Kako rešiti celotno enačbo in njene korene. faktorizacija grafična uvedba novih

Šola: Podružnica občinskega izobraževalnega zavoda Srednja šola z. Svyatoslavka v vasi. Vozdvizhenka

Predmet: matematika.

Učni načrt – 5 ur na teden (od tega 3 ure algebra, 2 uri geometrija)

Tema: Celotna enačba in njeni koreni. Reševanje celotnih enačb.

Vrsta lekcije: izboljšanje spretnosti in sposobnosti.

Cilji lekcije:

didaktično : sistematizacija in posplošitev, razširitev in poglobitev znanja učencev o reševanju celotnih enačb z eno spremenljivko nad drugo stopnjo; priprava študentov na uporabo znanja v nestandardna situacija, na enotni državni izpit.

razvoju : razvoj učenčeve osebnosti skozi samostojno ustvarjalno delo, razvoj študentske iniciative; zagotoviti stabilno motivacijsko okolje, zanimanje za temo, ki se preučuje; razviti sposobnost posploševanja, pravilne izbire metod za reševanje enačbe;

izobraževalni: razvijanje zanimanja za študij matematike, priprava študentov na uporabo znanja v nestandardnih situacijah; gojiti voljo in vztrajnost za doseganje končnih rezultatov

(Priloga 1)

1.Organizacijski trenutek– postavljeni so cilji in cilji pouka.

Fantje! Moraš končno spričevalo iz matematike v obliki državnega izpita in enotnega državnega izpita. Za uspešno opravljanje državnega izpita in enotnega državnega izpita morate poznati ne le matematiko minimalna raven, ampak tudi uporabiti svoje znanje v nestandardnih situacijah. V delih B in C enotnega državnega izpita pogosto najdemo enačbe višjih stopenj. Naša naloga: sistematizacija in posploševanje, razširitev in poglobitev znanja o reševanju celotnih enačb z eno spremenljivko nad drugo stopnjo; priprava na uporabo znanja v nestandardnih situacijah, na državni izpit in enotni državni izpit.

Motonaša lekcija: "Več ko vem, več zmorem."

Epigaf:

Ki ničesar ne opazi

Ničesar ne študira.

Ki nič ne študira

Vedno joka in se dolgočasi.

(pesnik R. Seph).

Enačba je najpreprostejša in najpogostejša matematična težava. Nabrali ste nekaj izkušenj pri reševanju različnih enačb, mi pa moramo svoje znanje urediti in razumeti tehnike reševanja nestandardnih enačb.

U same enačbe so zanimive za študij. Najzgodnejši rokopisi to kažejo Stari Babilon in Stari Egipt tehnike za reševanje linearnih enačb so bile znane. Kvadratne enačbe je bilo mogoče rešiti pred približno 2000 leti pr. e. Babilonci.

Standardne tehnike in metode za reševanje elementarnih algebrskih enačb so sestavni del rešitve vseh vrst enačb..

V najpreprostejših primerih je reševanje enačbe z eno neznanko razdeljeno na dva koraka: preoblikovanje enačbe v standardno in reševanje standardne enačbe. Nemogoče je popolnoma algoritmizirati postopek reševanja enačb, vendar se je koristno spomniti najpogostejših tehnik, ki so skupne vsem vrstam enačb. Mnogi enačbe pri uporabi nestandardnih tehnik rešujemo veliko krajše in enostavneje.

Osredotočili se bomo na njih.

(priloga 2)

Posodabljanje znanja.

Za domačo nalogo ste dobili nalogo ponoviti temo enačb in kako jih rešiti.

Ø Kako se imenuje enačba? ( Enačba, ki vsebuje spremenljivko, se imenuje enačba z eno spremenljivko)

Ø Kaj je koren enačbe?(Vrednost spremenljivke, pri kateri se enačba spremeni v pravilno številko

enakost.)

Ø Kaj pomeni rešiti enačbo?(Poiščite vse njegove korenine ali dokažite, da korenin ni.)

Predlagam, da ustno rešite več enačb:

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0,01 = 0,03

e) x2 = – 25 j) 19 – c2 = 10

Povejte mi, kaj združuje te enačbe?(posamezna spremenljivka, cele enačbe itd.)

