Povzetek lekcije algebre na temo "Numerični izrazi" (7. razred). Pravila za izračun vrednosti številskih izrazov

V tem razdelku se boste naučili:

· številski izrazi in njihove vrste;

Kakšna je razlika med številskim izrazom in izrazom s spremenljivkami?

· kaj se je zgodilo veljavne vrednosti spremenljivke v izrazu;

Kateri izrazi se imenujejo cela števila?

· kako izračunati vrednosti izraza s spremenljivkami;

· o načinih poenostavljanja izrazov;

· kaj je enakost in identiteta in kako ju dokazati;

Kako preučeno snov uporabiti v praksi

§1. ŠTEVILSKI IZRAZI

Iz tečaja matematike v 5.-6. razredu veš, kaj je številski izraz. Zapomni si ustrezno besedilo in ga primerjaj s tistim v učbeniku.

Vnos, ki uporablja samo številke in znake aritmetične operacije in oklepaj se imenuje številski izraz.

Na primer, vnosi 15 + 3,15 - 3, 15 ∙ 3,15: 3 so številski

izrazi. imenujemo jih vsota, razlika, produkt in količnik števil 15 in 3. V vsakem od teh izrazov sta števili 15 in 3 sestavni deli izraza. Tudi izraz 15 3 je številski izraz. Imenuje se potenca 15. V njej je število 15 osnova potence, število 3 pa eksponent.

Če v izrazu izvedemo aritmetično operacijo, dobimo število – vrednost številskega izraza. Na primer, vrednost izraza 15 + 3 je število 18.

Upoštevajte:

številski izraz kaže, katera aritmetična dejanja je treba izvesti na številih, ne prikazuje pa rezultatov teh dejanj.

Veste, da sta operaciji seštevanja in odštevanja operaciji prve stopnje, dejanji množenja in deljenja dejanji druge stopnje, dvigovanje na potenco pa tretje stopnje. Pri izračunu vrednosti številskega izraza najprej ugotovite, dejanja katerih korakov izraz vsebuje, nato pa izvedete dejanja, pri čemer se držite vrstnega reda dejanj, ki jih poznate.

Naloga 1. Poiščite vrednost številskega izraza:

1)35 - 15 + 9; 2) 35: 7 + 4 . 2 3 .

Rešitve. 1. Ta izraz vsebuje samo dejanja prve stopnje, zato se ta dejanja izvajajo v vrstnem redu, zapisanem od leve proti desni:

2. Izraz 35: 7 + 4 ∙ 2 3 vsebuje dejanja treh stopenj, najprej izvede dejanje tretje stopnje, nato dejanja druge stopnje (od leve proti desni) in za tem - dejanje prve stopnje. faza:

35: 7 + 4 ∙ 2 3 = 35: 7 + 4 ∙ 8 = 5 + 4 ∙ 8 = 5 + 32 = 37.

Ali je pomen številskega izraza odvisen od tega, kateri oklepaj je v njem? torej. Na primer, izraza 4 + (30: 6 - 1) in 4 + 30: (6 - 1) imata različne pomene: 4 + (30: 6 - 1) = 8 in 4 + 30: (6 - 1) = 10. Zato lahko zapišemo:

4 + (30: 6 - 1) ≠ 4 + 30: (6 - 1).

Upoštevajte:

oklepaji v izrazu spremenijo vrstni red izvajanja dejanj.

Problem 2. Ali je mogoče najti vrednost številskega izraza

25: (3 ∙ 8 - 23 - 1)?

Rešitve. Ta izraz vsebuje deljenja števila 25 z izrazom v oklepaju. Ko izvedemo dejanja v oklepajih, dobimo: 3 ∙ 8 - 23 - 1 = 24 - 23 - 1 = 0. Če želite torej najti vrednost danega izraza, morate število 25 razdeliti na 0. Toda to je nemogoče. Zato vrednosti tega številskega izraza ni mogoče najti.

Na kratko pravijo: "Ta izraz nima pomena" ali "Ta izraz nima pomena."

Upoštevajte:

Ne morete deliti z 0;

Izraz, ki vsebuje deljenje z nič, nima pomena.

