Nepravilni integrali 2. vrste na spletu. Nepravilni integral z neskončno mejo integracije

Določen integral

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

je bila konstruirana ob predpostavki, da so števila $a,\,b$ končna in je $f(x)$ zvezna funkcija. Če je ena od teh predpostavk kršena, govorimo o nepravilnih integralih.

10.1 Nepravilni integrali 1. vrste

Nepravi integral 1. vrste se pojavi, ko je vsaj eno od števil $a,\,b$ neskončno.

10.1.1 Definicija in osnovne lastnosti

Najprej razmislimo o situaciji, ko je spodnja meja integracije končna, zgornja pa enaka $+\infty$; o drugih možnostih bomo razpravljali malo kasneje. Za $f(x)$, zvezen za vse $x$, ki nas zanimajo, razmislimo o integralu

\begin(enačba) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(enačba)

Najprej moramo ugotoviti pomen tega izraza. Da bi to naredili, uvedemo funkcijo

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

in upoštevajte njegovo obnašanje za $N\rightarrow +\infty$.

Opredelitev. Naj obstaja končna meja

\[ A=\lim_(N \desna puščica +\infty)I(N)=\lim_(N \desna puščica +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Potem pravimo, da je nepravi integral 1. vrste (19) konvergenten in mu je pripisana vrednost $A$, sama funkcija pa se imenuje integrabilna na intervalu $\left[ a, \, +\infty \right); $. Če navedena meja ne obstaja ali je enaka $\pm \infty$, pravimo, da integral (19) divergira.

Razmislite o integralu

\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2). \]

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]

V tem primeru je antiderivacija funkcije integranda znana, torej

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]

Znano je, da $arctg N \rightarrow \pi /2 $ za $N \rightarrow +\infty$. Tako ima $I(N)$ končno mejo, naš nepravilni integral konvergira in je enak $\pi /2$.

Konvergentni nepravilni integrali 1. vrste imajo vse standardne lastnosti navadnih določenih integralov.

1. Če sta $f(x)$, $g(x)$ integrabilna na intervalu $\left[ a, \, +\infty \right)$, potem je njuna vsota $f(x)+g(x) $ je tudi integrabilen na tem intervalu in \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Če je $f(x)$ integrabilen na intervalu $\left[ a, \, +\infty \right)$, potem je za katero koli konstanto $C$ funkcija $C\cdot f(x)$ je tudi integrabilen na tem intervalu in \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Če je $f(x)$ integrabilen na intervalu $\left[ a, \, +\infty \right)$ in na tem intervalu $f(x)>0$, potem \[ \int _a^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Če je $f(x)$ integrabilen na intervalu $\left[ a, \, +\infty \right)$, potem je za vsak $b>a$ integral \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] konvergira in \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (aditivnost integrala po intervalu).

Veljavne so tudi formule za spremembo spremenljivke, integracijo po delih itd. (z naravnimi rezervati).

Razmislite o integralu

\begin(enačba) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(enačba)

Predstavimo funkcijo

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

V tem primeru je antiderivat znan, torej

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]

za $k \neq 1$,

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]

za $k = 1$. Ob upoštevanju obnašanja za $N \rightarrow +\infty$ pridemo do zaključka, da integral (20) konvergira za $k>1$ in divergira za $k \leq 1$.

Poglejmo zdaj možnost, ko je spodnja meja integracije enaka $-\infty$, zgornja pa končna, tj. poglejmo integrale

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

To možnost pa lahko zmanjšamo na prejšnjo, če spremenimo spremenljivke $x=-s$ in nato ponekod spremenimo limite integracije, tako da

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Poglejmo zdaj primer, ko obstajata dve neskončni meji, tj. integral

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

in $f(x)$ je zvezen za vse $x \in \mathbb(R)$. Razdelimo interval na dva dela: vzemimo $c \in \mathbb(R)$ in upoštevajmo dva integrala,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Opredelitev. Če oba integrala $I_1$, $I_2$ konvergirata, se integral (21) imenuje konvergenten in mu pripišemo vrednost $I=I_1+I_2$ (v skladu z aditivnostjo v intervalu). Če vsaj eden od integralov $I_1$, $I_2$ divergira, imenujemo integral (21) divergenten.

Dokažemo lahko, da konvergenca integrala (21) ni odvisna od izbire točke $c$.

Tudi nepravilni integrali 1. vrste z integracijskimi intervali $\left(-\infty, \, c \right]$ ali $(-\infty, \, +\infty)$ imajo vse standardne lastnosti določenih integralov (z ustrezno preoblikovanje ob upoštevanju integracijskega intervala izbire).

10.1.2 Preizkusi konvergence nepravilnih integralov 1. vrste

Izrek (prvi znak primerjave). Naj sta $f(x)$, $g(x)$ zvezna za $x>a$ in naj bo $0 a$. Potem

1. Če integral \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] konvergira, potem konvergira integral \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 2. Če integral \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] divergira, potem integral \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx divergira. \]

Izrek (drugi primerjalni kriterij). Naj bodo $f(x)$, $g(x)$ zvezni in pozitivni za $x>a$ in naj obstaja končna meja

\[ \theta = \lim_(x \desna puščica +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Nato integrali

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

konvergirajo ali razhajajo hkrati.

