Kako izpeljati kvadratni koren števila. Kaj je kvadratni koren? Izračunavanje kvadratnega korena

Korenske formule. Lastnosti kvadratnih korenov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

V prejšnji lekciji smo ugotovili, kaj je kvadratni koren. Čas je, da ugotovimo, kateri obstajajo formule za korenine kaj so lastnosti korenin, in kaj se da narediti z vsem tem.

Formule korenin, lastnosti korenin in pravila za delo s koreninami- to je v bistvu ista stvar. Formule za kvadratni koren presenetljivo malo. Kar me zagotovo veseli! Oziroma lahko napišete veliko različnih formul, a za praktično in samozavestno delo s koreninami so dovolj le tri. Vse ostalo izhaja iz teh treh. Čeprav se mnogi zmedejo v formulah treh korenin, ja...

Začnimo z najpreprostejšim. Tukaj je:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Bibliografski opis: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metode pridobivanja kvadratnega korena // Mladi znanstvenik. 2017. št. 2.2. Str. 76-77..02.2019).



Ključne besede : kvadratni koren, ekstrakcija kvadratnega korena.

Pri pouku matematike sem se seznanil s pojmom kvadratni koren, ter operacijo izluščitve kvadratnega korena. Zanimalo me je, ali je izvlekanje kvadratnega korena možno samo s pomočjo tabele kvadratov, s pomočjo kalkulatorja ali obstaja možnost, da ga izvlečem ročno. Našel sem več načinov: formula Stari Babilon, preko reševanja enačb, metoda zavrženja polni kvadrat, Newtonova metoda, geometrijska metoda, grafična metoda (, ), metoda ugibanja, metoda odštevanja lihih števil.

Razmislite o naslednjih metodah:

Razstavimo se na glavni dejavniki, z uporabo merila deljivosti 27225=5*5*3*3*11*11. torej

1. TO Kanadska metoda. to hitra metoda so odkrili mladi znanstveniki na eni od vodilnih kanadskih univerz v 20. stoletju. Njegova natančnost ni večja od dveh do treh decimalnih mest.

kjer je x število, iz katerega je treba izluščiti koren, c je število najbližjega kvadrata), na primer:

=5,92

1. V stolpcu. Ta metoda vam omogoča, da najdete približno vrednost korena katerega koli realno število od katerega koli vnaprej določeno natančnost. Slabosti te metode vključujejo naraščajočo kompleksnost izračuna, saj se število najdenih števk povečuje. Za ročno ekstrahiranje korena se uporablja zapis, podoben dolgemu deljenju

Algoritem kvadratnega korena

1. Ločeno od vejice ločimo ulomek in celo število na meji dvomestne številke v vsakem obrazu ( poljub del - od desne proti levi; ulomek- od leve proti desni). Možno je, da celo število vsebuje eno števko, ulomek pa ničle.

2. Ekstrakcija se začne od leve proti desni in izberemo število, katerega kvadrat ne presega števila v prvi strani. To število kvadriramo in zapišemo pod številko na prvi strani.

3. Poišči razliko med številom na prvi strani in kvadratom izbranega prvega števila.

4. Naslednji razliki dodamo naslednji rob, dobljeno število bo deljivo. Izobražujmo se delilnik. Prvo izbrano števko odgovora podvojimo (pomnožimo z 2), dobimo število desetic delitelja, število enot pa naj bo takšno, da njegov zmnožek s celotnim deliteljem ne presega dividende. Izbrano številko zapišemo kot odgovor.

5. Vzamemo naslednji rob do nastale razlike in izvedemo dejanja v skladu z algoritmom. Če se izkaže, da je ta ploskev ploskev ulomka, potem v odgovor postavimo vejico. (Slika 1.)

S to metodo lahko izločite števila z različnimi natančnostmi, na primer do tisočink. (slika 2)

Ob upoštevanju različne načineČe izvlečemo kvadratni koren, lahko sklepamo: v vsakem posameznem primeru se morate odločiti za izbiro najučinkovitejšega, da boste porabili manj časa za reševanje

Literatura:

1. Kiselev A. Elementi algebre in analize. Prvi del.-M.-1928

Ključne besede: square root, kvadratni koren.

Opomba: Članek opisuje metode pridobivanja kvadratnih korenov in podaja primere pridobivanja korenov.

Dijaki vedno sprašujejo: »Zakaj ne morem uporabiti kalkulatorja pri izpitu iz matematike? Kako izluščiti kvadratni koren števila brez kalkulatorja? Poskusimo odgovoriti na to vprašanje.

Kako izluščiti kvadratni koren števila brez pomoči kalkulatorja?

Akcija kvadratni koren inverzno dejanju kvadriranja.

