Težave z matematiko. Pierre Fermat in njegov "nedokazljivi" izrek

MATEMATIČNI PROBLEMI, KI JIH ČLOVEŠTVO NE REŠUJE

Hilbertove težave

23 najpomembnejših problemov v matematiki je leta 1990 na drugem mednarodnem kongresu matematikov v Parizu predstavil največji nemški matematik David Hilbert. Takrat ti problemi (ki zajemajo osnove matematike, algebro, teorijo števil, geometrijo, topologijo, algebrsko geometrijo, Liejeve skupine, realno in kompleksno analizo, diferencialne enačbe, matematično fiziko, variacijski račun in teorijo verjetnosti) niso bili rešeni doslej je bilo rešenih 16 problemov od 23. Še 2 nista pravilna matematična problema (eden je formuliran preveč nejasno, da bi razumeli, ali je bil rešen ali ne, drugi, ki še zdaleč ni rešen, je fizikalni, ne matematični. preostalih 5 problemov, dva nista bila rešena na noben način, trije pa so bili rešeni samo za nekatere primere

Landauove težave

V zvezi s praštevili je še veliko odprtih vprašanj (praštevilo je število, ki ima samo dva delitelja: ena in število samo). Najpomembnejša vprašanja so bila navedena Edmund Landau na petem mednarodnem matematičnem kongresu:

Landauov prvi problem (Goldbachov problem): Ali drži, da lahko vsako sodo število, večje od 2, predstavimo kot vsoto dveh praštevil, vsako liho število, večje od 5, pa kot vsoto treh praštevil?

Landauov drugi problem: ali je množica neskončna? "preprosti dvojčki"— praštevila, katerih razlika je 2?
Landauov tretji problem(Legendrejeva domneva): ali drži, da za vsako naravno število n med in vedno obstaja praštevilo?
Landauov četrti problem: Ali obstaja neskončna množica praštevil oblike , kjer je n naravno število?

Izzivi tisočletja (Težave z nagrado tisočletja)

To je sedem matematičnih nalog, h in rešitev za vsako od katerih je Clay Institute ponudil nagrado v višini 1.000.000 ameriških dolarjev. Inštitut Clay je na teh sedem problemov opozoril matematike in jih primerjal s 23 problemi D. Hilberta, ki so imeli velik vpliv na matematiko dvajsetega stoletja. Od Hilbertovih 23 problemov je večina že rešenih, le eden - Riemannova hipoteza - je bil uvrščen na seznam problemov tisočletja. Od decembra 2012 je bil rešen samo eden od sedmih problemov tisočletja (Poincaréjeva domneva). Nagrado za njeno rešitev je prejel ruski matematik Grigorij Perelman, ki jo je zavrnil.

Tukaj je seznam teh sedmih nalog:

št. 1. Enakost razredov P in NP

Če je odgovor na vprašanje pozitiven hitro preverite (z pomožnimi informacijami, imenovanimi certifikat), ali je sam odgovor (skupaj s certifikatom) na to vprašanje resničen hitro najti? Problemi prvega tipa spadajo v razred NP, drugi pa v razred P, eden najpomembnejših problemov v teoriji algoritmov.

št. 2. Hodgeova domneva

Pomemben problem v algebraični geometriji. Domneva opisuje kohomološke razrede na kompleksnih projektivnih varietetah, ki jih realizirajo algebraične podvarietete.

št. 3. Poincaréjeva domneva (dokazal G.Y. Perelman)

Velja za najbolj znan topološki problem. Preprosteje, navaja, da mora biti vsak 3D "objekt", ki ima nekatere lastnosti 3D krogle (na primer, vsaka zanka v njej mora biti skrčljiva), krogla do deformacije. Nagrado za dokazovanje Poincaréjeve domneve je prejel ruski matematik G.Ya Perelman, ki je leta 2002 objavil vrsto del, iz katerih izhaja veljavnost Poincaréjeve domneve.

št. 4. Riemannova hipoteza

Domneva navaja, da imajo vse netrivialne (to so tiste, ki imajo neničelni namišljeni del) ničle Riemannove funkcije zeta realni del 1/2. Riemannova hipoteza je bila osma na Hilbertovem seznamu težav.

