Več integralov (problemi in vaje). Multipli integrali Koordinate masnega središča ravninske figure

Def . Naj
,

.

Niz se imenuje zaprti interval ali zaprti stolpec .

Množica se imenuje odprt interval

ali odprt žarek v .

Def . Mera intervalov in količina se imenuje:

(Natančneje
).

Def . če
tako da
nato interval se imenuje degenerirana in
.

Lastnosti mere vrzeli:

A). Pozitivnost:
, in
takrat in samo takrat – degeneriran.

b).

Pozitivna homogenost: .

V). Aditivnost:
* Za
;

tako da
in

.

* Za

Def . G). Monotonost mere: .

Premer žarka (vrzel) je vrednost:
in
Upoštevajte to – to ni isto. Na primer, če
– degenerirajo torej
,a

(na splošno).

* ;*
.

Def . V tem primeru: * ;
Totalnost podrazponi intervala imenovana intervalna particija

*
; *
; *
; *
.

, Če: *;
Magnituda imenovan particijski parameter p
).

Def . (hkrati Razcepitev imenovano prečiščevanje particije , če so vsi elementi particije .

pridobljeno s pregrajevanjem pregradnih elementov
Označeno z: . bere: manjši oz .

večji

Za razmerje »večje – manjše« velja:
;

*.


; *.

|
.

*. prehodnost – ;

*.
§. Definicija večkratnega integrala ,
Naj – les (reža) v– pregrajevanje vrzeli jaz
.

. Na vsakem intervalu particije
označite točko
.

, Če: *;
Dobimo pregrada z označenimi točkami za (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo f – les (reža) v x
.

Def :
=
=
.

) na intervalu s pregrado z označenimi točkami – les (reža) v Določitev

Def : ε > 0 δ>0<.

– številne funkcije integrirane na nosilcu pregrada z označenimi točkami za(se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo napišimo: – les (reža) vČe za funkcijo
) vklopljeno
in predelne stene pregrada z označenimi točkami za(se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo napišimo: – les (reža) v - označimo z– največja in najmanjša vrednost funkcije
=
in
=
k

§. nato vrednosti.

imenujemo spodnja in zgornja Darbouxova vsota. 0 . Darbouxov kriterij obstoja večkratnega integrala
T Za delovanje
je bil integriran na žarek

. Δ▲.

(tisti.

) je potrebno in zadostno, da pregrada z označenimi točkami za Definirana je integracija funkcije nad žarkom v evklidskem prostoru. Kako lahko integriramo funkcijo nad poljubno omejeno množico iz evklidskega prostora?
.

Def : Določimo integral funkcije
in
s strani mnogih
Naj
– omejeno, tj. ..

funkcija
≡
.

imenujemo karakteristično funkcijo množice M Nato:

.

Definicija množičnega integrala ni odvisna od tega, kateri žarek vsebuje

M izbrano, tj. pregrada z označenimi točkami za(se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo napišimo: M To pomeni, da je definicija integrala nad množico pravilna. pregrada z označenimi točkami za(se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo Nujen pogoj za integrabilnost. M. Δ▲.

Za delovanje

1  . biti integrabilen je potrebno, da ) je bil omejen na .§. Lastnosti večkratnih integralov. Linearnost: veliko R

prostor, in
– linearni funkcional.

2  . Stanje normalizacije:
. Druga oblika vstopa
v bistvu določa mero poljubne množice iz evklidskega prostora.

3  . Če obstaja integral nad nizom Lebesgueve mere nič, potem je

enako nič.

Opomba: Mnogi M imenujemo množica Lebesgueve mere nič,

če

tako da
in
.

4  . A.;b.;

V.če
in – ločeno od nič z M, To

5  .
in pregrada z označenimi točkami za=g p.v. (skoraj povsod) naprej M, To
.

6  . Aditivnost: če
in
to

,

Na splošno:
.

Δ. Iz enakosti izhaja: ▲

7  . enobarvno:
in
to
.

8  . Integriranje neenakosti: če
ito

.

