Linearna funkcija in njena. Linearna funkcija

Linearna funkcija je funkcija oblike y=kx+b, kjer je x neodvisna spremenljivka, k in b pa poljubni števili.
Graf linearne funkcije je ravna črta.

1. Če želite narisati graf funkcije, potrebujemo koordinate dveh točk, ki pripadata grafu funkcije. Če jih želite najti, morate vzeti dve vrednosti x, ju nadomestiti v enačbo funkcije in ju uporabiti za izračun ustreznih vrednosti y.

Na primer, če želite narisati funkcijo y= x+2, je priročno vzeti x=0 in x=3, potem bodo ordinate teh točk enake y=2 in y=3. Dobimo točki A(0;2) in B(3;3). Povežimo jih in dobimo graf funkcije y= x+2:

2. V formuli y=kx+b se število k imenuje sorazmernostni koeficient:
če k>0, potem funkcija y=kx+b narašča
če k
Koeficient b prikazuje premik grafa funkcije vzdolž osi OY:
če b>0, dobimo graf funkcije y=kx+b iz grafa funkcije y=kx s premikom b enot navzgor vzdolž osi OY
če b
Spodnja slika prikazuje grafe funkcij y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Upoštevajte, da je v vseh teh funkcijah koeficient k večji od nič in funkcije so povečevanje. Poleg tega večja kot je vrednost k, večji je kot naklona ravne črte v pozitivno smer osi OX.

V vseh funkcijah b=3 - in vidimo, da vsi grafi sekajo os OY v točki (0;3)

Sedaj si oglejmo grafe funkcij y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tokrat pri vseh funkcijah koeficient k manj kot nič in funkcije se zmanjšujejo. Koeficient b=3, grafa, kot v prejšnjem primeru, sekata os OY v točki (0;3)

Oglejmo si grafe funkcij y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Zdaj so v vseh funkcijskih enačbah koeficienti k enaki 2. In dobili smo tri vzporedne premice.

Toda koeficienti b so različni in ti grafi sekajo os OY na različnih točkah:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) seka os OY v točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) seka os OY v točki (0;0) - izhodišču.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) seka os OY v točki (0;-3)

Torej, če poznamo predznake koeficientov k in b, potem si lahko takoj predstavljamo, kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
če k 0

če k>0 in b>0, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k>0 in b, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k=0, potem se funkcija y=kx+b spremeni v funkcijo y=b in njen graf izgleda takole:

Ordinate vseh točk na grafu funkcije y=b so enake b Če b=0, potem gre graf funkcije y=kx (direktna sorazmernost) skozi izhodišče:

3. Posebej si zapomnimo graf enačbe x=a. Graf te enačbe je premica, vzporedna z osjo OY, katere vse točke imajo absciso x=a.

Na primer, graf enačbe x=3 izgleda takole:
Pozor! Enačba x=a ni funkcija, zato ena vrednost argumenta ustreza različnim vrednostim funkcije, kar pa ne ustreza definiciji funkcije.

4. Pogoj za vzporednost dveh premic:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je vzporeden z grafom funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 =k 2

5. Pogoj, da sta dve ravni črti pravokotni:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je pravokoten na graf funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 *k 2 =-1 ali k 1 =-1/k 2

6. Točke presečišča grafa funkcije y=kx+b s koordinatnimi osemi.

Z osjo OY. Abscisa katere koli točke, ki pripada osi OY, je enaka nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OY, morate v enačbi funkcije namesto x nadomestiti nič. Dobimo y=b. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OY koordinate (0; b).

Z osjo OX: Ordinata katere koli točke, ki pripada osi OX, je nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OX, morate v enačbi funkcije namesto y nadomestiti nič. Dobimo 0=kx+b. Zato je x=-b/k. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OX koordinate (-b/k;0):

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Linearna funkcija imenujemo funkcija oblike y = kx + b, definirana na množici vseh realnih števil. Tukaj k– naklon (realno število), b – prosti termin (realno število), x– neodvisna spremenljivka.

V posebnem primeru, če k = 0, dobimo konstantno funkcijo y = b, katerega graf je ravna črta, vzporedna z osjo Ox, ki poteka skozi točko s koordinatami (0; b).

če b = 0, potem dobimo funkcijo y = kx, ki je premo sorazmernost.

b – dolžina segmenta, ki je odrezana z ravno črto vzdolž osi Oy, šteto od izhodišča.

Geometrijski pomen koeficienta k – naklonski kot naravnost v pozitivno smer osi Ox, upoštevano v nasprotni smeri urinega kazalca.

