Kako sešteti velike frakcije. Ulomki

Ena najpomembnejših ved, katere uporabo lahko vidimo v disciplinah, kot so kemija, fizika in celo biologija, je matematika. Študij te znanosti vam omogoča, da razvijete nekatere duševne lastnosti in izboljšate svojo sposobnost koncentracije. Ena izmed tem, ki si pri predmetu matematika zasluži posebno pozornost, je seštevanje in odštevanje ulomkov. Veliko študentov se težko uči. Morda vam bo naš članek pomagal bolje razumeti to temo.

Kako odšteti ulomke, katerih imenovalci so enaki

Ulomki so enaka števila, s katerimi lahko izvajate različne operacije. Njihova razlika od celih števil je v prisotnosti imenovalca. Zato morate pri izvajanju operacij z ulomki preučiti nekatere njihove značilnosti in pravila. Najenostavnejši primer je odštevanje navadnih ulomkov, katerih imenovalci so predstavljeni kot isto število. Izvajanje tega dejanja ne bo težko, če poznate preprosto pravilo:

Da od enega ulomka odštejemo sekundo, je treba od števca ulomka, ki ga zmanjšujemo, odšteti števec odštetega ulomka. To število zapišemo v števec razlike, imenovalec pustimo enak: k/m - b/m = (k-b)/m.

Primeri odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od števca ulomka "7" odštejemo števec ulomka "3", ki ga želimo odšteti, dobimo "4". To številko zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa postavimo isto številko, ki je bila v imenovalcih prvega in drugega ulomka - "19".

Spodnja slika prikazuje še več podobnih primerov.

Oglejmo si bolj zapleten primer, kjer se odštejejo ulomki s podobnimi imenovalci:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od števca ulomka "29", ki se zmanjša z odštevanjem števcev vseh naslednjih ulomkov - "3", "8", "2", "7". Kot rezultat dobimo rezultat "9", ki ga zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa zapišemo število, ki je v imenovalcih vseh teh ulomkov - "47".

Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov poteka po istem principu.

Če želite sešteti ulomke, katerih imenovalci so enaki, morate sešteti števce. Dobljeno število je števec vsote, imenovalec pa bo ostal enak: k/m + b/m = (k + b)/m.

Poglejmo, kako je to videti na primeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Števcu prvega člena ulomka - "1" - dodajte števec drugega člena ulomka - "2". Rezultat - "3" - se zapiše v števec vsote, imenovalec pa ostane enak tistemu, ki je prisoten v ulomkih - "4".

Ulomki z različnimi imenovalci in njihovo odštevanje

Upoštevali smo že operacijo z ulomki, ki imajo enak imenovalec. Kot lahko vidite, je ob poznavanju preprostih pravil reševanje takšnih primerov precej enostavno. Kaj pa, če morate izvesti operacijo z ulomki, ki imajo različne imenovalce? Mnogi srednješolci so takšni primeri zbegani. Toda tudi tukaj, če poznate princip rešitve, vam primeri ne bodo več težki. Tukaj je tudi pravilo, brez katerega je reševanje takih ulomkov preprosto nemogoče.

Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih je treba zmanjšati na enak najmanjši imenovalec.

O tem, kako to storiti, bomo podrobneje govorili.

Lastnost ulomka

Da bi več ulomkov spravili na isti imenovalec, morate v rešitvi uporabiti glavno lastnost ulomka: po deljenju ali množenju števca in imenovalca z istim številom dobite ulomek, ki je enak danemu.

Tako ima lahko na primer ulomek 2/3 imenovalce, kot so "6", "9", "12" itd., kar pomeni, da ima lahko obliko poljubnega števila, ki je večkratnik "3". Ko pomnožimo števec in imenovalec z "2", dobimo ulomek 4/6. Ko pomnožimo števec in imenovalec prvotnega ulomka s »3«, dobimo 6/9, če pa podobno operacijo izvedemo s številom »4«, dobimo 8/12. Eno enakost lahko zapišemo takole:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako pretvoriti več ulomkov na isti imenovalec

Poglejmo, kako zmanjšati več ulomkov na isti imenovalec. Za primer vzemimo ulomke, prikazane na spodnji sliki. Najprej morate ugotoviti, katero število lahko postane imenovalec za vse. Da bo lažje, faktorizirajmo obstoječe imenovalce.

Imenovalec ulomka 1/2 in ulomka 2/3 ni mogoče faktorizirati. Imenovalec 7/9 ima dva faktorja 7/9 = 7/(3 x 3), imenovalec ulomka 5/6 = 5/(2 x 3). Zdaj moramo določiti, kateri faktorji bodo najmanjši za vse te štiri ulomke. Ker ima prvi ulomek v imenovalcu številko "2", to pomeni, da mora biti prisoten v vseh imenovalcih; v ulomku 7/9 sta dva trojčka, kar pomeni, da morata biti oba prisotna tudi v imenovalcu. Ob upoštevanju zgoraj navedenega ugotovimo, da je imenovalec sestavljen iz treh faktorjev: 3, 2, 3 in je enak 3 x 2 x 3 = 18.

Razmislimo o prvem ulomku - 1/2. V imenovalcu je "2", vendar ni niti ene številke "3", ampak bi morali biti dve. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec z dvema trojkama, glede na lastnost ulomka pa moramo števec pomnožiti z dvema trojkama:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Enako storimo s preostalimi frakcijami.

2/3 - ena trojka in ena dve manjkata v imenovalcu:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 ali 7/(3 x 3) - v imenovalcu manjka dvojka:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 ali 5/(2 x 3) - v imenovalcu manjka trojka:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Vse skupaj izgleda takole:

Kako odštevati in seštevati ulomke, ki imajo različne imenovalce

Kot je navedeno zgoraj, je treba ulomke, ki imajo različne imenovalce, dodati ali odšteti, jih zmanjšati na isti imenovalec in nato uporabiti pravila za odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, o katerih smo že govorili.

Poglejmo to kot primer: 18. 4. - 15. 3.

Iskanje večkratnika števil 18 in 15:

Število 18 je sestavljeno iz 3 x 2 x 3.
Število 15 je sestavljeno iz 5 x 3.
Skupni večkratnik bodo naslednji faktorji: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Ko je imenovalec najden, je treba izračunati faktor, ki bo za vsak ulomek drugačen, to je število, s katerim bo treba pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec. Če želite to narediti, razdelite število, ki smo ga našli (skupni večkratnik), z imenovalcem ulomka, za katerega je treba določiti dodatne faktorje.

90 deljeno s 15. Dobljeno število "6" bo množitelj za 3/15.
90 deljeno z 18. Dobljeno število "5" bo množitelj za 4/18.

Naslednja stopnja naše rešitve je zmanjšanje vsakega ulomka na imenovalec "90".

O tem, kako se to naredi, smo že govorili. Poglejmo, kako je to zapisano na primeru:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Če imajo ulomki majhna števila, potem lahko določite skupni imenovalec, kot je prikazano v primeru na spodnji sliki.

Enako velja za tiste z različnimi imenovalci.

Odštevanje in ob celih delih

O odštevanju ulomkov in njihovem seštevanju smo že podrobno govorili. Toda kako odšteti, če ima ulomek celo število? Spet uporabimo nekaj pravil:

Pretvori vse ulomke, ki imajo celo število, v neprave. Preprosto povedano, odstranite celoten del. Če želite to narediti, pomnožite število celega dela z imenovalcem ulomka in dodajte dobljeni produkt k števcu. Število, ki se pojavi po teh dejanjih, je števec nepravilnega ulomka. Imenovalec ostane nespremenjen.
Če imajo ulomki različne imenovalce, jih je treba zmanjšati na isti imenovalec.
Izvedite seštevanje ali odštevanje z istimi imenovalci.
Ko prejmete nepravilni ulomek, izberite cel del.

