Matematična točka je volumetrična. Prikazi stalne uvrstitve

Ko smo razumeli, kaj so merske enote in dimenzije, lahko zdaj preidemo na dejanske meritve. IN šolska matematika uporabljata se dva merilna instrumenta - (1) ravnilo za merjenje razdalj in (2) kotomer za merjenje kotov.

Pika

Razdalja se vedno meri med katerima koli dvema točkama. V praksi je pika majhna pikica, ki ostane na papirju, če jo zbodemo s svinčnikom ali pisalom. Drug, bolj zaželen način za definiranje točke je risanje križa z dvema tankima črtama, kar ima za posledico definiranje pika njihova križišča. Na risbah v knjigah je točka pogosto upodobljena kot majhen črn krog. Toda vse to so samo približne vizualne podobe in v strogem matematičnem smislu, pika - je namišljen objekt, katerega velikost v vse smeri enako nič. Za matematike je ves svet sestavljen iz točk. Pike so povsod. Ko zabodemo pisalo v papir ali narišemo križec, ne ustvarimo nove točke, ampak samo označimo obstoječo, da bi nanjo pritegnili pozornost nekoga. Če ni navedeno drugače, se predpostavlja, da točke mirujeta in se ne spreminjata relativni položaj. Vendar si ni težko predstavljati gibljive točke, ki se premika iz kraja v kraj, kot da bi se združila z eno fiksno točko, nato z drugo.

Naravnost

Če ravnilo postavimo na dve točki, lahko skozi njiju narišemo ravno črto in še več edini način. Imaginarna matematika naravnost, narisana vzdolž namišljenega idealnega ravnila, ima debelino nič in se razteza v obe smeri do neskončnosti. V resnični risbi ima ta namišljena struktura obliko:

Pravzaprav je vse na tej risbi napačno. Debelina črte tukaj je očitno večja od nič in ni mogoče reči, da se črta razteza v neskončnost. Kljub temu so takšne nepravilne risbe zelo uporabne kot podpora domišljiji in jih bomo nenehno uporabljali. Da bi bilo lažje razlikovati eno točko od druge, so običajno označene z velikimi tiskanimi črkami latinska abeceda. Na tej sliki so na primer točke označene s črkami A in B. Premica, ki poteka skozi točke A in B, samodejno prejme ime »straight AB" Za kratkost zapis ( AB), kjer je beseda »ravna« izpuščena in dodan oklepaj. Ravne črte lahko tudi označimo male črke. Na zgornji sliki ravna črta AB označen s črko n.

Onkraj pik A in B na ravni črti n na voljo ogromno število druge točke, od katerih je vsaka lahko predstavljena kot presečišče z neko drugo črto. Skozi isto točko lahko narišemo veliko različnih ravnih črt.

Če vemo, da na premici obstajajo točke, ki se ne ujemajo A, B, C in D, potem ga lahko upravičeno označimo ne le kot ( AB), pa tudi kako ( A.C.), (BD), (CD) itd.

Segment. Dolžina segmenta. Razdalja med točkami

Del premice, ki je omejen z dvema točkama, se imenuje segment. Te mejne točke prav tako pripadajo segmentu in se imenujejo njegove konča. Odsek, katerega konci padejo na točke A in B, označeno kot »segment AB"ali, nekoliko krajše, [ AB].

Vsak segment je karakteriziran dolžina- število (po možnosti delno) "korakov", ki jih je treba narediti vzdolž segmenta, da pridete od enega konca do drugega. V tem primeru je dolžina samega "koraka" strogo fiksna vrednost, ki se vzame kot merska enota. Najbolj priročno je izmeriti dolžine segmentov, narisanih na listu papirja centimetrov. Če konci segmenta padejo na točke A in B, potem je njegova dolžina označena kot | AB|.

Pod oddaljenost med dvema točkama je dolžina odseka, ki ju povezuje. Dejansko pa za merjenje razdalje ni treba risati segmenta - dovolj je, da na obe točki pritrdite ravnilo (na katerem so vnaprej označene sledi "korakov"). Ker je v matematiki točka fiktivni predmet, nam nič ne preprečuje, da bi v svoji domišljiji uporabili idealno ravnilo, ki meri razdaljo z absolutno natančnostjo. Ne smemo pa pozabiti, da pravo ravnilo, naneseno na lise ali središča križcev na papirju, omogoča nastavitev razdalje le približno - z natančnostjo enega milimetra. Razdalja je vedno nenegativna.