Lastnosti linearne funkcije:

1) Domen definicije linearne funkcije je celotna realna os;

2) če k ≠ 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije celotna realna os. če k = 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije sestavljen iz števila b;

3) Parnost in lihost linearne funkcije sta odvisni od vrednosti koeficientov k in b.

a) b ≠ 0, k = 0, torej, y = b – sodo;

b) b = 0, k ≠ 0, torej y = kx – liho;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, torej y = kx + b – funkcija splošne oblike;

d) b = 0, k = 0, torej y = 0 – sode in lihe funkcije.

4) Linearna funkcija nima lastnosti periodičnosti;

5) Presečišča s koordinatnimi osemi:

Vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, torej (-b/k; 0)– točka presečišča z abscisno osjo.

Oj: y = 0k + b = b, torej (0; b)– točka presečišča z ordinatno osjo.

Opomba: če b = 0 in k = 0, nato funkcijo y = 0 gre na nič za katero koli vrednost spremenljivke X. če b ≠ 0 in k = 0, nato funkcijo y = b ne izgine za nobeno vrednost spremenljivke X.

6) Intervali nespremenljivosti predznaka so odvisni od koeficienta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozitivno, ko x od (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativno, ko x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozitivno, ko x od (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativno, ko x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno v celotnem območju definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativna v celotnem razponu definicije.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije so odvisni od koeficienta k.

k > 0, torej y = kx + b poveča na celotnem področju definicije,

k< 0 , torej y = kx + b zmanjša na celotnem področju definicije.

8) Graf linearne funkcije je premica. Za sestavo ravne črte je dovolj poznati dve točki. Položaj ravne črte na koordinatni ravnini je odvisen od vrednosti koeficientov k in b. Spodaj je tabela, ki to jasno prikazuje.

Definicija linearne funkcije

Uvedimo definicijo linearne funkcije

Opredelitev

Funkcijo oblike $y=kx+b$, kjer $k$ ni nič, imenujemo linearna funkcija.

Graf linearne funkcije je ravna črta. Število $k$ imenujemo naklon premice.

Če je $b=0$, se linearna funkcija imenuje funkcija neposredne sorazmernosti $y=kx$.

Razmislite o sliki 1.

riž. 1. Geometrijski pomen naklona premice

Razmislite o trikotniku ABC. Vidimo, da je $ВС=kx_0+b$. Poiščemo presečišče premice $y=kx+b$ z osjo $Ox$:

\ \

Torej $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Poiščimo razmerje teh strani:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Po drugi strani pa $\frac(BC)(AC)=tg\kot A$.

Tako lahko sklepamo naslednje:

Zaključek

Geometrijski pomen koeficienta $k$. Kotni koeficient premice $k$ je enak tangensu naklonskega kota te premice na os $Ox$.

Preučevanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ in njenega grafa

Najprej razmislite o funkciji $f\left(x\right)=kx+b$, kjer je $k > 0$.

1. $f"\levo(x\desno)=(\levo(kx+b\desno))"=k>0$. Posledično se ta funkcija poveča na celotnem področju definicije. Ekstremnih točk ni.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (slika 2).

riž. 2. Grafi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Zdaj razmislite o funkciji $f\left(x\desno)=kx$, kjer je $k

1. Domena definicije so vsa števila.
2. Razpon vrednosti so vse številke.
3. $f\levo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija ni niti soda niti liha.
4. Za $x=0,f\left(0\desno)=b$. Ko je $y=0,0=kx+b,\x=-\frac(b)(k)$.

Presečišča s koordinatnimi osemi: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ in $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\levo(x\desno)=(\levo(kx\desno))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Zato funkcija nima prevojnih točk.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (slika 3).

Pojem numerične funkcije. Metode za določanje funkcije. Lastnosti funkcij.

Numerična funkcija je funkcija, ki deluje iz enega številskega prostora (niza) v drug številski prostor (niz).

Trije glavni načini definiranja funkcije: analitični, tabelarični in grafični.

1. Analitično.

Metoda določanja funkcije s formulo se imenuje analitična. Ta metoda je glavna v mat. analizo, vendar v praksi ni priročno.

2. Tabelarična metoda podajanja funkcije.

Funkcijo je mogoče določiti s tabelo, ki vsebuje vrednosti argumentov in njihove ustrezne vrednosti funkcij.

3. Grafična metoda podajanja funkcije.

Za funkcijo y=f(x) pravimo, da je podana grafično, če je sestavljen njen graf. Ta metoda določanja funkcije omogoča le približno določitev funkcijskih vrednosti, saj je izdelava grafa in iskanje funkcijskih vrednosti na njem povezana z napakami.