Obstaja še en način, na katerega lahko seštevate in odštevate ulomke s celimi deli. Za to se dejanja izvajajo ločeno s celimi deli, dejanja z ulomki ločeno, rezultati pa se zabeležijo skupaj.

Podani primer je sestavljen iz ulomkov, ki imajo enak imenovalec. V primeru, da so imenovalci različni, jih je treba spraviti na isto vrednost in nato izvesti dejanja, kot je prikazano v primeru.

Odštevanje ulomkov od celih števil

Druga vrsta operacije z ulomki je primer, ko je treba ulomek odšteti. Tak primer se na prvi pogled zdi težko rešljiv. Vendar je tukaj vse precej preprosto. Če ga želite rešiti, morate pretvoriti celo število v ulomek in z enakim imenovalcem, kot je v odštetem ulomku. Nato izvedemo odštevanje podobno odštevanju z enakimi imenovalci. Na primeru je videti takole:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odštevanje ulomkov (6. razred), predstavljeno v tem članku, je osnova za reševanje zahtevnejših primerov, ki jih obravnavamo v naslednjih razredih. Znanje te teme se kasneje uporabi za reševanje funkcij, odvodov ipd. Zato je zelo pomembno razumeti in razumeti zgoraj obravnavane operacije z ulomki.

Naslednje dejanje, ki ga lahko izvedemo z navadnimi ulomki, je odštevanje. V tem gradivu si bomo ogledali, kako pravilno izračunati razliko med ulomki z enakimi in drugačnimi imenovalci, kako odšteti ulomek od naravnega števila in obratno. Vsi primeri bodo ponazorjeni s problemi. Vnaprej pojasnimo, da bomo preučili samo primere, kjer razlika ulomkov povzroči pozitivno število.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kako najti razliko med ulomki z enakimi imenovalci

Začnimo takoj z jasnim primerom: recimo, da imamo jabolko, ki je razdeljeno na osem delov. Pustimo pet delov na krožniku in vzamemo dva. To dejanje lahko zapišemo takole:

Posledično nam ostanejo 3 osmine, saj je 5 − 2 = 3. Izkazalo se je, da je 5 8 - 2 8 = 3 8.

S tem preprostim primerom smo natančno videli, kako deluje pravilo odštevanja za ulomke, katerih imenovalci so enaki. Oblikujmo ga.

Definicija 1

Če želite ugotoviti razliko med ulomki z enakimi imenovalci, morate od števca enega odšteti števec drugega in pustiti imenovalec enak. To pravilo lahko zapišemo kot a b - c b = a - c b.

To formulo bomo uporabljali v prihodnje.

Vzemimo konkretne primere.

Primer 1

Od ulomka 24 15 odštej navadni ulomek 17 15.

rešitev

Vidimo, da imajo ti ulomki enake imenovalce. Vse kar moramo narediti je, da od 24 odštejemo 17. Dobimo 7 in mu dodamo imenovalec, dobimo 7 15.

Naše izračune lahko zapišemo takole: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Če je potrebno, lahko skrajšate zapleten ulomek ali izberete cel del iz nepravilnega ulomka, da bo štetje bolj priročno.

Primer 2

Poišči razliko 37 12 - 15 12.

rešitev

Uporabimo zgoraj opisano formulo in izračunajmo: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Preprosto opazimo, da lahko števec in imenovalec delimo z 2 (o tem smo že govorili prej, ko smo preučevali znake deljivosti). Če skrajšamo odgovor, dobimo 11 6. To je nepravi ulomek, iz katerega bomo izbrali cel del: 11 6 = 1 5 6.

Kako najti razliko ulomkov z različnimi imenovalci

To matematično operacijo je mogoče zmanjšati na tisto, kar smo že opisali zgoraj. Da bi to naredili, preprosto zmanjšamo potrebne ulomke na isti imenovalec. Oblikujmo definicijo:

Definicija 2

Če želite najti razliko med ulomki, ki imajo različne imenovalce, jih morate zmanjšati na isti imenovalec in poiskati razliko med števci.

Poglejmo primer, kako se to naredi.

Primer 3

Odštejte ulomek 1 15 od 2 9.

rešitev

Imenovalci so različni in jih morate zmanjšati na najmanjšo skupno vrednost. V tem primeru je LCM 45. Prvi ulomek zahteva dodatni faktor 5, drugi pa 3.

Izračunajmo: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Imamo dva ulomka z enakim imenovalcem in zdaj lahko zlahka poiščemo njuno razliko z uporabo prej opisanega algoritma: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Kratek povzetek rešitve je videti takole: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

Ne zanemarite zmanjšanja rezultata ali po potrebi ločitve celotnega dela od njega. V tem primeru nam tega ni treba narediti.

Primer 4

Poišči razliko 19 9 - 7 36.

rešitev

Zmanjšajmo ulomke, navedene v pogoju, na najmanjši skupni imenovalec 36 in dobimo 76 9 oziroma 7 36.

Izračunamo odgovor: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Rezultat lahko zmanjšate za 3 in dobite 23 12. Števec je večji od imenovalca, kar pomeni, da lahko izberemo cel del. Končni odgovor je 1 11 12.

Kratek povzetek celotne rešitve je 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

Kako od navadnega ulomka odštejemo naravno število

To dejanje je mogoče enostavno zmanjšati tudi na preprosto odštevanje navadnih ulomkov. To lahko naredimo tako, da naravno število predstavimo kot ulomek. Pokažimo to s primerom.

Primer 5

Poišči razliko 83 21 – 3 .

rešitev

3 je enako kot 31. Potem lahko izračunate takole: 83 21 - 3 = 20 21.

Če pogoj zahteva odštevanje celega števila od nepravilnega ulomka, je bolj priročno, da celo število najprej ločimo od njega tako, da ga zapišemo kot mešano število. Potem lahko prejšnji primer rešimo drugače.

Iz ulomka 83 21 je pri ločevanju celotnega dela rezultat 83 21 = 3 20 21.

Zdaj pa od tega odštejmo 3: 3 20 21 - 3 = 20 21.

Kako odšteti ulomek od naravnega števila

To dejanje izvedemo na podoben način kot prejšnje: naravno število prepišemo kot ulomek, oba spravimo na en imenovalec in poiščemo razliko. Naj to ponazorimo s primerom.

Primer 6

Poišči razliko: 7 - 5 3 .

rešitev

Naredimo 7 ulomek 7 1. Izvedemo odštevanje in pretvorimo končni rezultat, tako da od njega ločimo cel del: 7 - 5 3 = 5 1 3.

Obstaja še en način za izračune. Ima nekaj prednosti, ki jih je mogoče uporabiti v primerih, ko so števci in imenovalci ulomkov v problemu velika števila.

Definicija 3

Če je ulomek, ki ga je treba odšteti, pravilen, moramo naravno število, od katerega odštevamo, predstaviti kot vsoto dveh števil, od katerih je eno enako 1. Po tem morate od enega odšteti želeni ulomek in dobiti odgovor.

Primer 7

Izračunaj razliko 1 065 - 13 62.

rešitev

Ulomek, ki ga je treba odšteti, je pravilen, ker je njegov števec manjši od imenovalca. Zato moramo od 1065 odšteti eno in od tega odšteti želeni ulomek: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Zdaj moramo najti odgovor. Z uporabo lastnosti odštevanja lahko dobljeni izraz zapišemo kot 1064 + 1 - 13 62. Izračunajmo razliko v oklepajih. Za to si predstavljajmo enoto kot ulomek 1 1.

Izkazalo se je, da je 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

Zdaj pa se spomnimo na 1064 in oblikujmo odgovor: 1064 49 62.

