Poiščite intervale monotonega naraščanja funkcije. Naraščanje, padanje in ekstremi funkcije

Kako vstaviti matematične formule na spletno stran?

Če boste kdaj morali na spletno stran dodati eno ali dve matematični formuli, potem je to najlažji način, kot je opisano v članku: matematične formule se enostavno vstavijo na spletno mesto v obliki slik, ki jih samodejno ustvari Wolfram Alpha. . Poleg preprostosti, to univerzalna metoda bo pomagal izboljšati vidnost spletne strani Iskalniki. Deluje že dolgo (in mislim, da bo deloval večno), vendar je že moralno zastarel.

Če na svojem spletnem mestu redno uporabljate matematične formule, priporočam, da uporabite MathJax – posebno knjižnico JavaScript, ki prikazuje matematični zapis v spletnih brskalnikih z uporabo oznak MathML, LaTeX ali ASCIIMathML.

MathJax lahko začnete uporabljati na dva načina: (1) s preprosto kodo lahko hitro povežete skript MathJax s svojim mestom, kar bo pravi trenutek samodejno nalaganje z oddaljenega strežnika (seznam strežnikov); (2) prenesite skript MathJax z oddaljenega strežnika na svoj strežnik in ga povežite z vsemi stranmi vašega spletnega mesta. Druga metoda - bolj zapletena in dolgotrajna - bo pospešila nalaganje strani vašega spletnega mesta in če nadrejeni strežnik MathJax iz nekega razloga postane začasno nedosegljiv, to na noben način ne bo vplivalo na vaše lastno spletno mesto. Kljub tem prednostim sem izbral prvo metodo, saj je preprostejša, hitrejša in ne zahteva tehničnega znanja. Sledite mojemu zgledu in v samo 5 minutah boste lahko uporabljali vse funkcije MathJaxa na svojem spletnem mestu.

Skript knjižnice MathJax lahko povežete z oddaljenega strežnika z uporabo dveh možnosti kode, vzetih z glavnega spletnega mesta MathJax ali na strani z dokumentacijo:

Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.

MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte pripomoček, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretjih oseb, vanj kopirajte prvo ali drugo različico kode za prenos, predstavljeno zgoraj, in pripomoček postavite bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.

Vsak fraktal je zgrajen v skladu z določeno pravilo, ki se uporablja zaporedno neomejeno številokrat. Vsak tak čas se imenuje ponovitev.

Iterativni algoritem za izdelavo Mengerjeve gobe je precej preprost: originalna kocka s stranico 1 je razdeljena z ravninami, vzporednimi z njenimi ploskvami, na 27 enake kocke. Iz nje se odstrani ena osrednja kocka in 6 kock, ki mejijo nanjo vzdolž ploskev. Rezultat je niz, sestavljen iz preostalih 20 manjših kock. Če enako naredimo z vsako od teh kock, dobimo niz, sestavljen iz 400 manjših kock. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, dobimo Mengerjevo gobo.

naraščajoče na intervalu \(X\), če je za katerikoli \(x_1, x_2\in X\) tako, da \(x_1 0\) za kateri koli \(t\in \mathbb(R)\) .

Tako je funkcija \(f(t)\) strogo naraščajoča za vse \(t\in \mathbb(R)\) .

To pomeni, da je enačba \(f(ax)=f(x^2)\) enakovredna enačbi \(ax=x^2\) .

Enačba \(x^2-ax=0\) za \(a=0\) ima en koren \(x=0\), za \(a\ne 0\) pa dva različna korena \(x_1\) =0 \) in \(x_2=a\) .
Poiskati moramo vrednosti \(a\), pri katerih bo imela enačba vsaj dva korena, pri čemer je treba upoštevati tudi dejstvo, da \(a>0\) .
Zato je odgovor: \(a\in (0;+\infty)\) .

odgovor:

\((0;+\infty)\) .

Naloga 4 #1232

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih enačba \

ima edinstveno rešitev.

Pomnožimo desno in levo stran enačbe z \(2^(\sqrt(x+1))\) (ker \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) in prepišemo enačbo v obliki :\

Upoštevajte funkcijo \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) za \(t\geqslant 0\) (ker \(\sqrt (x +1)\geqslant 0\) ).

Izpeljanka \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\desno)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\desno)\) .

Ker \(2^t>0, \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) za vse \(t\geqslant 0\), potem \( y"0\) za vse \(a\). Posledično ima enačba vedno dva korena \(x_1\) in \(x_2\), ki sta različnih predznakov (ker po Vietovem izreku \(x_1\cdot x_2 =-\dfrac(1)(a^2) 0 pri . X= 0 gre odvod na nič. Funkcija monotono narašča vzdolž celotne numerične osi.

Ekstrem funkcije

Opredelitev 1. Točka X 0 se imenuje največja točka funkcije f(XX 0 neenakost velja

Definicija 2. Točka X 1 imenujemo točka minimuma funkcije f(X), če je v neki okolici točke X 1 velja neenakost

Vrednosti funkcij v točkah X 0 in X 1 se ustrezno imenujejo maksimum in minimum funkcije.

Maksimalna in minimalna funkcija sta združeni pogosto ime ekstremom funkcije.

Ekstrem funkcije se pogosto imenuje lokalni ekstrem, poudarjanje dejstva, da je koncept ekstrema povezan le z dovolj majhno okolico točke x n. Tako ima lahko funkcija na enem intervalu več ekstremov in lahko se zgodi, da je minimum na eni točki večji od maksimuma na drugi, na primer na sliki 8

Prisotnost maksimuma (ali minimuma) na ločeni točki v intervalu X sploh ne pomeni, da v tem trenutku funkcija f(X) ima največjo (najmanjšo) vrednost na tem intervalu (ali, kot pravijo, ima globalni maksimum (minimum)).

Nujen pogoj za ekstrem: Da funkcija y =f(X) je imel ekstrem v točki X 0, je potrebno, da je njen derivat na tej točki enak nič ( )ali pa ni obstajal.

Točke, kjer je bilo opravljeno potreben pogoj ekstrem, tj. izpeljanka je enaka nič ali ne obstaja kritično(oz stacionarni ).

Če torej na kateri koli točki obstaja ekstrem, potem je ta točka kritična. Zelo pomembno pa je omeniti, da obratno ne drži. Kritična točka ni nujno ekstremna točka.

Slika 8 – Funkcijski ekstremi f(X)

Primer 1. Najti kritične točke funkcijo in preverite prisotnost ali odsotnost ekstrema na teh točkah.