Razmislite o integralu

\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Integrand je pozitivna funkcija na intervalu integracije. Nadalje, za $x \rightarrow +\infty$ imamo:

$\sin x$ je "majhen" popravek imenovalca. Natančneje, če vzamemo $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, potem

\[ \lim _(x \desna puščica +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \desna puščica +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]

Z uporabo drugega primerjalnega kriterija pridemo do zaključka, da naš integral konvergira ali divergira istočasno z integralom

\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]

Kot je bilo prikazano v prejšnjem primeru, ta integral divergira ($k=1$). Posledično izvirni integral divergira.

Izračunajte nepravi integral ali ugotovite njegovo konvergenco (divergenco).

1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]

PredmetNEPRAVI INTEGRALI

V temi “Določen integral” je bil obravnavan koncept določenega integrala za primer končnega intervala.
in omejeno funkcijo
(glej izrek 1 iz §3). Zdaj pa posplošimo ta koncept na primere neskončnega intervala in neomejene funkcije. Potrebo po taki posplošitvi dokazujejo na primer naslednje situacije.

1. Če s formulo za dolžino loka poskusite izračunati dolžino četrtine kroga
,
, potem pridemo do integrala neomejene funkcije:

, Kje
.

2. Telo naj ima maso
se giblje po vztrajnosti v mediju z uporovno silo
, Kje
- hitrost telesa. Z uporabo Newtonovega drugega zakona (
, Kje
pospešek), dobimo enačbo:
, Kje
. Ni težko pokazati, da je rešitev te (diferencialne!) enačbe funkcija
Če moramo izračunati pot, ki jo telo opravi, preden se popolnoma ustavi, tj. do trenutka, ko
, potem pridemo do integrala v neskončnem intervalu:

§1. Nepravilni integrali 1. vrste

I Definicija

Naj funkcija
definiran in zvezen na intervalu
. Potem za kogarkoli
je integrabilen na intervalu
, to pomeni, da obstaja integral
.

Definicija 1 . Končna ali neskončna meja tega integrala pri
imenujemo nepravilni integral 1. vrste funkcije
vzdolž intervala
in je označen s simbolom
. Poleg tega, če je podana meja končna, se nepravilni integral imenuje konvergenten, sicer (
ali ne obstaja) – divergentno.

Torej, po definiciji

Primeri

2.
.

3.
– ne obstaja.

Nepravi integral iz primera 1 konvergira, integrala pa se razhajata.

II Newton–Leibnizova formula za nepravi integral prve vrste

Naj
- nekaj protiizpeljave za funkcijo
(obstaja na
, ker
- neprekinjeno). Potem

Od tu je jasno, da je konvergenca nepravilnega integrala (1) enakovredna obstoju končne meje
. Če je ta meja določena
, potem lahko zapišemo Newton-Leibnizovo formulo za integral (1):

, Kje
.

Primeri .

5.
.

6. Bolj zapleten primer:
. Najprej poiščimo antiderivat:

Zdaj lahko najdemo integral , glede na to

:

III Lastnosti

Predstavimo nekaj lastnosti nepravilnega integrala (1), ki izhajajo iz splošnih lastnosti limitov in določenega integrala:

IV Druge definicije

Definicija 2 . če
neprekinjeno vklopljeno
, To

Definicija 3 . če
neprekinjeno vklopljeno
, potem sprejemamo po definiciji

(– poljubno),

Poleg tega nepravilni integral na levi strani konvergira, če konvergirata samo oba integrala na desni strani.

Za te integrale, kot tudi za integral (1), lahko zapišemo ustrezne Newton–Leibnizove formule.

Primer 7 .

§2.

Preizkusi konvergence nepravilnega integrala 1. vrste

Najpogosteje je po definiciji nemogoče izračunati nepravilni integral, zato uporabljajo približno enakost ).

(za velike

Vendar je ta relacija smiselna samo za konvergentne integrale. Treba je imeti metode za pojasnitev obnašanja integrala mimo definicije. jaz

Naj
Integrali pozitivnih funkcij
na
. Potem pa določeni integral

kot funkcija zgornje meje je naraščajoča funkcija (to izhaja iz splošnih lastnosti določenega integrala). 1. izrek
. Nepravi integral prve vrste nenegativne funkcije konvergira, če in samo če funkcija .

ostaja z naraščanjem omejena

Ta izrek je posledica splošnih lastnosti monotonih funkcij. Izrek nima skoraj nobenega praktičnega pomena, vendar nam omogoča, da pridobimo t.i znaki konvergence. 2. izrek
(1. primerjalni znak). Naj funkcije
in
neprekinjeno za
in zadovoljiti neenakost