√81= 9 9 2 =81

Če iz pozitivno število vzamemo kvadratni koren in kvadriramo rezultat, dobimo isto število.

Od ne velike številke, ki so natančni kvadrati naravnih števil, na primer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratnih korenov lahko izluščimo ustno. Ponavadi v šoli učijo tabelo kvadratov naravnih števil do dvajset. Če poznate to tabelo, je enostavno izvleči kvadratne korene iz števil 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz števil, večjih od 400, jih lahko izvlečete z metodo izbire z nekaj nasveti. Poskusimo pogledati to metodo s primerom.

primer: Izluščite koren števila 676.

Opazimo, da je 20 2 = 400 in 30 2 = 900, kar pomeni 20< √676 < 900.

Natančni kvadrati naravnih števil se končajo z 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Število 6 je podano s 4 2 in 6 2.
To pomeni, da če je koren vzet iz 676, potem je 24 ali 26.

Ostaja še preveriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odgovor: √676 = 26 .

več primer: √6889 .

Ker je 80 2 = 6400 in 90 2 = 8100, potem je 80< √6889 < 90.
Število 9 je podano s 3 2 in 7 2, potem je √6889 enako 83 ali 87.

Preverimo: 83 2 = 6889.

odgovor: √6889 = 83 .

Če vam je težko rešiti z izbirno metodo, lahko faktorizirate radikalni izraz.

na primer najdi √893025.

Razložimo število 893025, spomnite se, to ste delali v šestem razredu.

Dobimo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

več primer: √20736. Razložimo število 20736 na faktorje:

Dobimo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Seveda faktorizacija zahteva poznavanje znakov deljivosti in veščine faktorizacije.

In končno obstaja pravilo za pridobivanje kvadratnih korenov. Spoznajmo to pravilo s primeri.

Izračunajte √279841.

Če želimo izluščiti koren večmestnega celega števila, ga razdelimo od desne proti levi na ploskve, ki vsebujejo 2 števki (skrajni levi rob lahko vsebuje eno števko). Zapišemo ga takole: 27’98’41

Da dobimo prvo številko korena (5), vzamemo kvadratni koren največjega popolnega kvadrata, ki ga vsebuje prva ploskev na levi (27).
Nato se kvadrat prve števke korena (25) odšteje od prve ploskve, naslednja ploskev (98) pa se doda razliki (odšteje).
Levo od dobljenega števila 298 zapišite dvomestno korenino (10), z njo delite število vseh deset prej dobljenega števila (29/2 ≈ 2), preizkusite količnik (102 ∙ 2 = 204 ne sme biti več kot 298) in napišite (2) za prvo števko korena.
Nato se dobljeni količnik 204 odšteje od 298 in naslednji rob (41) se doda razliki (94).
Levo od dobljenega števila 9441 zapišite dvojni zmnožek števk korena (52 ∙2 = 104), število vseh desetic števila 9441 (944/104 ≈ 9) delite s tem zmnožkom, preizkusite količnik (1049 ∙9 = 9441) naj bo 9441 in ga zapišite (9) za drugo števko korena.

Prejeli smo odgovor √279841 = 529.

Ekstrahirajte podobno koreni decimalnih ulomkov. Samo radikalno število mora biti razdeljeno na obraze tako, da je vejica med obrazi.

Primer. Poiščite vrednost √0,00956484.

Samo spomniti se morate, da če decimalno Ima liho število decimalnih mest, kvadratnega korena ni mogoče natančno izluščiti.

Zdaj ste videli tri načine za pridobivanje korenine. Izberite tistega, ki vam najbolj ustreza, in vadite. Če se želite naučiti reševati probleme, jih morate rešiti. In če imate kakršna koli vprašanja, se prijavite na moje lekcije.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.

Izračunavanje (ali pridobivanje) kvadratnega korena je možno na več načinov, vendar vsi niso zelo preprosti. Seveda je lažje uporabiti kalkulator. Če pa to ni mogoče (ali želite razumeti bistvo kvadratnega korena), vam lahko svetujem, da greste naslednji način, njegov algoritem je:

Če nimate moči, želje ali potrpljenja za tako dolgotrajne izračune, se lahko zatečete k grobemu izboru; njegova prednost je v tem, da je neverjetno hiter in ob primerni iznajdljivosti natančen. primer:

Ko sem bil v šoli (zgodnja 60-a), so nas učili vzeti kvadratni koren iz poljubnega števila. Tehnika je preprosta, navzven podobna dolgi delitvi, vendar bo za predstavitev tukaj potrebno pol ure časa in 4-5 tisoč znakov besedila. Toda zakaj potrebujete to? Imate telefon ali drug pripomoček, nm ima kalkulator. V vsakem računalniku je kalkulator. Osebno raje izvajam tovrstne izračune v Excelu.