Uporabljamo staro metodo, da dokažemo, da je manj priročna. To so izračuni, do katerih bi prišli:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Odgovor je enak, le da so izračuni očitno bolj okorni.

Ogledali smo si primer, ko moramo odšteti pravilni ulomek. Če je napačno, ga nadomestimo z mešanim številom in odštejemo po znanih pravilih.

Primer 8

Izračunaj razliko 644 - 73 5.

rešitev

Drugi ulomek je nepravi ulomek in od njega je treba ločiti cel del.

Sedaj računamo podobno kot v prejšnjem primeru: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Lastnosti odštevanja pri delu z ulomki

Lastnosti, ki jih ima odštevanje naravnih števil, veljajo tudi za primere odštevanja navadnih ulomkov. Poglejmo, kako jih uporabiti pri reševanju primerov.

Primer 9

Poišči razliko 24 4 - 3 2 - 5 6.

rešitev

Podobne primere smo že reševali, ko smo gledali odštevanje vsote od števila, torej sledimo znanemu algoritmu. Najprej izračunajmo razliko 25 4 - 3 2 in nato od nje odštejmo zadnji ulomek:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Transformirajmo odgovor tako, da od njega ločimo cel del. Rezultat - 3 11 12.

Kratek povzetek celotne rešitve:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Če izraz vsebuje tako ulomke kot naravna števila, je priporočljivo, da jih pri računanju združite po vrsti.

Primer 10

Poišči razliko 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

rešitev

Če poznamo osnovne lastnosti odštevanja in seštevanja, lahko števila združimo v skupine na naslednji način: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Dokončajmo izračune: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kot vemo iz matematike, je ulomek sestavljen iz števca in imenovalca. Števec je na vrhu, imenovalec pa na dnu.

Povsem preprosto je izvajati matematične operacije seštevanja ali odštevanja ulomkov z enakim imenovalcem. Številke v števcu (zgoraj) moraš znati sešteti ali odšteti, in ista spodnja številka ostane nespremenjena.

Na primer, vzemimo ulomek 7/9, tukaj:

številka "sedem" na vrhu je števnik;
številka »devet« spodaj je imenovalec.

Primer 1. Dodatek:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Primer 2. odštevanje:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Odštevanje preprostih ulomkov, ki imajo različne imenovalce

Če želite izvesti matematično operacijo odštevanja količin, ki imajo različne imenovalce, jih morate najprej zmanjšati na en imenovalec. Pri izvajanju te naloge se je treba držati pravila, da mora biti ta skupni imenovalec najmanjši od vseh možnih možnosti.

Primer 3

Podani sta dve enostavni količini z različnimi imenovalci (nižja števila): 7/8 in 2/9.

Od prve vrednosti je treba odšteti drugo.

Rešitev je sestavljena iz več korakov:

1. Poiščite skupno nižje število, tj. nekaj, kar je deljivo z nižjo vrednostjo prvega in drugega ulomka. To bo število 72, saj je večkratnik števil osem in devet.

2. Spodnja številka vsakega ulomka se je povečala:

število "osem" v ulomku 7/8 se je povečalo za devetkrat - 8*9=72;
število “devet” v ulomku 2/9 se je povečalo za osemkrat - 9*8=72.

3. Če se je spremenil imenovalec (spodnja številka), se mora spremeniti tudi števec (zgornja številka). V skladu z obstoječim matematičnim pravilom je treba zgornjo številko povečati za natanko toliko kot spodnjo. To je:

števec "sedem" v prvem ulomku (7/8) se pomnoži s številom "devet" - 7*9=63;
Števec "dva" v drugem ulomku (2/9) pomnožimo s številom "osem" - 2*8=16.

4. Kot rezultat naših dejanj smo dobili dve novi količini, ki pa sta enaki prvotnim.

prvi: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
drugič: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Sedaj je mogoče odšteti eno delno število od drugega:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Ko izvedemo to dejanje, se vrnemo k temi odštevanja ulomkov z enakimi spodnjimi števkami (imenovalci). To pomeni, da bo dejanje odštevanja izvedeno na vrhu, v števcu, spodnja številka pa bo prenesena brez sprememb.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Primer 4

Zakomplicirajmo problem tako, da za rešitev vzamemo več ulomkov z različnimi, vendar več številkami na dnu.

Podane vrednosti so: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

V tem zaporedju jih je treba odvzeti drug od drugega.

1. Z zgornjo metodo pripeljemo ulomke na skupni imenovalec, ki bo številka "24":

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - to zadnjo vrednost pustimo nespremenjeno, saj je imenovalec skupno število "24".

2. Odštejemo vse količine:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Ker sta števec in imenovalec dobljenega ulomka deljiva z enim številom, ju je mogoče zmanjšati z deljenjem s številom "tri":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Odgovor zapišemo takole:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Primer 5

Podani so trije ulomki z nekratnimi imenovalci: 3/4; 2/7; 1/13.

Morate najti razliko.

1. Prvi dve številki pripeljemo na skupni imenovalec, to bo številka "28":

¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Odštejte prva dva ulomka drug od drugega:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Od dobljene vrednosti odštejemo tretji dani ulomek:

4. Števila spravimo na skupni imenovalec. Če istega imenovalca ni mogoče izbrati na lažji način, potem morate le izvesti korake tako, da vse imenovalce zaporedno pomnožite enega z drugim, pri čemer ne pozabite povečati vrednosti števca za isto številko. V tem primeru naredimo to:

13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, kjer je 13 spodnja številka 5/13;
5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, kjer je 28 nižje število od 13/28.

5. Odštejte nastale ulomke:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Odgovor: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Mešane frakcije

V zgoraj obravnavanih primerih so bili uporabljeni samo pravi ulomki.

Kot primer:

8/9 je pravilen ulomek;
9/8 je napačen.

Nepravilnega ulomka je nemogoče spremeniti v pravi ulomek, mogoče pa ga je spremeniti mešano. Zakaj delite zgornje število (števec) z spodnjim (imenovalec), da dobite število z ostankom? Celo število, ki nastane pri deljenju, zapišemo takole, ostanek zapišemo v števec na vrhu, imenovalec na dnu pa ostane enak. Da bo bolj jasno, poglejmo konkreten primer:

Primer 6

Pretvorite nepravilni ulomek 9/8 v pravilnega.

Če želite to narediti, razdelite število "devet" na "osem", kar ima za posledico mešani ulomek s celim številom in ostankom:

9: 8 = 1 in 1/8 (to lahko zapišemo drugače kot 1+1/8), kjer:

številka 1 je celo število, ki izhaja iz deljenja;
drugo število 1 je ostanek;
število 8 je imenovalec, ki ostane nespremenjen.

Celo število imenujemo tudi naravno število.

Ostanek in imenovalec sta nov, a pravi ulomek.

Ko pišemo številko 1, jo pišemo pred pravim ulomkom 1/8.

Odštevanje mešanih števil z različnimi imenovalci

Iz zgornjega podajamo definicijo mešanega delnega števila: "Mešano število - to je količina, ki je enaka vsoti celega števila in pravega navadnega ulomka. V tem primeru se kliče celoten del naravno število, in številka, ki je ostala, je njegova delni del».

Primer 7

Podano: dve mešani ulomki, sestavljeni iz celega števila in pravega ulomka:

prva vrednost je 9 in 4/7, to je (9+4/7);
druga vrednost je 3 in 5/21, to je (3+5/21).

Treba je najti razliko med temi količinami.

1. Če želite odšteti 3+5/21 od 9+4/7, morate najprej odšteti celoštevilske vrednosti eno od druge:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Rezultat razlike med dvema mešanima številoma bo sestavljen iz naravnega (celega) števila 6 in pravega ulomka 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematiki iz vseh držav so se strinjali, da se znak "+" pri pisanju mešanih količin lahko izpusti in pred ulomkom pusti samo celo število brez predznaka.