Povzemimo informacije o vrstnem redu dejanj v izrazih.

Vrstni red izvajanja dejanj v izrazih.

1. V izrazu, ki vsebuje dejanja samo ene stopnje, se dejanja izvedejo v vrstnem redu, v katerem so zapisana.

2. V izrazu, ki vsebuje dejanja treh stopenj, se najprej izvedejo dejanja najvišje stopnje v vrstnem redu, v katerem so zapisana.

3. V izrazu z oklepaji se najprej izvedejo dejanja v oklepajih, nato pa se izvedejo druga dejanja v znanem vrstnem redu.

Izvedite več

1. Pri tečaju matematike od 5. do 6. razreda in v tem odstavku ste naleteli na stavke, ki vsebujejo besedi »klic« ali »se kliče«. To je definicija pojmov. Definicija razkriva vsebino pojma. Na primer v definiciji številčna vrednost podaja lastnost, ki jo je mogoče uporabiti za razlikovanje številskega izraza od drugih vnosov. Prej ste videli vnose 3 * 5 + 4, 2 ∙ 3 ​​​​= 6, (a + 100) ∙ 2. Teh ni mogoče šteti za številske izraze, ker ne ustrezajo definiciji številskega izraza. Prvi vnos namreč vsebuje znak *, ki ni znak za aritmetično operacijo. Drugi vnos vsebuje enačaj, tretji pa črko.

2. Grave Dmitrij Aleksandrovič (1863-1939) - izjemen matematik, ustanovitelj nacionalne algebraične šole, akademik Akademije znanosti Ukrajinske SSR (1919), častni član Akademije znanosti ZSSR (1929). Diplomiral na univerzi v Sankt Peterburgu (1885). Leta 1896 je zagovarjal disertacijo za doktorat matematike "O glavnih problemih matematična teorija gradbeništvo zemljepisne karte" Delal je kot profesor na univerzi v Harkovu (1897) in nato v Kijevu (1899). U1934 je postal prvi direktor Inštituta za matematiko Akademije znanosti Ukrajinske SSR. V Kijevu je ustvaril znanstveno algebraično šolo. Glavna dela se nanašajo na algebro, uporabna matematika, mehanika, kibernetika, astronomija. Njegova »Razprava o algebraični analizi«, ki je izšla leta 1938, je pomembno vplivala na razvoj matematike v 20. stoletju.

Njegovi učenci so bili B. Delaunay, N. Kravchuk, M. Chebotarev, O. Shmidt itd.

ZAPOMNITE SI POMEMBNO

1. Kako se imenuje številski izraz? Navedite primere.

2. Kako se imenuje vrednost številskega izraza?

3. Kakšen je vrstni red operacij v številskem izrazu brez oklepaja?

4. V kakšnem vrstnem redu je treba izvajati dejanja v številskem izrazu z oklepaji?

5. Ali številski izraz vseeno nima smisla?

REŠITE TEŽAVE

1 . Je zapis številskega izraza:

1)14: 2 + 5; 3) 24 – 14 = 10; 5)4 ∙ x = 20;

2) 27 > 4 ∙ 3; 4) 5 - 2 ∙ 5,2; 6) 8 4 + 4 2 ?

Pojasnite svoj odgovor.

2 . Navedite primer izraza za dve števili:

1) znesek; 2) razlika; 3) delo; 4) delnice; 5) stopnja.

3 . Pravilno je, da je vrednost številskega izraza: 1) črka; 2) beseda; 3) ponudba; 4) sam številski izraz; 5) število, ki je bilo pridobljeno z izvedbo dejanja v danem izrazu za eno dejanje; 6) število, ki je bilo pridobljeno s pravilno izvedbo dejanja v danem izrazu za eno dejanje; 7) število, ki je bilo pridobljeno s pravilno izvedbo enega dejanja v danem izrazu za več dejanj; 8) število, ki je bilo pridobljeno s pravilnim izvajanjem vseh dejanj v izvirnem izrazu za več dejanj?