V šoli morate pogosto najti kvadratne korenine različne številke. Če pa smo za to navajeni nenehno uporabljati kalkulator, potem na izpitih to ne bo mogoče, zato se moramo naučiti iskati koren brez pomoči kalkulatorja. In to je načeloma mogoče storiti.

Algoritem je naslednji:

Najprej poglejte zadnjo številko svoje številke:

na primer

Sedaj moramo približno določiti vrednost za koren skrajno leve skupine

V primeru, da ima število več kot dve skupini, morate najti koren tako:

Toda naslednja številka mora biti največja, izbrati jo morate takole:

Sedaj moramo oblikovati novo število A tako, da ostanku, ki smo ga dobili zgoraj, dodamo naslednjo skupino.

V naših primerih:

Stolpec je višji in ko je potrebnih več kot petnajst znakov, takrat računalniki in telefoni s kalkulatorji največkrat počivajo. Še vedno je treba preveriti, ali bo opis tehnike trajal 4-5 tisoč znakov.

Berm poljubno število, od decimalne vejice štejemo pare števk na desno in levo

Na primer 1234567890.098765432100

Nekaj ​​številk je kot dvomestno število. Koren dvomestnega je enomesten. Izberemo eno števko, katere kvadrat je manjši od prvega para števk. V našem primeru je 3.

Tako kot pri deljenju s stolpcem ta kvadratek izpišemo pod prvi par in ga odštejemo od prvega para. Rezultat je podčrtan. 12 - 9 = 3. Tej razliki prištejte drugi par števil (to bo 334). Levo od števila berm je dvojna vrednost tistega dela rezultata, ki je že bil najden, dopolnjena s številom (imamo 2 * 6 = 6), tako da pomnoženo z nedobljenim številom dobi ne sme preseči števila z drugim parom števk. Dobimo, da je najdena številka pet. Ponovno poiščite razliko (9), dodajte naslednji par števk, da dobite 956, znova zapišite podvoji del rezultat (70), spet dopolnimo z zahtevanim številom in tako naprej, dokler se ne ustavi. Ali dokler zahtevana natančnost izračuni.

Prvič, če želite izračunati kvadratni koren, morate dobro poznati tabelo množenja. Večina preprosti primeri- to je 25 (5 krat 5 = 25) in tako naprej. Če vzamete bolj zapletena števila, lahko uporabite to tabelo, kjer so vodoravna črta enote, navpična pa desetice.



Jejte dober način kako najti koren števila brez pomoči kalkulatorjev. Če želite to narediti, boste potrebovali ravnilo in šestilo. Bistvo je, da na ravnilu najdete vrednost, ki je pod vašim korenom. Na primer, postavite oznako poleg 9. Vaša naloga je, da to število razdelite na enako število segmentov, to je na dve črti po 4,5 cm, in na sodi segment. Zlahka je uganiti, da boste na koncu dobili 3 segmente po 3 centimetre.

Metoda ni lahka in ni primerna za velika števila, vendar jo je mogoče izračunati brez kalkulatorja.

brez pomoči kalkulatorja je način izvleka kvadratnega korena učil v Sovjetski časi v šoli v 8. razredu.

Če želite to narediti, morate zlomiti večmestno število od desne proti levi na robu sta 2 števki :

Prva številka korena je cela korenina z leve strani, v tem primeru 5.

Od 31 odštejemo 5 na kvadrat, 31-25 = 6 in šestici dodamo naslednjo stran, imamo 678.

Naslednja cifra x se ujema z dvojno petico, tako da

10x*x je bilo največ, vendar manj kot 678.

x=6, ker je 106*6 = 636,

Zdaj izračunamo 678 - 636 = 42 in dodamo naslednji rob 92, imamo 4292.

Spet iščemo največji x, tako da je 112x*x lt; 4292.

Odgovor: koren je 563

Tako lahko nadaljujete, dokler je potrebno.

V nekaterih primerih lahko poskusite radikalno število razstaviti na dva ali več kvadratnih faktorjev.

Koristno si je zapomniti tudi tabelo (ali vsaj njen del) - kvadrate naravnih števil od 10 do 99.



Predlagam različico, ki sem jo izumil za pridobivanje kvadratnega korena stolpca. Od splošno znanega se razlikuje le po izboru številk. Toda kot sem izvedel kasneje, ta metoda obstajal že mnogo let pred mojim rojstvom. To je opisal v svoji knjigi Splošna aritmetika ali knjigi o aritmetični sintezi in analizi veliki Isaac Newton. Tukaj torej predstavljam svojo vizijo in utemeljitev algoritma Newtonove metode. Algoritma si ni treba zapomniti. Po potrebi lahko preprosto uporabite diagram na sliki kot vizualno pomoč.