št. 5. Yang-Millsova teorija

Problem s področja fizike osnovnih delcev. Dokazati moramo, da za katero koli preprosto kompaktno merilno skupino G obstaja kvantna Yang–Millsova teorija za štiridimenzionalni prostor in ima defekt mase, ki ni nič. Ta izjava je skladna z eksperimentalnimi podatki in numeričnimi simulacijami, vendar še ni dokazana.

št. 6. Obstoj in gladkost rešitev Navier–Stokesovih enačb

Navier-Stokesove enačbe opisujejo gibanje viskozne tekočine. Eden najpomembnejših problemov hidrodinamike.

št. 7. Birch-Swinnerton-Dyerjeva domneva

Domneva je povezana z enačbami eliptičnih krivulj in množico njihovih racionalnih rešitev.

1. 1 Murad:

   Enačbo Zn = Xn + Yn smo obravnavali kot Diofantovo enačbo ali veliki Fermatov izrek, to pa je rešitev enačbe (Zn- Xn) Xn = (Zn – Yn) Yn. Potem je Zn =-(Xn + Yn) rešitev enačbe (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Te enačbe in rešitve so povezane z lastnostmi celih števil in operacij na njih. Torej ne poznamo lastnosti celih števil?! S tako omejenim znanjem ne bomo razkrili resnice.
   Razmislite o rešitvah Zn = +(Xn + Yn) in Zn =-(Xn + Yn), ko je n = 1. Cela števila + Z so sestavljena z uporabo 10 števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Deljivi so z 2 celima številoma +X – sode, zadnje desne števke: 0, 2, 4, 6, 8 in +Y – lihe, zadnje desne števke: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Število Y = 5 – lihih in X = 5 – sodih števil je: Z = 10. Zadovoljuje enačbo: (Z – X) X = (Z – Y) Y, rešitev pa je + Z = +X + Y= +(X + Y).
   Cela števila -Z so sestavljena iz unije -X - sodo in -Y - liho ter izpolnjujejo enačbo:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y in rešitev je -Z = – X – Y = – (X + Y).
   Če je Z/X = Y ali Z/Y = X, potem je Z = XY; Z / -X = -Y ali Z / -Y = -X, potem je Z = (-X)(-Y). Deljenje preverimo z množenjem.
   Enomestna pozitivna in negativna števila so sestavljena iz 5 lihih in 5 lihih števil.
   Razmislite o primeru n = 2. Potem je Z2 = X2 + Y2 rešitev enačbe (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 in Z2 = -(X2 + Y2) je rešitev enačbe (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Z2 = X2 + Y2 smo obravnavali kot Pitagorov izrek in potem je rešitev Z2 = -(X2 + Y2) isti izrek. Vemo, da diagonala kvadrata deli na 2 dela, kjer je diagonala hipotenuza. Potem veljajo enakosti: Z2 = X2 + Y2 in Z2 = -(X2 + Y2), kjer sta X in Y kraka. In tudi rešitve R2 = X2 + Y2 in R2 =- (X2 + Y2) so krogi, središča so izhodišče kvadratnega koordinatnega sistema in s polmerom R. Zapišemo jih lahko v obliki (5n)2 = (3n )2 + (4n)2 , kjer sta n pozitivna in negativna cela števila in so 3 zaporedna števila. Rešitve so tudi 2-mestna števila XY, ki se začnejo z 00 in končajo z 99 in je 102 = 10x10 in štejejo 1 stoletje = 100 let.
   Upoštevajmo rešitve, ko je n = 3. Potem je Z3 = X3 + Y3 rešitev enačbe (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   3-mestna števila XYZ se začnejo z 000 in končajo z 999 in so 103 = 10x10x10 = 1000 let = 10 stoletij
   Iz 1000 kock enake velikosti in barve lahko sestavite rubik reda 10. Upoštevajte rubik reda +103=+1000 - rdeča in -103=-1000 - modra. Sestavljeni so iz 103 = 1000 kock. Če ga položimo in postavimo kocke v eno vrsto ali drugo na drugo, brez vrzeli, bomo dobili vodoravni ali navpični segment dolžine 2000. Rubik je velika kocka, prekrita z majhnimi kockami, začenši z velikostjo 1butto = 10st.-21, in ji ni mogoče dodati ali odšteti ene kocke.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Vsako celo število je 1. Seštejte 1 (enote) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 in produkte:
   111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111= 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Te operacije je mogoče izvajati na 20-bitnih kalkulatorjih.
   Znano je, da je +(n3 – n) vedno deljivo s +6, – (n3 – n) pa vedno deljivo z -6. Vemo, da je n3 – n = (n-1)n(n+1). To so 3 zaporedna števila (n-1)n(n+1), kjer je n sodo, torej deljivo z 2, (n-1) in (n+1) liho, deljivo s 3. Potem (n-1) n(n+1) je vedno deljivo s 6. Če je n=0, potem (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, potem (n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   Vemo, da je 19 x 19 = 361. To pomeni, da je en kvadrat obkrožen s 360 kvadratki, nato pa je ena kocka obkrožena s 360 kockami. Velja enakost: 6 n – 1 + 6n. Če je n=60, potem 360 – 1 + 360 in n=61, potem 366 – 1 + 366.
   Posplošitve izhajajo iz zgornjih trditev:
   n5 – 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 – 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! = n! (n +1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Če 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Vsako celo število n je potenca števila 10, ima: – n in +n, +1/ n in -1/ n, liho in sodo:
   - (n + n +…+ n) =-n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Jasno je, da če sebi prištejemo katerokoli celo število, se bo povečalo za 2-krat, produkt pa bo kvadrat: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a =a2. To je veljalo za Vietov izrek – napaka!
   Če danemu številu dodamo in odštejemo število b, se vsota ne spremeni, spremeni pa se produkt, npr.
   X = a + b, Y = a – b, X+Y = a + b + a – b = 2a; XY = (a + b) x (a – b) = a2- b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2- b.
   X = a + bi, Y = a – bi, X+Y = a + bi + a – bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2+ b2.
   X = a +√b i, Y = a – √bi, X+Y = a +√bi+ a – √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Če namesto črk a in b postavimo cela števila, dobimo paradokse, absurde in nezaupanje v matematiko.

