Oscilacije na vzmetni formuli. Brezplačne vibracije

Brezplačne vibracije so storjeni pod vplivom notranje sile sistem potem, ko je bil sistem odstranjen iz ravnotežnega položaja.

Da bi proste vibracije se pojavljajo po harmoničnem zakonu, je potrebno, da je sila, ki teži k vrnitvi telesa v ravnotežni položaj, sorazmerna z odmikom telesa iz ravnotežnega položaja in usmerjena v smer, nasprotno od odmika (glej §2.1 ):

Kakšna druga moč fizična narava, ki izpolnjujejo ta pogoj, se imenujejo kvazielastičen .

Torej obremenitev neke mase m, pritrjen na ojačitveno vzmet k, katerih drugi konec je fiksno pritrjen (slika 2.2.1), predstavljajo sistem, ki je sposoben izvajati prosta harmonična nihanja brez trenja. Obremenitev vzmeti se imenuje linearna harmonika oscilator.

Krožna frekvenca ω 0 proste vibracije obremenitev vzmeti je določena z drugim Newtonovim zakonom:

Ko je sistem vzmetne obremenitve nameščen vodoravno, se sila gravitacije, ki deluje na obremenitev, kompenzira z reakcijsko silo podpore. Če je breme obešeno na vzmet, je sila težnosti usmerjena vzdolž črte gibanja bremena. V ravnotežnem položaju se vzmet raztegne za nekaj x 0 enako

Zato lahko drugi Newtonov zakon za obremenitev vzmeti zapišemo kot

Enačba (*) se imenuje enačba prostih nihanj . Opozoriti je treba, da fizikalne lastnosti nihajni sistem določimo samo lastno frekvenco nihanj ω 0 ali periodo T . Parametri nihajnega procesa, kot je amplituda x m in začetna fazaφ 0 so določene z načinom, na katerega je bil sistem spravljen iz ravnovesja začetni trenutekčas.

Če je bilo na primer breme premaknjeno iz ravnotežnega položaja za razdaljo Δ l in nato v določenem trenutku t= 0 sprosti brez začetne hitrosti, nato x m = Δ l, φ 0 = 0.

Če je obremenitev, ki je bila v ravnotežnem položaju, dobila začetno hitrost ± υ 0 s pomočjo ostrega potiska, potem,

Torej, amplituda x m prostih nihanj in njegova začetna faza φ 0 začetni pogoji .

Obstaja veliko vrst mehanskih nihajnih sistemov, ki uporabljajo sile elastične deformacije. Na sl. Slika 2.2.2 prikazuje kotni analog linearnega harmoničnega oscilatorja. Vodoravno nameščen disk visi na elastični niti, pritrjeni na njegovo središče mase. Ko se disk zavrti za kot θ, se pojavi moment sile M kontrola elastične torzijske deformacije:

kje jaz = jaz C je vztrajnostni moment diska glede na os, ki poteka skozi središče mase, ε je kotni pospešek.

Po analogiji z obremenitvijo vzmeti lahko dobite:

Brezplačne vibracije. Matematično nihalo

Matematično nihalo imenovano majhno telo, obešeno na tanko neraztegljivo nit, katere masa je v primerjavi z maso telesa zanemarljiva. V ravnotežnem položaju, ko nihalo visi navpično, je sila težnosti uravnotežena z natezno silo niti. Ko nihalo odstopi od ravnotežnega položaja za določen kot φ, se pojavi tangencialna komponenta gravitacije. F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus v tej formuli pomeni, da je tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala.

Če označimo z x linearni premik nihala iz ravnotežnega položaja vzdolž loka kroga polmera l, potem bo njegov kotni premik enak φ = x / l. Newtonov drugi zakon, zapisan za projekcije vektorjev pospeška in sile na smer tangente, daje:

To razmerje kaže, da je matematično nihalo kompleks nelinearno sistem, saj sila, ki teži k vrnitvi nihala v ravnotežni položaj, ni sorazmerna s premikom x, A

Samo v primeru majhna nihanja, ko približno ki ga je mogoče nadomestiti z matematičnim nihalom, je harmonični oscilator, to je sistem, ki lahko izvaja harmonična nihanja. V praksi ta približek velja za kote reda 15-20°; v tem primeru se vrednost razlikuje od največ 2 %. Nihanja nihala pri velikih amplitudah niso harmonična.

Za manjše tresljaje matematično nihalo Newtonov drugi zakon je zapisan kot

Ta formula izraža lastna frekvenca majhnih nihanj matematičnega nihala .

torej

Vsako telo, nameščeno na vodoravni vrtilni osi, lahko prosto niha v gravitacijskem polju in je zato tudi nihalo. Takšno nihalo običajno imenujemo fizično (slika 2.3.2). Od matematičnega se razlikuje le po porazdelitvi mas. V položaju stabilno ravnotežje središče mase C fizično nihalo se nahaja pod vrtilno osjo O na navpičnici, ki poteka skozi os. Ko se nihalo odkloni za kot φ, nastane gravitacijski moment, ki teži k vrnitvi nihala v ravnotežni položaj:

in Newtonov drugi zakon za fizično nihalo ima obliko (glej §1.23)

Tukaj ω 0 - lastna frekvenca majhnih nihanj fizičnega nihala .

torej

Zato lahko enačbo, ki izraža drugi Newtonov zakon za fizično nihalo, zapišemo v obliki

Končno za krožno frekvenco ω 0 prostih nihanj fizikalnega nihala dobimo naslednji izraz:

Pretvorbe energije med prostimi mehanskimi nihanji

Ko je prosto mehanske vibracije kinetična in potencialna energija se periodično spreminjata. Pri največjem odstopanju telesa od ravnotežnega položaja njegova hitrost in s tem kinetična energija izničita. V tem položaju potencialna energija nihajoče telo doseže največja vrednost. Za obremenitev vzmeti je potencialna energija energija prožne deformacije vzmeti. Za matematično nihalo je to energija v gravitacijskem polju Zemlje.

Ko gre telo pri gibanju skozi ravnotežni položaj, je njegova hitrost največja. Telo prekorači ravnotežni položaj po vztrajnostnem zakonu. V tem trenutku ima največjo kinetično in najmanjšo potencialno energijo. Povečanje kinetična energija nastane zaradi zmanjšanja potencialne energije. pri nadaljnje gibanje potencialna energija začne naraščati zaradi zmanjšanja kinetične energije itd.

Torej, ko harmonične vibracije Obstaja periodična transformacija kinetične energije v potencialno energijo in obratno.

Če v nihajnem sistemu ni trenja, ostane celotna mehanska energija med prostim nihanjem nespremenjena.

Za vzmetno obremenitev(glej §2.2):

IN realne razmere vsak nihajni sistem je pod vplivom sil trenja (upora). Še več, del mehanska energija spremeni v notranjo energijo toplotno gibanje atomi in molekule ter vibracije postanejo bledenje (slika 2.4.2).