Ta lekcija bo zajemala seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci. Navadne ulomke z različnimi imenovalci že znamo seštevati in odštevati. Da bi to naredili, je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Izkazalo se je, da algebraični ulomki sledijo istim pravilom. Hkrati pa že znamo algebraične ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je ena najpomembnejših in najtežjih tem v 8. razredu. Poleg tega se bo ta tema pojavila v številnih temah tečaja algebre, ki ga boste študirali v prihodnosti. V okviru lekcije bomo preučili pravila za dodajanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci ter analizirali številne tipične primere.

Oglejmo si najpreprostejši primer za navadne ulomke.

Primer 1. Dodajte ulomke: .

rešitev:

Spomnimo se pravila seštevanja ulomkov. Za začetek je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Skupni imenovalec navadnih ulomkov je najmanjši skupni večkratnik(LCM) prvotnih imenovalcev.

Opredelitev

Najmanjše naravno število, ki je deljivo s številoma in .

Če želite najti LCM, morate imenovalce faktorizirati v prafaktorje in nato izbrati vse prafaktorje, ki so vključeni v razširitev obeh imenovalcev.

; . Potem mora LCM števil vsebovati dve dvojki in dve trojki: .

Ko najdete skupni imenovalec, morate za vsak ulomek poiskati dodaten faktor (pravzaprav skupni imenovalec delite z imenovalcem ustreznega ulomka).

Vsak ulomek se nato pomnoži z dobljenim dodatnim faktorjem. Dobimo ulomke z enakimi imenovalci, ki smo se jih naučili seštevati in odštevati v prejšnjih urah.

Dobimo: .

odgovor:.

Oglejmo si zdaj seštevanje algebraičnih ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej si poglejmo ulomke, katerih imenovalec so števila.

Primer 2. Dodajte ulomke: .

rešitev:

Algoritem rešitve je popolnoma podoben prejšnjemu primeru. Enostavno je najti skupni imenovalec teh ulomkov: in dodatne faktorje za vsakega od njih.

odgovor:.

Torej, oblikujmo algoritem za seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci:

1. Poišči najmanjši skupni imenovalec ulomkov.

2. Za vsakega od ulomkov poišči dodatne faktorje (tako, da skupni imenovalec deliš z imenovalcem danega ulomka).

3. Števce pomnožite z ustreznimi dodatnimi faktorji.

4. Seštevaj ali odštevaj ulomke po pravilih za seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Oglejmo si zdaj primer z ulomki, katerih imenovalec vsebuje črkovne izraze.

Primer 3. Dodajte ulomke: .

rešitev:

Ker so črkovni izrazi v obeh imenovalcih enaki, bi morali najti skupni imenovalec za številke. Končni skupni imenovalec bo videti takole: . Tako je rešitev tega primera videti takole:.

odgovor:.

Primer 4. Odštej ulomke: .

rešitev:

Če pri izbiri skupnega imenovalca ne znaš »goljufati« (ne znaš ga faktorizirati ali uporabiti skrajšanih formul za množenje), potem moraš za skupni imenovalec vzeti zmnožek imenovalcev obeh ulomkov.

odgovor:.

Na splošno je pri reševanju takih primerov najtežje najti skupni imenovalec.

Poglejmo bolj zapleten primer.

Primer 5. Poenostavite:.

rešitev:

Pri iskanju skupnega imenovalca morate najprej poskusiti faktorizirati imenovalce prvotnih ulomkov (za poenostavitev skupnega imenovalca).

V tem konkretnem primeru:

Potem je enostavno določiti skupni imenovalec: .

Določimo dodatne faktorje in rešimo ta primer:

odgovor:.

Zdaj pa določimo pravila za seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer 6. Poenostavite:.

rešitev:

odgovor:.

Primer 7. Poenostavite:.

rešitev:

odgovor:.

Poglejmo zdaj primer, v katerem nista dodana dva, ampak trije ulomki (navsezadnje pravila seštevanja in odštevanja za večje število ulomkov ostajajo enaka).

Primer 8. Poenostavite:.

§ 87. Seštevanje ulomkov.

Seštevanje ulomkov je veliko podobno seštevanju celih števil. Seštevanje ulomkov je dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se več danih števil (izrazov) združi v eno število (vsoto), ki vsebuje vse enote in ulomke enot izrazov.

Zaporedoma bomo obravnavali tri primere:

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Seštevanje mešanih števil.

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Razmislite o primeru: 1/5 + 2/5.

Vzemimo segment AB (slika 17), ga vzemimo kot enega in ga razdelimo na 5 enakih delov, potem bo del AC tega segmenta enak 1/5 segmenta AB, del istega segmenta CD pa bo enak 2/5 AB.

Iz risbe je razvidno, da če vzamemo segment AD, bo ta enak 3/5 AB; vendar je segment AD natanko vsota segmentov AC in CD. Torej lahko zapišemo:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ob upoštevanju teh členov in dobljene vsote vidimo, da smo števec vsote dobili s seštevanjem števcev členov, imenovalec pa je ostal nespremenjen.

Iz tega dobimo naslednje pravilo: Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti in pustiti enak imenovalec.

Poglejmo primer:

2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Seštejmo ulomke: 3 / 4 + 3 / 8 Najprej jih je treba zreducirati na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesnega člena 6/8 + 3/8 ni bilo mogoče napisati; tukaj smo zapisali zaradi jasnosti.

Torej, če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec, sešteti njihove števce in označiti skupni imenovalec.

Oglejmo si primer (nad ustreznimi ulomki bomo zapisali dodatne faktorje):

3. Seštevanje mešanih števil.

Seštejmo številki: 2 3/8 + 3 5/6.

Najprej spravimo ulomke naših števil na skupni imenovalec in jih ponovno zapišimo:

Sedaj zaporedno seštevamo cela in ulomka:

§ 88. Odštevanje ulomkov.

Odštevanje ulomkov je definirano na enak način kot odštevanje celih števil. To je dejanje, s pomočjo katerega se glede na vsoto dveh členov in enega od njiju najde drug člen. Oglejmo si tri primere zaporedoma:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Odštevanje mešanih števil.

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Poglejmo primer:

13 / 15 - 4 / 15

Vzemimo segment AB (slika 18), ga vzemimo kot enoto in ga razdelimo na 15 enakih delov; potem bo del AC tega segmenta predstavljal 1/15 AB, del AD istega segmenta pa bo ustrezal 13/15 AB. Odložimo še en segment ED, ki je enak 4/15 AB.

Od 13/15 moramo odšteti ulomek 4/15. Na risbi to pomeni, da je treba segment ED odšteti od segmenta AD. Posledično bo ostal segment AE, ki je 9/15 segmenta AB. Torej lahko zapišemo:

Primer, ki smo ga naredili, kaže, da smo števec razlike dobili z odštevanjem števcev, imenovalec pa je ostal enak.

Zato morate za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci odšteti števec odštevanca od števca manjšega in pustiti isti imenovalec.

2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer. 3/4 - 5/8

Najprej zmanjšajmo te ulomke na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesni 6 / 8 - 5 / 8 je zapisan tukaj zaradi jasnosti, vendar ga lahko pozneje preskočite.

Če želite torej od ulomka odšteti ulomek, ju morate najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec, nato odšteti števec manjšega od števca manjšega in skupni imenovalec podpisati pod njihovo razliko.

Poglejmo primer:

3. Odštevanje mešanih števil.

Primer. 10 3/4 - 7 2/3.