Na svetu ni veliko ljudi, ki še nikoli niso slišali za Fermatov zadnji izrek - morda je to edini matematični problem, ki je postal tako splošno znan in postal prava legenda. Omenjen je v številnih knjigah in filmih, glavni kontekst skoraj vseh omemb pa je nezmožnost dokaza izreka.

Da, ta izrek je zelo znan in je v nekem smislu postal "idol", ki ga častijo amaterski in profesionalni matematiki, vendar le malo ljudi ve, da je bil njegov dokaz najden, in to se je zgodilo leta 1995. Ampak najprej.

Torej, Fermatov zadnji izrek (pogosto imenovan Fermatov zadnji izrek), ki ga je leta 1637 oblikoval briljantni francoski matematik Pierre Fermat, je v bistvu zelo preprost in razumljiv vsakomur s srednješolsko izobrazbo. Pravi, da formula a na potenco n + b na potenco n = c na potenco n nima naravnih (torej ne frakcijskih) rešitev za n > 2. Vse se zdi preprosto in jasno, toda najboljši matematiki in navadni amaterji so se z iskanjem rešitve borili več kot tri stoletja in pol.

Zakaj je tako znana? Zdaj bomo izvedeli ...

Ali obstaja veliko dokazanih, nedokazanih in še nedokazanih izrekov? Gre za to, da Fermatov zadnji izrek predstavlja največji kontrast med preprostostjo formulacije in kompleksnostjo dokaza. Fermatov zadnji izrek je neverjetno težka naloga, vendar njegovo formulacijo lahko razume vsakdo s 5. razredom srednje šole, dokaza pa ne more razumeti niti vsak poklicni matematik. Niti v fiziki, niti v kemiji, niti v biologiji, niti v matematiki ni niti enega problema, ki bi ga bilo mogoče formulirati tako preprosto, a je tako dolgo ostal nerešen. 2. Kaj je sestavljeno?

Začnimo s pitagorejskimi hlačami, ki so na prvi pogled res preproste. Kot vemo iz otroštva, so "Pitagorejske hlače enake na vseh straneh." Težava je videti tako preprosta, ker je temeljila na matematični trditvi, ki jo vsi poznajo - Pitagorovem izreku: v katerem koli pravokotnem trikotniku je kvadrat, ki temelji na hipotenuzi, enak vsoti kvadratov, ki temeljijo na katetah.