. Nato:
1) če je integral
konvergira, torej

konvergira;
2) če je integral
razhaja, torej

razhaja. Dokaz
(1. primerjalni znak). Naj funkcije
. Označimo:
, To

. Ker
. Naj integral
konvergira, potem (po izreku 1) funkcija
- omejeno. Ampak potem
je omejena in zato integralna

tudi konvergira. Drugi del izreka dokažemo na podoben način.
Ta kriterij ni uporaben, če integral odstopa od
ali konvergence integrala

. Te pomanjkljivosti ni v 2. primerjalni funkciji. Izrek 3
(1. primerjalni znak). Naj funkcije
(2. znak primerjave). Naj funkcije
zvezen in nenegativen vklop
. Potem, če
pri
(1. primerjalni znak). Naj funkcije
konvergirajo ali razhajajo hkrati.

razhaja. , potem nepravilni integrali

, ,

. Iz pogojev izreka dobimo naslednjo verigo enakovrednih izjav:
in zadovoljiti neenakost

Naj npr.

Uporabimo izrek 2 in lastnost 1) iz §1 in pridobimo izrek izreka 3.
,
Standardna funkcija, s katero se ta primerja, je potenčna funkcija

. Študente vabimo, da sami dokažejo, da je integral
konvergira pri
.

Primeri . 1.
.

in se razhaja pri
:

,
.

Upoštevajte integrand na intervalu
Integral
zbližuje, saj
. Na podlagi 2. primerjalnega kriterija konvergira tudi integral

2.
.

, zaradi lastnosti 2) iz §1 pa konvergira tudi izvirni integral.
, potem obstaja
tako, da ko

. Za take spremenljive vrednosti:

Znano je, da logaritemska funkcija raste počasneje kot potenčna funkcija, tj.

kar pomeni, da je od določene vrednosti spremenljivke ta ulomek manjši od 1. Torej

Upoštevajte integrand na intervalu konvergira kot referenca. Na podlagi 1. primerjalnega kriterija konvergira in
. Z uporabo 2. kriterija dobimo, da je integral
konvergira. In spet lastnost 2) iz §1 dokazuje konvergenco originalnega integrala.

Nepravilni integral z neskončno mejo integracije

Včasih se tak nepravilni integral imenuje tudi nepravilni integral prve vrste..gif" width="49" height="19 src=">.

Manj pogosti so integrali z neskončno spodnjo mejo ali z dvema neskončnima mejama: .

Upoštevali bomo najbolj priljubljen primer https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Ne, ne vedno. Integrandhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Na risbi ponazorimo graf funkcije integranda. Tipičen graf in ukrivljeni trapez za ta primer izgleda takole:

Napačen integralhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", z drugimi besedami, tudi območje je neskončno. Morda je tako. V tem primeru pravijo, da je nepravilni integral razhaja.

2) Ampak. Naj se sliši še tako paradoksalno, površina neskončne figure je lahko enaka ... končnemu številu! Na primer: .. V drugem primeru nepravilni integral konvergira.

Kaj se zgodi, če se pod osjo nahaja neskončen ukrivljeni trapez?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

Primer 1

Funkcija integrand https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, kar pomeni, da je vse v redu in da je nepravilni integral mogoče izračunati z uporabo “ standardna metoda.

Uporaba naše formule https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

To pomeni, da se nepravilni integral razhaja in površina zasenčenega ukrivljenega trapeza je enaka neskončnosti.

Pri reševanju nepravilnih integralov je zelo pomembno vedeti, kako izgledajo grafi osnovnih elementarnih funkcij!

Primer 2

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Naredimo risbo:

Najprej opazimo naslednje: integrand je zvezen na polintervalu. Dobro..gif" width="327" height="53">

(1) Vzamemo najenostavnejši integral potenčne funkcije (ta poseben primer je v mnogih tabelah). Bolje je, da minus takoj postavite izven mejnega znaka, da ne bo v napoto pri nadaljnjih izračunih.

(2) Zgornjo in spodnjo mejo zamenjamo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

(3) Poudarjamo, da https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Gospodje, to je treba dolgo razumeti pred časom) in poenostavite odgovor.

Tukaj je območje neskončnega ukrivljenega trapeza končno število! Neverjetno, a resnično.

Primer 3

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Integrand je zvezen na .

Najprej poskusimo poiskati funkcijo antiderivacije (nedoločen integral).

Kateremu izmed integralov tabele je podoben integrand? Spominja me na arktangens: . Ti premisleki kažejo, da bi bilo dobro imeti kvadrat v imenovalcu. To se naredi z zamenjavo.

Zamenjajmo:

Vedno je koristno opraviti preverjanje, to je razlikovati dobljeni rezultat:

Zdaj najdemo nepravilni integral:

(1) Rešitev zapišemo v skladu s formulo . Bolje je, da konstanto takoj premaknete čez mejni znak, da ne moti nadaljnjih izračunov.