Ø Kako se imenuje celotna enačba z eno spremenljivko? ( Enačbe, v katerih levo in desna stran so cele

izrazi

Ø Kako se imenuje stopnja celotne enačbe?(Stopnja ekvivalentne enačbe oblike P(x) = 0, kje P(x) – polinom

standardni pogled)

Ø Koliko korenov ima lahko cela enačba z eno spremenljivko 2., 3., 4., n th stopnjo(ne več kot 2, 3, 4, p)

Ali poznam metode za reševanje celotnih enačb?

Ali vem, kako uporabiti te metode?

Bom znal sam rešiti enačbe?

Ste se med lekcijo dobro počutili?

6. Na "3" - tabela št. 1 + 1 enačba iz preostalih tabel.

Na “4” - tabela št. 1 + 1 enačba iz katerih koli dveh tabel

Na “5” - tabela št. 1 + 1 enačba iz vsake preostale

mize

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Če povzamem:

Izpolnjevanje tabele za samoocenjevanje

Ocenjevanje

Doma: dopolni preostale nerešene enačbe iz vseh tabel.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Morda boste morali predložiti svoje osebni podatki kadar koli nas kontaktirate.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-pošta itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z informacijami o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Tema lekcije: "Celotna enačba in njene korenine."

Cilji:

izobraževalni:

• razmislite o načinu reševanja celotne enačbe z uporabo faktorizacije;

razvoj:

izobraževalni:

Razred: 9

Učbenik: Algebra. 9. razred : učbenik za izobraževalne ustanove/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neškov, S.B. Suvorov]; uredil S.A. Telyakovsky.- 16. izd. – M.: Izobraževanje, 2010

Oprema: računalnik s projektorjem, predstavitev “Cele enačbe”

Napredek lekcije:

Organizacijski trenutek.

Oglejte si video "Vse je v vaših rokah."

V življenju so trenutki, ko obupaš in se zdi, da se nič ne izide. Potem se spomnite besed modreca "Vse je v vaših rokah:" in naj bodo te besede moto naše lekcije.

Ustno delo.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

Sporočilo teme lekcije, cilji.

Danes se bomo seznanili z novo vrsto enačb - to so cele enačbe. Naučimo se jih reševati.

Zapišimo številko v zvezek, super delo in tema lekcije: "Celotna enačba, njene korenine."

2.Posodobitev temeljnega znanja.

Reši enačbo:

Odgovori: a)x = 0; b) x =5/3; c) x = -, ; d) x = 1/6; - 1/6; e) ni korenin; e) x = 0; 5; - 5; g) 0; 1; -2; h)0; 1; - 1; i) 0,2; - 0,2; j) -3; 3.

3. Oblikovanje novih pojmov.

Pogovor s študenti:

Kaj je enačba? (enačba, ki vsebuje neznano število)

Katere vrste enačb poznate? (linearni, kvadratni)

3. Koliko korenin ima lahko linearna enačba?) (ena, več in nobenih korenin)

4.Koliko korenin lahko ima? kvadratna enačba?

Kaj določa število korenin? (iz diskriminatorja)

V katerem primeru ima kvadratna enačba 2 korena (D0)?

V katerem primeru ima kvadratna enačba en koren? (D=0)

V katerem primeru kvadratna enačba nima korenin? (D0)

Celotna enačba je enačba leve in desne strani, ki je celoten izraz. (beri na glas).

Iz obravnavanih linearnih in kvadratnih enačb vidimo, da število korenin ni večje od stopnje.

Ali menite, da je mogoče določiti število njenih korenin brez reševanja enačbe? (možni odgovori otrok)

Seznanimo se s pravilom za določitev stopnje celotne enačbe?

Če enačbo z eno spremenljivko zapišemo v obliki P(x) = 0, kjer je P(x) polinom standardne oblike, potem stopnjo tega polinoma imenujemo stopnja enačbe. Stopnja poljubne celoštevilske enačbe je stopnja ekvivalentne enačbe oblike P(x)=0, kjer je P(x) polinom standardne oblike.

Enačban Ojej stopnje nima večn korenine.