Položaj točke na premici

Naj nam bo dana neka ravna črta. Na njem označimo poljubno točko in jo označimo s črko O. Zraven postavimo številko 0. Poimenujmo eno od dveh možnih smeri vzdolž ravne črte "pozitivno", nasprotno pa "negativno". Običajno je pozitivna smer vzeta od leve proti desni ali od spodaj navzgor, vendar to ni potrebno. Označimo pozitivno smer s puščico, kot je prikazano na sliki:

Zdaj lahko določimo katero koli točko na premici položaj. Položaj točke A podana z vrednostjo, ki je lahko negativna, enako nič ali pozitivno. Njo absolutna vrednost enaka razdalji med točkama O in A(to je dolžina segmenta OA), predznak pa določa smer iz točke O premakniti se moraš, da prideš do bistva A. Če se morate premakniti v pozitivno smer, potem je znak pozitiven. Če je negativen, je predznak negativen. Namesto besede "položaj" se pogosto uporablja beseda "položaj" koordinirati».

Iracionalna in realna števila

Ko imamo opravka z realno risbo in s šolskim ravnilom določimo položaj realne točke na realni odprtini, dobimo vrednost, zaokroženo na najbližji milimeter. Z drugimi besedami, rezultat je vrednost, vzeta iz naslednje serije:

0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm itd.

Rezultat ne more biti enak na primer 1/3 cm, ker, kot vemo, lahko tretjino centimetra predstavimo kot neskončni periodični ulomek

0,333333333... cm,

ki naj bi po zaokroževanju postala enaka 0,3 cm.

Druga stvar je, ko v svoji domišljiji manipuliramo z idealnimi matematičnimi objekti.

Prvič, v tem primeru lahko preprosto zavržete merske enote in delujete izključno z brezdimenzijskimi količinami. Nato pridemo do geometrijske strukture, ki smo jo spoznali, ko smo šli skozi racionalna števila, ki smo ga poklicali številska premica:

Ker je beseda "ravna" v geometriji že močno "obremenjena", se ta ista konstrukcija pogosto imenuje številska os ali samo os.

Drugič, dobro si lahko predstavljamo, da je koordinata točke podana z neko periodo decimalno, všeč

Poleg tega si lahko predstavljamo neskončno neperiodično frakcija - kot je npr.

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

Takšna imaginarna števila, ki jih je mogoče predstaviti kot neskončne neperiodične decimalne ulomke, imenujemo neracionalno. Iracionalna števila skupaj z nam že poznanimi racionalnimi števili tvorijo t.i veljavenštevilke. Namesto besede »pravi« bomo uporabili tudi besedo » resnično" Vsak možni položaj točke na premici je mogoče izraziti kot realno število. In obratno, če nam je dano neko realno število x, vedno si lahko predstavljamo točko X, katerega položaj je določen s številko x.

Pristranskost

Naj a- koordinata točke A, A b- koordinata točke B. Nato vrednost

v = b − a

je premik, ki prevaja bistvo A do točke B. To postane še posebej očitno, če prejšnjo enakost prepišemo v obliki

b = a + v.

Včasih namesto besede "premik" uporabljajo besedo " vektor" To stanje je enostavno videti x poljubna točka X- to ni nič drugega kot odmik, ki prevaja točko O(s koordinato enako nič) na točko X:

x= 0 + x.

Odmike je mogoče med seboj seštevati in tudi odštevati. Torej, če je odmik ( b − a) prevede bistvo A do točke B in odmik ( c − b) točka B do točke C, nato odmik

(b − a) + (c − b) = c − a

prevaja točko A do točke C.

Opomba. Logično je, da je tukaj treba pojasniti, kako se sešteva in odšteva iracionalna števila, saj se lahko pristranskost izkaže za iracionalno. Seveda smo matematiki poskrbeli za razvoj ustreznih formalnih postopkov, vendar v praksi tega ne bomo storili, saj bomo rešili praktični problemi Vedno zadostujejo približni izračuni z zaokroženimi vrednostmi. Za zdaj bomo preprosto verjeli, da sta pojma "seštevanje" in "odštevanje" - kot tudi "množenje" in "deljenje" - pravilno definirana za katera koli dva realna števila(vendar z opozorilom, da ne morete deliti z ničlo).