Lastnosti funkcije, ki jih je treba upoštevati pri izdelavi njenega grafa:

1) Domena definicije funkcije.

Funkcijska domena, to je tiste vrednosti, ki jih lahko sprejme argument x funkcije F =y (x).

2) Intervali naraščajočih in padajočih funkcij.

Funkcija se imenuje naraščajoča na obravnavanem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije y(x). To pomeni, da če sta dva poljubna argumenta x 1 in x 2 vzeta iz obravnavanega intervala in x 1 > x 2, potem je y(x 1) > y(x 2).

Funkcija se imenuje padajoča na obravnavanem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije y(x). To pomeni, da če dva poljubna argumenta x 1 in x 2 vzamemo iz obravnavanega intervala in x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkcijske ničle.

Točki, v katerih funkcija F = y (x) seka abscisno os (dobimo jih z reševanjem enačbe y(x) = 0), imenujemo ničle funkcije.

4) Sode in lihe funkcije.

Funkcija se imenuje celo,če za vse vrednosti argumentov iz obsega

y(-x) = y(x).

Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinato.

Funkcija se imenuje liho, če za vse vrednosti argumenta iz domene definicije

y(-x) = -y(x).

Graf sode funkcije je simetričen glede na izvor.

Mnoge funkcije niso niti sode niti lihe.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se imenuje periodična,če obstaja število P tako, da za vse vrednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njene lastnosti in graf.

Linearna funkcija je funkcija oblike y = kx + b, definirana na množici vseh realnih števil.

k– naklon (realno število)

b– navidezni izraz (realno število)

x– neodvisna spremenljivka.

· V posebnem primeru, če je k = 0, dobimo konstantno funkcijo y = b, katere graf je premica, vzporedna z osjo Ox, ki poteka skozi točko s koordinatami (0; b).

· Če je b = 0, potem dobimo funkcijo y = kx, kar je premosorazmernost.

o Geometrični pomen koeficienta b je dolžina odseka, ki ga premica odseka vzdolž osi Oy, šteto od izhodišča.

o Geometrijski pomen koeficienta k je naklonski kot premice v pozitivno smer osi Ox, izračunan v nasprotni smeri urinega kazalca.

Lastnosti linearne funkcije:

1) Področje definicije linearne funkcije je celotna realna os;

2) Če je k ≠ 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije celotna realna os.

Če je k = 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije sestavljen iz števila b;

3) Parnost in lihost linearne funkcije sta odvisni od vrednosti koeficientov k in b.

a) b ≠ 0, k = 0, torej y = b – sodo;

b) b = 0, k ≠ 0, torej y = kx – liho;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, zato je y = kx + b funkcija splošne oblike;

d) b = 0, k = 0, zato je y = 0 hkrati soda in liha funkcija.

4) Linearna funkcija nima lastnosti periodičnosti;

5) Presečišča s koordinatnimi osmi:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, zato je (-b/k; 0) točka presečišča z abscisno osjo.

Oy: y = 0k + b = b, torej je (0; b) točka presečišča z ordinato.

Komentiraj. Če je b = 0 in k = 0, potem funkcija y = 0 izgine za vsako vrednost spremenljivke x. Če je b ≠ 0 in k = 0, potem funkcija y = b ne izniči za nobeno vrednost spremenljivke x.

6) Intervali konstantnega predznaka so odvisni od koeficienta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitivno pri x od (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativno za x iz (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitivno pri x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativno za x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitiven skozi celotno domeno definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije so odvisni od koeficienta k.

k > 0, zato y = kx + b narašča skozi celotno domeno definicije,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, njene lastnosti in graf.

Funkcija y = ax 2 + bx + c (a, b, c so konstante, a ≠ 0) se imenuje kvadratni V najpreprostejšem primeru, y = ax 2 (b = c = 0), je graf ukrivljena črta, ki poteka skozi izhodišče. Krivulja, ki služi kot graf funkcije y = ax 2, je parabola. Vsaka parabola ima simetrijsko os, imenovano os parabole. Točka O presečišča parabole z njeno osjo se imenuje.

vrh parabole Graf lahko sestavimo po naslednji shemi: 1) Poiščite koordinate oglišča parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruiramo še nekaj točk, ki pripadajo paraboli, pri konstruiranju lahko uporabimo simetrije parabole glede na premico x = -b/2a. 3) Navedene točke povežite z gladko črto.