V 5. stoletju pr. Pitagora je ustanovil Pitagorejsko bratovščino. Pitagorejci so med drugim preučevali cele trojčke, ki so ustrezali enakosti x²+y²=z². Dokazali so, da je Pitagorejskih trojk neskončno veliko in dobili splošne formule za njihovo iskanje. Verjetno so poskušali iskati C in višje stopnje. Prepričani, da to ne deluje, so Pitagorejci opustili svoje nekoristne poskuse. Člani bratovščine so bili bolj filozofi in esteti kot matematiki.

To pomeni, da je enostavno izbrati niz števil, ki popolnoma izpolnjujejo enakost x²+y²=z²

Začenši s 3, 4, 5 - mlajši študent dejansko razume, da je 9 + 16 = 25.

Ali 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.

Torej se izkaže, da NISO. Tukaj se začne trik. Enostavnost je navidezna, saj je težko dokazati ne prisotnost nečesa, ampak, nasprotno, njegovo odsotnost. Ko morate dokazati, da rešitev obstaja, lahko in morate to rešitev preprosto predstaviti.

Težje je dokazati odsotnost: nekdo na primer reče: taka in taka enačba nima rešitev. Dati ga v lužo? enostavno: bam - in tukaj je, rešitev! (daj rešitev). In to je to, nasprotnik je poražen. Kako dokazati odsotnost?

Recite: "Nisem našel takih rešitev"? Ali pa morda niste bili videti dobro? Kaj pa če obstajajo, a so zelo veliki, zelo veliki, takšni, da tudi super zmogljiv računalnik še nima dovolj moči? To je tisto, kar je težko.

To lahko vizualno prikažemo takole: če vzamete dva kvadrata primerne velikosti in ju razstavite na enotske kvadrate, potem iz tega kupa enotskih kvadratov dobite tretji kvadrat (slika 2):


Toda naredimo enako s tretjo dimenzijo (slika 3) - ne deluje. Ni dovolj kock ali pa so ostale dodatne:

Toda matematik iz 17. stoletja, Francoz Pierre de Fermat, je navdušeno preučeval splošno enačbo x n + y n = z n. In končno sem ugotovil: za n>2 ni celoštevilskih rešitev. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rokopisi gorijo! Ostala je le njegova pripomba v Diofantovi aritmetiki: "Našel sem res neverjeten dokaz te trditve, vendar so robovi tukaj preozki, da bi ga vsebovali."

Pravzaprav se izrek brez dokaza imenuje hipoteza. Toda Fermat slovi po tem, da nikoli ne dela napak. Tudi če ni pustil dokaza o izjavi, je bila naknadno potrjena. Poleg tega je Fermat dokazal svojo tezo za n=4. Tako se je hipoteza francoskega matematika zapisala v zgodovino kot Fermatov zadnji izrek.

Po Fermatu so se z iskanjem dokaza ukvarjali tako veliki umi, kot je Leonhard Euler (leta 1770 je predlagal rešitev za n = 3),

Adrien Legendre in Johann Dirichlet (ta znanstvenika sta leta 1825 skupaj našla dokaz za n = 5), Gabriel Lamé (ki je našel dokaz za n = 7) in mnogi drugi. Sredi 80. let prejšnjega stoletja je postalo jasno, da je znanstveni svet na poti do končne rešitve Fermatovega zadnjega izreka, a šele leta 1993 so matematiki uvideli in verjeli, da je tristoletna epopeja iskanja dokaza Fermatov zadnji izrek je bil tako rekoč končan.

Enostavno je pokazati, da je dovolj dokazati Fermatov izrek samo za enostavne n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za sestavljeno n dokaz ostane veljaven. A praštevil je neskončno veliko...

Leta 1825 sta matematiki Dirichlet in Legendre z uporabo metode Sophie Germain neodvisno dokazali izrek za n=5. Leta 1839 je z isto metodo Francoz Gabriel Lame pokazal resničnost izreka za n=7. Postopoma je bil izrek dokazan za skoraj vse n, manjše od sto.

Končno je nemški matematik Ernst Kummer v briljantni študiji pokazal, da izreka na splošno ni mogoče dokazati z metodami matematike 19. stoletja. Nagrada Francoske akademije znanosti, ustanovljena leta 1847 za dokaz Fermatovega izreka, je ostala nepodeljena.