Celotno enačbo je mogoče rešiti na več načinov:

načine za reševanje celotnih enačb

faktorizacija grafični uvod novo

spremenljivka

(Napiši diagram v zvezek)

Danes si bomo ogledali eno izmed njih: faktorizacijo na primeru enačbe: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (učitelj razloži na tablo, učenci zapišejo rešitev enačbe v zvezek)

Kako se imenuje metoda faktorizacije, ki jo lahko uporabimo za faktorizacijo leve strani enačbe? (metoda združevanja). Razložimo levo stran enačbe na faktorje in za to združimo člene na levi strani enačbe.

Kdaj je produkt faktorjev enak nič? (ko je vsaj eden od množiteljev enako nič). Izenačimo vsak faktor enačbe z nič.

Rešimo nastale enačbe

Koliko korenin smo dobili? (zapiši v zvezek)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Odgovor: 8; 1; -1.

4. Oblikovanje spretnosti in spretnosti. Praktični del.

delo po učbeniku št. 265 (zapisati v zvezek)

Kakšna je stopnja enačbe in koliko korenin ima vsaka enačba:

Odgovori: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(rešitev na tabli z razlago)

Reši enačbo:

5. Povzetek lekcije:

Utrjevanje teoretičnega gradiva:

Katero enačbo z eno spremenljivko imenujemo celo število? Navedite primer.

Kako najti stopnjo celotne enačbe? Koliko korenov ima enačba z eno spremenljivko prve, druge, n-te stopnje?

6. Razmislek

Ocenite svoje delo. Dvignite roko, kdo ...

1) popolnoma razumel temo

2) je dobro razumel temo

Še vedno imam težave

7.domača naloga:

člen 12 (str. 75-77 primer 1) št. 267 (a, b).

"kontrolni seznam študentov"

Študentski kontrolni seznam

Študentski kontrolni seznam

Razred______ Priimek Ime ___________________

Študentski kontrolni seznam

Razred______ Priimek Ime ___________________

Oglejte si vsebino dokumenta
"izroček"

1. Rešite enačbe:

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 –5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 j) 19 – c 2 = 10

3. Rešite enačbe:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Rešite enačbe:

I možnost II možnost III možnost

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"test"

pozdravljena Zdaj vam bo ponujen test matematike s 4 vprašanji. Kliknite na gumbe na ekranu pod vprašanji, ki imajo po vašem mnenju pravilen odgovor. Za začetek testiranja kliknite gumb "naprej". veliko sreče ti želim!

1. Reši enačbo:

3x + 6 = 0

Pravilno

brez odgovora

Korenine

Pravilno

brez odgovora

Korenine

4. Reši enačbo: 0 x = - 4

Korenine

Mnogi

korenine

Oglejte si vsebino predstavitve
"1"

• Reši enačbo:

• USTNO DELO

Cilji:

izobraževalni:

• posplošujejo in poglabljajo informacije o enačbah; predstavi pojem cele enačbe in njene stopnje, njenih korenin; razmislite o načinu reševanja celotne enačbe z uporabo faktorizacije.
• posplošujejo in poglabljajo informacije o enačbah;
• predstavi pojem cele enačbe in njene stopnje, njenih korenin;
• razmislite o načinu reševanja celotne enačbe z uporabo faktorizacije.

razvoj:

• razvoj matematičnega in splošnega pogleda, logično razmišljanje, sposobnost analiziranja, sklepanja;
• razvoj matematičnega in splošnega pogleda, logičnega razmišljanja, sposobnosti analize, sklepanja;

izobraževalni:

• gojiti neodvisnost, jasnost in natančnost v dejanjih.
• gojiti neodvisnost, jasnost in natančnost v dejanjih.

• Psihološki odnos

• Še naprej posplošujemo in poglabljamo informacije o enačbah;
• se seznanijo s konceptom celotne enačbe,

s pojmom stopnje enačbe;

• razvijati spretnosti pri reševanju enačb;
• nadzorovati stopnjo asimilacije materiala;
• Pri pouku se lahko zmotimo, dvomimo in se posvetujemo.
• Vsak študent si postavi svoje smernice.