9  . Določimo integral funkcije


. Da bi
, je nujno in zadostno, da obstaja notranja točka niza M, v katerem pregrada z označenimi točkami za (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo) > 0 in zvezna.

10  . Integrabilnost integrabilnega funkcijskega modula:
.

11  . Izrek o srednji vrednosti:
,
na M ohranja znamenje in
, To

.

Če nastavite M– skladen in pregrada z označenimi točkami za(se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo) – neprekinjeno vklopljeno
to
tako da
.

12  . Da bi bil integral nenegativne funkcije enak 0

potrebno in zadostuje za pregrada z označenimi točkami za(se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo) = 0 skoraj povsod na M.

13  . Fubinijev izrek. Za dvojni integral:

Naj območje
- pravokotnik:. Nato, če obstajajo notranji enojni integrali, lahko za iskanje dvojnega integrala nadaljujete s ponovljeno integracijo (glejte sliko a):

, oz

E

Opomba: Zunanje meje integracije morajo biti konstantne; notranje meje integracije so lahko odvisne od spremenljivke, nad katero je treba integracijo še izvesti.

Formulo (*) je mogoče pridobiti z uporabo nastavljene karakteristične funkcije D.

Za večkratni integral:

Pustimo in nekatere podmnožice evklidskih prostorov in . Definirajmo kartezični produkt teh množic, ki je podmnožica evklidskega prostora
:.

Potem Fubinijev izrek za
ima obliko:
.

Izrek velja tudi za nosilce X in Y in za bolj zapletene konfiguracije.

Primeri:

1 0 . Izračunaj
, če je meja območja
podana z enačbami:

. Potem možna razporeditev integracijskih limit pri prehodu na iterirane integrale daje:
;

2

–

.

Spremenite vrstni red integracije v ponovljenem integralu: Recept:

3

, Če
.

Prehod na ponavljajoče se integrale daje: Hkrati se mora pri trojnem integralu postavljanje limitov začeti z notranjimi limiti integracije. Nato projektirajte območje V do letala

xOy D določanje omejitev na območju do letala.

4 0 . Spremenite vrstni red integracije v ponovljenem integralu:
.

Večkratni integral

integral funkcije, definirane v nekem območju na ravnini, v treh dimenzijah oz n-dimenzionalni prostor. Med K. in. razlikovati med dvojnimi integrali, trojnimi integrali itd. n-več integralov.

Naj funkcija pregrada z označenimi točkami za(x, y) je podana na nekem območju D letalo xOy. Razdelimo območje D na n delna območja d jaz, katerih površine so enake jaz jaz, izberite na vsakem področju d i točka ( ξi, ηi) (cm. riž. ) in sestavi integralno vsoto

Če z neomejenim zmanjšanjem največjega premera delnih površin d i zneski S imajo omejitev ne glede na izbiro točk ( ξi, ηi), potem se ta meja imenuje dvojni integral funkcije pregrada z označenimi točkami za(x, y) glede na regijo D in označujejo

Trojni integral je definiran podobno in na splošno velja n- večkratni integral.

Za obstoj dvojnega integrala zadošča na primer regija D je bila zaprta kvadrabilna regija (glej kvadrabilna regija) in funkcija pregrada z označenimi točkami za(x, y) je bil neprekinjen v D. K. in. imajo številne lastnosti, podobne lastnostim preprostih integralov . Za izračun K. in. običajno vodijo do iteriranega integrala (glej Iterirani integral). V posebnih primerih za informacije K. in. Greenova formula in formula Ostrogradskega lahko služita kot integrala nižje dimenzije. K. in. imajo široko uporabo: uporabljajo se za izražanje volumnov teles, njihovih mas, statičnih momentov, vztrajnostnih momentov itd.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Oglejte si, kaj je "večkratni integral" v drugih slovarjih:

Integral funkcije več spremenljivk. Določen je z uporabo integralnih vsot, podobno kot določen integral funkcije ene spremenljivke (glej Integralni račun). Glede na število spremenljivk so dvojne, trojne, n... ... Veliki enciklopedični slovar