Hitrost upadanja vibracij je odvisna od velikosti sil trenja. Časovni interval τ, v katerem se amplituda nihanj zmanjšuje e≈ 2,7-krat, imenovano čas razpadanja .

Frekvenca prostih nihanj je odvisna od hitrosti upadanja nihanj. Ko se sile trenja povečujejo, se lastna frekvenca zmanjšuje. Sprememba lastne frekvence pa postane opazna šele pri dovolj velikih silah trenja, ko lastna nihanja hitro zamrejo.

Pomembna značilnost nihajnega sistema, ki izvaja prosta dušena nihanja, je faktor kakovosti Q. Ta parameter je definiran kot število n skupna nihanja, ki jih izvede sistem v času dušenja τ, pomnožena s π:

Tako faktor kakovosti označuje relativno izgubo energije v nihajnem sistemu zaradi prisotnosti trenja v časovnem intervalu, ki je enak eni nihajni periodi.

Prisilne vibracije. Resonanca. Samonihanja

Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodične sile prisiljeni.

Zunanja sila opravlja pozitivno delo in zagotavlja pretok energije v nihajni sistem. Ne dopušča, da bi vibracije izumrle, kljub delovanju sil trenja.

Periodična zunanja sila se lahko skozi čas spreminja po različnih zakonitostih. Posebej zanimiv je primer, ko zunanja sila, ki se spreminja po harmoničnem zakonu s frekvenco ω, deluje na nihajni sistem, ki je sposoben izvajati lastna nihanja pri določeni frekvenci ω 0.

Če se prosta nihanja pojavljajo pri frekvenci ω 0, ki je določena s parametri sistema, se enakomerna prisilna nihanja vedno pojavijo pri frekvenca ω zunanja sila.

Potem ko zunanja sila začne delovati na nihajni sistem, nekaj časa Δ t vzpostaviti prisilna nihanja. Čas vzpostavitve je po velikosti enak času dušenja τ prostih nihanj v oscilacijskem sistemu.

V začetnem trenutku se v oscilacijskem sistemu vzbujata oba procesa - prisilna nihanja pri frekvenci ω in prosta nihanja pri lastni frekvenci ω 0. Toda proste vibracije so dušene zaradi neizogibne prisotnosti tornih sil. Zato po določenem času ostanejo v oscilacijskem sistemu le stacionarna nihanja na frekvenci ω zunanje gonilne sile.

Vzemimo za primer prisilna nihanja telesa na vzmeti (slika 2.5.1). Na prosti konec vzmeti deluje zunanja sila. Prosti (levi na sliki 2.5.1) konec vzmeti prisili, da se premika po zakonu

Če je levi konec vzmeti zamaknjen za razdaljo l, in desno - na daljavo x od prvotnega položaja, ko vzmet ni bila deformirana, potem raztezek vzmeti Δ l je enako:

V tej enačbi je sila, ki deluje na telo, predstavljena z dvema členoma. Prvi člen na desni strani je elastična sila, ki teži k vrnitvi telesa v ravnotežni položaj ( x= 0). Drugi izraz je zunanji periodični učinek na telo. Ta izraz se imenuje prisilna sila.

Enačbi, ki izraža drugi Newtonov zakon za telo na vzmeti ob prisotnosti zunanjega periodičnega vpliva, je mogoče dati strog matematična oblika, če upoštevamo povezavo med pospeškom telesa in njegovo koordinato: Potem bo zapisano v obrazcu

Enačba (**) ne upošteva delovanja sil trenja. Za razliko od enačbe prostih nihanj(*) (glej §2.2) enačba prisilnega nihanja(**) vsebuje dve frekvenci - frekvenco ω 0 prostih nihanj in frekvenco ω pogonske sile.

Stacionarna prisilna nihanja bremena na vzmeti se pojavljajo s frekvenco zunanji vpliv v zakonu

Amplituda prisilnih nihanj x m in začetna faza θ sta odvisna od razmerja frekvenc ω 0 in ω ter od amplitude l m zunanja sila.

Pri zelo nizkih frekvencah, ko je ω<< ω 0 , движение тела массой m, pritrjen na desni konec vzmeti, ponavlja gibanje levega konca vzmeti. Ob istem času x(t) = l(t), vzmet pa ostane praktično nedeformirana. Zunanja sila, ki deluje na levi konec vzmeti, ne opravi nobenega dela, saj je modul te sile pri ω<< ω 0 стремится к нулю.

Če se frekvenca ω zunanje sile približa lastni frekvenci ω 0, pride do močnega povečanja amplitude prisilnih nihanj. Ta pojav se imenuje resonanca . Amplitudna odvisnost x m prisilnih nihanj iz frekvence ω pogonske sile imenujemo resonančna karakteristika oz resonančna krivulja(slika 2.5.2).

Pri resonanci amplituda x m nihanj bremena je lahko večkrat večja od amplitude l m nihanja prostega (levega) konca vzmeti, ki jih povzroča zunanji vpliv. V odsotnosti trenja bi morala amplituda prisilnih nihanj med resonanco neomejeno naraščati. V realnih pogojih je amplituda stacionarnih prisilnih nihanj določena s pogojem: delo zunanje sile v obdobju nihanja mora biti enako izgubi mehanske energije v istem času zaradi trenja. Manj ko je trenja (tj. višji je faktor kakovosti Q nihajni sistem), večja je amplituda prisilnih nihanj pri resonanci.

V oscilacijskih sistemih z ne zelo visokim faktorjem kakovosti (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Pojav resonance lahko povzroči uničenje mostov, zgradb in drugih struktur, če lastne frekvence njihovih nihanj sovpadajo s frekvenco periodično delujoče sile, ki nastane na primer zaradi vrtenja neuravnoteženega motorja.

Prisilne vibracije so nedušen nihanja. Neizogibne izgube energije zaradi trenja se kompenzirajo z dovajanjem energije iz zunanjega vira periodično delujoče sile. Obstajajo sistemi, v katerih neudušena nihanja nastanejo ne zaradi občasnih zunanjih vplivov, temveč kot posledica sposobnosti takih sistemov, da uravnavajo dobavo energije iz stalnega vira. Takšni sistemi se imenujejo samonihajoče, in proces nedušenih nihanj v takih sistemih je samonihanja . V samonihajnem sistemu lahko ločimo tri značilne elemente - nihajni sistem, vir energije in povratno napravo med nihajnim sistemom in virom. Kot nihajni sistem lahko uporabimo vsak mehanski sistem, ki je sposoben izvajati svoja dušena nihanja (na primer nihalo stenske ure).

Vir energije je lahko deformacijska energija vzmeti ali potencialna energija bremena v gravitacijskem polju. Povratna naprava je mehanizem, s katerim samonihajni sistem uravnava pretok energije iz vira. Na sl. 2.5.3 prikazuje diagram interakcije različnih elementov samooscilirajočega sistema.