• Katere enačbe imenujemo cela števila?
• Kaj je stopnja enačbe?
• Koliko korenin ima? enačba nth stopnje?
• Metode reševanja enačb prve, druge in tretje stopnje.

• Načrt lekcije

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0 c) x 2 –5 = 0 h) x 4 –x 2 = 0 d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03 e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Reši enačbe:

Na primer:

X²=x³-2(x-1)

• Enačbe

Če enačba z eno spremenljivko

napisano kot

P(x) = 0, kjer je P(x) polinom standardne oblike,

potem se imenuje stopnja tega polinoma

stopnja podana enačba

2x³+2x-1=0 (5. stopnja)

14x²-3=0 (4. stopnja)

Na primer:

Kakšna je stopnja poznanstva enačbe za nas?

• a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
• b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
• c) x 2 – 5 = 0 h) x 4 –x 2 = 0
• d) x 2 = 1/36 i) x 2 – 0,01 = 0,03
• e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

• Reši enačbe:

• 2 ∙x + 5 =15
• 0∙x = 7

Koliko korenov ima lahko enačba stopnje 1?

Ne več kot ena!

• Reši enačbe:

• x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
• D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 brez korenin x=6.

Koliko korenov ima lahko enačba stopnje? (kvadrat) ?

Ne več kot dva!

Reši enačbe:

• I možnost II možnost III možnost

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

• x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 koren 3 korenine 2 korenine

• Koliko korenov ima lahko enačba stopnje I I I?

Ne več kot tri!

• Koliko korenin ima po vašem mnenju lahko enačba?

IV, V, VI, VII, n th stopnje?

• Ne več kot štiri, pet, šest, sedem korenin!

Sploh nič več n korenine!

ax²+bx+c=0

Kvadratna enačba

ax + b = 0

Linearna enačba

Brez korenin

Brez korenin

En koren

Razširimo levo stran enačbe

po množiteljih:

x²(x-8)-(x-8)=0

Odgovor:=1, =-1.

• Enačba tretje stopnje oblike: ax³+bx²+cx+d=0

S faktorizacijo

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Odprimo oklepaje in dajmo

podobni pogoji

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Odgovor: x=-2

IN to lekcijo nadaljujemo s temo "Enačba v eni spremenljivki". Spomnimo se, da je za rešitev absolutno katere koli enačbe potrebno najti vse primerne vrednosti argumentov, zaradi katerih je enačba prava enakost. Primerna vrednost ali vrednost neznank oz korenine enačbe- vse to so sinonimi in jih je treba najti ali dokazati, da v enačbi ni korenin.

Res je, zdaj je vredno govoriti o tem, kaj " cela enačba"in koliko korenin ima. Zato je treba upoštevati naslednja dva primera.

Kvadrat razlike med kocko "x" in "x" na peto potenco je enak "x" na šesto potenco minus dvakratna razlika med "x" in ena.

V drugi enačbi je x na četrto potenco minus ena deljeno s štiri minus x na kvadrat plus ena deljeno z dva enako tri x na kvadrat.

Če natančno pogledate, sta obe strani teh enačb sami celi izrazi. To je celotna enačba. Zdaj je vredno pojasniti definiranje celotne enačbe z eno spremenljivko (to je enačba, kjer sta obe strani celoštevilski izrazi ).

Kaj pa, če primere poenostavimo? V prvi enačbi najprej odpremo oklepaje, nato pa premaknemo vse člene na levo stran in predstavimo podobne člene. Vse izvedene transformacije nam omogočajo, da najdemo vrednost: "x" na peto potenco minus dva "x" na kubiku plus dva "x" minus ena je enako nič. V drugi enačbi ponovimo izvedene transformacijske operacije. Vendar se najprej znebimo imenovalca tako, da enačbo pomnožimo s štiri. Tako končamo z x na četrto potenco minus štirinajst x na kvadrat minus tri, ki je enako nič. V prvi in ​​drugi enačbi smo naredili številne transformacije, ki pa niso spremenile vrednosti, ampak so le pripeljale do ekvivalentnih enačb.