S pomočjo tabel ne morete izračunati, ampak poiščite kvadratne korenine števil, ki so v tabelah. Najlažji način za izračun ne samo kvadratnih korenov, ampak tudi drugih stopinj je metoda zaporednih približkov. Na primer, izračunamo kvadratni koren iz 10739, zamenjamo zadnje tri števke z ničlami ​​in izluščimo koren iz 10000, dobimo 100 s pomanjkljivostjo, torej vzamemo število 102, ga kvadriramo, dobimo 10404, kar je tudi manj od danega, spet vzamemo 103*103=10609 s pomanjkljivostjo, vzamemo 103,5*103,5=10712,25, vzamemo še več 103,6*103,6=10732, vzamemo 103,7*103,7=10753,69, kar je že presežek. Koren 10739 lahko vzamete tako, da je približno enak 103,6. Natančneje 10739=103,629... . . Podobno izračunamo kubični koren, najprej iz 10000 dobimo približno 25*25*25=15625, kar je presežek, vzamemo 22*22*22=10,648, vzamemo malo več kot 22,06*22,06*22,06=10735 , ki je zelo blizu danemu.

Root n th stopnjo naravno število a ta številka se imenuje n katere th stopnja je enaka a. Koren je označen na naslednji način: . Simbol √ se imenuje korensko znamenje oz radikalni znak, številka a - radikalno število, n - korenski eksponent.

Dejanje, s katerim najdemo koren dane stopnje, se imenuje pridobivanje korenin.

Ker je po definiciji pojma koren n th stopnjo

to pridobivanje korenin- dejanje, inverzno povišanju na potenco, s pomočjo katerega najdemo osnovo stopnje iz dane stopnje in iz danega eksponenta.

Kvadratni koren

Kvadratni koren števila a je število, katerega kvadrat je enak a.

Dejanje, s katerim se izračuna kvadratni koren, se imenuje kvadratno korenenje.

Kvadratni koren- nasprotno dejanje kvadriranja (ali dvig števila na drugo potenco). Pri kvadriranju števila morate najti njegov kvadrat. Pri pridobivanju kvadratnega korena je kvadrat števila znan;

Zato, da preverite pravilnost dejanja, lahko dvignete najdeni koren na drugo potenco in, če je moč enaka radikalno število, kar pomeni, da je bil koren pravilno najden.

Oglejmo si pridobivanje kvadratnega korena in preverjanje na primeru. Izračunajmo ali (korenskega eksponenta z vrednostjo 2 običajno ne zapišemo, saj je 2 najmanjši eksponent in ne pozabite, da če ni eksponenta nad predznakom korena, potem je eksponent 2 impliciran), za to je treba najti številko, ko jo dvignemo na drugo, bo stopnja 49. Očitno je takšno število 7, saj

7 7 = 7 2 = 49.

Izračunavanje kvadratnega korena

če dano številko je 100 ali manj, potem lahko njegov kvadratni koren izračunate s tabelo množenja. Na primer, kvadratni koren iz 25 je 5, ker je 5 5 = 25.

Zdaj pa si poglejmo, kako najti kvadratni koren poljubnega števila brez uporabe kalkulatorja. Na primer, vzemimo številko 4489 in jo začnimo izračunavati korak za korakom.

1. Določimo, iz katerih števk naj bo sestavljen zahtevani koren. Ker je 10 2 = 10 · 10 = 100 in 100 2 = 100 · 100 = 10000, postane jasno, da mora biti želeni koren večji od 10 in manjši od 100, tj. sestavljena iz desetic in enic.
2. Poiščite število desetin korena. Če pomnožimo desetice, dobimo stotine, teh pa je v našem številu 44, torej mora koren vsebovati toliko desetic, da kvadrat desetic da približno 44 stotic. Zato mora imeti koren 6 desetic, ker je 60 2 = 3600 in 70 2 = 4900 (to je preveč). Tako smo ugotovili, da naš koren vsebuje 6 desetic in več enic, saj je v območju od 60 do 70.
3. Tabela množenja vam bo pomagala določiti število enot v korenu. Če pogledamo število 4489, vidimo, da je zadnja številka v njem 9. Zdaj pogledamo tabelo množenja in ugotovimo, da lahko 9 enot dobimo le s kvadriranjem števil 3 in 7. To pomeni, da bo koren števila enako 63 ali 67.
4. Prejeti števili 63 in 67 preverimo tako, da ju kvadriramo: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.