Primer mehanskega samonihajnega sistema je urni mehanizem z sidro napredek (slika 2.5.4). Tekalno kolo s poševnimi zobmi je togo pritrjeno na zobati boben, skozi katerega je vržena veriga z utežjo. Na zgornjem koncu je nihalo pritrjeno sidro(sidro) z dvema ploščama iz trdnega materiala, upognjenima v krožnem loku s središčem na osi nihala. Pri ročnih urah utež nadomešča vzmet, nihalo pa balanser – ročno kolo, pritrjeno na spiralno vzmet. Balanser izvaja torzijsko nihanje okoli svoje osi. Nihajni sistem v uri je nihalo ali balanser.

Vir energije je dvignjena utež ali navita vzmet. Naprava, ki se uporablja za zagotavljanje povratne informacije, je sidro, ki omogoča, da tekalno kolo zavrti en zob v enem polciklu. Povratna informacija je zagotovljena z interakcijo sidra s tekalnim kolesom. Z vsakim nihajem nihala zob tekalnega kolesa potisne vilice sidra v smeri gibanja nihala in nanj prenese določen del energije, ki kompenzira izgube energije zaradi trenja. Tako se potencialna energija uteži (ali zvite vzmeti) postopoma, v ločenih delih, prenaša na nihalo.

Mehanski samonihajni sistemi so zelo razširjeni v življenju okoli nas in v tehnologiji. Lastna nihanja nastajajo v parnih strojih, motorjih z notranjim izgorevanjem, električnih zvoncih, strunah glasbil z loki, zračnih stebrih v pihalih, glasilkah pri govorjenju ali petju itd.

Slika 2.5.4. Urni mehanizem z nihalom.

SEM ZA,
Daljnovzhodna državna medregionalna industrijska in ekonomska šola, Khabarovsk

Vibracije telesa na vzmeti

Izobraževalni cilji: oblikovanje ideje o procesu znanstvenega znanja, organizaciji in sistematizaciji znanja o temi; razvijanje ideje o odvisnosti obdobja nihanja od telesne teže in togosti vzmeti; razvoj eksperimentalnih sposobnosti, raziskovalnih sposobnosti.

Oprema: magnetofon, računalniki, program ali (razdelek "Mehanske vibracije in valovi", "Nihanje telesa na vzmeti"), § 31 učbenika.

Napredek lekcije

1. Začetek pouka

Učitelj (začne lekcijo s pesmijo B. Pasternaka: »V vsem želim priti do samega bistva<...>//Naredite odkritje”). Kaj vam pomenijo besede "odkril sem"? ( Posluša odgovore.) Ali sem vas prav razumel: če človek s svojim trdim delom in vztrajnostjo v nečem doseže resnico, potem to pomeni, da je naredil odkritje? Danes bomo naredili tudi majhna, a neodvisna odkritja. Torej, tema naše lekcije je "Vibracije telesa na vzmeti."

2. Ponavljanje in posploševanje

učiteljica. Najprej skupaj občudujmo naše globoko znanje o temi mehanskih vibracij. Manjkajoče leve strani formul zapišite na kartice ( en učenec opravi nalogo pri tabli):

(Razred preveri svoje zapiske, vsak si dodeli točke na listu za samokontrolo glede na število formul, ki jih je pravilno napisal, in število formul, ki so bile najdene z napakami.)

Zdaj pa izvlecimo nekaj dragocenega iz predpomnilnika. Tukaj je tabela s fizikalnimi količinami, njihovimi enotami in števili. Postavil bom vprašanje, ti pa prečrtaj kvadratek s pravilnim odgovorom:

Časovni interval, v katerem pride do enega popolnega nihanja Največji odklon nihajne količine od ravnotežnega položaja Število nihajev na časovno enoto Enota nihajne dobe Enota frekvence nihanja Enota amplitude nihanja V katerem času je nihalo končalo n= 20 nihajev, če je nihajna doba 0,5 s? Kakšna je frekvenca teh nihanj? Telo niha vzdolž osi X. Njegova koordinata se spreminja s časom v skladu z zakonom x= 0,2cos0,63 t(SI). Kakšna je amplituda nihanja telesa? Kakšna je ciklična frekvenca teh nihanj? Zelo mehka velika vzmet se skrči v 2 sekundah od največjega raztezanja do prvotnega stanja. Kolikšna je nihajna doba vzmeti? Če se dolžina vzmeti spremeni za 0,5 m, kakšno razdaljo prepotuje ohlapni konec vzmeti v času nihanja?

(Pravilni odgovori "narišejo" številko "5" na kartici. Fantje so na list samokontrole postavili oznako - 1 točka za pravilen odgovor.)

Osnova katere koli veje fizike je opazovanje ali poskus. Danes vas vabim k raziskavi mehanskih vibracij. Razdelite se v štiri skupine po želji. Vsaka skupina vzame kartonček z nalogo in jo opravi, nato pa pove, kaj je delala in kaj je prejela.

Naloga št. 1. Naredite sekundno nihalo (nihajna doba 1 s). Naprave in materiali: nit, utež, ravnilo, štoparica.

Naloga št. 2. Določite nihajno dobo meter dolgega nihala. Čemu bo enako, če dolžino niti skrajšamo za štirikrat? Naprave in materiali: meter nihalo, štoparica.

Naloga št. 3. Določite periodo, frekvenco in ciklično frekvenco nihanja nihala. Zapišite enačbo nihanja tega nihala. Naprave in materiali:žoga, ravnilo, štoparica, nit.

Naloga št. 4. V praksi določite gravitacijski pospešek za določeno območje z uporabo nihala z vrvico. Naprave in materiali: nit, žoga, ravnilo, štoparica.

(Učitelj oceni delo skupin. Fantje so postavili točke na list za samokontrolo: 1 točka za izvedbo poskusa, 1 točka za obrambo.)

3. Učenje nove snovi

učiteljica. Zdaj pa preidimo na temo naše lekcije, "Nihanje telesa na vzmeti." Poskusimo ugotoviti odvisnost obdobja prostih nihanj od mase bremena, togosti vzmeti in amplitude nihanj. ( Fantje so po želji razdeljeni v pare, prejmejo kartice, med računalniškim eksperimentom ugotovijo te odvisnosti in na kartice zapišejo rezultate in zaključke. .)

Ugotovite odvisnost obdobja prostih nihanj od mase in togosti vzmeti

Izpolni tabelo

Naredite zaključek: če povečate togost vzmeti, se obdobje: zmanjša.

Naredite zaključek: če povečate amplitudo nihanj, se obdobje: ne spremeni.

Zapišite formulo za periodo prostih nihanj

Uporabite § 38 učbenika V.A. Kasjanova"Fizika-10":

Naredi zaključek:čas prostega nihanja vzmetnega nihala ni odvisen od amplituda nihanj in je popolnoma določena s togostjo, maso (lastne značilnosti nihajnega sistema).