Spomnimo se, da ekvivalentne enačbe imenujemo tudi ekvivalentne. Enakovrednost ustvarja dodatne lastnosti enačbe: simetričnost (ko je prva enačba enaka drugi, potem je druga enakovredna prvi) in tranzitivnost (če imamo tri enačbe, kjer je prva enaka drugi, druga pa tretji, potem to pomeni, da je prvi enakovreden tretjemu). Priročnost enakovrednosti enačb je v tem, da je na njih mogoče narediti številne poenostavitve, ki pripomorejo k enostavnejši rešitvi.

Kot rezultat vidimo enačbo naslednje oblike: "P" od "x" je enako nič, kjer je "P" od "x" polinom standardne oblike. Absolutno katero koli celotno enačbo lahko nadomestimo z enakovredno, kjer je en del polinom standardne oblike, drugi pa nič. Enačba ima lahko obliko zapisa, kjer je "P" iz "x" polinom standardne oblike. V tej obliki je stopnja enačbe stopnja polinoma. Če vzamemo poljubno celo enačbo, potem je njena stopnja stopnja ekvivalentna enačba, ki ima obliko "P" iz "x" je enako nič. Tu je "P" iz "x" polinom standardne oblike. To pomeni, da je prva enačba enačba pete stopnje, druga pa enačba četrte stopnje.

Če govorimo o elementarni primer, kjer ima enačba eno spremenljivko prve stopnje, potem ima naslednjo obliko: vsota "ax" in "b" je enaka nič. Neznana spremenljivka je "x", "a" in "b" pa sta številki. Poleg tega "a" ne more biti enak nič, ker je koeficient spremenljivke "x", sicer spremenljivka izgine. Ko naredimo potrebne transformacije, vidimo, koliko je »x« (minus »b« deljeno z »a«). To je koren enačbe oziroma njena vrednost (pravijo tudi, da koren zadošča dani enačbi). Lahko se pojavi vprašanje: zakaj sploh ugotavljati, koliko korenov ima enačba? Odgovor je preprost: tako bomo razumeli, koliko rešitev ima. Na primer, prednost enačbe prve stopnje je, da ima samo eno rešitev (koren).

Preden preidemo na bolj zapletene primere, se je treba spomniti, katere operacije je mogoče izvesti za pretvorbo enačb. Med njimi:

• Razširitev oklepajev v katerem koli delu enačbe;
• Prinašanje podobnih v kateri koli del enačbe;
• Prenos katerega koli člana v drug del, ki je pred tem spremenil svoj znak v nasprotno;
• Dodajanje istega izraza obema stranema enačbe;
• Odštevanje istega izraza z obeh strani enačb;
• Množenje in deljenje s številom, ki ni nič, obe strani enačbe. Vendar to lastnino lahko dodate nove korenine ali se jih znebite.

Po izvedbi serije takšnih transformacij dobimo ekvivalentno enačbo.

Zdaj pa poglejmo enačbo druge stopnje. Lahko se zmanjša na obliko vsote "ax" na kvadrat, "bx" in "c", enako nič. Tukaj vidimo spremenljivko "x", kot tudi nekaj števil (zlasti "a" ne more biti enako nič, ker se bo enačba druge stopnje spremenila v enačbo prve stopnje). Da bi razumeli, koliko korenin ima enačba, je treba najti vrednost diskriminante "D", katere formula je razlika med "b" na kvadrat in štirimi "ac". Ko najdemo diskriminanto, razumemo, da ima enačba lahko dve rešitvi (če je diskriminanta večja od nič), lahko ima eno korenino (če je enaka nič) in nima korenin (če je manjša od nič). Enačba druge stopnje ne more imeti več kot dveh korenov. V primerih, ko obstajata dve rešitvi, je na voljo korenska formula, kjer je "x" enako minus "b" plus koren diskriminante, deljeno z dvema "a".