Leta 1907 se je bogati nemški industrialec Paul Wolfskehl odločil, da si bo zaradi nesrečne ljubezni vzel življenje. Kot pravi Nemec je določil datum in uro samomora: točno ob polnoči. Zadnji dan je naredil oporoko in pisal pisma prijateljem in sorodnikom. Stvari so se končale pred polnočjo. Povedati je treba, da se je Paul zanimal za matematiko. Ker ni imel kaj drugega početi, je šel v knjižnico in začel brati slavni Kummerjev članek. Nenadoma se mu je zdelo, da se je Kummer zmotil v svojem sklepanju. Wolfskel je s svinčnikom v rokah začel analizirati ta del članka. Polnoč je minila, jutro je prišlo. Vrzel v dokazu je bila zapolnjena. In sam razlog za samomor je bil zdaj videti popolnoma smešen. Pavel je raztrgal svoja poslovilna pisma in na novo napisal oporoko.

Kmalu je umrl naravne smrti. Dediči so bili nemalo presenečeni: 100.000 mark (več kot 1.000.000 sedanjih funtov) je bilo nakazanih na račun Kraljeve znanstvene družbe iz Göttingena, ki je istega leta objavila natečaj za nagrado Wolfskehl. 100.000 mark je prejel tisti, ki je dokazal Fermatov izrek. Za ovržbo izreka niso dobili niti pfeniga ...

Večina profesionalnih matematikov je menila, da je iskanje dokaza Fermatovega zadnjega izreka brezupen podvig in so odločno zavračali izgubljanje časa s tako nekoristno vajo. Toda amaterji so se zabavali. Nekaj ​​tednov po objavi se je na univerzo v Göttingenu usul plaz "dokazov". Profesor E. M. Landau, čigar odgovornost je bila analiza poslanih dokazov, je svojim študentom razdelil kartice:

draga . . . . . . .

Hvala, ker ste mi poslali rokopis z dokazom Fermatovega zadnjega izreka. Prva napaka je na strani ... v vrstici ... . Zaradi tega celoten dokaz izgubi veljavo.
Profesor E. M. Landau

Leta 1963 je Paul Cohen, opirajoč se na Gödelova dognanja, dokazal nerešljivost enega izmed triindvajsetih Hilbertovih problemov – hipotezo o kontinuumu. Kaj pa, če je tudi Fermatov zadnji izrek neodločljiv?! Toda pravi fanatiki Great Theorem niso bili prav nič razočarani. Pojav računalnikov je matematikom nenadoma dal novo metodo dokazovanja. Po drugi svetovni vojni so ekipe programerjev in matematikov dokazale zadnji Fermatov izrek za vse vrednosti n do 500, nato do 1000 in pozneje do 10.000.

V 1980-ih je Samuel Wagstaff dvignil mejo na 25.000, v 1990-ih pa so matematiki razglasili, da Fermatov zadnji izrek drži za vse vrednosti n do 4 milijone. A če od neskončnosti odštejete celo bilijon bilijonov, ne bo manjša. Matematikov statistika ne prepriča. Dokazati Veliki izrek je pomenilo dokazati ga za VSE n, ki gredo v neskončnost.

Leta 1954 sta dva mlada japonska prijatelja matematika začela raziskovati modularne oblike. Ti obrazci ustvarjajo serije števil, od katerih ima vsaka svojo serijo. Po naključju je Taniyama te serije primerjal z vrstami, ki jih ustvarijo eliptične enačbe. Ujemala sta se! Toda modularne oblike so geometrijski objekti, eliptične enačbe pa so algebraične. Še nikoli ni bila najdena povezava med tako različnimi predmeti.

Vendar so prijatelji po natančnem testiranju postavili hipotezo: vsaka eliptična enačba ima dvojčka - modularno obliko in obratno. Prav ta hipoteza je postala temelj celotne smeri v matematiki, a dokler hipoteza Taniyama-Shimura ni bila dokazana, bi se lahko celotna zgradba vsak trenutek zrušila.

Leta 1984 je Gerhard Frey pokazal, da je rešitev Fermatove enačbe, če obstaja, mogoče vključiti v neko eliptično enačbo. Dve leti pozneje je profesor Ken Ribet dokazal, da ta hipotetična enačba ne more imeti protipostavke v modularnem svetu. Odslej je bil zadnji Fermatov izrek neločljivo povezan s domnevo Taniyama-Shimura. Ko smo dokazali, da je vsaka eliptična krivulja modularna, sklepamo, da ne obstaja nobena eliptična enačba z rešitvijo Fermatove enačbe, Fermatov zadnji izrek pa bi bil takoj dokazan. Toda trideset let ni bilo mogoče dokazati hipoteze Taniyama-Shimura in upanja na uspeh je bilo vse manj.