(2) Zamenjamo zgornjo in spodnjo mejo v skladu z Newton-Leibnizovo formulo..gif" width="56" height="19 src=">? Oglejte si graf arktangensa v že večkrat priporočenem članku.

(3) Dobimo končni odgovor. Dejstvo, ki ga je koristno vedeti na pamet.

Napredni učenci morda ne bodo našli nedoločenega integrala ločeno in ne bodo uporabili metode zamenjave, temveč raje uporabijo metodo zamenjave funkcije pod diferencialnim predznakom in "takoj" rešijo nepravilni integral. V tem primeru bi morala rešitev izgledati nekako takole:

“

Funkcija integranda je zvezna na https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

Primer 4

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

! To je tipičen primer in podobne integrale najdemo zelo pogosto. Dobro delaj! Antiderivacijsko funkcijo najdemo tukaj z uporabo metode izolacije celotnega kvadrata.

Primer 5

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Ta integral je mogoče podrobno rešiti, to je, da najprej poiščemo nedoločen integral s spremembo spremenljivke. Lahko pa ga rešite "takoj" - tako, da funkcijo podstavite pod diferencialni predznak.

Nepravilni integrali neomejenih funkcij

Včasih takšne nepravilne integrale imenujemo nepravilni integrali druge vrste. Nepravilni integrali druge vrste so zahrbtno “šifrirani” pod običajnim določenim integralom in izgledajo popolnoma enako: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) ali v točki , 3) ali na obeh točkah hkrati, 4) ali celo na segmentu integracije Upoštevali bomo prva dva primera; za primere 3-4 je povezava do dodatne lekcije na koncu članka.

Samo primer, da bo jasno: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, potem gre naš imenovalec na nič, to pomeni, da integrand na tej točki preprosto ne obstaja!

Na splošno pri analizi nepravilnega integrala vedno morate zamenjati obe integracijski meji v integrand..jpg" alt="Nepravilen integral, točka prekinitve na spodnji meji integracije" width="323" height="380">!}

Tukaj je vse skoraj enako kot v integralu prve vrste.
Naš integral je številčno enak površini osenčenega ukrivljenega trapeza, ki ni omejen od zgoraj. V tem primeru sta lahko dve možnosti: nepravilni integral se razlikuje (območje je neskončno) ali pa je nepravilni integral enak končnemu številu (to je, da je območje neskončne figure končno!).

Vse, kar ostane, je, da spremenimo Newton-Leibnizovo formulo. Spreminja se tudi s pomočjo meje, vendar meja ne teži več v neskončnost, temveč vrednotitihttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> desno.

Primer 6

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Integrand ima na točki neskončno diskontinuiteto (ne pozabite ustno ali na osnutku preveriti, ali je z zgornjo mejo vse v redu!)

Najprej izračunajmo nedoločen integral:

Zamenjava:

Izračunajmo nepravilni integral:

(1) Kaj je tu novega? Glede tehnologije rešitev ni praktično nič. Edino, kar se je spremenilo, je vnos pod ikono limita: . Dodatek pomeni, da stremimo k vrednosti na desni (kar je logično – glej graf). Takšna meja se v teoriji limitov imenuje enostranska meja. V tem primeru imamo desno mejo.

(2) Zgornjo in spodnjo mejo zamenjamo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

(3) Razumejmo https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Kako določiti, kam naj gre izraz? Grobo rečeno , v morate samo nadomestiti vrednost, nadomestiti tri četrtine in navesti, da glavnik odgovor.

V tem primeru je nepravilni integral enak negativnemu številu.

Primer 7

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Primer 8

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Če integrand v točki ne obstaja

Neskončni ukrivljeni trapez za tak nepravilni integral v osnovi izgleda takole:

Tukaj je vse popolnoma enako, le da naša meja teži k vrednotitihttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> približati se moramo neskončno blizu prelomne točke levo.

si še tu? =) Ne, nisem hotel nikogar ustrahovati, le tema nepravilnih integralov je zelo dobra ilustracija, kako pomembno je, da ne zanemarjamo višje matematike in drugih eksaktnih znanosti. Vse, kar potrebujete za učenje lekcije, je na spletni strani - v podrobni in dostopni obliki, če želite ...

Torej, začnimo z. Figurativno rečeno, nepravilni integral je "napreden" določen integral in z njimi pravzaprav ni toliko težav, poleg tega pa ima nepravilni integral zelo dober geometrijski pomen.

Kaj pomeni ovrednotiti nepravilni integral?

Izračunajte nepravilni integral - to pomeni najti ŠTEVILKO(popolnoma enako kot pri določenem integralu), ali dokazati, da se razhaja(to pomeni, da na koncu dobite neskončnost namesto števila).

Obstajata dve vrsti nepravilnih integralov.

Nepravilni integral z neskončnimi mejami integracije

Včasih se tak nepravilni integral imenuje nepravilni integral prve vrste. Na splošno je nepravilni integral z neskončno mejo najpogosteje videti takole: . Kako se razlikuje od določenega integrala? Na zgornji meji. Neskončno je: .