4 . V kakšnem vrstnem redu je treba izvesti dejanja v številskem izrazu, ki vsebuje dejanja: 1) prve stopnje; 2) druga stopnja; 3) prva in druga stopnja; 4) tretja stopnja; 5) druge in tretje stopnje; 6) vse tri stopnje?

5 . Pravilno je, da oklepaji v izrazu: 1) ne spremenijo vrstnega reda izvajanja dejanj; 2) spremenite vrstni red dejanj?

6 . Navedite primere številskih izrazov, ki: 1) so smiselni; 2) nima smisla.

7 . Res je, da izraz nima smisla:

1)5 - 0; 3)5 ∙ 0; 5)5 - (3 - 3); 7)5 ∙ (3 - 3);

2)5 + 0; 4)5: 0; 6)5 + (3 - 3); 8)5: (3 - 3)?

8 . Vrednost katerega izraza je število 2:

9 . Vrednost katerega izraza je število 5:

2) (4 2 + 9) : 5?

10 . Poimenujte vrstni red dejanj za izračun vrednosti številskega izraza 5 + 2 ∙ 4 - 18: 3 2. Poiščite pomen izraza.

11 . Dana sta števili 2,5 in 4. Sestavite številski izraz, ki ju je:

1) znesek; 2) razlika; 3) delo; 4) delnice. Koliko številskih izrazov lahko dobite? Poišči pomen teh izrazov.

12 . Dani števili 2 in 3. Zapiši izraze za dvig enega števila na potenco drugega. Koliko številskih izrazov lahko dobite? Poišči pomen teh izrazov.

13 . Dana sta števili 5 in 2. Sestavite številski izraz, ki je: 1) vsota števil; 2) razlika v številkah; 3) produkt števil; 4) deleži številk; 5) stopnja, do katere se eno število dvigne na stopnjo drugega. Poišči pomen teh izrazov.

14 . Poiščite pomen izraza:

2) 14,275 + 10,8;

4) 84,6 - 12,49;

5) 12,3 ∙ 5,8;

6) 0,28 ∙ 0,125;

Kakšna so pravila za izvajanje dejanj z decimalke si ga uporabil?

15 . Poiščite pomen izraza:

1) 42,5 + 12,52;

2) 34,6 - 15,54;

3) 2,8 ∙ 0,15;

16 . Sledite tem korakom:

Kakšna so pravila za izvajanje dejanj z navadni ulomki si ga uporabil?

17 . Sledite tem korakom:

4) 5 : 7 s_1.files/image011.png" alt="7klas_1.files/image004.gif" width="10" height="42" />.!}

18 . Izračunajte:

Formulirajte pravilo za dvig števila a na potenco n, ki ste ga uporabili.

19 . Izračunajte:

20 . Izračunajte:

1) -45,2 + 12,15;

4) -2,5 ∙ 1,2;

5) -2,8 ∙ (-);

6) – 14 : (-43).

Oblikujte pravila za izvajanje dejanj z racionalna števila ki ste jih uporabili.

21 . Izračunajte:

1)-14,7 + 10,15;

22 . Oklepaji bodo spremenili vrstni red dejanj v izrazu 20 + 5 ∙ 2 3 - 6: 2, če so urejeni takole:

1) (20 + 5) ∙ 2 3 - 6: 2;

2) 20 + (5 ∙ 2 3 - 6) : 2;

3) (20 + 5 ∙ 2 3) - 6: 2;

4) 20 + 5 ∙ (2 3 - 6: 2)?

Pojasnite svoj odgovor.

23 . V kakšnem vrstnem redu naj se izvajajo dejanja v številskem izrazu z oklepaji, ki vsebuje dejanja: 1) prvega in drugega koraka; 2) druge in tretje stopnje; 3) vse tri diplome? Koliko primerov je treba obravnavati? Navedite primere.

24

1) zmnožek vsote števil 3,5 in -4,5 ter števila 42;

2) razlika števila 4,67 in zmnožka števil 2,18 in 0,5;

3) vsoto kvadrata števila 3 in števila 5;

4) razlika med kocko števila 4 in številom -0,1;

5) zmnožek števila 3 in kvadrata števila;

6) ulomek vsote števil 3,2 in števila 0,5.

