševali s kockami, vendar smo uporabljali le logično sklepanje in nismo uporabili formule produkta. Pri spodaj obravnavanih nalogah ne morete brez formul, bolje rečeno, z njimi boste lažje in hitreje dobili rezultat.
Vredno je omeniti še eno nianso. Pri sklepanju pri reševanju problemov se uporablja koncept HOTČNOSTI dogajanja. Dogodki se zgodijo HRATNO - to ne pomeni, da se zgodijo v eni sekundi (v eni točki). To pomeni, da se pojavljajo v določenem časovnem obdobju (znotraj enega testa).
Na primer:
Dve žarnici pregorita v enem letu (lahko rečemo - hkrati v enem letu)
Dva stroja se pokvarita v enem mesecu (lahko bi rekli hkrati v enem mesecu)
Kocka se vrže trikrat (točke se prikažejo istočasno, to pomeni ob enem poskusu)
Biatlonec izstreli pet strelov. Dogodki (streli) se zgodijo med enim poskusom.
Dogodka A in B sta NEODVISNA, če verjetnost enega od njiju ni odvisna od pojava ali nepostoja drugega dogodka.
Razmislimo o nalogah:
Dve tovarni proizvajata enako steklo za avtomobilske žaromete. Prva tovarna proizvede 35% teh kozarcev, druga pa 65%. Prva tovarna proizvede 4% okvarjenega stekla, druga pa 2%. Poiščite verjetnost, da bo steklo, po nesreči kupljeno v trgovini, pokvarjeno.
Prva tovarna proizvaja 0,35 izdelkov (steklo). Verjetnost nakupa stekla z napako v prvi tovarni je 0,04.
Druga tovarna proizvaja kozarce 0,65. Verjetnost nakupa stekla z napako v drugi tovarni je 0,02.
Verjetnost, da je bilo steklo kupljeno v prvi tovarni in se je izkazalo za pokvarjeno, je 0,35∙0,04 = 0,0140.
Verjetnost, da je bilo steklo kupljeno v drugi tovarni in se je izkazalo za pokvarjeno, je 0,65∙0,02 = 0,0130.
Nakup pokvarjenega stekla v trgovini pomeni, da je bilo (pokvarjeno steklo) kupljeno ALI v prvi tovarni ALI v drugi. To so nekompatibilni dogodki, to pomeni, da seštejemo nastale verjetnosti:
0,0140 + 0,0130 = 0,027
Odgovor: 0,027
Če velemojster A. igra belo, potem zmaga proti velemojstru B. z verjetnostjo 0,62. Če A. igra črno, potem A. zmaga proti B. z verjetnostjo 0,2. Velemojstra A. in B. igrata dve partiji, v drugi igri pa zamenjata barvo figur. Poiščite verjetnost, da A. zmaga obakrat.
Možnost zmage v prvi in drugi igri ni odvisna ena od druge. Rečeno je, da mora velemojster zmagati obakrat, torej zmagati prvič IN hkrati zmagati drugič. V primeru, ko se morajo neodvisni dogodki zgoditi skupaj, se verjetnosti teh dogodkov pomnožijo, to pomeni, da se uporabi pravilo množenja.
Verjetnost pojava teh dogodkov bo enaka 0,62∙0,2 = 0,124.
Odgovor: 0,124
Pri izpitu iz geometrije študent dobi eno vprašanje s seznama izpitna vprašanja. Verjetnost, da je to vprašanje včrtanega kroga, je 0,3. Verjetnost, da je to vprašanje paralelograma, je 0,25. Ni vprašanj, ki bi se hkrati nanašala na ti dve temi. Poiščite verjetnost, da bo študent na izpitu dobil vprašanje o eni od teh dveh tem.
To pomeni, da je treba najti verjetnost, da bo učenec dobil vprašanje BODISI na temo “Včrtani krog” ALI na temo “Paralelogram”. V tem primeru se verjetnosti seštejejo, saj gre za nekompatibilne dogodke in se lahko zgodi katerikoli od teh dogodkov: 0,3 + 0,25 = 0,55.