Tukaj bi bilo morda primerno opozoriti na subtilno razliko med pojmoma "premik" in "razdalja". Razdalja je vedno nenegativna. Dejansko predstavlja premik v absolutni vrednosti. Torej, če je odmik

v = b − a

prevaja točko A do točke B, nato razdalja s med točkami A in B enako

s = |v| = |b − a|.

Ta enakost ostane veljavna ne glede na to, katero od obeh števil je večje - a oz b.

Letalo

IN v praktičnem smislu, ravnina je kos papirja, na katerega rišemo svoje geometrijske risbe. Namišljeno matematično ravnino se od lista papirja razlikuje po tem, da ima ničelno debelino in neomejeno površino, ki sega v različne strani ad infinitum. Poleg tega je matematična ravnina za razliko od lista papirja popolnoma toga: nikoli se ne upogne ali zmečka - tudi če je odtrgana od mize in kakor koli postavljena v prostor.

Položaj ravnine v prostoru je enolično določen s tremi točkami (razen če ležijo na kateri koli premici). Da si to bolj jasno predstavljamo, narišimo tri poljubne točke, O, A in B in skozenj narišite dve ravni črti O.A. in O.B. kot je prikazano na sliki:

"Raztegniti" ravnino v vaši domišljiji na dveh sekajočih se ravnih črtah je nekoliko lažje kot jo "podpreti" na treh točkah. Toda za še večjo jasnost naredimo nekaj dodatnih konstrukcij. Vzemimo naključno nekaj točk: eno kjer koli na črti O.A., drugi pa - kjer koli na ravni črti O.B.. Narišimo novo črto skozi ta par točk. Nato na enak način izberite drug par točk in skozi njih narišite drugo ravno črto. Če ta postopek večkrat ponovimo, dobimo nekaj podobnega pajkovi mreži:

Na takšno strukturo je že precej preprosto postaviti ravnino - še posebej, ker je ta namišljena mreža lahko tako debela, da bo pokrivala celotno ravnino brez vrzeli.

Upoštevajte, da če vzamemo par na letalo neusklajene točke in skozi njih narišite ravno črto, potem bo ta ravna črta nujno ležala v isti ravnini.

Povzetek

Pika (A, B, itd.): namišljen predmet, katerega velikost v vseh smereh je nič.

Naravnost (n, m ali ( AB)): neskončno tanka črta; je narisana skozi dve točki ( A in B) vzdolž črte na nedvoumen način; sega v obe smeri do neskončnosti.

Segment ([AB]): del premice, omejen z dvema točkama ( A in B) - konci segmenta, za katere se prav tako šteje, da pripadajo segmentu.

Dolžina odseka(|AB|): (delno) število centimetrov (ali druge merske enote), ki se prilega med koncema ( A in B).

Razdalja med dvema točkama: dolžina segmenta s koncema na teh točkah.

Položaj točke na premici (koordinirati): razdalja od točke do nekega vnaprej izbranega središča (tudi ležečega na premici) s pripisanim znakom plus ali minus, odvisno od tega, na kateri strani središča se točka nahaja.

Določen je položaj točke na premici veljaven(resnično)število, in sicer decimalni ulomek, ki je lahko (1) končen ali neskončno periodičen ( racionalna števila), ali (2) neskončno neperiodično ( iracionalna števila).

Pristranskost, ki prevaja bistvo A(s koordinat a) do bistva B(s koordinat b): v = b − a.

Razdalja je enaka odmiku, vzetemu v absolutni vrednosti: | AB| = |b − a|.

Letalo: neskončno tanek list papirja, ki se razteza na različne strani v neskončnost; je enolično določen s tremi točkami, ki ne ležijo na isti premici.

Glej tudi: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Dve tisočletji in pol je matematika uporabljala abstrakcijo brezrazsežne točke, ki ni v nasprotju le z zdrav razum, temveč tudi znanje o svetu okoli nas, pridobljeno z vedami, kot so fizika, kemija, kvantna mehanika in računalništvo.

