Ko je produkt enak nič. Dvakrat dva je štiri ali Množenje in deljenje

Poleg dodajanja so pomembne operacije množenje in deljenje. Spomnimo se na primer težav pri določanju, kolikokrat več jabolk ima Maša kot Saša, ali pri iskanju števila proizvedenih delov na leto, če je znano število kosov, proizvedenih na dan.

Množenje- to je eden od štiri osnovne aritmetične operacije, med katerim množimo eno število z drugim. Z drugimi besedami, rekord 5 · 3 = 15 pomeni, da število 5 je bil zložen 3 krat, tj. 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

Množenje je urejeno s sistemom pravila.

1. Zmnožek dveh negativnih števil je enak pozitivnemu številu. Če želite najti modul produkta, morate pomnožiti module teh števil.

(- 6) · ( - 6) = 36; (- 17,5) ( - 17,4) = 304,5

2. Zmnožek dveh števil z različnimi predznaki je enak negativnemu številu. Če želite najti modul produkta, morate pomnožiti module teh števil.

(- 5) 6 = - 30; 0,7 ( - 8) = - 21

3. Če je eden od faktorjev enak nič, potem je produkt enak nič. Velja tudi obratno: produkt je enak nič le, če je eden od faktorjev enak nič.

2,73 0 = 0; ( - 345,78) 0 = 0

Na podlagi zgoraj predstavljenega materiala poskusimo rešiti enačbo 4 ∙ (x – 5) = 0.

1. Odprite oklepaje in dobite 4x – 20 = 0.

2. Premaknite (-20) na desno stran (ne pozabite spremeniti znaka v nasprotno) in
dobimo 4x = 20.

3. Poiščite x tako, da obe strani enačbe zmanjšate za 4.

4. Skupaj: x = 5.

Toda če poznamo pravilo številka 3, lahko našo enačbo rešimo veliko hitreje.

1. Naša enačba je enaka 0 in po pravilu št. 3 je produkt enak 0, če je eden od faktorjev enak 0.

2. Imamo dva faktorja: 4 in (x – 5). 4 ni enako 0, kar pomeni x – 5 = 0.

3. Rešimo nastalo preprosto enačbo: x – 5 = 0. To pomeni x = 5.

Množenje temelji na dva zakona - komutativni in asociativni zakon.

Zakon o potovanju: za poljubne številke A in b enakost je res ab = ba:

(- 6) 1,2 = 1,2 ( - 6), tj. = - 7,2.

Kombinacijski zakon: za poljubne številke a, b in c enakost je res (ab)c = a(bc).

(- 3) · ( - 5) 2 = ( - 3) · (2 ​​· ( - 5)) = (- 3) · ( - 10) = 30.

Inverzna aritmetična operacija množenja je delitev. Če imenujemo komponente množenja multiplikatorji, potem se pri deljenju pokliče število, ki ga delimo deljivo, je število, s katerim delimo delilnik, in rezultat je zasebno.

12: 3 = 4, kjer je 12 dividenda, 3 delitelj, 4 količnik.

Deljenje je podobno kot množenje urejeno pravila.

1. Kvocient dveh negativnih števil je pozitivno število. Če želite najti modul količnika, morate modul dividende deliti z modulom delitelja.

- 12: (- 3) = 4

2. Kvocient dveh različno predznačenih števil je negativno število. Če želite najti modul količnika, morate modul dividende deliti z modulom delitelja.

- 12: 3 = - 4; 12: (- 3) = - 4.

3. Ko je nič deljeno s katerim koli številom, ki ni enako nič, je rezultat nič. Ne morete deliti z ničlo.

0: 23 = 0; 23:0 = XXXX

Na podlagi pravil deljenja poskusimo rešiti primer - 4 x ( - 5) – (- 30) : 6 = ?

1. Izvedemo množenje: -4 x (-5) = 20. Torej bo naš primer dobil obliko 20 – (-30) : 6 = ?

2. Izvedite deljenje (-30): 6 = -5. To pomeni, da bo naš primer imel obliko 20 – (-5) = ?.

3. Odštejte 20 – (-5) = 20 + 5 = 25.

Torej naše odgovor 25.

Poznavanje množenja in deljenja ter seštevanja in odštevanja vam omogoča reševanje najrazličnejših enačb in problemov ter odlično krmarjenje po svetu števil in operacij okoli nas.

Utrjujmo snov z odločanjem enačba 3 ∙ (4x – 8) = 3x – 6.

1. Odprite oklepaje 3 ∙ (4x – 8) in dobite 12x – 24. Naša enačba ima obliko 12x – 24 = 3x – 6.

2. Dajmo podobne. Če želite to narediti, premaknite vse komponente od x v levo in vse številke v desno.
Dobimo 12x – 24 = 3x – 6 → 12x – 3x = -6 + 24 → 9x = 18.

Pri prenosu komponente iz enega dela enačbe v drugega ne pozabite spremeniti znakov v nasprotno.