Enačba druge stopnje ali kvadratna enačba ima koren, ki spremeni trinom na nič ali tako imenovano identiteto. Če govorimo o koeficientih, ki se uporabljajo v kvadratni enačbi, jih ima vsak posebno ime: "a" je vodilni koeficient, "b" je koeficient "x" ali drugi koeficient in "c" je prosti člen enačbe. Obstajajo primeri, ko višji koeficient enako ena, v tem primeru se kvadratna enačba imenuje zmanjšana. Enačba druge stopnje je lahko popolna ali nepopolna. Nepopolna kvadratna enačba je tista, v kateri je drugi koeficient ali prosti člen enak nič. Kakšen je graf enačbe druge stopnje? Povsem prav, to je parabola, ki je simetrična glede na ordinatno os in ima lahko vrednost funkcije od nič do plus neskončnosti ali od nič do minus neskončnosti. Iz grafa si zapomnimo, koliko presečišč ima lahko parabola, saj je od tega odvisno število korenin oziroma rešitev. Ko pride do presečišča na eni točki, to je na oglišču, dobimo eno korenino ali, kot pravijo, dve sovpadajoči korenini. Ko se parabola dvakrat sreča z osjo x, to pomeni, da imamo dva korena ali dve rešitvi. Z uporabo številnih načel je mogoče določiti smer parabole. Pozitivnost glavnega koeficienta kaže smer vej navzgor. Podobnost vodilnega in drugega koeficienta kaže, da se graf nahaja v levi polravnini glede na ordinatno os. Razlika med temi koeficienti kaže, da je slika na desni strani.

Če govorimo o enačbah višje stopnje, jih lahko reduciramo tudi na osnovno obliko. Na primer, enačba tretje stopnje je videti kot vsota zmnožka "a" in "x" na kubik, "b" in "x" na kvadrat, "cx" in d, ki je še vedno enaka nič. Kubična enačba ima tudi graf funkcij, ki je kartezični sistem predstavljeno v obliki kubične parabole. Kaj pa četrta potenčna enačba: vsota produkta »a« in »x« na četrto potenco, »b« in »x« na kubiku, »c« in »x« na kvadrat, »dx« in »e« . Enačba četrte stopnje je najvišja, saj je le do četrte stopnje možna rešitev v radikalih oz. različne pomene koeficientov V vseh primerih "a" ne more biti enak nič, ker bo enačba postala nižje stopnje. Upoštevajte to enačba z n-to stopnjo ne more imeti več kot n-to število korenin. Možno je izpeljati korenske formule za enačbe tretje in četrte stopnje, vendar bodo zelo zapletene in si jih učenec ne bo mogel zapomniti. Če govorimo o enačbah pete stopnje in višje, potem tudi formule za korenine niso izpeljane. Kako potem rešiti enačbe tretje stopnje in višje?

V tem primeru je treba uporabiti tehnike, ki bodo pomagale poenostaviti rešitev. Prvi nasvet je faktoriziranje polinomov. Poskusimo se prijaviti to tehniko v praksi je reševanje primera "x" kocka minus osem "x" kvadrat minus "x" plus osem enako nič. Ko naredimo potrebne transformacije (iz oklepaja damo kvadrat »x«, nato iz oklepaja postavimo razliko »x« in osmico ter na koncu razširimo dobljeno formulo). Kot rezultat vidimo, da je razlika "x" in osem enaka nič, razlika "x" in ena enaka nič in produkt "x" in ena enak nič. Tako smo dokazali, da ima izvirna enačba tri korenine oziroma tri vrednosti (osem, ena in minus ena).

Pri reševanju enačbe nad drugo stopnjo lahko včasih uporabite tehniko vnosa nove spremenljivke. Na primer, obstaja enačba, kjer je produkt x na kvadrat minus pet x plus štiri in x na kvadrat minus pet x plus šest enak sto dvajset. IN v tem primeru da bi našli rešitev, morate vse premakniti na levo stran in odpreti oklepaje ter narediti potrebne transformacije. Dobimo "x" na četrto potenco minus deset "x" na kub plus petintrideset "x" na kub minus petdeset "x" minus devetindevetdeset je enako nič. Tudi če predstavimo podobne, se bo enačba še vedno izkazala za zelo zapleteno in jo bo absolutno nemogoče rešiti. Zato si podrobneje oglejmo formulo in ugotovimo, da se razlika "x" na kvadrat in pet "x" ponavlja v obeh oklepajih. Kaj pa, če namesto tega dela uvedemo novo spremenljivko "y"? Nato dobimo produkt vsote "y" in štiri ter vsoto "y" in šest, kar je enako sto dvajset. Če poenostavimo, dobimo kvadratno enačbo s koreninama minus šestnajst in šest. Zdaj lahko namesto "y" nadomestimo razliko "x" na kvadrat in pet "x". Enačba "x" na kvadrat minus pet "x" je enaka minus šestnajst, nima korenin, ker je diskriminanta negativna. In druga kvadratna enačba ima diskriminanco večjo od nič, tako da dobimo dva korena: minus ena in šest.