Določen integral funkcije več spremenljivk. Obstajajo različni koncepti K. in. (Riemannov integral, Lebesgueov integral, Lebesgue Stieltjesov integral itd.). Večkratni Riemannov integral je uveden na podlagi Jordanove mere. Naj bo E merljiv po Jordanu. Matematična enciklopedija

V matematični analizi je večkratni ali večkratni integral niz integralov, vzetih iz spremenljivk. Na primer: Opomba: večkratni integral je določen integral; rezultat njegovega izračuna je vedno število. Vsebina 1... ...Wikipedia

Integral funkcije več spremenljivk. Določen je z uporabo integralnih vsot, podobno kot določen integral funkcije ene spremenljivke (glej Integralni račun). Glede na število spremenljivk so dvojne, trojne, n... ... Enciklopedični slovar

Integral funkcije več spremenljivk. Določeno s pomočjo integralnih vsot, definiranih podobno. integral funkcije ene spremenljivke (glej Integralni račun). Glede na število spremenljivk so dvojne, trojne, i... ... Naravoslovje. Enciklopedični slovar

Opomba: povsod v tem članku, kjer je uporabljen znak, je mišljen (večkratni) Riemannov integral, razen če ni navedeno drugače; Povsod v tem članku, kjer govorimo o merljivosti množice, mislimo na jordansko merljivost, če ne... ... Wikipedia

Večkratni integral oblike kjer je povprečna vrednost stopnje 2k modula trigonometrične vsote. Vinogradovljev izrek o vrednosti tega integrala, izrek o srednji vrednosti, je podlaga za ocene Weylovih vsot. Literatura Vinogradova inte... Wikipedia

Določen integral kot ploščina figure Ta izraz ima druge pomene, glejte Integral (pomeni). Integral funkcije... Wikipedia

Integral, pri katerem se zaporedno izvaja integracija po različnih spremenljivkah, to je integral oblike (1) Funkcija f(x, y) je definirana na množici A, ki leži v neposrednem produktu XX Y prostorov X in Y, v katerem so s podane končne mere mx in my,… … Matematična enciklopedija

Integral vzdolž katere koli krivulje na ravnini ali v prostoru. Obstajajo K. in. 1. in 2. vrste. K. in. Tip 1 se pojavi na primer pri obravnavi problema izračuna mase krivulje spremenljive gostote; označen je...... Velika sovjetska enciklopedija

Pozor: Pri izračunu nepravilnih integralov s singularnimi točkami znotraj integracijskega intervala ne morete mehansko uporabiti Newton–Leibnizove formule, saj lahko to povzroči napake.

Splošno pravilo: Newton–Leibnizova formula je pravilna, če je protiizpeljava f(x) v singularni točki slednjega je zvezen.

Primer 2.11.

Oglejmo si nepravilni integral s posebno točko x = 0. Formalno uporabljena Newton–Leibnizova formula daje

Vendar splošno pravilo tukaj ne velja; za f(x) = 1/x protiodvod ln |x| ni definirana pri x = 0 in je na tej točki neskončno velika, tj. na tej točki ni neprekinjen. Z neposrednim preverjanjem je enostavno preveriti, da integral divergira. res,

Nastalo negotovost je mogoče razkriti na različne načine, saj e in d neodvisno težita k ničli. Še posebej, če nastavimo e = d, dobimo glavno vrednost nepravilnega integrala enako 0. Če je e = 1/n in d =1/n 2, tj. d teži k 0 hitreje kot e, potem dobimo

kdaj in obratno,

tiste. integral razhaja.n

Primer 2.12.

Oglejmo si nepravi integral s singularno točko x = 0. Protiodvod funkcije ima obliko in je zvezen v točki x = 0. Zato lahko uporabimo Newton–Leibnizovo formulo:

Naravna posplošitev koncepta določenega Riemannovega integrala na primer funkcije več spremenljivk je koncept večkratnega integrala. Za primer dveh spremenljivk se takšni integrali imenujejo dvojno.

Razmislite v dvodimenzionalnem evklidskem prostoru R´R, tj. na ravnini s kartezičnim koordinatnim sistemom niz E končno območje S.