Manj pogosti so integrali z neskončno spodnjo mejo ali z dvema neskončnima mejama: , obravnavali pa jih bomo kasneje - ko se boste tega naučili :)

No, zdaj pa poglejmo najbolj priljubljen primer. V veliki večini primerov funkcija integrand neprekinjeno vmes, in ta pomembno dejstvo je treba najprej preveriti! Ker če obstajajo vrzeli, potem obstajajo dodatne nianse. Za dokončnost predpostavimo, da je tudi takrat tipičen ukrivljen trapez bo videti takole:

Upoštevajte, da je neskončen (ni omejen na desni) in nepravilni integralštevilčno enaka njegovi površini. Možne so naslednje možnosti:

1) Prva misel, ki pride na misel: »ker je številka neskončna, torej ", z drugimi besedami, tudi območje je neskončno. Morda je tako. V tem primeru pravijo, da je nepravilni integral razhaja.

2) Ampak. Naj se sliši še tako paradoksalno, površina neskončne figure je lahko enaka ... končnemu številu! Na primer: . Je to lahko tako? Enostavno. V drugem primeru nepravilni integral konvergira.

3) Več o tretji možnosti malo kasneje.

V katerih primerih nepravilni integral divergira in v katerih konvergira? To je odvisno od integranda in zelo kmalu si bomo ogledali posebne primere.

Kaj se zgodi, če se neskončni ukrivljeni trapez nahaja pod osjo? V tem primeru nepravilni integral (divergira) ali je enako končnemu negativnemu številu.

torej nepravilni integral je lahko negativen.

Pomembno! Ko imate za reševanje KATERI KOLI nepravilni integral, potem na splošno ni govora o nobenem območju in ni treba graditi risbe. Geometrični pomen nepravilnega integrala sem razložil le zaradi lažjega razumevanja snovi.

Ker je nepravi integral zelo podoben določenemu integralu, se spomnimo Newton-Leibnizove formule: . Pravzaprav je formula uporabna tudi za neprave integrale, le da jo je treba nekoliko spremeniti. Kakšna je razlika? Pri neskončni zgornji meji integracije: . Verjetno so mnogi uganili, da to že diši po uporabi teorije meja, formula pa bo zapisana takole: .

Kakšna je razlika od določenega integrala? Nič posebnega! Tako kot pri določenem integralu morate biti sposobni najti funkcijo antiderivacije (nedoločen integral) in znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo. Edino, kar je dodano, je izračun limita. Komur je z njimi slabo, se nauči lekcijo Omejitve delovanja. Primeri rešitev, ker je bolje pozno kot v vojski.

Poglejmo dva klasična primera:

Primer 1

Zaradi jasnosti bom narisal risbo, čeprav še enkrat poudarjam, v praksi Pri tej nalogi ni treba graditi risb.

Funkcija integranda je zvezna na polintervalu, kar pomeni, da je vse v redu in da je nepravilni integral mogoče izračunati po “standardni” metodi.

Uporaba naše formule in rešitev problema izgleda takole:

To pomeni, da se nepravilni integral razhaja in površina zasenčenega ukrivljenega trapeza je enaka neskončnosti.

V obravnavanem primeru imamo najenostavnejši tabelarni integral in enako tehniko uporabe Newton-Leibnizove formule kot pri določenem integralu. Toda ta formula bo uporabljena pod znakom meje. Namesto običajne črke »dinamične« spremenljivke se pojavi črka »be«. To ne bi smelo zmesti ali zbegati, saj nobena črka ni slabša od standardnega "X".

Če ne razumete, zakaj pri , potem je to zelo slabo, ali ne razumete najpreprostejših omejitev (in na splošno ne razumete, kaj je omejitev), ali pa ne veste, kako izgleda graf logaritemske funkcije. V drugem primeru se udeležite lekcije Grafi in lastnosti elementarnih funkcij.

Pri reševanju nepravilnih integralov je zelo pomembno vedeti, kako izgledajo grafi osnovnih elementarnih funkcij!

Končana naloga bi morala izgledati nekako takole:

“

! Pri pripravi primera rešitev vedno prekinemo in nakažemo, kaj se zgodi z integrandom – je zvezen na intervalu integracije ali ne?. S tem ugotovimo vrsto nepravilnega integrala in utemeljimo nadaljnje ravnanje.

Primer 2

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Naredimo risbo:

Najprej opazimo naslednje: integrand je zvezen na polintervalu. Hood. Rešujemo s formulo :

(1) Vzamemo najenostavnejši integral potenčne funkcije (ta poseben primer je v mnogih tabelah). Bolje je, da minus takoj postavite izven mejnega znaka, da ne bo v napoto pri nadaljnjih izračunih.

(2) Zgornjo in spodnjo mejo zamenjamo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

(3) To označimo pri (Gospodje, to bi morali že zdavnaj razumeti) in odgovor poenostavimo.