Metoda uvajanja nove spremenljivke olajša reševanje enačb četrte stopnje, ki imajo naslednjo obliko: produkt »a« in »x« na četrto potenco plus produkt »b« in »x« na druga potenca plus "c" je enaka nič. V tem primeru "a" ne more biti enako nič. To je primer bikvadratne enačbe, ker je enačba kvadratna glede na "x" na kvadrat. Prenesimo teorijo v prakso tako, da rešimo enačbo devet "x" na četrto potenco minus deset "x" na drugo potenco plus ena je enako nič. Namesto kvadrata “x” uvedemo novo spremenljivko “y”, potem dobimo kvadratno enačbo z “y”, kjer je diskriminanta nad nič, tako da dobimo dva korena: eno devetino in eno. Zdaj zamenjamo "x" na kvadrat in dobimo štiri vrednosti korena "x": minus ena tretjina, ena tretjina, minus ena in ena. Izkazalo se je, da izvirnik bikvadratna enačba ima štiri rešitve.

Kot rezultat lekcije smo lahko posplošili in ustvarili sistem znanja v temi "Enačbe". Učenci bodo zdaj znali logično reševati zapleteni primeri, uporabo novih tehnik in analizo procesa reševanja. Če ostane dodatni čas, potem je vredno izvesti kratko anketo med študenti. Začnite tako, da dobite definicijo, kaj je enačba z eno spremenljivko. Nato prosite za pogovor o postopku reševanja in o tem, kaj je koren, koliko korenin lahko ima enačba. Naprej pomemben del znanje – ekvivalentne ali enakovredne enačbe, zato je potrebno, da učenci razvrstijo lastnosti, značilne za take enačbe.

Mestna izobraževalna ustanova "Srednja šola L-Konobeevskaya"

Celotna enačba
in njegove korenine.

Zapiski učnih ur algebre za 9. razred z uporabo računalniške predstavitve in računalniškega testiranja.

Razvila učiteljica matematike Natalya Sergeevna Zakurdaeva

Cilji lekcije:

Izobraževalni: obvladajo pojme »cela enačba«, »stopnja enačbe«; naučijo se reševati bikvadratne enačbe.

Poučna: gojiti pozornost, opazovanje, neodvisnost, sposobnost izražanja svojih misli .

Razvojni: razvijati sposobnost logičnega razmišljanja, sklepanja, sklepanja in analiziranja.

Vrsta lekcije: razlaga nove snovi

Napredek lekcije:

Org trenutek.

II. Ustne vaje. (diapozitiv št. 1)

1. Reši enačbo:

A) X 2 = 9; b) X 2 = 3; V) X 2 + 4 = 0;

2. Kakšen je diskriminantni predznak kvadratne enačbe, če je:

a) ima en koren,

b) ima dva korena;

c) nima korenin?

3. Kakšna je stopnja polinoma:

A) X 2 - Zx 5 + 2 ;

b) 4x – 8 – 2x(3x + 6) - 21;

4. Zamislite si X 4 v obliki kvadrata

5. Čemu je enako x 4, če je x 2 = a

6. Če danes ob 12.00 dežuje, ali lahko rečete, da bo čez 72 ur posijalo sonce?

7. Se spomnite, kateri izrazi se imenujejo cela števila?

8. Kaj imenujemo koren enačbe?

9. Kaj pomeni rešiti enačbo?

III . Razlaga nove snovi.
- Danes se bomo naučili, katere enačbe imenujemo celo število, kako določimo stopnjo enačbe in se seznanili tudi z novo vrsto enačb - bikvadratnimi enačbami.