25 . Zapišite ga kot izraz in poiščite njegovo vrednost:

1) zmnožek števila -2,5 in vsote števil 34,8 in -2,8;

2) razlika med kvadratom števila 1,2 in kubom števila 4;

3) vsota števila 5 in količnika števil 5 in 7;

4) ulomek števila 2,5 in zmnožek števil 1 in .

26 . Preverite, ali je izraz smiseln:

1) 2,5 - (1,4 - 7 ∙ 0,2);

3) 5 ∙ 2,04 +

4) 2 : (17,5 – 8 ∙ 2)

Ali morate narediti vse korake? Pojasnite svoj odgovor.

27 . Ali je izraz smiseln:

2) 12 + 28: (15 ∙ 0,2 - 3)?

28

29 . Sestavite številski izraz, katerega vrednost je:

30 . Poiščite pomen izraza:

1) 0,12 ∙ 10 + 2,4 ∙ 5 ∙ 12 ∙ 9: 1,8;

2) (15 ∙ 0,012 + 15: 10 2) : 0,66 - 1,8 2 ;

4) (3,4 + 5,1) ∙ 1 + (1 – 2 ) : .

31 . Poiščite pomen izraza:

1) 2,5 ∙ 2 3 + 7,5 ∙ (0,04 + 1,62) - 1,8: 90;

2) (4 – 3 ) : 1 + 4 ∙ (- ) + 2,5.

32 . Sledite tem korakom:

1) 6 - 5 : 4 + ∙ + : ;

2) – 3,6;

3) 1,2: (0,171: 0,9 - 0,028 ∙ 2,5) + 0,8 ∙ (3 + 1 – 3 ) - 0,075: 3: 400;

Algebraični izrazi začeti študirati v 7. razredu. Imajo številne lastnosti in se uporabljajo pri reševanju problemov. Oglejmo si to temo podrobneje in razmislimo o primeru reševanja problema.

Opredelitev pojma

Kateri izrazi se imenujejo algebrski? To je matematični zapis, sestavljen iz številk, črk in aritmetičnih simbolov. Prisotnost črk je glavna razlika med numeričnimi in algebrskimi izrazi. Primeri:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Črka v algebraičnih izrazih označuje število. Zato se imenuje spremenljivka – v prvem primeru je to črka a, v drugem b, v tretjem pa c. Imenuje se tudi sam algebraični izraz izraz s spremenljivko.

Vrednost izraza

Pomen algebraičnega izraza je število, dobljeno kot rezultat izvajanja vseh aritmetičnih operacij, navedenih v tem izrazu. Toda, da bi ga dobili, je treba črke zamenjati s številkami. Zato v primerih vedno navedejo, katera številka ustreza črki. Poglejmo, kako najdemo vrednost izraza 8a-14*(5-a), če je a=3.

Zamenjajmo črko a s številko 3 in dobimo naslednji vnos: 8*3-14*(5-3).

Tako kot v številskih izrazih se rešitev algebraičnega izraza izvede v skladu s pravili za izvajanje aritmetičnih operacij. Rešimo vse po vrsti.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Tako je vrednost izraza 8a-14*(5-a) pri a=3 enaka -4.

Vrednost spremenljivke se imenuje veljavna, če je izraz z njo smiseln, to pomeni, da je mogoče najti njeno rešitev.

Primer veljavne spremenljivke za izraz 5:2a je število 1. Če ga nadomestimo v izraz, dobimo 5:2*1=2,5.

Neveljavna spremenljivka za ta izraz je 0. Če v izraz vstavimo ničlo, dobimo 5:2*0, to je 5:0. Ne morete deliti z nič, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Izrazi identitete

Če sta dva izraza enaka za katero koli vrednost svojih sestavnih spremenljivk, se pokličeta enaka.
Primer enakih izrazov :
4(a+c) in 4a+4c.
Ne glede na vrednosti, ki jih imata črki a in c, bosta izraza vedno enaka. Vsak izraz je mogoče nadomestiti z drugim, ki mu je enak. Ta proces se imenuje transformacija identitete.