Tukaj je območje neskončnega ukrivljenega trapeza končno število! Neverjetno, a resnično.

Končni primer bi moral izgledati nekako takole:

“

Funkcija integranda je zvezna

“

Kaj storiti, če naletite na sestavni del – z prelomna točka na integracijskem intervalu? To pomeni, da je v primeru tipkarska napaka. (najverjetneje), ali o višji stopnji usposabljanja. V slednjem primeru zaradi lastnosti aditivnosti, bi morali obravnavati dva nepravilna integrala na intervalih in se nato ukvarjati z vsoto.

Včasih je lahko zaradi tipkarske napake ali namena nepravilen integral sploh ne obstaja, tako da na primer, če postavite kvadratni koren iz "x" v imenovalec zgornjega integrala, potem del integracijskega intervala sploh ne bo vključen v domeno definicije integranda.

Še več, nepravilni integral morda ne obstaja niti ob vsej »navidezni blaginji«. Klasičen primer:. Kljub določnosti in zveznosti kosinusa, tak nepravilni integral ne obstaja! Zakaj? Zelo preprosto je, ker:
– ne obstaja ustrezno mejo.

In taki primeri, čeprav redki, se v praksi pojavljajo! Tako poleg konvergence in divergence obstaja še tretji izid rešitve z veljavnim odgovorom: »nepravilnega integrala ni«.

Prav tako je treba opozoriti, da je stroga definicija nepravilnega integrala podana ravno preko meje in tisti, ki želijo, se lahko z njo seznanijo v izobraževalni literaturi. No, nadaljujemo s praktično lekcijo in preidemo na bolj smiselne naloge:

Primer 3

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Najprej poskusimo poiskati funkcijo antiderivacije (nedoločen integral). Če nam to ne uspe, seveda tudi nepravilnega integrala ne bomo mogli rešiti.

Kateremu izmed integralov tabele je podoben integrand? Spominja me na arktangens: . Ti premisleki kažejo, da bi bilo dobro imeti kvadrat v imenovalcu. To se naredi z zamenjavo.

Zamenjajmo:

Nedoločen integral je bil najden, v tem primeru nima smisla dodajati konstante.

Vedno je koristno preveriti osnutek, to je razlikovati dobljeni rezultat:

Prvotni integrand je bil dobljen, kar pomeni, da je bil nedoločen integral pravilno najden.

Zdaj najdemo nepravilni integral:

(1) Rešitev zapišemo v skladu s formulo . Bolje je, da konstanto takoj premaknete čez mejni znak, da ne moti nadaljnjih izračunov.

(2) Zamenjamo zgornjo in spodnjo mejo v skladu z Newton-Leibnizovo formulo. zakaj pri ? Oglejte si graf arktangensa v že priporočenem članku.

(3) Dobimo končni odgovor. Dejstvo, ki ga je koristno vedeti na pamet.

“

Integrand je zvezen na .

“

Primer 4

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

! To je tipičen primer in podobne integrale najdemo zelo pogosto. Dobro delaj! Funkcijo antiderivacije tukaj najdemo z metodo izbire celotnega kvadrata; več podrobnosti o metodi najdete v lekciji Integracija nekaterih ulomkov.

Primer 5

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Ta integral je mogoče podrobno rešiti, to je, da najprej poiščemo nedoločen integral s spremembo spremenljivke. Lahko pa jo rešite "takoj" - tako, da funkcijo podstavite pod diferencialni predznak. Kdo ima matematično izobrazbo?

Popolne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Primere rešitev nepravilnih integralov z neskončno spodnjo mejo integracije najdete na strani Učinkovite metode za reševanje nepravilnih integralov. Tam smo analizirali tudi primer, ko sta obe meji integracije neskončni.

Nepravilni integrali neomejenih funkcij

oz nepravilni integrali druge vrste. Nepravi integrali druge vrste so zahrbtno »šifrirani« pod običajnim določenim integralom in izgledajo povsem enako: Toda za razliko od določenega integrala ima integrand neskončno diskontinuiteto (ne obstaja): 1) v točki , 2) oz. na točki , 3) ali na obeh točkah hkrati, 4) ali celo na segmentu integracije. Pogledali si bomo prva dva primera; za primere 3-4 je na koncu članka povezava do dodatne lekcije.

Samo primer, da bo jasno: . Zdi se, da je določen integral. Toda v resnici je to nepravilen integral druge vrste; če vrednost spodnje meje nadomestimo v integrand, potem gre naš imenovalec na nič, se pravi, integrand na tej točki preprosto ne obstaja!

Na splošno pri analizi nepravilnega integrala vedno morate zamenjati obe integracijski meji v integrand. V zvezi s tem preverimo zgornjo mejo: . Tukaj je vse v redu.

Krivočrtni trapez za obravnavani tip nepravilnega integrala v osnovi izgleda takole:

Tukaj je vse skoraj enako kot v integralu prve vrste.