Torej, zapišimo temo lekcije: "Celotna enačba in njene korenine." ( diapozitiv številka 2)

Pozorno si oglejte ti dve enačbi. Iz katerih izrazov so sestavljeni?

(Iz celega)

Take enačbe imenujemo celo število

Def. Celoštevilska enačba z eno spremenljivko je enačba, katere leva in desna stran sta celoštevilski izraz.

Kaj lahko naredimo s temi enačbami?

(odprite oklepaje, navedite podobne izraze - poenostavite)

Tisti. lahko jih reduciramo na obliko P ( x)=0, kjer je P ( x

Določite lahko stopnjo katerega koli polinoma standardne oblike. Za enačbo je mogoče določiti tudi stopnjo.

Torej, ( diapozitiv številka 3)

Def.Če enačbo z eno spremenljivko zapišemo kot P ( x)=0, kjer je P ( x) je polinom standardne oblike, potem se stopnja tega polinoma imenuje stopnja enačbe. Stopnja poljubne celoštevilske enačbe je stopnja ekvivalentne enačbe oblike P ( x)=0, kjer je P ( x) je polinom standardne oblike.

Poglejmo si primer

Primer: določimo stopnjo enačbe

Izvedimo potrebne transformacije (diapozitiv številka 3)

Stopnja te enačbe je 7

Po izvedbi potrebnih transformacij v podana enačba Lahko ( diapozitiv številka 4)

Enačbo prve stopnje lahko reduciramo na obliko

Enačbo druge stopnje lahko reduciramo na obliko

Enačbo tretje stopnje lahko reduciramo na obliko

Enačbo četrte stopnje lahko reduciramo na obliko

itd.

Enačbo prve stopnje imenujemo drugače... ( linearni)

Enačba druge stopnje... ( kvadrat). Kaj določa število korenin kvadratne enačbe? ( od diskriminatorja)

Znanstveniki so dokazali, da celotna enačba 2. stopnje nima več kot 2 korena, enačba 3. stopnje nima več kot 3 korenine, enačba n-te stopnje nima več n korenine.

Za enačbe 3. in 4. stopnje so znane formule za iskanje korenin, v šolski tečaj se ne preučujejo, lahko pa jih tisti, ki želijo, podrobneje spoznajo in pripravijo kratko sporočilo.

Naredimo kratek izlet v zgodovino. ( diapozitiv št. 5, št. 6)

Norveški matematik Niels Abel je prvi dokazal, da je za enačbe stopnje pet ali več visoke stopnješt splošne formule iskanje korenin.

francoski matematik Evariste Galoisnašel kar sem potreboval in zadosten pogoj, ki zadovoljuje algebrska enačba, rešljiv v radikalih.

V naslednji lekciji bomo poslušali podrobnejše poročilo o teh znanstvenikih; Serjoža in Sveta bosta pripravila poročila.

Za zdaj se vrnimo k enačbam.

Razmislite o enačbi oblike ( diapozitiv številka 7)

,

Kateri enačbi je podobna? ( na kvadrat)

Tako je, kvadratno je glede na X 2 . Take enačbe imenujemo bikvadraten. (diapozitiv številka 7)

Def. Enačba oblike ,

biti kvadraten glede na X 2 , poklical bikvadraten.

- Take enačbe je mogoče enostavno rešiti z uvedbo nove spremenljivke.

Primer: Rešimo enačbo (diapozitiv št. 7)

Uvedimo novo spremenljivko, X 2 = t , Čemu je enako X 4 ? (t 2 )

Dobimo kvadratno enačbo

Samostojno delo

Zdaj morate opraviti majhen test. Usedite se za računalnik. Začnite.

(Test usposabljanja, sestavljen iz treh nalog.)

Odsev

Kaj novega ste se danes naučili pri pouku?

Katero enačbo imenujemo celo število?

Kako določiti stopnjo enačbe?

Katere enačbe imenujemo bikvadratne? Kako so rešeni?

domača naloga.

Stran 72 – 75 ( teoretično gradivo)

Stran 76 – 77 št. 266 (c, d), 278 (d, e, f)

Stran 78. št. 286, 287 (naloge za ponavljanje)

Preberi domačo nalogo. Kakšna vprašanja imate? (razlaga domače naloge)