3. Rešimo dobljeno enačbo 9x = 18, iz katere je x = 18: 9 = 2. Torej je naš odgovor 2.

4. Da se prepričamo o pravilni odločitvi, preverimo:

3 ∙ (4x – 8) = 3x – 6

3 · (4 ∙ 2 – 8) = 3 ∙ 2 – 6

3 ∙ (8 – 8) = 6 – 6

0 = 0, kar pomeni, da je naš odgovor pravilen.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

“Vzporednost dveh premic” - Dokažite, da je AB || CD. C je sekans za a in b. BC je simetrala kota ABD. Bo m || n? Primeri paralelizma v resničnem življenju. Ali sta premici vzporedni? Poimenuj pare: - ležeče kote počez; - ustrezni koti; - enostranski koti; Prvi znak vzporednih črt. Dokaži, da je AC || B.D.

"Dve zmrzali" - No, mislim, počakaj z mano zdaj. Dve zmrzali. In zvečer smo se spet srečali na odprtem polju. Mraz - Modri ​​nos je zmajal z glavo in rekel: - Eh, mlad si, brat, in neumen. Naj takoj, ko se obleče, ugotovi, kakšen je Frost - Rdeči nos. Živi tako dolgo kot jaz, pa boš vedel, da te sekira greje bolj kot krznen plašč. No, mislim, da bomo prispeli tja, potem pa te bom zgrabil.

“Linearna enačba v dveh spremenljivkah” - Definicija: Linearna enačba v dveh spremenljivkah. Algoritem za dokaz, da je dani par števil rešitev enačbe: Navedite primere. -Katera enačba z dvema spremenljivkama se imenuje linearna? -Kako se imenuje enačba z dvema spremenljivkama? Enačbo, ki vsebuje dve spremenljivki, imenujemo enačba z dvema spremenljivkama.

"Interferenca dveh valov" - Interferenca. Vzrok? Izkušnje Thomasa Younga. Interferenca mehanskih valov na vodi. Valovna dolžina. Interferenca svetlobe. Opazen je stabilen interferenčni vzorec pod pogojem koherence superponiranih valov. Radijski teleskop-interferometer, ki se nahaja v Novi Mehiki, ZDA. Uporaba motenj. Interferenca mehanskih zvočnih valov.

"Znak pravokotnosti dveh ravnin" - vaja 6. Pravokotnost ravnin. Odgovor: Da. Ali obstaja trikotna piramida, katere tri ploskve so v parih pravokotne? Vaja 1. Poiščite kota ADB in ACB. Odgovor: 90o, 60o. Naloga 10. Naloga 3. Naloga 7. Naloga 9. Ali drži, da sta ravnini, pravokotni na tretjo, vzporedni?

“Neenačbe z dvema spremenljivkama” - Geometrijski model za rešitve neenačb je srednja regija. Cilj lekcije: Reševanje neenačb v dveh spremenljivkah. 1. Zgradite graf enačbe f(x, y) = 0. Za reševanje neenačb z dvema spremenljivkama se uporablja grafična metoda. Krogi so letalo razdelili na tri področja. Neenačbe v dveh spremenljivkah imajo največkrat neskončno število rešitev.

Če sta en in dva faktorja enaka 1, potem je produkt enak drugemu faktorju.

III. Delo na novem materialu.

Učenci znajo razložiti način množenja za primere, ko so sredi zapisa večmestnega števila ničle: učitelj na primer predlaga, da izračunajo zmnožek števil 907 in 3. Rešitev učenci zapišejo v stolpec in pri tem utemeljijo: »Pod enote zapišem številko 3.

Število enot pomnožim s 3: trikrat sedem je 21, to je 2 dec. in 1 enota; Pod enotami pišem 1, 2 dec. spomnim se Množim desetice: 0 pomnoženo s 3, dobiš 0, in tudi 2, dobiš 2 desetici, pod desetice zapišem 2. Pomnožim stotice: 9 pomnožim s 3, izpade 27, napišem 27. Preberem odgovor: 2.721.«

Za utrjevanje snovi učenci rešujejo primere iz naloge 361 s podrobnejšo razlago. Če učitelj vidi, da so otroci dobro razumeli novo snov, lahko ponudi kratek komentar.

učiteljica. Rešitev bomo na kratko razložili, pri čemer bomo omenili le število enot vsake števke prvega faktorja, ki ga množimo, in rezultat, ne da bi navedli, za katero števko so te enote. Pomnožimo 4019 s 7. Razložim: pomnožim 9 s 7, dobim 63, napišem 3, zapomnim si 6. Pomnožim 1 s 7, izkaže se 7, celo 6 je 13, napišem 3, spomnim se 1. Nič pomnoženo s 7, izpade nič, pa tudi 1, dobim 1, zapišem 1. Pomnožim 4 s 7, dobim 28, zapišem 28. Preberem odgovor: 28 133.