Naš integral je številčno enak površini osenčenega ukrivljenega trapeza, ki ni omejen od zgoraj. V tem primeru sta lahko dve možnosti*: nepravilni integral se razhaja (območje je neskončno) ali pa je nepravilni integral enak končnemu številu (to je, da je območje neskončne figure končno!).

* privzeto običajno predpostavljamo, da nepravilni integral obstaja

Vse, kar ostane, je, da spremenimo Newton-Leibnizovo formulo. Spreminja se tudi s pomočjo meje, vendar meja ne teži več v neskončnost, temveč na vrednost na desni. Iz risbe je enostavno razbrati: vzdolž osi se moramo lomišču približati neskončno blizu desno.

Poglejmo, kako se to izvaja v praksi.

Primer 6

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Integrand ima na točki neskončno diskontinuiteto (ne pozabite ustno ali na osnutku preveriti, ali je z zgornjo mejo vse v redu!)

Najprej izračunajmo nedoločen integral:

Zamenjava:

Če imate kakršne koli težave z zamenjavo, si oglejte lekcijo Substitucijska metoda v nedoločenem integralu.

Izračunajmo nepravilni integral:

(1) Kaj je tu novega? Glede tehnologije rešitev ni praktično nič. Edino, kar se je spremenilo, je vnos pod ikono limita: . Dodatek pomeni, da stremimo k vrednosti na desni (kar je logično – glej graf). Takšna meja se v teoriji mej imenuje enostranska omejitev. V tem primeru imamo desna meja.

(2) Zgornjo in spodnjo mejo zamenjamo z uporabo Newton-Leibnizove formule.

(3) Ukvarjajmo se s pri . Kako ugotoviti, kam gre izraz? Grobo rečeno, morate samo nadomestiti vrednost vanj, nadomestiti tri četrtine in navesti, da . Prečešimo odgovor.

V tem primeru je nepravilni integral enak negativnemu številu. V tem ni kaznivega dejanja, le ustrezni ukrivljeni trapez se nahaja pod osjo.

In zdaj dva primera za neodvisne rešitve.

Primer 7

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Primer 8

Izračunajte nepravilni integral ali ugotovite njegovo divergenco.

Če integrand v točki ne obstaja

Neskončni ukrivljeni trapez za tak nepravilni integral v osnovi izgleda takole.