Za razliko od drugih abstrakcij, brezrazsežna abstrakcija matematična točka ne idealizira realnosti, poenostavlja njeno spoznanje, ampak jo namenoma izkrivlja, ji daje ravno nasproten pomen, kar predvsem onemogoča razumevanje in proučevanje prostorov višjih dimenzij v temelju!

Uporabo brezdimenzijske abstrakcije točk v matematiki lahko primerjamo z uporabo osnovne denarna enota z ničelnimi stroški. Na srečo ekonomija na to ni pomislila.

Dokažimo absurdnost abstrakcije brezrazsežne točke.

Izrek. Matematična točka je volumetrična.

Dokaz.

Tako kot pri matematiki

velikost_točke = 0,

Za odsek končne (neničelne) dolžine imamo

Velikost_segmenta = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Nastala ničelna velikost segmenta kot zaporedja njegovih sestavnih točk je v nasprotju s pogojem, da je dolžina segmenta končna. Poleg tega je velikost ničelne točke absurdna, saj vsota ničel ni odvisna od števila členov, to pomeni, da število "ničelnih" točk v segmentu ne vpliva na velikost segmenta.

Zato je začetna predpostavka o ničelni velikosti matematične točke NAPAČNA.

Tako lahko trdimo, da ima matematična točka neničelno (končno) velikost. Ker točka ne pripada samo segmentu, ampak tudi prostoru, v katerem se segment nahaja, ima dimenzijo prostora, to pomeni, da je matematična točka volumetrična. Q.E.D.

Posledica.

Zgornji dokaz, izveden z matematičnimi orodji mlajša skupina vrtec vzbuja ponos na brezmejno modrost svečenikov in adeptov »kraljice vseh znanosti«, ki jim je uspelo prenesti skozi tisočletja in ohraniti zanamcem v izvirni obliki prastaro zablodo človeštva.

Ocene

Dragi Aleksander! Nisem spreten v matematiki, a mogoče mi lahko VI poveste, kje in kdo pravi, da je točka enaka nič? Druga stvar je, da ima neskončno majhno vrednost, celo do dogovorjene točke, vendar sploh ni enaka nič. Tako se lahko vsak segment šteje za nič, saj obstaja drug segment, ki vsebuje neskončen niz začetni segmenti, grobo rečeno. Mogoče ni treba mešati matematike in fizike. Matematika je veda o obstoju, fizika je veda o obstoju. S spoštovanjem.

Ahila sem dvakrat podrobno omenil in večkrat mimogrede:
"Zakaj Ahil ne dohiti želve"
"Ahil in želva - kockasti paradoks"

Morda je ena od rešitev Zenonovega paradoksa ta, da je prostor diskreten in čas neprekinjen. Verjel je, tako kot vi, da sta oba diskretna. Telo lahko nekaj časa ostane na neki točki v prostoru. Vendar ne more biti hkrati notri različni kraji. Vse to je seveda amaterizem, tako kot celoten naš dialog. S spoštovanjem.
Mimogrede, če je točka tridimenzionalna, kakšne so njene dimenzije?

Diskretnost časa izhaja na primer iz aporije »Puščica«. »Biti hkrati na različnih mestih« je lahko samo elektron fizikov, ki načeloma ne razumejo in ne sprejemajo niti strukture etra niti strukture 4. dimenzionalni prostor. Drugih primerov tega pojava ne poznam. V najinem pogovoru ne vidim nobenega "amaterstva". Nasprotno, vse je izjemno preprosto: točka je bodisi brezdimenzijska bodisi ima velikost; kontinuiteta in neskončnost obstajata ali pa ju ni. Tretje izbire ni – ali DRŽI ali NE JE! Temeljna načela matematike so na žalost zgrajena na napačnih dogmah, sprejetih iz nevednosti pred 2500 leti.

Velikost točke je odvisna od pogojev rešenega problema in od zahtevane natančnosti. Na primer, če načrtujete orodje za ročno uro, je lahko natančnost omejena z velikostjo atoma, to je osem decimalnih mest. Sam atom bo tukaj fizični analog matematične točke. Morda bo nekje zahtevana natančnost do 16 števk; potem bo vlogo točke igral delec etra. Upoštevajte, da se pogovori o domnevno "neskončni" natančnosti v praksi spremenijo v divjo neumnost ali, milo rečeno, absurd.