Leta 1963, ko je bil star komaj deset let, je bil Andrew Wiles že navdušen nad matematiko. Ko je izvedel za Veliki teorem, je ugotovil, da se mu ne more odreči. Kot šolar, študent in absolvent se je pripravljal na to nalogo.

Ko je izvedel za ugotovitve Kena Ribeta, se je Wiles brezglavo poglobil v dokazovanje hipoteze Taniyama-Shimura. Odločil se je za delo v popolni izolaciji in tajnosti. "Spoznal sem, da vse, kar je povezano s Fermatovim zadnjim izrekom, vzbuja preveč zanimanja ... Preveč gledalcev očitno ovira dosego cilja." Sedem let trdega dela se je izplačalo, Wiles je končno dokončal dokaz domneve Taniyama-Shimura.

Leta 1993 je angleški matematik Andrew Wiles svetu predstavil svoj dokaz Fermatovega zadnjega izreka (Wiles je svoj senzacionalni prispevek prebral na konferenci na Inštitutu Sir Isaac Newton v Cambridgeu.), delo na katerem je trajalo več kot sedem let.

Medtem ko se je pomp v tisku nadaljeval, se je začelo resno delo za preverjanje dokazov. Vsak dokaz je treba natančno preučiti, preden se lahko šteje za strogega in točnega. Wiles je preživel nemirno poletje v čakanju na povratne informacije recenzentov in upal, da mu bo uspelo pridobiti njihovo odobritev. Konec avgusta so izvedenci ugotovili, da je sodba premalo utemeljena.

Izkazalo se je, da ta odločitev vsebuje hudo napako, čeprav je na splošno pravilna. Wiles se ni vdal, na pomoč je poklical slovitega strokovnjaka za teorijo števil Richarda Taylorja in že leta 1994 so objavili popravljen in razširjen dokaz izreka. Najbolj neverjetno je, da je to delo zasedlo kar 130 (!) strani v matematični reviji Annals of Mathematics. A tudi tu se zgodba ni končala – končna točka je bila dosežena šele naslednje leto, 1995, ko je bila objavljena končna in z matematičnega vidika »idealna« različica dokaza.

»...pol minute po začetku svečane večerje ob njenem rojstnem dnevu sem Nadyi izročil rokopis celotnega dokaza« (Andrew Wales). Ali še nisem rekel, da so matematiki čudni ljudje?

Tokrat ni bilo dvoma o dokazih. Dva članka sta bila podvržena najbolj skrbni analizi in maja 1995 objavljena v Annals of Mathematics.

Od tega trenutka je minilo veliko časa, vendar v družbi še vedno obstaja mnenje, da je zadnji Fermatov izrek nerešljiv. A tudi tisti, ki vedo za najdeni dokaz, še naprej delajo v tej smeri – le redki so zadovoljni, da Veliki izrek zahteva rešitev na 130 straneh!

Zato so zdaj prizadevanja mnogih matematikov (večinoma amaterjev, ne poklicnih znanstvenikov) vržena v iskanje preprostega in jedrnatega dokaza, vendar ta pot najverjetneje ne bo vodila nikamor ...

vir

Nerešljivi problemi so 7 zanimivih matematičnih problemov. Vsako od njih so naenkrat predlagali znani znanstveniki, običajno v obliki hipotez. Že več desetletij si matematiki po vsem svetu nabijajo glavo, da bi jih rešili. Tisti, ki jim bo uspelo, bodo prejeli nagrado v višini enega milijona ameriških dolarjev, ki jo ponuja Clay Institute.

Inštitut Clay

To je ime zasebne neprofitne organizacije s sedežem v Cambridgeu v Massachusettsu. Leta 1998 sta jo ustanovila harvardski matematik A. Jaffee in poslovnež L. Clay. Cilj inštituta je popularizirati in razvijati matematično znanje. Da bi to dosegli, organizacija podeljuje nagrade znanstvenikom in sponzorira obetavne raziskave.