Določeni integrali na spletu na strani za študente in šolarje za utrjevanje obravnavane snovi. In urjenje vaših praktičnih veščin. Celovita rešitev določenih integralov na spletu vam bo v nekaj trenutkih pomagala določiti vse stopnje procesa na spletu - določeni integrali na spletu. Določeni integrali na spletu na spletnem mestu za študente in šolarje za popolno utrjevanje obravnavane snovi in urjenje praktičnih veščin. Celovita rešitev določenih integralov na spletu vam bo v nekaj trenutkih pomagala določiti vse stopnje procesa na spletu - določeni integrali na spletu. Za nas se ne zdi nekaj nadnaravnega vzeti določen integral na spletu, saj smo to temo preučevali v knjigi izjemnih avtorjev. Najlepše se jim zahvaljujemo in izražamo spoštovanje tem posameznikom. Spletna storitev za izračun tovrstnih problemov vam bo v hipu pomagala določiti določen integral. Samo navedite pravilne podatke in vse bo dobro! Vsak določen integral kot rešitev problema bo izboljšal pismenost učencev. O tem sanja vsak lenuh in tudi mi nismo izjema, to iskreno priznamo. Če vam kljub temu uspe na spletu brezplačno izračunati določen integral z rešitvijo, potem napišite naslov spletne strani vsem, ki jo želite uporabljati. Kot pravijo, če delite koristno povezavo, vas bodo dobri ljudje nagradili z darilom. Zelo zanimivo bo vprašanje analize problema, pri katerem bo določen integral rešil kalkulator sam, ne pa z izgubljanjem vašega dragocenega časa. Zato so stroji, da delajo za ljudi. Vendar pa reševanje določenih integralov na spletu ni nekaj, kar vsako spletno mesto zmore, in to je enostavno preveriti, in sicer preprosto vzemite kompleksen primer in ga poskusite rešiti z vsako tako storitvijo. Iz prve roke boste občutili razliko. Pogosto bo iskanje določenega integrala na spletu brez truda precej težko in vaš odgovor bo videti smešen glede na celotno sliko rezultata. Bolje bi bilo najprej opraviti tečaj za mladega borca. Vsaka rešitev nepravilnih integralov na spletu se najprej reducira na izračun nedoločenega, nato pa s pomočjo teorije limitov praviloma na izračunavanje enostranskih limitov iz dobljenih izrazov z zamenjanimi mejami A in B. Po pregledu določenega integrala ste navedli na spletu s podrobno rešitvijo, smo ugotovili, da ste naredili napako pri petem koraku, in sicer pri uporabi formule zamenjave spremenljivke Chebyshev. Pri nadaljnji odločitvi bodite zelo previdni. Če spletni kalkulator prvič ni mogel vzeti vašega specifičnega integrala, potem morate najprej dvakrat preveriti zapisane podatke v ustreznih obrazcih na spletnem mestu. Prepričajte se, da je vse v redu in pojdite, Go-Go! Za vsakega študenta je ovira računanje nepravih integralov preko spleta pri učitelju samem, saj je to ali izpit, ali kolokvij ali samo test na paru.. Takoj, ko vam je dani nepravi integralni spletni kalkulator na voljo, nato takoj vstopite v dano funkcijo, nadomestite dane meje integracije in kliknite na gumb Rešitev, po katerem boste imeli dostop do celotnega, podrobnega odgovora. Kljub temu je dobro, če obstaja tako čudovito spletno mesto, saj je brezplačno, enostavno za uporabo in vsebuje veliko razdelkov. ki jih študenti uporabljajo vsak dan, eden od njih je dokončen integral online z rešitvijo v polni obliki. V istem razdelku lahko na spletu izračunate nepravilni integral s podrobno rešitvijo za nadaljnje aplikacije odgovora tako na inštitutu kot v inženirskem delu. Zdi se, da je določitev določenega integrala na spletu preprosta stvar za vsakogar, če vnaprej rešite tak primer brez zgornje in spodnje meje, torej ne Leibnizovega, temveč nedoločenega integrala. Toda tu se midva kategorično ne strinjava, saj se na prvi pogled morda zdi točno tako, vendar obstaja pomembna razlika, razvrstimo vse. Rešitev tako določenega integrala ne poda eksplicitno, temveč kot posledico pretvorbe izraza v mejno vrednost. Z drugimi besedami, najprej morate rešiti integral tako, da zamenjate simbolne vrednosti meja, nato pa izračunate mejo v neskončnosti ali na določeni točki. Zato izračun določenega integrala na spletu z brezplačno rešitvijo ne pomeni nič drugega kot predstavitev natančne rešitve z uporabo Newton-Leibnizove formule. Če upoštevamo naš pravi integralni kalkulator, vam ga bo pomagal izračunati v nekaj sekundah pred vašimi očmi. Ta naglica je nujna za vse, ki želijo čim hitreje opraviti nalogo in sprostiti prostor za osebne zadeve. Na internetu ne smete iskati strani, ki vas bodo prosile, da se registrirate, nato pa dodate denar na svoje stanje, vse zavoljo nekega pametnjakoviča, ki pripravlja rešitve za določene integrale domnevno na spletu. Ne pozabite na naslov Math24 je brezplačna storitev za reševanje številnih matematičnih problemov, vključno z mi vam bomo pomagali najti določen integral na spletu, in da se prepričate o tem, preverite našo izjavo s posebnimi primeri. Vnesite integrand v ustrezno polje, nato pa določite neskončne mejne vrednosti (v tem primeru bo rešitev nepravilnih integralov izračunana in pridobljena na spletu) ali pa na spletu navedite svoje numerične ali simbolne meje in določen integral s podrobno rešitvijo se prikaže na strani po kliku na gumb "Rešitev". Kajne – je zelo preprosto, od vas ne zahteva nobenih nepotrebnih dejanj, je brezplačno, kar je najpomembneje, hkrati pa je učinkovito. Storitev lahko uporabljate sami, tako da vam določen spletni integralni kalkulator prinese največjo korist, vi pa dobite udobno stanje, ne da bi se obremenjevali s kompleksnostjo vseh računskih procesov. Dovolite nam, da naredimo vse namesto vas in pokažemo vso moč računalniške tehnologije sodobni svet. Če se potopite v džunglo zapletenih formul in sami na spletu študirate računanje nepravilnih integralov, potem je to pohvale vredno in se lahko kvalificirate za možnost pisanja doktorske disertacije, a vrnimo se k realnosti študentskega življenja. Kdo je študent? Najprej je mlad človek, energičen in vesel, ki si želi imeti čas za sprostitev in pisanje domačih nalog! Zato smo poskrbeli za študente, ki na prostranstvih svetovnega omrežja poskušajo najti neustrezen integralni spletni kalkulator, in tukaj je za vašo pozornost - stran je najbolj uporaben spletni reševalec za mlade. Mimogrede, čeprav je naša storitev predstavljena kot pomočnik študentom in šolarjem, je popolnoma primerna za vsakega inženirja, saj smo sposobni za vsako vrsto problema in je njihova rešitev predstavljena v profesionalni obliki. Nudimo na primer določen integral na spletu s celovito rešitvijo po stopnjah, kar pomeni, da je vsakemu logičnemu bloku (podnalogi) dodeljen ločen vnos z vsemi izračuni med celotnim procesom reševanja. To seveda poenostavi zaznavanje večstopenjskih sekvenčnih postavitev in je s tem prednost projekta strani pred podobnimi storitvami iskanja nepravilnih integralov na spletu s podrobno rešitvijo.