Eksperimentalno preveri odvisnost periode prostih nihanj od mase in togosti.

Pri vašem delu bi vas rad vodil z besedami A. Tolstoja: »Znanje je le znanje, ko je pridobljeno z naporom misli in ne spomina.« Vso srečo pri raziskovanju!

(Fantje vzpostavijo odvisnosti, na list samokontrole dajo 1 točko za vsako formulo.)

4. Utrjevanje, usposabljanje, razvoj veščin

učiteljica. Zdaj pa rešimo naloge na kartah in preverimo odgovor z računalniškim poskusom. Rešitev prve naloge je vredna največ 1 točko, druge 2 točki.

Naloga 1. Določite nihajno dobo vzmetnega nihala, če je masa bremena 0,5 kg in togost vzmeti 10 N/m.

Naloga 2. Napišite enačbo gibanja vzmetnega nihala x(t), Če m= 1 kg, k= 10 N/m, A= 10 cm. Določite koordinato v trenutku t= 4 s.

Preverite odgovor glede na graf, za to izberite parametre, kliknite Začetek in sledite odčitkom t.

Ustvarjalna naloga. Domislite se, oblikujte in rešite problem, izvedite računalniški eksperiment in preverite svoj odgovor. Učiteljevo oceno (do 2 točki) vpišite na list za samokontrolo.

5. Razmislek. Če povzamem

učiteljica. Naj povzamemo. Kaj je bilo glavno? Kaj je bilo zanimivo? Kaj novega ste se danes naučili? Kaj ste se naučili? ( Posluša mnenja. Fantje štejejo točke in si dajejo ocene: 24-25 točk - "3", 26-27 točk - "4", 28-29 točk - "5".)

DZ.§ 38, naloge 1, 2. Sestavite svoje naloge za bodoče študente. Svoja dela obvezno podpišite, avtorstvo bo ohranjeno. In današnjo lekcijo želim končati z besedami M. Faradaya: "Umetnost eksperimentatorja je, da zna postavljati vprašanja naravi in ​​razumeti njene odgovore." In mislim, da vam je danes uspelo. Lekcije je konec. Hvala za lekcijo. Vso srečo. Se vidimo v naslednji lekciji.

Literatura

1. Fizika v slikah 6.2. NC PHYSIKON, 1993. 1 elektron. trgovina na debelo disk (DVD-ROM); [Elektronski vir] URL: http://torrents.ru/forum/.
2. Odprta fizika 2.6: 1. del: LLC FISIKON, 1996–2005 [Elektronski vir] URL: http://physics.ru
3. Kasjanov V.A. Fizika: učbenik. za splošno izobraževanje institucije. 10 razredov M.: Bustard, 2003. str. 123–133.

Yana Vladimirovna Bocharnikova leta 1990 je diplomirala na Daljni vzhodni državni univerzi z diplomo fizičarka, učiteljica fizike, delala na Habarovskem inštitutu inženirjev železniškega prometa, nato poučevala računalništvo v predšolski vzgojni ustanovi za otroke, stare 3–7 let, poučevala fiziko v šoli , zdaj pa že 9 let na fakulteti. Zmagovalec mestnega tekmovanja "Učitelj leta-99" in tekmovanja "Učitelj leta-2005" na fakulteti, nagrajenec regionalnega tekmovanja "Učitelj leta-2005". Pri svojem delu ga vodijo besede S. Soloveichika: »Vzgajati ljudi z globokim občutkom lastne vrednosti, polne samospoštovanja in spoštovanja do drugih, ljudi, ki so sposobni izbirati, delovati neodvisno - ni Ali to ne pomeni prispevati h krepitvi in ​​blaginji države?

Vnosi študentov so tukaj označeni s sivo pisavo. – Ed.

Oglejmo si nihanje obremenitve na vzmeti, če vzmet ni deformirana preko svojih meja elastičnosti. Pokažimo, da bo taka obremenitev izvajala harmonična nihanja glede na ravnotežni položaj (slika 1.1.3). Dejansko po Hookovem zakonu stisnjena ali raztegnjena vzmet ustvari harmonično silo:

kje – koeficient togosti vzmeti, – koordinata ravnotežnega položaja, X– koordinata bremena (materialne točke) v trenutku, – odmik od ravnotežnega položaja.

Postavimo koordinatno izhodišče v ravnotežni položaj sistema. V tem primeru.

Če je vzmet raztegnjena za količino X, nato spustite v trenutku t=0, potem bo enačba gibanja bremena po drugem Newtonovem zakonu dobila obliko -kx=ma, oz , In

(1.1.6)

Ta enačba po obliki sovpada z enačbo gibanja (1.1.3) sistema, ki izvaja harmonična nihanja, njeno rešitev bomo iskali v obliki:

. (1.1.7)

Če nadomestimo (1.17) v (1.1.6), dobimo: to pomeni, da je izraz (1.1.7) rešitev enačbe (1.1.6), če

Če je bil v začetnem trenutku položaj tovora poljuben, bo enačba gibanja v obliki:

.

Razmislimo, kako se spremeni energija bremena, ki je podvrženo harmoničnim nihanjem, če ni zunanjih sil (slika 1.14). Če v tem trenutku t=0 povejte obremenitvi premik x=A, potem bo njena skupna energija postala enaka potencialni energiji deformirane vzmeti, kinetična energija je enaka nič (točka 1).

Na breme deluje sila F= -kx, ki ga teži k vrnitvi v ravnotežni položaj, zato se breme premika pospešeno in povečuje svojo hitrost ter posledično kinetično energijo. Ta sila zmanjša premik bremena X, potencialna energija bremena se zmanjša in se spremeni v kinetično energijo. Sistem obremenitev-vzmet je zaprt, zato je njegova skupna energija ohranjena, to je:

. (1.1.8)

V trenutku je obremenitev v ravnotežnem položaju (točka 2), njena potencialna energija je enaka nič, njena kinetična energija pa največja. Največjo hitrost obremenitve najdemo iz zakona o ohranjanju energije (1.1.8):

Zaradi zaloge kinetične energije breme deluje proti prožni sili – in ravnotežni položaj preide. Kinetična energija postopoma prehaja v potencialno. Ko ima obremenitev največji negativni premik – A, kinetična energija Td=0, se obremenitev ustavi in ​​se pod delovanjem prožne sile začne premikati v ravnotežni položaj F= -kx. Nadaljnje gibanje poteka na podoben način.

Nihala

Nihalo je togo telo, ki pod vplivom gravitacije niha okoli fiksne točke ali osi. Obstajata fizikalno in matematično nihalo.

Matematično nihalo je idealiziran sistem, sestavljen iz breztežne neraztegljive niti, na kateri visi masa, skoncentrirana v eni materialni točki.

Matematično nihalo je na primer krogla na dolgi tanki niti.