Primer transformacije identitete .
4*(5a+14c) – ta izraz lahko z uporabo nadomestimo z enakim matematični zakon množenje. Če želite število pomnožiti z vsoto dveh števil, morate to število pomnožiti z vsakim členom in rezultate sešteti.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a+64s.

Tako je izraz 4*(5a+14c) enak 20a+64c.

Število, ki se pojavi pred črkovno spremenljivko v algebraičnem izrazu, se imenuje koeficient. Koeficient in spremenljivka sta množitelja.

Reševanje problemov

Algebraični izrazi se uporabljajo za reševanje problemov in enačb.
Razmislimo o problemu. Petja je izmislila številko. Da bi njegov sošolec Saša uganil, mu je Petya rekel: najprej sem številu dodal 7, nato od tega odštel 5 in pomnožil z 2. Kot rezultat sem dobil številko 28. Katero številko sem uganil?

Če želite rešiti težavo, morate skrito številko označiti s črko a in nato z njo izvesti vsa navedena dejanja.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Zdaj pa rešimo nastalo enačbo.

Petja si je zaželela številko 12.

Kaj smo se naučili?

Algebraični izraz je zapis, sestavljen iz črk, številk in aritmetičnih simbolov. Vsak izraz ima vrednost, ki jo najdemo z izvedbo vseh aritmetičnih operacij v izrazu. Črko v algebraičnem izrazu imenujemo spremenljivka, število pred njo pa koeficient. Algebraični izrazi se uporabljajo za reševanje problemov.

Vnos, ki je sestavljen iz številk, znakov in oklepajev ter ima tudi pomen, imenujemo numerični izraz.

Na primer naslednji vnosi:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

bodo številski izrazi. Treba je razumeti, da bo ena številka tudi številski izraz. V našem primeru je to številka 13.

In na primer naslednje vnose

• 100 - *9,
• /32)343

ne bodo številski izrazi, saj so brez pomena in so preprosto niz številk in znakov.

Vrednost številskega izraza

Ker so v številskih izrazih predznaki tudi predznaki računskih operacij, lahko izračunamo vrednost številskega izraza. Če želite to narediti, morate slediti tem korakom.

na primer

(100-32)/17 = 4, kar pomeni, da bo za izraz (100-32)/17 vrednost tega številskega izraza številka 4.

2*4+7=15 bo število 15 vrednost številskega izraza 2*4+7.

Pogosto zaradi jedrnatosti vnosi ne napišejo celotne vrednosti številskega izraza, ampak preprosto napišejo "vrednost izraza", medtem ko izpustijo besedo "številsko".

Številčna enakost

Če dva številska izraza zapišemo z enakim znakom, potem ta izraza tvorita številsko enakost. Na primer, izraz 2*4+7=15 je številska enakost.

Kot je navedeno zgoraj, lahko številski izrazi uporabljajo oklepaje. Kot že veste, oklepaji vplivajo na vrstni red dejanj.

Na splošno so vsi ukrepi razdeljeni na več stopenj.

• Dejanja prve stopnje: seštevanje in odštevanje.
• Operacije druge stopnje: množenje in deljenje.
• Dejanja tretje stopnje so kvadriranje in kubiranje.

Pravila za izračun vrednosti številskih izrazov

Pri izračunu vrednosti številskih izrazov je treba upoštevati naslednja pravila.

• 1. Če izraz nima oklepajev, potem morate izvesti dejanja, začenši z najvišjih ravni: tretja stopnja, druga stopnja in prva stopnja. Če obstaja več dejanj iste stopnje, se izvajajo v vrstnem redu, v katerem so zapisana, to je od leve proti desni.
• 2. Če izraz vsebuje oklepaje, se najprej izvedejo dejanja v oklepajih in šele nato vsa ostala dejanja v običajnem vrstnem redu. Pri izvajanju dejanj v oklepajih, če jih je več, uporabite vrstni red, opisan v 1. odstavku.
• 3. Če je izraz ulomek, se najprej izračunajo vrednosti v števcu in imenovalcu, nato pa se števec deli z imenovalcem.
• 4. Če izraz vsebuje ugnezdene oklepaje, je treba dejanja izvesti iz notranjih oklepajev.