Na začetku 21. stoletja je Clay Mathematics Institute podelil nagrado tistim, ki so rešili probleme, za katere je znano, da so najtežje nerešljivi problemi, in svoj seznam poimenoval Millennium Prize Problems. S Hilbertovega seznama je bila vanj vključena le Riemannova hipoteza.

Izzivi tisočletja

Seznam inštituta Clay je prvotno vključeval:

• hipoteza Hodgejevega cikla;
• enačbe kvantne Yang-Millsove teorije;
• Poincaréjeva domneva;
• problem enakosti razredov P in NP;
• Riemannova hipoteza;
• o obstoju in gladkosti njegovih rešitev;
• Problem Birch-Swinnerton-Dyer.

Ti odprti matematični problemi so zelo zanimivi, ker imajo lahko številne praktične izvedbe.

Kar je dokazal Grigory Perelman

Leta 1900 je slavni znanstvenik-filozof Henri Poincaré predlagal, da je vsak preprosto povezan kompakten 3-dimenzionalni mnogoterost brez meje homeomorfen 3-dimenzionalni krogli. Njegov dokaz v splošnem primeru ni bil najden celo stoletje. Samo v letih 2002–2003 je matematik iz Sankt Peterburga G. Perelman objavil številne članke o reševanju Poincaréjevega problema. Ustvarili so učinek eksplozije bombe. Leta 2010 je bila Poincaréjeva hipoteza izključena s seznama »nerešenih problemov« inštituta Clay in samemu Perelmanu je bilo ponujeno, da prejme precejšnjo nagrado, ki mu pripada, kar je slednji zavrnil, ne da bi pojasnil razloge za svojo odločitev.

Najbolj razumljivo razlago tega, kar je ruski matematik uspel dokazati, je mogoče podati, če si predstavljamo, da raztegnejo gumijasto ploščo čez krof (torus), nato pa poskušajo robove njegovega kroga potegniti v eno točko. Očitno je to nemogoče. Drugače pa je, če ta poskus izvedeš z žogo. V tem primeru se zdi, da bo tridimenzionalna krogla, ki izhaja iz diska, katerega obod je bil povlečen do točke s hipotetično vrvico, tridimenzionalna v razumevanju običajnega človeka, vendar dvodimenzionalna od zornega kota matematike.

Poincaré je predlagal, da je tridimenzionalna krogla edini tridimenzionalni "objekt", katerega površino je mogoče skrčiti na eno točko, in Perelman je to lahko dokazal. Tako je seznam »nerešljivih problemov« danes sestavljen iz 6 problemov.

Yang-Millsova teorija

Ta matematični problem so njegovi avtorji predlagali leta 1954. Znanstvena formulacija teorije je naslednja: za katero koli preprosto kompaktno merilno skupino obstaja kvantna prostorska teorija, ki sta jo ustvarila Yang in Mills, in ima hkrati ničelno masno napako.

Če govorimo v jeziku, ki je razumljiv povprečnemu človeku, so interakcije med naravnimi objekti (delci, telesa, valovi itd.) razdeljene na 4 vrste: elektromagnetne, gravitacijske, šibke in močne. Fiziki že vrsto let poskušajo ustvariti splošno teorijo polja. Postati mora orodje za razlago vseh teh interakcij. Yang-Millsova teorija je matematični jezik, s katerim je postalo mogoče opisati 3 od 4 glavnih sil narave. Ne velja za gravitacijo. Zato ni mogoče šteti, da sta Young in Mills uspela ustvariti teorijo polja.

Poleg tega je zaradi nelinearnosti predlaganih enačb izjemno težko rešiti. Za majhne sklopitvene konstante jih je mogoče približno rešiti v obliki niza teorije motenj. Vendar pa še ni jasno, kako je mogoče te enačbe rešiti pri močnem spajanju.

Navier-Stokesove enačbe

Ti izrazi opisujejo procese, kot so zračni tokovi, pretok tekočine in turbulenca. Za nekatere posebne primere so bile analitične rešitve Navier-Stokesove enačbe že najdene, za splošni primer pa to še nikomur ni uspelo. Hkrati numerično modeliranje za specifične vrednosti hitrosti, gostote, tlaka, časa in tako naprej omogoča doseganje odličnih rezultatov. Le upamo lahko, da bo komu uspelo uporabiti Navier-Stokesove enačbe v nasprotni smeri, torej z njimi izračunati parametre ali dokazati, da metode rešitve ni.