Še vedno ne razumem: ali smisel obstaja? Če obstaja objektivno, ima torej določeno fizično vrednost; če obstaja subjektivno, v obliki abstrakcije našega uma, potem ima matematično vrednost. Ničla nima NIČ, ne obstaja, to je abstraktna definicija Neobstoja v matematiki ali praznine v fiziki. Točka ne obstaja sama zase zunaj odnosov. Takoj ko se pojavi druga točka, se pojavi segment - Nekaj ​​itd. To temo je mogoče razvijati neskončno. Z uv.

Zdelo se mi je, da sem prinesel jasen primer, vendar verjetno premalo podrobno. Objektivno obstaja Svet, ki ga znanost spoznava in ga trenutno spoznava predvsem z matematičnimi metodami. Matematika razume svet s konstruiranjem matematičnih modelov. Za izdelavo teh modelov se uporabljajo predvsem osnovne matematične abstrakcije, kot so: točka, črta, kontinuiteta, neskončnost. Te abstrakcije so osnovne, ker jih ni več mogoče nadalje drobiti in poenostavljati. Vsaka od osnovnih abstrakcij je lahko primerna objektivna resničnost(true) ali ne (false). Vse zgoraj naštete abstrakcije so sprva napačne, ker so v nasprotju najnovejše znanje o resničnem svetu. To pomeni, da te abstrakcije preprečujejo pravilno razumevanje resnični svet. To bi lahko nekako tolerirali, medtem ko je znanost preučevala tridimenzionalni svet. Vendar pa abstrakcije brezdimenzionalne točke in kontinuitete naredijo vse svetove višje dimenzije načeloma nespoznavne!

Opeka vesolja - točka - ne more biti prazna. Vsi vedo, da nič ne nastane iz praznine. Fiziki, ki so razglasili, da eter ne obstaja, so svet napolnili s praznino. Verjamem, da jih je v to neumnost potisnila matematika s svojo prazno poanto. Da o atomih-točkah svetov višjih dimenzij od 4D niti ne govorim. Torej za vsako dimenzijo vlogo nedeljive (pogojno) matematične točke igra (pogojno) nedeljiv atom tega sveta (prostora, materije). Za 3D - fizični atom, za 4D - delec etra, za 5D - astralni atom, za 6D - mentalni atom in tako naprej. S spoštovanjem,

Torej, kljub temu ima opeka vesolja neke vrste absolutna vrednost? In kakšna je po vašem mnenju v eteričnem oz duševni svet. Bojim se celo vprašati o svetovih samih. Z obrestmi...

Delci etra (to niso atomi!) so pari elektron-pozitron, v katerih se sami delci vrtijo relativno drug proti drugemu s svetlobno hitrostjo. To popolnoma pojasni strukturo vseh nukleonov, porazdelitev elektromagnetne vibracije in vsi učinki t.i fizični vakuum. Struktura atoma misli ni znana nikomur. Obstajajo samo dokazi, da VSE najbolj višji svetovi so materialni, to pomeni, da imajo svoje atome. Vse do zadeve Absoluta. Si pa zaman ironičen. Se vam zdijo črvine in velike eksplozije bolj verjetne?

Kakšna ironija tukaj, samo malo sem bil začuden po takem plazu informacij. Jaz, za razliko od vas, nisem profesionalec in težko kaj rečem o pet- ali šestdimenzionalnosti prostorov. Govorim o naši dolgoletni točki ... Kolikor razumem, ste proti materialni kontinuiteti, in pika, imate resnično obstoječi "demokratski" atom. "Opeka vesolja." Mogoče sem bil nepozoren, a vseeno bi težko ponovil, kakšna je njegova zgradba, fizikalni parametri, dimenzije itd.
In še odgovorite, ali enota obstaja sama po sebi, kot taka, zunaj kakršnih koli odnosov? Hvala.

MKOOUST SANATORIJSKA ŠOLA - INTERNAT

Točka in geometrijske oblike.

Raziskovalno delo v matematiki.