F i k u l t m i n u t k a

IV. Delo na obravnavanem gradivu.

1. Reševanje problemov.

Učenci rešijo nalogo 363 s komentarji. Po branju problema se zapiše kratek pogoj.

Učitelj lahko od učencev zahteva, da nalogo rešijo na dva načina.

Odgovor: Skupaj pospravljenih 7.245 kvintalov žita.

Otroci samostojno rešujejo nalogo 364 (z naknadnim preverjanjem).

1) 42 10 = 420 (c) – pšenica

2) 420: 3 = 140 (c) – ječmen

3) 420 – 140 = 280 (c)

ODGOVOR: 280 kvintalov več pšenice.

2. Reševanje primerov.

Otroci samostojno opravijo nalogo 365: zapišejo izraze in poiščejo njihov pomen.

V. Povzetek lekcije.

učiteljica. Fantje, kaj novega ste se naučili v razredu?

otroci. Spoznali smo novo tehniko množenja.

učiteljica. Kaj ste ponavljali pri pouku?

otroci. Reševali naloge, sestavljali izraze in ugotavljali njihov pomen.

domača naloga: naloge 362, 368; zvezek št. 1, str. 52, št.

Lekcija 58
Množenje števil, katerih pisanje
konča z ničlami

Cilji: uvajajo tehniko množenja večmestnih števil, ki se končajo z eno ali več ničlami, z enomestno številko; utrditi sposobnost reševanja nalog, primerov deljenja z ostankom; ponovi tabelo časovnih enot.

Kako do videz enačbe določajo, ali bo ta enačba nepopolna kvadratna enačba? kako reši nepopolno kvadratne enačbe?

Kako na pogled prepoznati nepopolno kvadratno enačbo

levo del enačbe je kvadratni trinom, A desno — število 0. Take enačbe imenujemo poln kvadratne enačbe.

U poln kvadratna enačba Vse kvote, In ni enako 0. Za njihovo rešitev obstajajo posebne formule, s katerimi se bomo seznanili kasneje.

večina preprosto za rešitev so nepopolna kvadratne enačbe. To so kvadratne enačbe, v katerih nekateri koeficienti so nič.

Koeficient po definiciji ne more biti nič, saj drugače enačba ne bo kvadratna. Pogovarjali smo se o tem. To pomeni, da se izkaže, da lahko gredo v nulo samo kvote oz.

Glede na to obstaja tri vrste nepopolnih kvadratne enačbe.

1) , Kje ;
2) , Kje ;
3) , Kje .

Torej, če vidimo kvadratno enačbo, na levi strani katere namesto treh članov prisoten dva kura oz en član, potem bo enačba nepopolna kvadratna enačba.

Definicija nepopolne kvadratne enačbe

Nepopolna kvadratna enačba je kvadratna enačba, v kateri vsaj enega od koeficientov oz enako nič.

Ta definicija ima veliko pomembno stavek " vsaj enega od koeficientov... enako nič". To pomeni, da eno oz več koeficienti so lahko enaki nič.

Na podlagi tega je možno tri možnosti: oz eno koeficient je nič, oz drugo koeficient je nič, oz oboje koeficienti so hkrati enaki nič. Tako dobimo tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb.

Nepopolna kvadratne enačbe so naslednje enačbe:
1)
2)
3)

Reševanje enačbe

Orisimo načrt rešitve ta enačba. levo del enačbe je lahko enostavno faktorizirati, saj imajo na levi strani enačbe izrazi skupni množitelj, se lahko vzame iz oklepaja. Nato na levi dobite produkt dveh faktorjev, na desni pa nič.

In potem bo delovalo pravilo »zmnožek je enak nič, če in samo če je vsaj eden od faktorjev enak nič, drugi pa je smiseln«. Zelo preprosto je!

Torej, načrt rešitve.
1) Levo stran razčlenimo na faktorje.
2) Uporabljamo pravilo »zmnožek je enak nič ...«

To vrsto imenujem enačbe "darilo usode". To so enačbe, za katere desna stran je nič, A levo del se lahko razširi z množitelji.

Reševanje enačbe po načrtu.

1) Razgradimo se levo stran enačbe z množitelji, za to vzamemo skupni faktor, dobimo naslednjo enačbo.

2) V enačbi vidimo, da levo stroški delo, A nič na desni.

Resnično darilo usode! Tu bomo seveda uporabili pravilo »zmnožek je enak nič, če in samo, če je vsaj eden od faktorjev enak nič, drugi pa je smiseln«.

Ko to pravilo prevedemo v jezik matematike, dobimo dva enačbe oz.

Vidimo, da enačba razpadla po dva preprostejši enačbe, od katerih je prva že rešena ().

Rešimo drugega enačba Neznane člene premaknimo v levo, znane pa v desno. Neznani član je že na levi, tam ga bomo pustili. In znani izraz premaknemo v desno z nasprotnim predznakom. Dobimo enačbo.

Našli smo ga, vendar ga moramo najti. Če se želite znebiti faktorja, morate obe strani enačbe deliti z.