Označimo z ( i = 1, …, - označimo z) nastavite particijo E, tj. takšen sistem njegovih podmnožic E i, i = 1,. . ., - označimo z, da Ø za i ¹ j in (slika 2.5). Tukaj označujemo podmnožico E i brez meje, tj. notranje točke podmnožice E i , ki skupaj s svojo mejo Gr E tvorim zaprto podmnožico E jaz, . Jasno je, da območje S(E i) podmnožice E i sovpada z območjem njegove notranjosti, saj območje meje GrE i je enak nič.

Naj d(E i) označuje nastavljen premer E i, tj. največja razdalja med dvema njegovima točkama. Klicana bo količina l(t) = d(E i). finost particije t. Če je funkcija f(x),x = (x, y) definirana na E kot funkcija dveh argumentov, potem je vsaka vsota oblike

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

odvisno od funkcije f in particije t ter od izbire točk x i О E i М t se imenuje integralna vsota funkcije f .

Če za funkcijo f obstaja vrednost, ki ni odvisna niti od particij t niti od izbire točk (i = 1, ..., k), se ta meja imenuje dvojni Riemannov integral iz f(x,y) in je označena

V tem primeru se pokliče sama funkcija f Riemannova integrabilna.

Spomnimo se tega v primeru funkcije z enim argumentom kot nizom E nad katerim se izvaja integracija, se običajno vzame segment , njegova particija t pa se šteje za particijo, sestavljeno iz segmentov. V nasprotnem primeru, kot je lahko videti, definicija dvojnega Riemannovega integrala ponavlja definicijo določenega Riemannovega integrala za funkcijo enega argumenta.

Dvojni Riemannov integral omejenih funkcij dveh spremenljivk ima običajne lastnosti določenega integrala za funkcije enega argumenta – linearnost, aditivnost glede na množice, nad katerimi se izvaja integracija, ohranjanje pri integraciji nestroge neenakosti, integrabilnost izdelka integrirane funkcije itd.

Izračun večkratnih Riemannovih integralov se zmanjša na izračun ponavljajoči se integrali. Oglejmo si primer dvojnega Riemannovega integrala. Naj funkcija f(x,y) je definirana na množici E, ki leži v kartezičnem produktu množic X ´ Y, E М X ´ Y.

S ponavljajočim se integralom funkcije f(x, y) imenujemo integral, pri katerem se integracija izvaja zaporedno po različnih spremenljivkah, tj. integral forme

Nastavite E(y) = (x: О E) М X se imenuje prerez množice E, ki ustrezajo danemu y, y О E y ; množica E y se imenuje – projekcija nastavite E na os Y.

Za iterirani integral se uporablja tudi naslednji zapis:

kar tako kot prejšnje pomeni, da najprej za fiksno y, y О E y , funkcija je integrirana f(x, y) Avtor: x vzdolž segmenta E(l), ki je del nabora E temu ustreza l. Kot rezultat, notranji integral definira neko funkcijo ene spremenljivke - l. Ta funkcija je nato integrirana kot funkcija ene spremenljivke, kot je prikazano z zunanjim simbolom integrala.

Pri spreminjanju vrstnega reda integracije dobimo ponovljen integral oblike

kjer se izvaja notranja integracija y, in zunanji - po x. Kako je ta iterirani integral povezan z zgoraj definiranim iteriranim integralom?

Če obstaja dvojni integral funkcije pregrada z označenimi točkami za, tj.

potem obstajata oba ponovljena integrala, ki sta enaka po velikosti in enaka dvojniku, tj.

Poudarjamo, da je v tej izjavi formuliran pogoj za možnost spreminjanja vrstnega reda integracije v iteriranih integralih samo dovolj, vendar ni nujno.

Drugi zadostni pogoji možnosti spreminjanja vrstnega reda integracije v iteriranih integralih so formulirane na naslednji način:

če vsaj eden od integralov obstaja

potem funkcija f(x, y) Riemannova integrabilna na setu E, oba njegova ponovljena integrala obstajata in sta enaka dvojnemu integralu. n

Določimo zapis projekcij in prerezov v zapisu iteriranih integralov.