Izpolnil: Anatolij Vasiljev, učenec 3. razreda

Vodja dela:

Dubovaja Natalija Leonidovna,

Učitelj v osnovni šoli.

Tommot, 2013

1. Kratek povzetek. ................................................. ...... ....................2
2. Opomba. ................................................. ...... ................................3
3. Znanstveni članek. ................................................. .........................................6
4. Zaključek..................................................... ............................................7

Reference.

Kratek povzetek.

Delo preučuje točko in geometrijske like: premico, žarek, segment, kot, trikotnik, štirikotnik, krog in krog ter vlogo točke pri sestavi in ​​konstrukciji teh likov.

Opomba.

Namen študije:ugotoviti, kaj pomenijo pojmi točka in iz česa so sestavljeni geometrijski liki: premica, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.

Predmet študija:točka in definicije geometrijskih likov: premica, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.

Predmet raziskave:točka in geometrijski liki: premica, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.

Raziskovalna hipoteza:točka je edini geometrijski lik, vsi ostali pa so sestavljeni iz številnih točk.

Raziskovalni cilji:

1. študijsko gradivo na temo: "Točka in geometrijske figure: ravna črta, žarek, kot, štirikotnik, trikotnik, krog.";
2. poiščejo definicije točke, premice, štirikotnika, trikotnika, kota, žarka, kroga;
3. predstavite svoje analize in razmišljanja o tej temi;
4. pripravi predstavitev na podlagi tega raziskovalnega dela.

Raziskovalne metode:študij literature, delo s slovarji, analiza raziskave, zaključek.

Znanstveni članek.

Matematika izvira iz davni časi iz praktičnih potreb ljudi. Nihče ne bo razpravljal o antiki matematike, vendar obstaja drugačno mnenje o tem, kaj je ljudi spodbudilo k njenemu študiju. Po njegovih besedah ​​so matematiko, tako kot poezijo, slikarstvo, glasbo, gledališče in umetnost nasploh, oživele duhovne potrebe človeka, njegova morda še ne povsem uresničena želja po znanju in lepem.

Ste se kdaj vprašali, kaj je konica in iz česa so sestavljeni geometrijski liki?

Na prvi pogled je tukaj vse jasno: točka je točka, ravna črta je ravna črta, kaj bi lahko bilo tukaj nerazumljivo? No, še vedno, kako to razložiti nekomu, ki tega sploh ne ve in poleg tega vse razume zelo dobesedno? Je res tako preprosto? Izkazalo se je, da sploh ne!

Pri pouku dela, ko smo se učili tehniko izonit, sem domneval, da so vsi geometrijski liki sestavljeni iz pik. Tej temi sem se odločila posvetiti svoje raziskovalno delo.

»Vem, da nič ne vem,« je dejal Sokrat in skozi dialog s sogovornikom poskušal ugotoviti, kaj točno ve. Zato sem se odločil, da najprej ugotovim, kaj vem o geometrijskih oblikah.

Pa si poglejmo definicije geometrijskih oblik, ki jih označuje tema mojega raziskovalnega dela.

1. Pika - to je znamenje, znamenje od dotika, injekcija z nečim ostrim; majhna okrogla lisa, pikica; nekaj zelo majhnega, komaj vidnega. Točka je osnovni geometrijski lik

1. vrstica- to je niz točk. Če je osnova za gradnjo geometrije koncept razdalje med točkami v prostoru, potem lahko premico definiramo kot črto, vzdolž katere je razdalja med dvema točkama najkrajša. neposredno - obstaja črta, ki je enako locirana glede na vse svoje točke. Izraz "linija" izvira iz latinske besede linum - "lan, lanena nit".

_________________________________________________

1. Žarek je del premice, ki je sestavljen iz vseh točk te premice, ki ležijo na eni strani dane točke.

1. Segment je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo med dvema danima točkama.

1. kotiček- To je figura, ki je sestavljena iz oglišča kota in dveh različnih polpremic, ki se spuščata iz te točke, strani kota.

1. Štirikotnikje figura, ki je sestavljena iz štiri točke in štiri zaporedne segmente, ki ju povezujejo.

1. Trikotnik - lik, sestavljen iz treh točk, ki ne ležijo na isti premici, povezanih z odseki.

1. krog -

krog je lik, ki je sestavljen iz vseh točk ravnine, ki so enako oddaljene od dane točke. Sklenjena črta okoli kroga.