Zmanjšajmo ulomke manjšega in odštevanca na najmanjši skupni imenovalec:

Celo smo odšteli od cele in od ulomka ulomek. Toda obstajajo primeri, ko je delni del tega, kar se odšteje, večji od delnega dela tega, kar se zmanjšuje. V takšnih primerih morate vzeti eno enoto iz celega dela minuenda, jo razdeliti na tiste dele, v katerih je izražen ulomek, in jo dodati ulomljenemu delu minuenda. In potem bo odštevanje izvedeno na enak način kot v prejšnjem primeru:

§ 89. Množenje ulomkov.

Pri preučevanju množenja ulomkov bomo upoštevali naslednja vprašanja:

1. Množenje ulomka s celim številom.
2. Iskanje ulomka danega števila.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
4. Množenje ulomka z ulomkom.
5. Množenje mešanih števil.
6. Koncept obresti.
7. Iskanje odstotka danega števila. Razmislimo o njih zaporedno.

1. Množenje ulomka s celim številom.

Množenje ulomka s celim številom ima enak pomen kot množenje celega števila s celim številom. Množenje ulomka (množnika) s celim številom (faktorjem) pomeni ustvariti vsoto enakih členov, v kateri je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.

To pomeni, da če morate pomnožiti 1/9 s 7, lahko to storite takole:

Rezultat smo zlahka dobili, saj se je dejanje zmanjšalo na seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. torej

Upoštevanje tega dejanja pokaže, da je množenje ulomka s celim številom enakovredno povečanju tega ulomka za tolikokrat, kot je število enot, ki jih vsebuje celo število. In ker se povečanje ulomka doseže s povečanjem njegovega števca

ali z zmanjšanjem njegovega imenovalca , potem lahko bodisi pomnožimo števec s celim številom bodisi z njim delimo imenovalec, če je tako deljenje možno.

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti ulomek s celim številom, pomnožite števec s tem celim številom in pustite imenovalec enak ali, če je mogoče, delite imenovalec s tem številom, števec pa pustite nespremenjen.

Pri množenju so možne okrajšave, npr.

2. Iskanje ulomka danega števila. Obstaja veliko nalog, pri katerih morate najti ali izračunati del danega števila. Razlika med temi problemi in drugimi je v tem, da podajajo število nekaterih predmetov ali merskih enot in morate najti del tega števila, ki je tudi tukaj označen z določenim ulomkom. Za lažje razumevanje bomo najprej navedli primere tovrstnih problemov, nato pa predstavili metodo za njihovo reševanje.

Naloga 1. Imel sem 60 rubljev; 1/3 tega denarja sem porabil za nakup knjig. Koliko so stale knjige?

Naloga 2. Vlak mora prevoziti razdaljo med mestoma A in B, ki je enaka 300 km. Prevozil je že 2/3 te razdalje. Koliko kilometrov je to?

Naloga 3. V vasi je 400 hiš, 3/4 so zidane, ostale so lesene. Koliko zidanih hiš je skupaj?

To je nekaj od številnih težav, ki vključujejo iskanje dela danega števila, s katerimi se srečujemo. Običajno se imenujejo naloge iskanja ulomka danega števila.

Rešitev problema 1. Od 60 rub. 1/3 sem porabil za knjige; To pomeni, da morate za ugotovitev cene knjig število 60 deliti s 3:

Reševanje problema 2. Bistvo problema je v tem, da morate najti 2/3 od 300 km. Najprej izračunajmo 1/3 od 300; to dobimo tako, da 300 km delimo s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Če želite najti dve tretjini od 300, morate dobljeni količnik podvojiti, tj. pomnožiti z 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Reševanje problema 3. Tukaj morate določiti število zidanih hiš, ki sestavljajo 3/4 od 400. Najprej poiščemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Za izračun treh četrtin od 400 je treba dobljeni količnik potrojiti, tj. pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na podlagi rešitve teh problemov lahko izpeljemo naslednje pravilo:

Če želite poiskati vrednost ulomka iz danega števila, morate to število deliti z imenovalcem ulomka in dobljeni količnik pomnožiti z njegovim števcem.

3. Množenje celega števila z ulomkom.

Prej (§ 26) je bilo ugotovljeno, da je treba množenje celih števil razumeti kot seštevanje enakih členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tem odstavku (1. točka) je bilo ugotovljeno, da množenje ulomka s celim številom pomeni iskanje vsote enakih členov, ki so enaki temu ulomku.

V obeh primerih je množenje obsegalo iskanje vsote enakih členov.

Zdaj preidemo na množenje celega števila z ulomkom. Tukaj bomo naleteli na primer na množenje: 9 2 / 3. Jasno je, da prejšnja definicija množenja v tem primeru ne velja. To je razvidno iz dejstva, da takšnega množenja ne moremo nadomestiti s seštevanjem enakih števil.

Zaradi tega bomo morali podati novo definicijo množenja, torej z drugimi besedami odgovoriti na vprašanje, kaj naj razumemo pod množenjem z ulomkom, kako to dejanje razumeti.

Pomen množenja celega števila z ulomkom je jasen iz naslednje definicije: množenje celega števila (množnika) z ulomkom (množnika) pomeni iskanje tega ulomka množenika.

Namreč pomnožiti 9 z 2/3 pomeni najti 2/3 od devetih enot. V prejšnjem odstavku so bili tovrstni problemi rešeni; zato je enostavno ugotoviti, da bomo na koncu imeli 6.

Zdaj pa se postavlja zanimivo in pomembno vprašanje: zakaj se tako na videz različne operacije, kot sta iskanje vsote enakih števil in iskanje ulomka števila, v aritmetiki imenujejo z isto besedo »množenje«?

To se zgodi zato, ker prejšnje dejanje (večkratno ponavljanje števila s členi) in novo dejanje (iskanje ulomka števila) dajeta odgovore na homogena vprašanja. To pomeni, da tukaj izhajamo iz tega, da se homogena vprašanja ali naloge rešujejo z istim dejanjem.

Da bi to razumeli, razmislite o naslednji težavi: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 4 m takega blaga?

Ta problem se reši tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (4), to je 50 x 4 = 200 (rub.).

Vzemimo isto težavo, vendar bo v njej količina blaga izražena kot ulomek: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 3/4 m takega blaga?«

Tudi ta problem je treba rešiti tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (3/4).

Številke v njem lahko še večkrat spremenite, ne da bi spremenili pomen problema, na primer vzemite 9/10 m ali 2 3/10 m itd.

Ker imajo te naloge enako vsebino in se razlikujejo le po številkah, dejanja, ki se uporabljajo pri njihovem reševanju, imenujemo z isto besedo – množenje.

Kako pomnožiš celo število z ulomkom?

Vzemimo številke, ki smo jih našli pri zadnji težavi:

Po definiciji moramo najti 3/4 od 50. Najprej poiščemo 1/4 od 50 in nato 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 števila 50 je .

Zato.

Poglejmo še en primer: 12 5 / 8 =?

1/8 števila 12 je 12/8,

5/8 števila 12 je .

torej

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti celo število z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in narediti ta produkt števec, imenovalec tega ulomka pa podpisati kot imenovalec.

Zapišimo to pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za množenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §.

Pomembno si je zapomniti, da morate pred izvajanjem množenja narediti (če je mogoče) zmanjšanja, Na primer:

4. Množenje ulomka z ulomkom. Množenje ulomka z ulomkom ima enak pomen kot množenje celega števila z ulomkom, tj. pri množenju ulomka z ulomkom morate ulomek najti v faktorju iz prvega ulomka (množenika).

Namreč pomnožiti 3/4 z 1/2 (polovico) pomeni najti polovico 3/4.

Kako pomnožiš ulomek z ulomkom?

Vzemimo primer: 3/4 pomnoženo s 5/7. To pomeni, da morate najti 5/7 od 3/4. Najprej poiščimo 1/7 od 3/4 in nato 5/7

1/7 števila 3/4 bo izražena kot sledi:

5/7 številke 3/4 bodo izražene na naslednji način:

torej

Drug primer: 5/8 pomnoženo s 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 števila 5/8 je .

torej

Iz teh primerov je mogoče razbrati naslednje pravilo:

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem, pri čemer bo prvi produkt števec, drugi produkt pa imenovalec produkta.