Za odstopanje nihala od ravnotežnega položaja je značilen kot φ , ki tvori nit z navpičnico (slika 1.15). Ko nihalo odstopi od ravnotežnega položaja, nastopi moment zunanjih sil (gravitacije): , Kje m- teža, – dolžina nihala

Ta moment teži k vrnitvi nihala v ravnotežni položaj (podobno kot kvazielastična sila) in je usmerjen nasproti odmika φ , zato je v formuli znak minus.

Enačba za dinamiko rotacijskega gibanja nihala ima obliko: Iε=,

.

Upoštevali bomo torej primer majhnih nihanj sin φ ≈φ, označujejo ,

imamo: , oz , in končno

To je enačba harmoničnih vibracij, njena rešitev:

.

Nihajna frekvenca matematičnega nihala je določena le z njegovo dolžino in gravitacijskim pospeškom in ni odvisna od mase nihala. Obdobje je:

Če nihajočega telesa ni mogoče predstaviti kot materialno točko, se nihalo imenuje fizično (slika 1.1.6). Enačbo njegovega gibanja zapišemo v obliki:

.

V primeru manjših nihanj , oz =0 , kjer . To je enačba gibanja telesa, ki izvaja harmonična nihanja. Frekvenca nihanja fizičnega nihala je odvisna od njegove mase, dolžine in vztrajnostnega momenta glede na os, ki gre skozi točko obešanja.

Označimo . Magnituda se imenuje zmanjšana dolžina fizičnega nihala. To je dolžina matematičnega nihala, katerega nihajna doba sovpada s periodo danega fizičnega nihala. Točka na ravni črti, ki povezuje točko vzmetenja s središčem mase, ki leži na razdalji določene dolžine od osi vrtenja, se imenuje središče nihanja fizičnega nihala ( O'). Če je nihalo obešeno na središče nihanja, bosta zmanjšana dolžina in perioda nihanja enaki kot v točki O. Tako imata obesna točka in nihajno središče lastnosti vzajemnosti: ko se vzmetna točka prenese v nihajno središče, prejšnja obesna točka postane novo nihajno središče.

Matematično nihalo, ki niha z enako periodo kot obravnavano fizično, se imenuje izokrono temu fizičnemu nihalu.

1.1.4. Seštevanje nihanj (utripi, Lissajousove figure). Vektorski opis dodajanja nihanj

Seštevanje enako usmerjenih nihanj lahko izvedemo z metodo vektorskega diagrama. Vsako harmonično nihanje lahko predstavimo kot vektor na naslednji način. Izberimo os X z izhodiščem v točki O(Slika 1.1.7)

Od točke O zgradimo vektor, ki tvori kot z osjo X. Naj se ta vektor vrti s kotno hitrostjo. Projekcija vektorja na os X je enako:

to pomeni, da izvaja harmonična nihanja z amplitudo A.

Oglejmo si dve harmonični oscilaciji iste smeri in enako ciklično majhne, ​​določene z vektorji in. Odmiki osi X so enaki:

dobljeni vektor ima projekcijo in predstavlja dobljeno nihanje (sl. 1.1.8), po kosinusnem izreku torej se seštevanje harmoničnih nihanj izvede s seštevanjem vektorjev.

Izvedimo seštevanje medsebojno pravokotnih nihanj. Naj snovna točka izvaja dva medsebojno pravokotna nihanja s frekvenco:

.

Sama materialna točka se bo gibala po določeni krivulji.

Iz enačbe gibanja sledi: ,

. (1.1.9)

Iz enačbe (1.1.9) lahko dobimo enačbo elipse (slika 1.1.9):

Oglejmo si posebne primere te enačbe:

1. Fazna razlika nihanja α= 0. Hkrati tiste. ali To je enačba ravne črte in nastalo nihanje poteka vzdolž te ravne črte z amplitudo (slika 1.1.10).

2. Če obstaja fazna razlika, postane enačba (1.1.9) enačba elipse, reducirane na koordinatne osi, ko se materialna točka giblje po krožnici, katere enačba je (slika 1.1.11).

3. Če frekvenci nihanja nista enaki, potem materialna točka opisuje Lissajousove figure (slika 1112).

Razmislimo o seštevanju nihanj iste smeri, katerih frekvence se med seboj malo razlikujejo. V tem primeru lahko nastalo gibanje obravnavamo kot harmonično nihanje z pulzirajočo amplitudo. Takšna nihanja imenujemo utripi.

Pustite frekvenco enega nihanja, drugega . Amplitudi obeh nihanj sta enaki in enaki A. Začetne faze so nič. V tem primeru imajo enačbe vibracij obliko:

Dodajmo te izraze:

Graf funkcije x(t) prikazano na sl. 1.1.13. Faktor spreminja veliko počasneje kot , zato lahko (1.1.10) obravnavamo kot harmonično nihanje frekvence, katere amplituda se spreminja po nekem periodičnem zakonu

V tehnologiji in svetu okoli nas imamo pogosto opravka periodično(oz skoraj periodično) procesi, ki se ponavljajo v rednih intervalih. Takšni procesi se imenujejo nihajni.

Nihanje je eden najpogostejših procesov v naravi in ​​tehniki. Krila žuželk in ptic v letu, stolpnice in visokonapetostne žice pod vplivom vetra, nihalo navite ure in avto na vzmeti med vožnjo, gladina reke skozi vse leto in temperatura človeško telo med boleznijo, zvok so nihanja gostote in tlaka zraka, radijski valovi - periodične spremembe jakosti električnega in magnetnega polja, vidna svetloba so tudi elektromagnetna nihanja, le da z nekoliko drugačnimi valovnimi dolžinami in frekvencami, potresi so nihanja tal, utrip je periodično krčenje človeške srčne mišice itd.

Vibracije so lahko mehanske, elektromagnetne, kemične, termodinamične in različne druge. Kljub takšni raznolikosti imajo vsi veliko skupnega.

Nihajni pojavi različnih fizikalnih narav so podvrženi splošnim zakonom. Na primer, tokovna nihanja v električnem krogu in nihanja matematičnega nihala lahko opišemo z istimi enačbami. Skupnost nihajnih vzorcev nam omogoča, da obravnavamo nihajne procese različnih narav z enega samega vidika. Znak nihajnega gibanja je njegov periodičnost.

Mehanske vibracije –togibi, ki se ponavljajo natančno ali približno v rednih intervalih.

Primeri preprostih nihajnih sistemov so obremenitev vzmeti (vzmetno nihalo) ali krogla na vrvici (matematično nihalo).

Med mehanskimi vibracijami se kinetična in potencialna energija periodično spreminjata.

pri največje odstopanje telesa iz njegovega ravnotežnega položaja, njegove hitrosti in torej kinetična energija gre na nič. V tem položaju potencialna energija nihajoče telo doseže največjo vrednost. Za obremenitev vzmeti je potencialna energija energija prožne deformacije vzmeti. Za matematično nihalo je to energija v gravitacijskem polju Zemlje.