ZAKLJUČEK.

Koncepta točke in ravne črte najdemo povsod v našem življenju. Na primer, če pogledate ruski jezik, je pika ločilo (.), ki ločuje celoten stavek. Tudi v ruskem jeziku obstajajo takšna ločila, kot so podpičje, dvopičje, elipsa.

V fiziki je točka določena vrednost količine.

V geografiji se točka obravnava kot določena lokacija v prostoru.

V biologiji je to točka rasti rastlin.

V kemiji – ledišče, vrelišče, tališče.

V glasbi je pika znak, ki je eden od glavni elementi notni zapis.

V matematiki je točka osnovni geometrijski lik; presečišče dveh premic, meja daljice, začetek žarka itd.

Za sestavo katere koli figure potrebujemo točko. Na podlagi definicije ravne črte,ČRTA JE VELIKO PIK, iz definicij pa vemo, da je vsak lik sestavljen s pomočjo točke in premice, zato so vsi liki sestavljeni iz točk.

V našem življenju je pika ikona injekcije, majhna pikica.

Moje raziskovalno delo mi omogoča ugotoviti, da je točka edini geometrijski lik. Vse se začne s piko in konča z njo in še ni znano, katero odkritje bo služilo kot začetek.

Literatura:

1 .Aksenova M.D. Enciklopedija za otroke. T.11. - Matematika, M.: Avanta+, 1999. Stran 575.

2 .Atanasyan L.S., geometrija, 7-9: učbenik za izobraževalne ustanove/ 12. izd. - M .: Izobraževanje, 2002. Str. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., geometrija, 10-11: učbenik za izobraževalne ustanove / 15. izd., dodatno. - M .: Izobraževanje, 2006. str. 5-7.

4 .Vinogradov I.M., matematična enciklopedija/M .: Sovjetska enciklopedija. Strani 410, 722.

5 .Evgenieva A.P. Slovar ruskega jezika. - M.: Izobraževanje, 1984.

6 .Kabardin O.F. Fizika: referenčni materiali. - M.: Izobraževanje, 1991.

7 .Kramer G. Matematične metode statistika, prevod iz angleščine, 2. izd., M., 1975.

8 .Lapatukhin M.S. Šola razlagalni slovar ruski jezik. - M.: Izobraževanje, 1981.

9 .Prohorov A.M. Veliki enciklopedični slovar. - M.: Izobraževanje, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Matematični enciklopedični slovar. - M.: Izobraževanje, 1998.

11 .Savin A.P. Enciklopedični slovar mladi matematik. - M.: Pedagogika, 1985, str.

12 Sharygin I.F. Vizualna geometrija. - M.: Izobraževanje, 1995.

Koncept kritične točke lahko posplošimo na primer diferenciabilnih preslikav in na primer diferenciabilnih preslikav poljubnih mnogoterosti f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\do M^(m)). V tem primeru je definicija kritične točke ta, da je rang Jakobove matrike preslikave f (\displaystyle f) vsebuje manj kot največjo možno vrednost, ki je enaka .

Kritične točke funkcije in preslikave pomembno vlogo na področjih matematike, kot so diferencialne enačbe, variacijski račun, teorija stabilnosti, pa tudi v mehaniki in fiziki. Preučevanje kritičnih točk gladkih preslikav je eno glavnih vprašanj teorije katastrof. Koncept kritične točke se posploši tudi na primer funkcionalov, definiranih na neskončnodimenzionalnem funkcijski prostori. Iskanje kritičnih točk tovrstnih funkcionalov je pomemben del variacijski račun. Kritične točke funkcionalov (ki so posledično funkcije) se imenujejo ekstremni športi.

Formalna opredelitev

Kritično(oz posebnega oz stacionarni) točka zvezno diferenciabilne preslikave f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ^(m)) točka, v kateri se kliče diferencial te preslikave f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) je degeneriran linearna transformacija ustrezni tangentni prostori T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) in T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), to je dimenzija transformacijske slike f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) manj min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). V koordinatnem zapisu ko n = m (\displaystyle n=m) to pomeni, da je Jacobian determinanta Jacobianove matrike preslikave f (\displaystyle f), sestavljeno iz vseh delnih izpeljank ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- v točki postane nič. Presledki in R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) v tej definiciji se lahko nadomestijo z sortami N n (\displaystyle N^(n)) in M m (\displaystyle M^(m)) enake dimenzije.

