Mn je srednjica trikotnika ABC, če. Srednja črta trikotnika

Cilji lekcije:

1) seznanite študente s konceptom srednje črte trapeza, razmislite o njegovih lastnostih in jih dokažite;

2) naučiti sestavljati srednjo črto trapeza;

3) razvijati sposobnost učencev za uporabo definicije srednje črte trapeza in lastnosti srednje črte trapeza pri reševanju nalog;

4) še naprej razvijati sposobnost študentov za kompetenten govor z uporabo potrebnih matematičnih izrazov; dokazati svoje stališče;

5) razvijati logično razmišljanje, spomin, pozornost.

Napredek lekcije

1. Domače naloge se preverjajo med poukom. Domača naloga je bila ustna, ne pozabite:

a) definicija trapeza; vrste trapeza;

b) določitev srednje črte trikotnika;

c) lastnost srednje črte trikotnika;

d) znak srednje črte trikotnika.

2. Študij novega gradiva.

a) Na tabli je prikazan trapez ABCD.

b) Učitelj vas prosi, da se spomnite definicije trapeza. Na vsaki mizi je diagram z namigi, ki vam pomaga zapomniti osnovne pojme v temi »Trapez« (glej Dodatek 1). Priloga 1 je izdana vsaki mizi.

Učenci v zvezke narišejo trapez ABCD.

c) Učitelj vas prosi, da se spomnite, v kateri temi ste srečali koncept srednje črte (»Srednja črta trikotnika«). Učenci se spomnijo definicije srednje črte trikotnika in njenih lastnosti.

e) Zapišite definicijo srednje črte trapeza in jo narišite v zvezek.

Srednja linija Trapez je odsek, ki povezuje sredine njegovih stranic.

Lastnost srednje črte trapeza na tej stopnji ostaja nedokazana, zato naslednja stopnja lekcije vključuje delo na dokazovanju lastnosti srednje črte trapeza.

Izrek. Srednja linija trapeza je vzporedna z njegovimi osnovami in enaka njuni polvsoti.

podano: ABCD – trapez,

MN – sredinska črta ABCD

Dokaži, kaj:

1. pr. n. št. || MN || A.D.

2. MN = (AD + BC).

Zapišemo lahko nekaj posledic, ki izhajajo iz pogojev izreka:

AM = MB, CN = ND, BC || A.D.

Samo na podlagi naštetih lastnosti je nemogoče dokazati zahtevano. Sistem vprašanj in vaj naj bi študente pripeljal do želje, da povežejo srednjo črto trapeza z srednjo črto nekega trikotnika, katerega lastnosti že poznajo. Če ni predlogov, potem lahko postavite vprašanje: kako sestaviti trikotnik, za katerega bi bil segment MN srednja črta?

Zapišimo dodatno konstrukcijo za enega od primerov.

Narišimo premico BN, ki seka nadaljevanje stranice AD ​​v točki K.

Pojavijo se dodatni elementi - trikotniki: ABD, BNM, DNK, BCN. Če dokažemo, da je BN = NK, bo to pomenilo, da je MN srednjica ABD, nato pa lahko uporabimo lastnost srednje črte trikotnika in dokažemo potrebno.

Dokaz:

1. Razmislite o BNC in DNK, vsebujeta:

a) CNB =DNK (lastnina navpični koti);

b) BCN = NDK (lastnost notranjih navzkrižnih kotov);

c) CN = ND (posledica pogojev izreka).

To pomeni BNC =DNK (ob strani in dveh sosednjih kotih).

Q.E.D.

Dokaz lahko opravimo ustno pri pouku, doma pa obnovimo in zapišemo v zvezek (po učiteljevi presoji).

Povedati je treba o drugih možnih načinih dokazovanja tega izreka:

1. Nariši eno od diagonal trapeza in uporabi znak in lastnost srednje črte trikotnika.

2. Izvedite CF || BA in razmislimo o paralelogramu ABCF in DCF.

3. Izvedite EF || BA in upoštevajte enakost FND in ENC.

g) Na tej stopnji je določeno domača naloga: odstavek 84, ur. učbenika. Atanasjan L.S. (dokaz lastnosti srednje črte trapeza z vektorsko metodo), zapiši v zvezek.

h) Rešujemo naloge z uporabo definicije in lastnosti srednje črte trapeza s pomočjo že pripravljenih risb (glej prilogo 2). Prilogo 2 dobi vsak učenec, na istem listu pa je v kratki obliki izpisana rešitev nalog.

Koncept srednje črte trikotnika

Uvedimo pojem srednje črte trikotnika.

Definicija 1

To je segment, ki povezuje razpoloviščni točki dveh stranic trikotnika (slika 1).