Če je množica E pravokotnik

to E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); hkrati E(y) = E x za poljuben y, y О E y . , A E(x) = Ey za katerikoli x , x О E x ..

Uradni vnos: " y y О E yÞ E(y) = nprÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Če ima množica E ukrivljena meja in omogoča predstavitve

V tem primeru so ponavljajoči se integrali zapisani na naslednji način:

Primer 2.13.

Izračunajte dvojni integral nad pravokotnim območjem in ga zmanjšajte na iterativno.

Ker je pogoj sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, nato pa preverimo izpolnitev zadostnih pogojev za obstoj dvojnega integrala I v obliki obstoja katerega koli izmed ponovljenih integralov

tega ni treba posebej izvajati in lahko takoj nadaljujete z izračunom ponovljenega integrala

Če obstaja, potem obstaja tudi dvojni integral in I = I 1 . Ker

Torej sem = .n

Primer 2.14.

Izračunajte dvojni integral nad trikotnim območjem (glej sliko 2.6), tako da ga zmanjšate na ponavljajoče se

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Najprej preverimo obstoj dvojnega integrala I. Za to je dovolj, da preverimo obstoj ponovljenega integrala

tiste. integrandi so zvezni na intervalih integracije, saj so vse potenčne funkcije. Torej integral I 1 obstaja. V tem primeru tudi dvojni integral obstaja in je enak vsakemu ponovljenemu, tj.

Primer 2.15.

Za boljše razumevanje povezave med konceptoma dvojnih in ponavljajočih se integralov razmislite o naslednjem primeru, ki ga lahko ob prvem branju izpustite. Podana je funkcija dveh spremenljivk f(x, y).

Upoštevajte, da je pri fiksnem x ta funkcija liha glede na y, pri fiksnem y pa je liha glede na x. Kot množico E, po kateri je ta funkcija integrirana, vzamemo kvadrat E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 ).

Najprej upoštevamo ponavljajoči se integral

Notranji integral

se vzame za fiksni y, -1 £ y £ 1. Ker je integrand za fiksni y lih v x in se integracija po tej spremenljivki izvaja na segmentu [-1, 1], simetričnem glede na točko 0, potem notranji integral je enak 0. Očitno je, da je tudi zunanji integral nad spremenljivko y ničelne funkcije enak 0, tj.

Podobno sklepanje za drugi ponovljeni integral vodi do istega rezultata:

Torej za obravnavano funkcijo f(x, y) ponavljajoči se integrali obstajajo in so med seboj enaki. Ne obstaja pa dvojni integral funkcije f(x, y). Da bi to videli, se obrnemo na geometrijski pomen izračuna ponavljajočih se integralov.

Za izračun ponavljajočega se integrala

uporablja se posebna vrsta razdelitve kvadrata E in poseben izračun integralnih vsot. Kvadrat E je namreč razdeljen na vodoravne črte (glej sliko 2.7), vsak trak pa na majhne pravokotnike. Vsak trak ustreza določeni vrednosti spremenljivke y; na primer, to je lahko ordinata vodoravne osi traku.

Izračun integralnih vsot poteka takole: najprej se vsote izračunajo za vsak pas posebej, t.j. pri fiksnem y za različne x, nato pa se te vmesne vsote seštejejo za različne pasove, tj. za različne y. Če se finost particije nagiba k ničli, dobimo v limiti zgoraj omenjeni ponavljajoči se integral.

Jasno je, da za drugi ponovljeni integral

množica E je razdeljena na navpične črte, ki ustrezajo različnim x. Vmesne vsote se izračunajo znotraj vsakega pasu v majhnih pravokotnikih, tj. vzdolž y, nato pa se seštejejo za različne pasove, tj. od x. V limiti, ko se finost particije nagiba k ničli, dobimo ustrezen iteriran integral.

Da bi dokazali, da dvojni integral ne obstaja, je dovolj navesti en primer particije, pri kateri izračun integralnih vsot v meji, ko se finost particije nagiba k nič, daje rezultat, ki se razlikuje od vrednosti ponovljeni integrali. Navedimo primer takšne razdelitve, ki ustreza polarnemu koordinatnemu sistemu (r, j) (glej sliko 2.8).