Sardov izrek

Vrednost preslikave na kritični točki se imenuje njegova kritična vrednost. Po Sardovem izreku je množica kritične vrednosti kakršno koli dovolj gladko preslikavo f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ^(m)) ima ničelno Lebesguevo mero (čeprav je lahko poljubno število kritičnih točk; na primer, za preslikavo identitete je vsaka točka kritična).

Prikazi stalne uvrstitve

Če v bližini točke x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) rang zvezno diferenciabilnega preslikave f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ^(m)) enako enakemu številu r (\displaystyle r), nato pa v bližini te točke x 0 (\displaystyle x_(0)) tam so lokalne koordinate s središčem x 0 (\displaystyle x_(0)), in v bližini njegove slike - točke y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- obstajajo lokalne koordinate (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) osredotočeno na f (\displaystyle f) podana z razmerji:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \lpike ,\ y_(m)=0.)

Še posebej, če r = n = m (\displaystyle r=n=m), potem so tu še lokalne koordinate (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\lpike ,x_(n))) osredotočeno na x 0 (\displaystyle x_(0)) in lokalne koordinate (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) osredotočeno na y 0 (\displaystyle y_(0)), tako da je v njih preslikava f (\displaystyle f) je enaka.

Dogajanje m = 1

V primeru ta definicija pomeni, da gradient ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) na tej točki izgine.

Predpostavimo, da funkcija f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\do \mathbb (R) ) ima razred gladkosti, ki ni nižji C 3 (\displaystyle C^(3)). Kritična točka funkcije f klical nedegeneriran, če vsebuje Hessian |∂ 2 f ∂ x 2 | f(\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) drugačen od nič. V okolici nedegenerirane kritične točke so koordinate, v katerih je funkcija ima kvadratno

normalna oblika (Morsejeva lema). Naravna posplošitev Morsejeve leme za degenerirane kritične točke je f Tujronov izrek: v okolici degenerirane kritične točke funkcije, razločljiv neskončno število krat () končna množica μ (\displaystyle \mu ) obstaja koordinatni sistem, v katerem ima gladka funkcija obliko polinoma stopnje μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(kot P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) lahko vzamemo Taylorjev polinom funkcije

f (x) (\displaystyle f(x)) na točki v prvotnih koordinatah). pri m = 1 (\displaystyle m=1) Smiselno se je vprašati o maksimumu in minimumu funkcije. Po znani izjavi f (\displaystyle f) matematična analiza , zvezno diferencibilna funkcija, definiran po celotnem prostoru R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) ali v svoji odprti podmnožici lahko doseže lokalni maksimum (minimum) samo na kritičnih točkah, in če je točka nedegenerirana, potem matrika(∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\delni ^(2)f)(\delni x_(i)\delni x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) mora biti negativno (pozitivno) določno. Slednji je tudi

Dogajanje n = m = 2

zadosten pogoj lokalni maksimum (oziroma minimum). V primeru f n=m=2 f imamo zaslon ravnina na ravnino (ali dvodimenzionalni mnogoternik na drug dvodimenzionalni mnogoternik). Predpostavimo, da preslikava diferencialno neskončno število krat ( f C ∞ (\displaystyle C^(\infty )) f na takih točkah ima enodimenzionalno jedro. Drugi pogoj tipičnosti je, da v bližini zadevne točke na ravnini prototipa množica kritičnih točk tvori pravilno krivuljo S in na skoraj vseh točkah krivulje S jedro ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) ne zadeva S, in točke, kjer temu ni tako, so izolirane in je tangenca na njih prvega reda. Kritične točke prve vrste se imenujejo pregibne točke in druga vrsta - zbirne točke. Gube in sklopi so edini tipi singularnosti preslikav ravnina v ravnino, ki so stabilni glede na majhne motnje: pri majhnih motnjah se gube in sklopi le rahlo premikajo skupaj z deformacijo krivulje. S, vendar ne izginejo, ne degenerirajo in se ne sesujejo v druge značilnosti.