*Nezdružljivi dogodki so dogodki, ki se ne morejo zgoditi hkrati.
Odgovor: 0,55
Biatlonec petkrat strelja v tarče. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,9. Poiščite verjetnost, da biatlonec prve štirikrat zadene tarčo in zadnjo zgreši. Rezultat zaokrožite na stotinke.
Ker biatlonec zadene tarčo z verjetnostjo 0,9, zgreši z verjetnostjo 1 – 0,9 = 0,1
*Zgrešeni in zadeti sta dogodka, ki se ne moreta zgoditi hkrati z enim strelom; vsota verjetnosti teh dogodkov je enaka 1.
Govorimo o pojavu več (samostojnih) dogodkov. Če pride do dogodka in se istočasno zgodi drug (naknadni) dogodek (test), potem se verjetnosti teh dogodkov pomnožijo.
Verjetnost produkta neodvisnih dogodkov je enaka produktu njihovih verjetnosti.
Tako je verjetnost dogodka »zadetek, zadetek, zadetek, zadetek, zgrešen« 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.
Zaokrožimo na najbližjo stotino, dobimo 0,07
Odgovor: 0,07
V trgovini sta dva plačilna avtomata. Vsak od njih je lahko pokvarjen z verjetnostjo 0,07, ne glede na drugi stroj. Poiščite verjetnost, da vsaj en stroj deluje.
Poiščimo verjetnost, da sta oba stroja pokvarjena.
Ti dogodki so neodvisni, kar pomeni, da bo verjetnost enaka produktu verjetnosti teh dogodkov: 0,07∙0,07 = 0,0049.
To pomeni, da bo verjetnost, da oba stroja ali eden od njiju delujeta, enaka 1 – 0,0049 = 0,9951.
*Oba delujeta in eden od njiju je popolnoma operativen – izpolnjuje pogoj "vsaj en".
Predstavimo lahko verjetnosti vseh (neodvisnih) dogodkov, ki jih je treba testirati:
1. "napaka-napaka" 0,07∙0,07 = 0,0049
2. "pomanjkljivo-pomanjkljivo" 0,93∙0,07 = 0,0651
3. "pomanjkljivo-pomanjkljivo" 0,07∙0,93 = 0,0651
4. "pomanjkljivo-pomanjkljivo" 0,93∙0,93 = 0,8649
Za določitev verjetnosti, da deluje vsaj en stroj, je potrebno sešteti verjetnosti neodvisnih dogodkov 2,3 in 4: Zanesljiv dogodek imenujemo dogodek, ki se bo zagotovo zgodil kot posledica izkušnje. Dogodek se imenuje nemogoče,če se nikoli ne pojavi zaradi izkušenj.
Na primer, če je ena kroglica naključno izžrebana iz škatle, ki vsebuje samo rdeče in zelene kroglice, je pojav bele med izžrebanimi kroglicami enak nemogoč dogodek. Pojav rdeče in pojav zelene kroglice tvorita popolno skupino dogodkov.
definicija: Dogodki se imenujejo enako možno , razen če obstaja razlog za domnevo, da je verjetneje, da se bo eden od njih pojavil zaradi izkušenj.
V zgornjem primeru je pojav rdečih in zelenih kroglic enako verjeten dogodek, če je v polju enako število rdečih in zelenih kroglic. Če je v škatli več rdečih kroglic kot zelenih, je pojav zelene kroglice manj verjeten dogodek kot pojav rdeče.
V nadaljevanju si bomo ogledali več problemov, kjer se uporabljata vsota in produkt verjetnosti dogodkov, ne zamudite!
To je vse. Vso srečo!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
Marija Ivanovna graja Vasjo:
- Petrov, zakaj te včeraj ni bilo v šoli?!
"Mama mi je včeraj oprala hlače."
- Kaj torej?
- In sem šel mimo hiše in videl, da tvoji visijo. Mislil sem, da ne boš prišel.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