Slika 1. Srednja črta trikotnika

Izrek o srednji črti trikotnika

1. izrek

Srednja črta trikotnika je vzporedna z eno od njegovih stranic in enaka njeni polovici.

Dokaz.

Naj nam bo dan trikotnik $ABC$. $MN$ je srednja črta (kot na sliki 2).

Slika 2. Ponazoritev izreka 1

Ker je $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, sta si trikotnika $ABC$ in $MBN$ podobna po drugem kriteriju podobnosti trikotnikov . Pomeni

Prav tako sledi, da je $\angle A=\angle BMN$, kar pomeni $MN||AC$.

Izrek je dokazan.

Posledice izreka o srednji črti trikotnika

Posledica 1: Srednjici trikotnika se sekata v eni točki in sta deljeni s presečiščem v razmerju $2:1$ začenši z oglišča.

Dokaz.

Vzemimo trikotnik $ABC$, kjer so $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegove mediane. Ker mediane delijo stranice na pol. Oglejmo si srednjo črto $A_1B_1$ (slika 3).

Slika 3. Ponazoritev posledice 1

Po izreku 1 je $AB||A_1B_1$ in $AB=2A_1B_1$ torej $\kot ABB_1=\kot BB_1A_1,\ \kot BAA_1=\kot AA_1B_1$. To pomeni, da sta si trikotnika $ABM$ in $A_1B_1M$ podobna po prvem kriteriju podobnosti trikotnikov. Potem

Podobno je dokazano, da

Izrek je dokazan.

Posledica 2: Tri srednje črte trikotnika ga delijo na 4 trikotnike, podobne prvotnemu trikotniku s koeficientom podobnosti $k=\frac(1)(2)$.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$ z srednjicami $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (slika 4)

Slika 4. Ponazoritev posledice 2

Razmislite o trikotniku $A_1B_1C$. Ker je $A_1B_1$ srednja črta, torej

Kot $C$ - skupni kot ti trikotniki. Posledično sta si trikotnika $A_1B_1C$ in $ABC$ podobna po drugem kriteriju podobnosti trikotnikov s koeficientom podobnosti $k=\frac(1)(2)$.

Podobno je dokazano, da so si trikotnika $A_1C_1B$ in $ABC$ ter trikotnika $C_1B_1A$ in $ABC$ podobni s koeficientom podobnosti $k=\frac(1)(2)$.

Razmislite o trikotniku $A_1B_1C_1$. Ker so $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ srednje črte trikotnika, potem

Zato sta si po tretjem kriteriju podobnosti trikotnikov trikotnika $A_1B_1C_1$ in $ABC$ podobna s koeficientom podobnosti $k=\frac(1)(2)$.

Izrek je dokazan.

Primeri nalog o pojmu srednje črte trikotnika

Primer 1

Podan je trikotnik s stranicami $16$ cm, $10$ cm in $14$ cm. Poiščite obseg trikotnika, katerega oglišča ležijo na središčih stranic dani trikotnik.

rešitev.

Ker oglišča želenega trikotnika ležijo na središčih stranic danega trikotnika, so njegove stranice središčnice prvotnega trikotnika. Na podlagi posledice 2 ugotovimo, da so stranice iskanega trikotnika enake $8$ cm, $5$ cm in $7$ cm.

odgovor: 20$ glej

Primer 2

Podan je trikotnik $ABC$. Točki $N\ in \ M$ sta razpolovišči stranic $BC$ oziroma $AB$ (slika 5).

Slika 5.

Obseg trikotnika $BMN=14$ cm Poiščite obseg trikotnika $ABC$.

rešitev.

Ker sta $N\ in\ M$ razpolovišči stranic $BC$ in $AB$, potem je $MN$ srednjica. Pomeni

Po izreku 1 je $AC=2MN$. Dobimo:

Srednja črta trikotnika. Pozdravljeni prijatelji! Danes teoretično gradivo, je povezan s trikotnikom. Izpit vsebuje skupino nalog, ki uporabljajo lastnost njegove srednje črte. Pa ne samo pri težavah s trikotniki, ampak tudi s trapezi. Bil je eden, v katerem sem predlagal, da si preprosto zapomnimo ta dejstva, zdaj bolj podrobno ...

Kaj je srednja črta trikotnika in kakšne so njene lastnosti?

Opredelitev. Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje središča stranic trikotnika.

Jasno je, da so v trikotniku tri srednje črte. Pokažimo jim:

Brez kakršnega koli dokaza ste verjetno že opazili, da so vsi štirje oblikovani trikotniki enaki. To je res, vendar bomo o tem podrobneje govorili kasneje.