To pravilo lahko zapišemo v splošni obliki na naslednji način:

Pri množenju je treba (če je mogoče) zmanjšati. Poglejmo si primere:

5. Množenje mešanih števil. Ker je mešana števila zlahka zamenjati z nepravilnimi ulomki, se ta okoliščina običajno uporablja pri množenju mešanih števil. To pomeni, da se v primerih, ko sta množitelj ali faktor ali oba faktorja izražena kot mešana števila, nadomestita z nepravilnimi ulomki. Pomnožimo na primer mešana števila: 2 1/2 in 3 1/5. Vsakega od njih spremenimo v nepravi ulomek in nato dobljene ulomke pomnožimo po pravilu za množenje ulomka z ulomkom:

Pravilo.Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in jih nato pomnožiti po pravilu za množenje ulomkov z ulomki.

Opomba.Če je eden od faktorjev celo število, se lahko množenje izvede na podlagi distribucijskega zakona, kot sledi:

6. Koncept obresti. Pri reševanju nalog in izvajanju različnih praktičnih izračunov uporabljamo vse vrste ulomkov. Vendar se je treba zavedati, da številne količine zanje ne dopuščajo kakršnih koli, temveč naravne delitve. Na primer, lahko vzamete stotinko (1/100) rublja, to bo kopejka, dve stotinki sta 2 kopejka, tri stotinke pa 3 kopejka. Lahko vzamete 1/10 rublja, to bo "10 kopeck ali kos za deset kopecks". Lahko vzamete četrt rublja, to je 25 kopecks, pol rublja, to je 50 kopecks (petdeset kopecks). Ampak praktično ne jemljejo, na primer 2/7 rublja, ker rubelj ni razdeljen na sedmine.

Enota za težo, to je kilogram, omogoča predvsem decimalno deljenje, na primer 1/10 kg ali 100 g. Takšni deli kilograma, kot so 1/6, 1/11, 1/13, niso pogosti.

Na splošno so naše (metrične) mere decimalne in omogočajo decimalno deljenje.

Vendar je treba opozoriti, da je zelo uporabno in priročno v najrazličnejših primerih uporabljati enak (enoten) način delitve količin. Dolgoletne izkušnje so pokazale, da je tako upravičena delitev na »stotinko«. Poglejmo več primerov, ki se nanašajo na najrazličnejša področja človeške prakse.

1. Cena knjig se je znižala za 12/100 prejšnje cene.

Primer. Prejšnja cena knjige je bila 10 rubljev. Zmanjšal se je za 1 rubelj. 20 kopejk

2. Hranilnice izplačajo vlagateljem med letom 2/100 zneska varčevanja.

Primer. 500 rubljev se položi v blagajno, dohodek od tega zneska za leto je 10 rubljev.

3. Število diplomantov ene šole je bilo 5/100 celotnega števila dijakov.

PRIMER Na šoli je bilo le 1200 dijakov, od tega jih je 60 maturiralo.

Stotinko števila imenujemo odstotek.

Beseda "odstotek" je izposojena iz latinščine in njen koren "cent" pomeni sto. Skupaj s predlogom (pro centum) ta beseda pomeni »za sto«. Pomen tega izraza izhaja iz dejstva, da je bilo prvotno v starem Rimu obresti ime za denar, ki ga je dolžnik plačal posojilodajalcu »za vsakih sto«. Besedo "cent" slišimo v tako znanih besedah: centner (sto kilogramov), centimeter (recimo centimeter).

Na primer, namesto da rečemo, da je bila tovarna v preteklem mesecu proizvedla 1/100 vseh izdelkov, ki jih je proizvedla, z napako, bomo rekli tole: v preteklem mesecu je tovarna proizvedla en odstotek napak. Namesto da je obrat proizvedel 4/100 izdelkov več od postavljenega plana, bomo rekli: obrat je plan presegel za 4 odstotke.

Zgornje primere je mogoče izraziti drugače:

1. Cene knjig so se znižale za 12 odstotkov prejšnje cene.

2. Hranilnice plačujejo vlagateljem 2 odstotka letno od zneska, položenega v prihrankih.

3. Število maturantov ene šole je bilo 5 odstotkov vseh dijakov.

Za skrajšanje črke je običajno namesto besede "odstotek" napisati simbol %.

Ne pozabite pa, da pri izračunih znak % običajno ni zapisan, lahko je zapisan v izjavi o nalogi in v končnem rezultatu. Pri izračunih morate namesto celega števila s tem simbolom napisati ulomek z imenovalcem 100.

Celo število z navedeno ikono morate znati zamenjati z ulomkom z imenovalcem 100:

Nasprotno pa se morate navaditi pisati celo število z navedenim simbolom namesto ulomka z imenovalcem 100:

7. Iskanje odstotka danega števila.

Naloga 1.Šola je dobila 200 kubičnih metrov. m drv, od tega 30 % brezovih drv. Koliko je bilo brezovih drv?

Pomen tega problema je v tem, da so brezova drva predstavljala le del drv, ki so bila dostavljena šoli, in ta del je izražen v razmerju 30/100. To pomeni, da imamo nalogo najti ulomek števila. Da bi jo rešili, moramo 200 pomnožiti s 30/100 (probleme iskanja ulomka števila rešujemo tako, da število pomnožimo z ulomkom.).

To pomeni, da je 30 % od 200 enako 60.

Ulomek 30/100, na katerega naletimo v tem problemu, je mogoče zmanjšati za 10. To zmanjšanje bi bilo možno izvesti že od samega začetka; rešitev problema se ne bi spremenila.

Naloga 2. V taborišču je bilo 300 otrok različnih starosti. Otroci stari 11 let so predstavljali 21 %, otroci stari 12 let 61 % in končno 18 % otroci stari 13 let. Koliko otrok vsake starosti je bilo v taborišču?

V tej nalogi morate izvesti tri izračune, tj. zaporedno poiskati število otrok, starih 11 let, nato 12 let in nazadnje 13 let.

To pomeni, da boste morali tukaj trikrat najti ulomek števila. Naredimo to:

1) Koliko je bilo 11-letnih otrok?

2) Koliko je bilo 12-letnih otrok?

3) Koliko je bilo 13-letnih otrok?

Po rešitvi problema je koristno sešteti najdena števila; njihova vsota naj bo 300:

63 + 183 + 54 = 300

Upoštevati je treba tudi, da je vsota odstotkov, navedenih v izjavi o problemu, 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To pomeni, da je bilo skupno število otrok v taborišču vzeto za 100 %.

3 a d a h a 3. Delavec je prejel 1200 rubljev na mesec. Od tega je porabil 65 % za hrano, 6 % za stanovanja in ogrevanje, 4 % za plin, elektriko in radio, 10 % za kulturne potrebe in 15 % privarčeval. Koliko denarja je bilo porabljenega za potrebe, navedene v problemu?

Če želite rešiti to težavo, morate najti ulomek 1200 5-krat.

1) Koliko denarja je bilo porabljenega za hrano? Problem pravi, da je ta strošek 65% celotnega zaslužka, torej 65/100 od števila 1200. Naredimo izračun:

2) Koliko denarja ste plačali za stanovanje z ogrevanjem? S podobnim razmišljanjem kot prejšnji pridemo do naslednjega izračuna:

3) Koliko denarja ste plačali za plin, elektriko in radio?

4) Koliko denarja je bilo porabljenega za kulturne potrebe?

5) Koliko denarja je delavec prihranil?