Problem Birch-Swinnerton-Dyer

Kategorija "Nerešeni problemi" vključuje tudi hipotezo angleških znanstvenikov z univerze v Cambridgeu. Že pred 2300 leti je starogrški znanstvenik Evklid podal popoln opis rešitev enačbe x2 + y2 = z2.

Če za vsako praštevilo preštejemo število točk na krivulji po modulu, dobimo neskončno množico celih števil. Če jo posebej »prilepite« v 1 funkcijo kompleksne spremenljivke, potem dobite funkcijo zeta Hasse-Weil za krivuljo tretjega reda, označeno s črko L. Vsebuje informacije o modulnem obnašanju vseh praštevil hkrati .

Brian Birch in Peter Swinnerton-Dyer sta predlagala domnevo o eliptičnih krivuljah. Po njej sta struktura in količina množice njegovih racionalnih rešitev povezani z obnašanjem L-funkcije v enoti. Trenutno nedokazana Birch-Swinnerton-Dyerjeva domneva je odvisna od opisa algebraičnih enačb stopnje 3 in je edini relativno preprost splošen način za izračun ranga eliptičnih krivulj.

Da bi razumeli praktičen pomen tega problema, je dovolj reči, da v sodobni kriptografiji z eliptično krivuljo temelji cel razred asimetričnih sistemov in domači standardi digitalnega podpisa temeljijo na njihovi uporabi.

Enakost razredov p in np

Če so preostali problemi tisočletja zgolj matematični, potem je ta povezan s trenutno teorijo algoritmov. Problem v zvezi z enakostjo razredov p in np, znan tudi kot Cook-Lewinov problem, je mogoče formulirati v jasnem jeziku, kot sledi. Predpostavimo, da lahko pozitiven odgovor na določeno vprašanje preverimo dovolj hitro, to je v polinomskem času (PT). Ali je potem pravilno reči, da je odgovor nanj mogoče najti dokaj hitro? Sliši se še bolj preprosto: ali res ni težje preveriti rešitve problema kot jo najti? Če je enakost razredov p in np kdaj dokazana, potem lahko vse selekcijske probleme reši PV. Trenutno veliko strokovnjakov dvomi o resničnosti te izjave, čeprav ne morejo dokazati nasprotnega.

Riemannova hipoteza

Do leta 1859 ni bil ugotovljen noben vzorec, ki bi opisoval, kako so praštevila porazdeljena med naravna števila. Morda je bilo to posledica dejstva, da se je znanost ukvarjala z drugimi vprašanji. Vendar so se do sredine 19. stoletja razmere spremenile in postale so ene najpomembnejših, ki jih je začela preučevati matematika.

Riemannova hipoteza, ki se je pojavila v tem obdobju, je predpostavka, da obstaja določen vzorec v porazdelitvi praštevil.

Danes mnogi sodobni znanstveniki menijo, da bo treba, če bo to dokazano, ponovno razmisliti o mnogih temeljnih načelih sodobne kriptografije, ki tvorijo osnovo večine mehanizmov elektronske trgovine.

Po Riemannovi hipotezi se lahko narava porazdelitve praštevil bistveno razlikuje od trenutne domneve. Dejstvo je, da doslej ni bil odkrit noben sistem v porazdelitvi praštevil. Na primer, obstaja problem "dvojčkov", razlika med katerima je 2. Te številke so 11 in 13, 29. Druga praštevila tvorijo grozde. To so 101, 103, 107 itd. Znanstveniki že dolgo sumijo, da obstajajo takšne skupine med zelo velikimi praštevili. Če jih najdejo, bo moč sodobnih kripto ključev pod vprašajem.

Domneva o Hodgeevem ciklu

Ta še vedno nerešen problem je bil oblikovan leta 1941. Hodgejeva hipoteza nakazuje možnost približanja oblike katerega koli predmeta z »lepljenjem« enostavnih teles višjih dimenzij. Ta metoda je znana in se uspešno uporablja že dolgo časa. Ni pa znano, v kolikšni meri je mogoče izvesti poenostavitev.

Zdaj veste, kateri nerešljivi problemi obstajajo v tem trenutku. So predmet raziskav na tisoče znanstvenikov po vsem svetu. Lahko le upamo, da bodo v bližnji prihodnosti rešeni in bo njihova praktična uporaba pomagala človeštvu vstopiti v novo stopnjo tehnološkega razvoja.