Izrek. Srednja črta trikotnika, ki povezuje razpolovišči dveh danih stranic, je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.

Dokaz:

1. Oglejmo si trikotnika BMN in BAC. Glede na pogoj imamo BM=MA, BN=NC. Lahko zapišemo:

Zato sta si trikotnika podobna po dveh sorazmernih stranicah in kotu med njima (drugi znak podobnosti). Kaj iz tega sledi? In kaj:

Na podlagi vzporednosti premic MN||AC.

2. Tudi iz podobnosti trikotnikov sledi, da

To pomeni, da je MN dvakrat manjši. dokazano!

Rešimo tipično težavo.

V trikotniku ABC so točke M, N, K razpolovišča stranic AB, BC, AC. Poišči obseg trikotnik ABC, če je MN=12, MK=10, KN=8.

rešitev. Seveda je treba najprej preveriti obstoj trikotnika MNK (in torej obstoj trikotnika ABC). Vsota dveh manjše stranice mora biti več kot tretja oseba, napišite 10+8>12. Bo izpolnjeno, torej trikotnik obstaja.

Naredimo skico:

Tako je obseg trikotnika ABC 24+20+16=60.

*Sedaj več podrobnosti o trikotnikih, ki jih dobimo s konstrukcijo vseh treh srednjih črt. Njuno enakost je enostavno dokazati. poglej:

Na treh straneh so enaki. Seveda tudi tu veljajo druga znamenja. To razumemo

Kako se ta lastnost uporablja pri nalogah, vključenih v izpit? Posebej bi se rad osredotočil na probleme stereometrije. Obstajajo vrste, v katerih govorimo o o trikotni prizmi.

Rečeno je na primer, da ravnina poteka skozi središča stranic baze in je vzporedna s tretjim robom baze. Postavljajo se vprašanja o spremembah površine prizme, njene prostornine in drugih.

Torej, tukaj je. Če poznate in razumete zgoraj predstavljene informacije, boste takoj ugotovili, da ta ravnina odseka eno četrtino od baze določene prizme in ustno rešite problem. S takimi nalogami.

To je vse! Vse najboljše!

Prenesite material za članek

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Štirikotnik, pri katerem sta samo dve stranici vzporedni, se imenuje trapez.

Vzporedne stranice trapeza imenujemo njegove razlogov, tiste stranice, ki niso vzporedne, pa imenujemo straneh. Če sta stranici enaki, je takšen trapez enakokrak. Razdalja med osnovama se imenuje višina trapeza.

Trapez srednje črte

Srednja črta je segment, ki povezuje sredine stranskih strani trapeza. Srednja črta trapeza je vzporedna z njegovimi osnovami.

Izrek:

Če je premica, ki seka sredino ene stranice, vzporedna z osnovami trapeza, potem razpolavlja drugo strani trapezi.

Izrek:

Dolžina srednjice je enaka aritmetični sredini dolžin njenih osnov

MN srednja črta, AB in CD - osnove, AD in BC - stranske stranice

MN = (AB + DC)/2

Izrek:

Dolžina srednje črte trapeza je enaka aritmetični sredini dolžin njegovih osnov.

Glavna naloga: Dokaži, da srednjica trapeza razpolavlja odsek, katerega konca ležita na sredini osnov trapeza.

Srednja črta trikotnika

Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki obeh stranic trikotnika, se imenuje srednja črta trikotnika. Vzporedna je s tretjo stranico in njena dolžina je enaka polovici dolžine tretje stranice.
Izrek: Če je črta, ki seka razpolovišče ene stranice trikotnika, vzporedna z drugo stranjo trikotnika, potem razpolovi tretjo stran.

AM = MC in BN = NC =>

Uporaba lastnosti srednje črte trikotnika in trapeza

Delitev segmenta z določeno količino enake dele.
Naloga: Odsek AB razdeli na 5 enakih delov.
rešitev:
Naj bo p naključni žarek z izhodiščem v točki A in ne leži na premici AB. Zaporedoma odložimo 5 enakih segmentov na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Povežemo A 5 z B in skozi A 4, A 3, A 2 in A 1 narišemo takšne premice, ki so vzporedne z A 5 B. Sekajo AB v točkah B 4, B 3, B 2 in B 1. Te točke delijo odsek AB na 5 enakih delov. Dejansko iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo, da je BB 4 = B 4 B 3. Na enak način dobimo iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Medtem ko je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Potem iz B 2 AA 2 sledi B 2 B 1 = B 1 A. Na koncu dobimo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je, da moramo za razdelitev odseka AB na drugo število enakih delov projicirati enako število enakih odsekov na žarek p. In nato nadaljujte na zgoraj opisan način.