Za preverjanje je koristno sešteti števila, ki jih najdete v teh 5 vprašanjih. Znesek mora biti 1200 rubljev. Vsi zaslužki so vzeti kot 100 %, kar je enostavno preveriti tako, da seštejete odstotne številke, navedene v izjavi o problemu.

Rešili smo tri probleme. Kljub temu, da so se ti problemi nanašali na različne stvari (dostava drv za šolo, število otrok različnih starosti, stroški delavca), so jih reševali na enak način. To se je zgodilo, ker je bilo pri vseh nalogah potrebno najti več odstotkov danih števil.

§ 90. Delitev ulomkov.

Ko preučujemo deljenje ulomkov, bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Deli celo število s celim številom.
2. Deljenje ulomka s celim številom
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
5. Deljenje mešanih števil.
6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.
7. Iskanje števila po odstotku.

Razmislimo jih zaporedno.

1. Deli celo število s celim številom.

Kot je bilo navedeno v oddelku za cela števila, je deljenje dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se glede na zmnožek dveh faktorjev (dividend) in enega od teh faktorjev (delitelj) najde drug faktor.

V razdelku o celih številih smo si ogledali deljenje celega števila s celim številom. Tam smo naleteli na dva primera deljenja: deljenje brez ostanka oziroma »v celoti« (150 : 10 = 15) in deljenje z ostankom (100 : 9 = 11 in 1 ostanek). Lahko torej rečemo, da na področju celih števil natančna delitev ni vedno mogoča, saj dividenda ni vedno zmnožek delitelja s celim številom. Po uvedbi množenja z ulomkom lahko štejemo za možne vse primere deljenja celih števil (izključeno je le deljenje z ničlo).

Na primer, deljenje 7 z 12 pomeni iskanje števila, katerega produkt z 12 bi bil enak 7. Takšno število je ulomek 7/12, ker je 7/12 12 = 7. Drug primer: 14: 25 = 14 / 25, ker je 14 / 25 25 = 14.

Torej, če želite deliti celo število s celim številom, morate ustvariti ulomek, katerega števec je enak dividendi in imenovalec enak delitelju.

2. Deljenje ulomka s celim številom.

Delite ulomek 6/7 s 3. V skladu z definicijo deljenja, podano zgoraj, imamo tukaj produkt (6/7) in enega od faktorjev (3); potrebno je poiskati drugi faktor, ki bi, če bi ga pomnožili s 3, dal dani produkt 6/7. Očitno bi moral biti trikrat manjši od tega izdelka. To pomeni, da je bila pred nami postavljena naloga zmanjšati ulomek 6/7 za 3-krat.

Vemo že, da lahko ulomek skrajšamo tako, da zmanjšamo njegov števec ali povečamo njegov imenovalec. Zato lahko napišete:

V tem primeru je števec 6 deljiv s 3, zato je treba števec zmanjšati za 3-krat.

Vzemimo drug primer: 5/8 deljeno z 2. Tukaj števec 5 ni deljiv z 2, kar pomeni, da bo treba imenovalec pomnožiti s tem številom:

Na podlagi tega je mogoče narediti pravilo: Če želite deliti ulomek s celim številom, morate števec ulomka deliti s tem celim številom.(če je mogoče), pustite enak imenovalec ali pa pomnožite imenovalec ulomka s tem številom in pustite enak števec.

3. Deljenje celega števila z ulomkom.

Naj bo treba 5 deliti z 1/2, tj. najti število, ki bo po množenju z 1/2 dalo produkt 5. Očitno mora biti to število večje od 5, saj je 1/2 pravi ulomek , pri množenju števila pa mora biti produkt pravilnega ulomka manjši od produkta, ki ga množimo. Da bo to jasnejše, zapišimo svoja dejanja na naslednji način: 5: 1 / 2 = X , kar pomeni x 1/2 = 5.

Takšno številko moramo najti X , kar bi, če bi ga pomnožili z 1/2, dalo 5. Ker množenje določenega števila z 1/2 pomeni iskanje 1/2 tega števila, potem je torej 1/2 neznanega števila X je enako 5 in celo število X dvakrat toliko, tj. 5 2 = 10.

Torej 5: 1/2 = 5 2 = 10

Preverimo:

Poglejmo še en primer. Recimo, da želite 6 deliti z 2/3. Najprej poskusimo najti želeni rezultat s pomočjo risbe (slika 19).

Slika 19

Narišimo odsek AB, ki je enak 6 enotam, in vsako enoto razdelimo na 3 enake dele. V vsaki enoti so tri tretjine (3/3) celotnega segmenta AB 6-krat večje, tj. e. 18/3. Z majhnimi oklepaji povežemo 18 nastalih segmentov 2; Segmentov bo samo 9. To pomeni, da je ulomek 2/3 vsebovan v 6 enotah 9-krat, ali z drugimi besedami, ulomek 2/3 je 9-krat manjši od 6 celih enot. torej

Kako do tega rezultata brez risbe samo z izračuni? Recimo takole: 6 moramo deliti z 2/3, tj. odgovoriti moramo na vprašanje, kolikokrat 2/3 vsebuje 6. Ugotovimo najprej: kolikokrat 1/3 vsebuje 6? V celi enoti so 3 tretjine, v 6 enotah pa 6-krat več, to je 18 tretjin; da bi našli to število, moramo 6 pomnožiti s 3. To pomeni, da je 1/3 vsebovana v b enotah 18-krat, 2/3 pa je vsebovana v b enotah ne 18-krat, ampak polovico manj, tj. 18: 2 = 9 Zato smo pri deljenju 6 z 2/3 naredili naslednje:

Od tu dobimo pravilo za deljenje celega števila z ulomkom. Če želite celo število deliti z ulomkom, morate to celo število pomnožiti z imenovalcem danega ulomka in tako, da je ta produkt števec, ga deliti s števcem danega ulomka.

Zapišimo pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno ugotovljeno pravilo primerjati s pravilom za deljenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §. Upoštevajte, da je bila tam pridobljena ista formula.

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

4. Deljenje ulomka z ulomkom.

Recimo, da moramo 3/4 deliti s 3/8. Kaj pomeni število, ki nastane pri deljenju? Odgovoril bo na vprašanje, kolikokrat je ulomek 3/8 vsebovan v ulomku 3/4. Da bi razumeli to težavo, naredimo risbo (slika 20).

Vzemimo odsek AB, ga vzemimo kot enega, ga razdelimo na 4 enake dele in označimo 3 take dele. Odsek AC bo enak 3/4 segmenta AB. Razdelimo zdaj vsakega od štirih prvotnih segmentov na pol, potem bo segment AB razdeljen na 8 enakih delov in vsak tak del bo enak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takšne segmente z loki, potem bo vsak od segmentov AD in DC enak 3/8 segmenta AB. Risba kaže, da je segment, enak 3/8, vsebovan v segmentu, ki je enak 3/4, točno 2-krat; To pomeni, da lahko rezultat deljenja zapišemo takole:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Poglejmo še en primer. Recimo, da moramo 15/16 deliti s 3/32:

Lahko sklepamo takole: najti moramo število, ki bo po množenju s 3/32 dalo produkt enak 15/16. Zapišimo izračune takole:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznana številka X so 15/16

1/32 neznanega števila X je,

32/32 številke X make up .

torej

Torej, če želite deliti ulomek z ulomkom, morate števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in imenovalec prvega ulomka s števcem drugega in prvi produkt narediti števec, drugi pa imenovalec.

Zapišimo pravilo s črkami:

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

5. Deljenje mešanih števil.

Pri deljenju mešanih števil jih je treba najprej pretvoriti v neprave ulomke, nato pa nastale ulomke deliti po pravilih za deljenje ulomkov. Poglejmo primer:

Pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:

Zdaj pa razdelimo:

Če želite deliti mešana števila, jih morate torej pretvoriti v neprave ulomke in nato deliti po pravilu za deljenje ulomkov.