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite račun zase ( račun) Google in se prijavite: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

In spet v pozlačenih topolih, In šola je kot ladja na pomolu, kjer učitelji čakajo učence, da začnejo novo življenje. Naj sreča potrka na vrata, hitro jih odprite na široko. Življenjska pot je v skrivnosti pokrita, A tako lepo je na tem svetu! In naj bo v oknu vedno svetloba, mamin nasmeh s praga. Naj bo veliko dobrih let in življenje je enostavno cesta!

O matematiki se govori, da spravlja um v red. zato dobre besede Ljudje pogosto govorijo o njej.

S = v t a b = b a

Babilon Egipt

Pred približno 4000 leti so v Babilonu in Egiptu znanstveniki že znali komponirati linearne enačbe, s pomočjo katerega so reševali najrazličnejše probleme v geodetski, gradbeni in vojaški zadevi. Britanski muzej hrani problem iz Rhindovega papirusa (imenovali so ga tudi Ahmesov papirus)

Britanski muzej hrani nalogo iz Rhindovega papirusa (imenovali so ga tudi Ahmesov papirus) Poišči število, če je znano, da če mu prišteješ 2/3 in od dobljene vsote odšteješ njegovo tretjino, dobiš število 10. .

"Hisab Al-jabr Wal-mukabala" ("Metoda obnove in nasprotja") - to je bila prva knjiga o algebri. Al-jabr Pri reševanju enačbe, Če v enem delu, Ni pomembno, v katerem, naletimo na negativen člen, Oba dela primerjamo s tem členom. Dali bomo enakopravnega člana, le z znakom drugim, - In našli bomo rezultat, ki ga želimo! Val-mukabala Nato pogledamo enačbo, Ali je mogoče narediti zasedbo, Če so izrazi podobni, Jih je priročno primerjati. Če od njih odštejemo enak člen, jih privedemo do ena.

Algebra enačba številka identiteta funkcija Algebra, ki jo bomo preučevali, daje človeku možnost ne samo izvajati različne izračune, ampak ga tudi uči, da to stori čim hitreje in racionalno.

Učna tema: »Številski izrazi« Ponoviti in poglobiti sposobnost učencev za iskanje pomenov številskih izrazov; Ne pozabite, da izraz, ki vsebuje dejanje deljenje z nič, nima pomena; Razviti kognitivni interes učencev za učenje novega predmeta. Cilji lekcije:

ustno Izračunaj: 6 7 10 80 289 72 8 5 8100 170

Zapis, sestavljen iz števil z uporabo aritmetičnih operacij (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, potenciranje), imenujemo številski (aritmetični) izraz. 2 2 0 Vrednost številskega izraza je število, ki ga dobimo kot rezultat izvajanja dejanj, navedenih v številskem izrazu. Preučite temo

Dva številska izraza, povezana z znakom »=«, tvorita številsko enakost. Če so vrednosti leve in desni delištevilčna enakost sovpada, potem se enakost imenuje prava, v drugače– nezvest. res napačno Preučite temo

Če je v danem izrazu na neki stopnji izračuna potrebno deliti z nič, potem ta izraz nima smisla. Preučite temo

Problem Kiosk #1 Ugotovite, kateri od naslednjih izrazov je smiseln in kateri ne. Za tiste, ki so smiselni, poiščite števila, ki so jim enaka. a) b) c) nima smisla -3/7 54/95

Problemski kiosk št. 1 (prva, druga vrstica), št. 3, št. 4 (e - h), št. 5, št. 6 (prva, tretja vrstica), št. 7 (a, b), št. 13

Domača naloga P.1 (preučiti, spoznati definicije), št. 2, št. 4 (a – d), št. 6 (b, d, h)

Povzetek lekcije O katerih izrazih smo se danes pogovarjali? Kateri izraz se imenuje številski izraz? Kakšna je vrednost številskega izraza? Kaj je številčna enakost? Katere vrste enakosti poznate? Kdaj številski izraz nima smisla?

Hvala za lekcijo, otroci. Ustvarjalni uspeh Vam v novem šolskem letu!