V polarnem koordinatnem sistemu je položaj katere koli točke na ravnini M 0 (x 0 , y 0), kjer sta x 0 , y 0 kartezični koordinati točke M 0, določen z dolžino r 0 polmera povezovanje z izhodiščem in kotom j 0, ki ga tvori ta polmer s pozitivno smerjo osi x (kot se šteje v nasprotni smeri urinega kazalca). Povezava med kartezičnimi in polarnimi koordinatami je očitna:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Predelna stena je zgrajena na naslednji način. Najprej je kvadrat E razdeljen na sektorje s polmeri, ki izhajajo iz središča koordinat, nato pa je vsak sektor razdeljen na majhne trapeze s črtami, pravokotnimi na os sektorja. Izračun integralnih vsot poteka na naslednji način: najprej vzdolž majhnih trapezov znotraj vsakega sektorja vzdolž njegove osi (vzdolž r), nato pa čez vse sektorje (vzdolž j). Položaj vsakega sektorja je označen s kotom njegove osi j, dolžina njegove osi r(j) pa je odvisna od tega kota:

če ali , potem ;

če, potem;

če, potem

če, potem.

S prehodom na mejo integralnih vsot polarne particije, ko se finost particije nagiba k ničli, dobimo predstavitev dvojnega integrala v polarnih koordinatah. Takšen zapis lahko dobimo na povsem formalen način, tako da kartezične koordinate (x, y) nadomestimo s polarnimi (r, j).

Po pravilih prehoda v integralih iz kartezičnih v polarne koordinate bi morali po definiciji zapisati:

V polarnih koordinatah bo funkcija f(x, y) zapisana na naslednji način:

Končno imamo

Notranji integral (nepravilen) v zadnji formuli

kjer je funkcija r(j) navedena zgoraj, 0 £ j £ 2p, je enaka +¥ za kateri koli j, ker

Zato integrand v zunanjem integralu, ovrednotenem po j, ni definiran za noben j. Toda takrat sam zunanji integral ni definiran, tj. izvirni dvojni integral ni definiran.

Upoštevajte, da funkcija f(x, y) ne izpolnjuje zadostnega pogoja za obstoj dvojnega integrala nad množico E. Pokažimo, da je integral

ne obstaja. res,

Podobno je enak rezultat ugotovljen za integral

Prenesite iz Depositfiles

Predavanja 5-6

Tema2. Več integralov.

Dvojni integral.

Testna vprašanja.

1. Dvojni integral, njegov geometrijski in fizikalni pomen

2. Lastnosti dvojnega integrala.

3. Izračun dvojnega integrala v kartezičnih koordinatah.

4. Menjava spremenljivk v dvojnem integralu. Izračun dvojnega integrala v polarnih koordinatah.

Naj funkcija z = pregrada z označenimi točkami za (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo , l), definiran v omejenem zaprtem območju D letalo. Razdelimo območje D naključno vklopljen n osnovna zaprta območja  1 , … , n, ki ima območja   1 , …,   n in premeri d 1 , …, d n oz. Označimo d največji premer območja  1 , … ,  n.  - označimo z Na vsakem področju imenovan particijski parameter - označimo z (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo - označimo z izberite poljubno točko - označimo z,y ) in sestavite integralna vsota pregrada z označenimi točkami za(funkcije)

S =
(1)

x,y Opredelitev. integralna vsota pregrada z označenimi točkami za(funkcije) glede na regijo D Dvojni integral

, (2)

imenujemo limita integralne vsote

če obstaja. S Komentiraj. Kumulativna vsota D odvisno kako je območje razdeljeno imenovan particijski parameter - označimo z (- označimo z=1, …, n in izbiranje točk
). Vendar meja D odvisno kako je območje razdeljeno imenovan particijski parameter - označimo z .