6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.

Med različnimi težavami z ulomki so včasih tudi takšne, v katerih je podana vrednost nekega ulomka neznanega števila in to število morate najti. Ta vrsta problema bo inverzna problemu iskanja ulomka danega števila; tam je bilo podano število in bilo je potrebno najti nek delček tega števila, tukaj je bil podan delček števila in zahtevano je bilo najti to število samo. Ta ideja bo postala še bolj jasna, če se bomo posvetili reševanju tovrstnih problemov.

Naloga 1. Prvi dan so steklarji zasteklili 50 oken, kar je 1/3 vseh oken zgrajene hiše. Koliko oken je v tej hiši?

rešitev. Problem pravi, da 50 zastekljenih oken predstavlja 1/3 vseh oken v hiši, kar pomeni, da je vseh oken 3x več, tj.

Hiša je imela 150 oken.

Naloga 2. V trgovini so prodali 1500 kg moke, kar je 3/8 celotne zaloge moke v trgovini. Kakšna je bila začetna zaloga moke v trgovini?

rešitev. Iz pogojev problema je razvidno, da 1500 kg prodane moke predstavlja 3/8 celotne zaloge; to pomeni, da bo 1/8 te rezerve 3-krat manjša, tj. da jo izračunate, morate 1500 zmanjšati za 3-krat:

1.500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezerve).

Očitno bo celotna ponudba 8-krat večja. torej

500 8 = 4000 (kg).

Začetna zaloga moke v trgovini je bila 4000 kg.

Iz obravnave tega problema je mogoče razbrati naslednje pravilo.

Če želite najti število iz dane vrednosti njegovega ulomka, je dovolj, da to vrednost delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem ulomka.

Rešili smo dve nalogi iskanja števila po danem ulomku. Takšne težave, kot je še posebej jasno razvidno iz zadnjega, se rešujejo z dvema dejanjema: deljenjem (ko najdemo en del) in množenjem (ko najdemo celo število).

Ko pa smo se naučili deliti ulomke, lahko zgornje probleme rešimo z enim dejanjem, in sicer z deljenjem z ulomkom.

Na primer, zadnjo nalogo je mogoče rešiti z enim dejanjem, kot je ta:

V prihodnje bomo naloge iskanja števila iz njegovega ulomka reševali z enim dejanjem – deljenjem.

7. Iskanje števila po odstotku.

V teh nalogah boste morali najti število, ki pozna nekaj odstotkov tega števila.

Naloga 1. V začetku tega leta sem od hranilnice prejel 60 rubljev. dohodek od zneska, ki sem ga privarčeval pred enim letom. Koliko denarja sem dal v hranilnico? (Blagajne dajejo vlagateljem 2-odstotni donos na leto.)

Bistvo problema je v tem, da sem dal določeno vsoto denarja v hranilnico in tam ostal eno leto. Po enem letu sem od nje prejel 60 rubljev. dohodka, kar je 2/100 denarja, ki sem ga položil. Koliko denarja sem vložil?

Posledično, če poznamo del tega denarja, izražen na dva načina (v rubljih in frakcijah), moramo najti celoten, še neznan znesek. To je navaden problem iskanja števila glede na njegov ulomek. Z delitvijo se rešujejo naslednji problemi:

To pomeni, da je bilo v hranilnici položenih 3000 rubljev.

Naloga 2. Mesečni načrt so ribiči v dveh tednih izpolnili za 64 % in ulovili 512 ton rib. Kakšen je bil njihov načrt?

Iz pogojev problema je razvidno, da so ribiči izpolnili del načrta. Ta del znaša 512 ton, kar je 64% načrta. Ne vemo, koliko ton rib je treba pripraviti po načrtu. Iskanje te številke bo rešitev problema.

Takšne težave se rešujejo z delitvijo:

To pomeni, da je po načrtu treba pripraviti 800 ton rib.

Naloga 3. Vlak je šel iz Rige v Moskvo. Ko je prevozil 276. kilometer, je eden od potnikov vprašal mimovozečega sprevodnika, koliko poti so že prevozili. Na to je sprevodnik odgovoril: "Prevozili smo že 30% celotne poti." Kakšna je razdalja od Rige do Moskve?

Iz pogojev problema je jasno, da je 30% poti od Rige do Moskve 276 km. Najti moramo celotno razdaljo med temi mesti, tj. za ta del najti celoto:

§ 91. Vzajemna števila. Zamenjava deljenja z množenjem.

Vzemimo ulomek 2/3 in zamenjamo števec namesto imenovalca, dobimo 3/2. Dobili smo inverzijo tega ulomka.

Če želite dobiti ulomek, ki je inverzen danemu ulomku, morate njegov števec postaviti na mesto imenovalca in imenovalec na mesto števca. Na ta način lahko dobimo recipročno vrednost katerega koli ulomka. Na primer:

3/4, vzvratno 4/3; 5/6, vzvratno 6/5

Dva ulomka, ki imata to lastnost, da je števec prvega imenovalec drugega, imenovalec prvega pa števec drugega, imenujemo medsebojno obratno.

Zdaj pa pomislimo, kateri ulomek bo recipročna vrednost 1/2. Očitno bo 2/1 ali samo 2. Z iskanjem inverznega ulomka danega smo dobili celo število. In ta primer ni osamljen; nasprotno, za vse ulomke s števcem 1 (ena) bodo recipročne vrednosti cela števila, na primer:

1/3, hrbtna stran 3; 1/5, vzvratno 5

Ker smo se pri iskanju vzajemnih ulomkov srečali tudi s celimi števili, v nadaljevanju ne bomo govorili o vzajemnih ulomkih, temveč o vzajemnih številih.

Ugotovimo, kako zapisati inverzno celo število. Za ulomke je to mogoče preprosto rešiti: namesto števca morate postaviti imenovalec. Na enak način lahko dobite inverzno vrednost celega števila, saj ima lahko vsako celo število imenovalec 1. To pomeni, da bo inverzna vrednost 7 1/7, ker je 7 = 7/1; za število 10 bo obratno 1/10, saj je 10 = 10/1

To idejo je mogoče izraziti drugače: recipročno vrednost danega števila dobimo tako, da ena delimo z danim številom. Ta trditev ne velja le za cela števila, ampak tudi za ulomke. Pravzaprav, če moramo zapisati inverzijo ulomka 5/9, potem lahko vzamemo 1 in ga delimo s 5/9, tj.

Zdaj pa poudarimo eno stvar premoženje recipročne številke, ki nam bodo koristile: produkt vzajemnih števil je enak ena. Pravzaprav:

Z uporabo te lastnosti lahko najdemo recipročna števila na naslednji način. Recimo, da moramo najti obratno število 8.

Označimo ga s črko X , nato 8 X = 1, torej X = 1/8. Poiščimo drugo število, ki je obratno od 7/12 in ga označimo s črko X , nato 7/12 X = 1, torej X = 1: 7 / 12 ali X = 12 / 7 .

Tu smo predstavili koncept recipročnih števil, da bi nekoliko dopolnili informacije o deljenju ulomkov.

Ko število 6 delimo s 3/5, naredimo naslednje:

Posebej bodi pozoren na izraz in ga primerjaj z danim: .

Če vzamemo izraz ločeno, brez povezave s prejšnjim, potem je nemogoče rešiti vprašanje, od kod izvira: iz deljenja 6 s 3/5 ali iz množenja 6 s 5/3. V obeh primerih se zgodi isto. Zato lahko rečemo da lahko deljenje enega števila z drugim nadomestimo z množenjem dividende z inverzno vrednostjo delitelja.

Primeri, ki jih navajamo spodaj, v celoti potrjujejo to ugotovitev.