Ko gre telo v svojem gibanju skozi ravnotežni položaj, njegova hitrost je največja. Telo prekorači ravnotežni položaj po vztrajnostnem zakonu. V tem trenutku je največja kinetična in najmanjša potencialna energija. Povečanje kinetične energije nastane zaradi zmanjšanja potencialne energije.

Z nadaljnjim gibanjem začne potencialna energija naraščati zaradi zmanjšanja kinetične energije itd.

Tako med harmoničnimi nihanji prihaja do periodične transformacije kinetične energije v potencialno energijo in obratno.

Če v oscilacijskem sistemu ni trenja, ostane celotna mehanska energija med mehanskimi nihanji nespremenjena.

Za vzmetno obremenitev:

V položaju največjega odklona je skupna energija nihala enaka potencialni energiji deformirane vzmeti:

Pri prehodu skozi ravnotežni položaj je skupna energija enaka kinetični energiji bremena:

Za majhna nihanja matematičnega nihala:

V položaju največjega odstopanja je skupna energija nihala enaka potencialni energiji telesa, dvignjenega na višino h:

Pri prehodu skozi ravnotežni položaj je skupna energija enaka kinetični energiji telesa:

Tukaj h m– največja višina nihala v gravitacijskem polju Zemlje, x m in υ m = ω 0 x m– največje vrednosti odstopanja nihala od ravnotežnega položaja in njegove hitrosti.

Harmonična nihanja in njihove značilnosti. Enačba harmoničnega nihanja.

Najenostavnejši tip nihajnega procesa je preprost harmonične vibracije, ki jih opisuje enačba

x = x m cos(ω t + φ 0).

Tukaj x– odmik telesa iz ravnotežnega položaja,
x m– amplituda nihanj, to je največji odmik od ravnotežnega položaja,
ω – ciklično ali krožno frekvenco obotavljanje,
t- čas.

Značilnosti nihajnega gibanja.

Odmik x – odstopanje nihajne točke od njenega ravnotežnega položaja. Merska enota je 1 meter.

Amplituda nihanja A – največje odstopanje nihajne točke od njenega ravnotežnega položaja. Merska enota je 1 meter.

Obdobje nihanjaT– se imenuje minimalni časovni interval, v katerem pride do enega popolnega nihanja. Merska enota je 1 sekunda.

T=t/N

kjer je t čas nihanja, N je število nihanj, opravljenih v tem času.

Iz grafa harmoničnih nihanj lahko določimo periodo in amplitudo nihanj:

Frekvenca nihanja ν – fizikalna količina, ki je enaka številu nihanj na časovno enoto.

ν=N/t

Frekvenca je recipročna vrednost nihajne dobe:

Pogostost nihanja ν kaže, koliko nihanj se pojavi v 1 s hertz(Hz).

Ciklična frekvenca ω– število nihanj v 2π sekundah.

Nihajna frekvenca ν je povezana z ciklična frekvenca ω in nihajno obdobje T razmerja:

Faza harmonični proces - količina pod predznakom sinus ali kosinus v enačbi harmoničnih nihanj φ = ω t + φ 0 . pri t= 0 φ = φ 0 torej φ 0 klical začetna faza.

Harmonični graf predstavlja sinusni ali kosinusni val.

V vseh treh primerih za modre krivulje je φ 0 = 0:

samo večji amplituda(x" m > x m);

rdeča krivulja se razlikuje od modre samo pomen obdobje(T" = T / 2);

rdeča krivulja se razlikuje od modre samo pomen začetna faza(veselo).

Ko telo niha vzdolž premice (osi OX) je vektor hitrosti vedno usmerjen vzdolž te premice. Hitrost gibanja telesa določa izraz

V matematiki je postopek za iskanje meje razmerja Δх/Δt pri Δ t→ 0 imenujemo izračun odvoda funkcije x(t) po času t in je označen kot x"(t).Hitrost je enaka odvodu funkcije x( t) po času t.

Za harmonični zakon gibanja x = x m cos(ω t+ φ 0) izračun odvoda vodi do naslednjega rezultata:

υ X =x"(t)= ω x m greh (ω t + φ 0)

Na podoben način se določi pospešek a x telesa med harmoničnimi nihanji. Pospešek a je enaka odvodu funkcije υ( t) po času t, ali drugi odvod funkcije x(t). Izračuni dajejo:

in x =υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x m cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x

Znak minus v tem izrazu pomeni, da je pospešek a(t) ima vedno nasprotni predznak od premika x(t), zato je po drugem Newtonovem zakonu sila, zaradi katere telo izvaja harmonična nihanja, vedno usmerjena proti ravnotežnemu položaju ( x = 0).

Slika prikazuje grafe koordinat, hitrosti in pospeška telesa, ki izvaja harmonična nihanja.

Grafi koordinat x(t), hitrosti υ(t) in pospeška a(t) telesa, ki izvaja harmonična nihanja.

Vzmetno nihalo.

Vzmetno nihaloje breme z maso m, pritrjeno na vzmet s togostjo k, katere drugi konec je fiksno pritrjen.

Naravna frekvencaω 0 prosta nihanja obremenitve vzmeti najdemo po formuli:

Pika T harmonične vibracije obremenitve vzmeti je enaka

To pomeni, da je nihajna doba vzmetnega nihala odvisna od mase bremena in togosti vzmeti.

Fizikalne lastnosti nihajnega sistema določimo le lastno frekvenco nihanj ω 0 in periodo T . Parametri nihajnega procesa, kot je amplituda x m in začetna faza φ 0 sta določena z načinom, na katerega je bil sistem spravljen iz ravnovesja v začetnem trenutku.

Matematično nihalo.

Matematično nihaloimenovano majhno telo, obešeno na tanko neraztegljivo nit, katere masa je v primerjavi z maso telesa zanemarljiva.

V ravnotežnem položaju, ko nihalo visi navpično, se sila težnosti uravnoteži z natezno silo niti N. Ko nihalo odklonimo iz ravnotežnega položaja za določen kot φ, se pojavi tangencialna komponenta sile težnosti. F τ = – mg sin φ. Znak minus v tej formuli pomeni, da je tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala.

Matematično nihalo.φ – kotni odklon nihala od ravnotežnega položaja,

x= lφ – premik nihala vzdolž loka

Lastna frekvenca majhnih nihanj matematičnega nihala je izražena s formulo:

Obdobje nihanja matematičnega nihala:

To pomeni, da je nihajna doba matematičnega nihala odvisna od dolžine niti in od pospeška prostega pada območja, kjer je nihalo nameščeno.

Proste in prisilne vibracije.

Mehanske vibracije, tako kot nihajni procesi katere koli druge fizične narave, so lahko brezplačno in prisiljeni.

Brezplačne vibracije –To so nihanja, ki nastanejo v sistemu pod vplivom notranjih sil, potem ko se sistem premakne iz stabilnega ravnotežnega položaja.