, če obstaja, ni odvisno od tega, kako je območje razdeljeno pregrada z označenimi točkami za(funkcije) Zadosten pogoj za obstoj dvojnega integrala. Dvojni integral (1) obstaja, če funkcija D neprekinjeno v D razen za končno število kosovno gladkih krivulj in je omejena na

. V nadaljevanju bomo predvidevali, da vsi obravnavani dvojni integrali obstajajo.

Geometrijski pomen dvojnega integrala. pregrada z označenimi točkami za(funkcije) če D≥0 v območju

Hkrati se mora pri trojnem integralu postavljanje limitov začeti z notranjimi limiti integracije. Nato projektirajte območje =
(3)

, potem je dvojni integral (1) enak prostornini "valjastega" telesa, prikazanega na sliki: D Valjasto telo je spodaj omejeno z regijo z = pregrada z označenimi točkami za (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo , l, od zgoraj - del površine D.

), s strani - z navpičnimi ravnimi segmenti, ki povezujejo meje te površine in regije

Fizikalni pomen dvojnega integrala. Masa ravne plošče. D Naj bo dana ravna plošča z znano funkcijo gostote γ(X, pri i), nato ploščo D razlomite na dele D
in izbiranje poljubnih točk
, dobimo za maso plošče

(4)

, ali v primerjavi s formulo (2):

4. Nekatere lastnosti dvojnega integrala. Linearnost. če Z

je torej numerična konstanta Aditivnost. D Če območje D 1 »razčlenjena« na področja D in

2, torej D 3) Območje omejenega območja

(5)

enako

Naj bo območje podano

Slika 1

D= { (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo , l ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo ) ≤ y≤ φ 2 (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo ) } (6)

Regija D zaprt v traku med ravnimi črtami se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo = a , l = b, omejena od spodaj oziroma od zgoraj s krivuljami l = φ 1 (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo ) in l = φ 2 (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo ) .

Dvojni integral (1) nad regijo D(4) se izračuna s prehodom na iterirani integral:

(7)

Ta ponavljajoči se integral se izračuna na naslednji način. Najprej se izračuna notranji integral

po spremenljivki l, in hkrati se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo velja za konstantno. Rezultat bo funkcija spremenljivke se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo, nato pa se izračuna "zunanji" integral te funkcije nad spremenljivko se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo .

Komentiraj. Proces prehoda na ponovljeni integral po formuli (7) pogosto imenujemo postavitev integracijskih mej v dvojni integral. Ko nastavljate omejitve integracije, si morate zapomniti dve točki. Prvič, spodnja meja integracije ne sme preseči zgornje, in drugič, meje zunanjega integrala naj bodo konstantne, notranja pa naj bo v splošnem odvisna od integracijske spremenljivke zunanjega integrala.

Naj zdaj območje D izgleda kot

D= { (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo , l ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (l ) ≤ x ≤ ψ 2 (l ) } . (8)

Potem

. (9)

Predpostavimo, da območje D lahko predstavimo kot (6) in (8) hkrati. Potem enakost velja

(10)

Prehod iz enega iteriranega integrala v drugega v enačbi (10) imenujemo spreminjanje vrstnega reda integracije v dvojnem integralu.

Primeri.

1) Spremenite vrstni red integracije v integralu

rešitev. Z uporabo oblike iteriranega integrala najdemo regijo

D= { (se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo , l ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Upodobimo območje D. Iz slike vidimo, da se to območje nahaja v vodoravnem pasu med ravnimi črtami l =0, l=2 in med vrsticami se imenuje Riemannova integralna vsota za funkcijo =0 in x=D

Včasih se za poenostavitev izračunov izvede sprememba spremenljivk:

,
(11)

Če so funkcije (11) zvezno diferencibilne in je determinanta (Jacobian) v obravnavani domeni različna od nič:

(12)

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije

Tečajna naloga

Disciplina: Višja matematika

(Osnove linearnega programiranja)