Nihanje uteži na vzmeti ali nihanje nihala je prosto nihanje.

Za nastanek prostih nihanj po harmoničnem zakonu je potrebno, da je sila, ki teži k vrnitvi telesa v ravnotežni položaj, sorazmerna z odmikom telesa iz ravnotežnega položaja in usmerjena v smer, nasprotno od odmika.

V realnih pogojih je vsak nihajni sistem pod vplivom sil trenja (upora). V tem primeru se del mehanske energije pretvori v notranjo energijo toplotnega gibanja atomov in molekul, vibracije pa postanejo bledenje.

Bledenje imenujemo nihanja, katerih amplituda se s časom zmanjšuje.

Da oscilacije ne bi zamrle, je treba sistemu zagotoviti dodatno energijo, tj. vplivati ​​na nihajni sistem s periodično silo (na primer zazibati gugalnico).

Imenujejo se nihanja, ki nastanejo pod vplivom zunanje periodično spreminjajoče se sileprisiljeni.

Zunanja sila opravlja pozitivno delo in zagotavlja pretok energije v nihajni sistem. Ne dopušča, da bi vibracije izumrle, kljub delovanju sil trenja.

Periodična zunanja sila se lahko skozi čas spreminja po različnih zakonitostih. Posebej zanimiv je primer, ko zunanja sila, ki se spreminja po harmoničnem zakonu s frekvenco ω, deluje na nihajni sistem, ki je sposoben izvajati lastna nihanja pri določeni frekvenci ω 0.

Če se prosta nihanja pojavijo pri frekvenci ω 0, ki je določena s parametri sistema, potem enakomerna prisilna nihanja vedno nastanejo pri frekvenca ω zunanja sila .

Pojav močnega povečanja amplitude prisilnih nihanj, ko frekvenca lastnih nihanj sovpada s frekvenco zunanje gonilne sile, se imenujeresonanca.

Amplitudna odvisnost x m prisilna nihanja iz frekvence ω pogonske sile imenujemo resonančna karakteristika oz resonančna krivulja.

Resonančne krivulje pri različnih stopnjah dušenja:

1 – nihajni sistem brez trenja; pri resonanci amplituda x m prisilnih nihanj neomejeno narašča;

2, 3, 4 – realne resonančne krivulje za nihajne sisteme z različnim trenjem.

V odsotnosti trenja bi morala amplituda prisilnih nihanj med resonanco neomejeno naraščati. V realnih pogojih je amplituda stacionarnih prisilnih nihanj določena s pogojem: delo zunanje sile v obdobju nihanja mora biti enako izgubi mehanske energije v istem času zaradi trenja. Manj kot je trenje, večja je amplituda prisilnih nihanj med resonanco.

Pojav resonance lahko povzroči uničenje mostov, zgradb in drugih struktur, če lastne frekvence njihovih nihanj sovpadajo s frekvenco periodično delujoče sile, ki nastane na primer zaradi vrtenja neuravnoteženega motorja.

Predmet. Nihanje bremena na vzmeti. matematične
nihalo

Namen lekcije: seznaniti študente z zakonitostmi vibracij
vzmetna in matematična nihala
Vrsta lekcije: učenje novega gradiva
Načrt lekcije
Preverjanje znanja 5 min.1. Kaj so harmonične vibracije?
2. Enačba harmoničnih nihanj.
3. Kaj je faza nihanja?
4. Grafi harmoničnih nihanj
Demonstracije
5 min.1. Prosta nihanja vzmetnega nihala.
Učenje novih stvari
material
25
min.
2. Odvisnost obdobja nihanja bremena od
vzmet iz elastičnih lastnosti vzmeti in mase
tovor
3. Proste vibracije matematike
nihalo.
4. Odvisnost nihajne dobe
matematično nihalo glede na njegovo dolžino
1. Postopek nihanja vzmetnega nihala.
2. Obdobje nihanja vzmetnega nihala.

4. Matematično nihalo.
5. Obdobje matematičnega nihanja
nihalo

Utrjevanje
študiral
material
10
min.
1. Usposabljamo se za reševanje problemov.
2. Testna vprašanja

UČENJE NOVE SNOVI
1. Postopek nihanja vzmetnega nihala
Da bi opisali vibracije (listi in ušesa zraka; zrak v
orgle in glasbene pihala
orodja); za izračun tresljajev (karoserije vozil,
nameščen na vzmeti; temelje stavb in strojev),
Predstavimo model realnih nihajnih sistemov – vzmet
nihalo.

Razmislite o nihanju vozička z maso m, ki je pritrjen na
navpična stena z vzmetjo togosti k.

Predpostavili bomo, da:
1) sila trenja, ki deluje na voziček, je zelo majhna,
tako da ga lahko ignoriraš. V tem primeru nihanja
vzmetno nihalo ne bo dušeno;
2) deformacija vzmeti med nihanjem telesa
so nepomembne, zato jih lahko štejemo za elastične in
uporabi Hookov zakon:

Oglejmo si podrobneje nihanje vzmetnega nihala.
Ko se voziček odmakne od ravnotežnega položaja za
razdalja A na desni, vzmet je raztegnjena in
na voziček deluje največja prožnostna sila Fnp = kA.
Nato se začne voziček pospešeno premikati v levo, kar
spremeni: raztezek vzmeti se zmanjša in prožna sila
(in pospešek) se tudi zmanjša. Po četrtletnem obdobju
voziček se bo vrnil v ravnotežni položaj. V tem trenutku moč
elastičnost in pospešek enaka nič, hitrost pa doseže
največja vrednost.
Po vztrajnosti se bo voziček še naprej premikal in nastala bo sila
elastičnost se poveča. Začela bo upočasnjevati
blok in na razdalji A od ravnotežnega položaja, na katerem je voziček
trenutek se bo ustavil. Od trenutka, ko so se začele vibracije
polovično obdobje.
V naslednji polovici obdobja bo gibanje vozička natančno
takole, samo v obratni smeri.
Študente je treba opozoriti na dejstvo, da po
Hookov zakon, elastična sila je usmerjena proti raztezku
vzmeti: elastična sila je voziček "potisnila" na položaj
ravnovesje.
Posledično prosta nihanja vzmetnega nihala
zaradi naslednjih razlogov:
1) delovanje elastične sile na telo, vedno usmerjeno navznoter
stran ravnotežnega položaja;
2) vztrajnost nihajnega telesa, zaradi katere ne
se ustavi v ravnotežnem položaju in nadaljuje
premikati v isto smer.
2. Obdobje nihanja vzmetnega nihala
Prvi značilni znak nihanja vzmetnega nihala
se lahko namesti s postopnim povečevanjem mase visečega
do uteži vzmeti. Obešanje različnih uteži z vzmeti
maši, opazimo, da z naraščajočo maso nastopi težko obdobje
povečajo se vibracije obremenitve. Na primer zaradi
močno povečanje teže 4-kratno obdobje nihanja
dvojice:

Drugi značilni znak se lahko vzpostavi s spreminjanjem
vzmeti. Po izvedbi serije meritev je to enostavno ugotoviti
obremenitev niha hitreje na trdi vzmeti in počasneje -
na mehko, to je:
Tretja lastnost vzmetnega nihala je ta
da perioda njegovega nihanja ni odvisna od pospeška prostega
pade. To je enostavno preveriti z metodo
»povečanje gravitacije« zaradi močnega magneta,
ki je postavljena pod breme, ki niha.
torej
nihajna doba vzmetnega nihala ni odvisna od


Če poznamo obdobje nihanja, je enostavno izračunati frekvenco in
ciklična frekvenca nihanja:
3. Enačba harmoničnih nihanj
Razmislimo o tresljajih vozička z vidika dinamike. Vklopljeno
med premikanjem na voziček delujejo tri sile: sila reakcije
podpira
, gravitacija m in sila elastičnosti itd. Zapišimo
Enačba drugega Newtonovega zakona v vektorski obliki:
Projicirajmo to enačbo na vodoravno in
navpična os:
Po Hookovem zakonu:

Tako imamo:
To enačbo imenujemo enačba prostih nihanj
vzmetno nihalo.
Označimo: ω2 = k/m. Potem bo enačba gibanja bremena
imajo obliko: ax = -ω2x. Enačbe te vrste se imenujejo
diferencialne enačbe.
Rešitev za to
enačba je funkcija x = Acosωt.
4. Matematično nihalo
Za izračun obdobja nihanja uteži, ki visi na nitki,
problem je treba malo “idealizirati”. Prvič,
predpostavili bomo, da so dimenzije bremena veliko manjše od dolžine niti,
in nit je neraztegljiva in breztežna. Drugič, razmislili bomo
Kot odklona nihala je precej majhen (ne več kot 10-15°).


pika.
Oglejmo si nihanje matematičnega nihala. Za to
vzemite majhno, a precej težko žogo in
Obesimo ga na dolgo, neraztegljivo nit.
Ob upoštevanju nihanja matematičnega nihala smo
pridemo do sklepa, da razlogi, ki določajo
proste vibracije, enako kot pri vzmeti
nihalo (glej sliko a-d):

1) delovanje sil na žogo, katere rezultanta je vedno
usmerjena proti ravnotežnemu položaju;
2) vztrajnost nihajoče krogle, zaradi katere se
se ne ustavi v ravnotežnem položaju.
5. Nihajna doba matematičnega nihala
Dokažimo
harmonične vibracije.
Zapišimo enačbo drugega Newtonovega zakona v projekciji na os
OX (glej sliko):

Kaj naredi matematično nihalo?

Tx + mgx = maks.
Ker je Tx = 0, potem je mgx = -mgsin in dobimo enačbo:
-mgsin = max ali -gsin = ax.
Vrednost greha lahko izračunamo iz trikotnika OAS - it
enaka razmerju med krakom OA in hipotenuzo OS. Če koti
majhna, OS ≈ l, kjer je l dolžina niti, in OA ≈ x, kjer je x odstopanje
žogo iz njenega ravnotežnega položaja. Zato je sin = x/l.
Končno dobimo:

Če označimo ω2 = g/l, imamo enačbe za prosta nihanja
matematično nihalo:
Ciklična frekvenca nihanja matematičnega nihala:
Z relacijo T = 2 /ω najdemo formulo
za čas nihanja matematičnega nihala:



nihalo.
Znano je, da v različnih delih sveta pospešek
prosti pad razno. Ni odvisno samo od oblike
Zemlje, ampak tudi od prisotnosti v njenih globinah težkih (kovine) oz
lahke (plin, olje) snovi. In torej obdobje
Nihalo bo na različnih točkah nihalo različno. to
posest se uporablja predvsem pri iskanju nahajališč
minerali.

Vprašanje za študente ob predstavitvi nove snovi
1. Kako se bo spremenila nihajna doba vzmetnega nihala?
zaradi sprememb mase tovora? togost vzmeti?
2. Kako se bo spremenila nihajna doba vzmetnega nihala, če
postaviti magnet pod njim?

povečati amplitudo nihanj.
4. Pod kakšnimi pogoji matematično nihalo niha?
se lahko šteje za harmonično?

5. Zakaj kroglica niha na dolgi vrvici?
se ustavi v trenutku prehoda položaja
ravnovesje?
6. Kako se bo spremenila nihajna doba matematičnega nihala,
kaj pa če se masa tovora poveča? zmanjšati?

KONSTRUIRANJE UČENE SNOVI
1). Usposabljamo se za reševanje problemov
1. Tovor, obešen na vzmet, ki je v ravnovesju,
raztegne vzmet za 10 cm Ali ta podatek zadostuje?
izračunati obdobje nihanja bremena na vzmeti?
2. Ko je breme obešeno na vzmet, se je raztegnilo za 20 cm.
Tovor so sneli in sprostili. Kolikšna je perioda T nihanja?
kaj je nastalo?
3. Jeklena krogla, obešena na vzmet, naredi
navpične vibracije. Kako se bo spremenila nihajna doba?
Kaj pa, če na vzmet obesite bakreno kroglo enakega polmera?
4. Izračunajte togost vzmeti, če je obešena nanjo
masa 700 g opravi 18 nihajev v 21 s.
5. Kakšno je razmerje med dolžinama dveh matematičnih nihal,
če eden od njih izvede 31 nihanj, drugi pa za točno
takšno časovno obdobje - 20 nihanj?
2). Varnostna vprašanja
1. Poimenujte razloge za nihanje vzmetnega nihala.
2. Za računanje lahko uporabiš vzmetno nihalo
pospešek prostega pada?
3. Kako se bo spremenila nihajna doba vzmetnega nihala, če
maso tovora povečati za 4-krat in hkrati povečati za 4-krat
krat togost vzmeti?
4. Poimenujte glavne lastnosti matematičnega nihala. kje
se uporabljajo?
5. Kaj imata skupnega vzmetno in matematično nihalo?

Kaj smo se naučili pri pouku?
Vzmetno nihalo je nihajni sistem
ki je telo, pritrjeno na vzmet.
Obdobje nihanja vzmetnega nihala ni odvisno od
pospešek prostega pada in čim manj, tem manj
masa obremenitve in trša vzmet:
Frekvenca in ciklična frekvenca nihanj vzmeti
nihalo:
Enačba prostih nihanj vzmetnega nihala:
Matematično nihalo je idealizirano
nihajni sistem brez trenja, sestavljen iz breztežnega in
neraztegljiva nit, na kateri je obešen material
pika.
Perioda prostih nihanj matematičnega nihala ni
je odvisna od njegove mase in je določena le z dolžino niti in
gravitacijski pospešek na mestu, kjer se nahaja
nihalo:
Enačba prostih nihanj matematičnega nihala:

domača naloga