Na temo: VEČKRATNI INTEGRALI

Izpolnil: ______________

Učitelj: ___________

Datum ___________________

Ocena _________________

Podpis ________________

VORONEZH 2008

1 Večkratni integrali

1.1 Dvojni integral

1.2 Trojni integral

1.3 Večkratni integrali v krivuljnih koordinatah

1.4 Geometrijske in fizikalne aplikacije večkratnih integralov

2 Krivočrtni in površinski integrali

2.1 Krivočrtni integrali

2.2 Površinski integrali

2.3 Geometrijske in fizične aplikacije

Seznam uporabljene literature

1 Večkratni integrali

1.1 Dvojni integral

Oglejmo si zaprto območje D v ravnini Oxy, ki ga omejuje premica L. Razdelimo to območje na n delov z nekaj premicami

Naj bo v domeni D podana funkcija z = f(x, y). Označimo z f(P 1), f(P 2),…, f(P n) vrednosti te funkcije na izbranih točkah in sestavimo vsoto produktov oblike f(P i)ΔS i:

imenujemo integralna vsota za funkcijo f(x, y) v domeni D.

Če obstaja enaka meja integralnih vsot (1) za

Izračun dvojnega integrala nad področjem D, omejenim s premicami

1.2 Trojni integral

Koncept trojnega integrala uvedemo po analogiji z dvojnim integralom.

Naj bo v prostoru podana neka regija V, ki jo omejuje zaprta ploskev S. V tem zaprtem območju definirajmo zvezno funkcijo f(x, y, z). Nato območje V razdelimo na poljubne dele Δv i, pri čemer upoštevamo, da je prostornina vsakega dela enaka Δv i, in sestavimo integralno vsoto oblike

Omejitev pri

Trojni integral funkcije f(x,y,z) po območju V je enak trojnemu integralu po istem območju:

1.3 Večkratni integrali v krivuljnih koordinatah

Predstavimo krivuljne koordinate na ravnini, imenovane polarne. Izberimo točko O (pol) in žarek, ki izhaja iz nje (polarna os).

riž. 2 sl. 3

Koordinate točke M (slika 2) bodo dolžina segmenta MO - polarni radij ρ in kot φ med MO in polarno osjo: M(ρ,φ). Upoštevajte, da bosta za vse točke ravnine, razen za pol, ρ > 0 in polarni kot φ veljali za pozitivne, če jih merimo v nasprotni smeri urinega kazalca, in za negativne, če jih merimo v nasprotni smeri.

Razmerje med polarnimi in kartezičnimi koordinatami točke M lahko nastavimo tako, da izhodišče kartezičnega koordinatnega sistema poravnamo s polom, pozitivno polos Ox pa s polarno osjo (slika 3). Potem je x=ρcosφ, y=ρsinφ. Od tukaj

Določimo v območju D, ki ga omejujejo krivulji ρ=Φ 1 (φ) in ρ=Φ 2 (φ), kjer je φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

V tridimenzionalnem prostoru so uvedene cilindrične in sferične koordinate.

Cilindrične koordinate točke P(ρ,φ,z) so polarne koordinate ρ, φ projekcije te točke na ravnino Oxy in aplikate te točke z (slika 5).

Slika 5 Slika 6

Formule za prehod iz cilindričnih v kartezične koordinate lahko podamo na naslednji način:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

V sferičnih koordinatah je položaj točke v prostoru določen z linearno koordinato r - razdaljo od točke do izhodišča kartezičnega koordinatnega sistema (ali pola sferičnega sistema), φ - polarni kot med pozitivnim pol osi Ox in projekcijo točke na ravnino Oxy ter θ - kot med pozitivno pol osjo osi Oz in segmentom OP (slika 6). Ob istem času

Postavimo formule za prehod iz sferičnih v kartezične koordinate:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Potem bodo formule za prehod na cilindrične ali sferične koordinate v trojnem integralu videti takole:

kjer sta F 1 in F 2 funkciji, dobljeni s substitucijo njunih izrazov prek cilindričnih (8) ali sferičnih (9) koordinat v funkcijo f namesto x, y, z.

1.4 Geometrijske in fizikalne aplikacije večkratnih integralov

1) Območje ravnega območja S:

Primer 1.

Poiščite območje slike D, omejeno s črtami

To območje je priročno izračunati s štetjem y kot zunanje spremenljivke. Nato so meje regije podane z enačbami