Kako izračunati površino trapeza na podlagi štirih strani. Območje trapeza

Trapez je posebna vrsta štirikotnika, pri katerem sta dve nasprotni stranici vzporedni, drugi dve pa nista. Različni resnični predmeti imajo trapezoidno obliko, zato boste morda morali izračunati obseg takšne geometrijske figure za reševanje vsakdanjih ali šolskih nalog.

Trapezna geometrija

Trapez (iz grškega "trapezion" - miza) je lik na ravnini, omejen s štirimi segmenti, od katerih sta dva vzporedna in dva ne. Vzporedni segmenti se imenujejo osnove trapeza, nevzporedni segmenti pa stranice figure. Stranice in njihovi naklonski koti določajo vrsto trapeza, ki je lahko skalen, enakokrak ali pravokoten. Poleg osnov in stranic ima trapez še dva elementa:

• višina - razdalja med vzporednimi osnovami figure;
• srednja črta - segment, ki povezuje sredine stranic.

Ta geometrijska figura je zelo razširjena v resničnem življenju.

Trapez v resnici

V vsakdanjem življenju ima veliko resničnih predmetov obliko trapeza. Trapeze zlahka najdete na naslednjih področjih človeške dejavnosti:

• notranja oprema in dekor - zofe, mizne plošče, stene, preproge, spuščeni stropi;
• krajinska zasnova - meje trate in umetnih rezervoarjev, oblike dekorativnih elementov;
• moda - oblika oblačil, čevljev in dodatkov;
• arhitektura - okna, stene, temelji zgradb;
• proizvodnja - razni izdelki in deli.

S tako široko uporabo trapeza morajo strokovnjaki pogosto izračunati obseg geometrijske figure.

Obod trapeza

Obseg figure je numerična značilnost, ki se izračuna kot vsota dolžin vseh strani n-kotnika. Trapez je štirikotnik in na splošno imajo vse njegove stranice različne dolžine, zato obseg izračunamo po formuli:

P = a + b + c + d,

kjer sta a in c osnovici figure, b in d sta njeni stranici.

Čeprav nam pri izračunu obsega trapeza ni treba poznati višine, koda kalkulatorja zahteva vnos te spremenljivke. Ker višina ne vpliva na izračune, lahko pri uporabi našega spletnega kalkulatorja vnesete katero koli vrednost višine, ki je večja od nič. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz resničnega življenja

Robec

Recimo, da imate šal v obliki trapeza in ga želite obrobiti z resicami. Morali boste poznati obseg šala, da ne boste kupili dodatnega materiala ali šli dvakrat v trgovino. Naj ima vaš enakokraki šal naslednje parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Te podatke vnesemo v spletni obrazec in dobimo odgovor v obrazec:

Tako je obseg šala 340 cm in ravno tolikšna je dolžina resaste kitke za zaključek.

pobočja

Na primer, se odločite za izdelavo pobočij za nestandardna kovinsko-plastična okna, ki imajo trapezoidno obliko. Takšna okna se pogosto uporabljajo pri oblikovanju stavb, saj ustvarjajo sestavo več kril. Najpogosteje so takšna okna izdelana v obliki pravokotnega trapeza. Ugotovimo, koliko materiala je potrebno za izdelavo pobočij takšnega okna. Standardno okno ima naslednje parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Uporabimo te podatke in dobimo rezultat v obrazcu

Obod trapeznega okna je torej 390 cm in točno toliko plastičnih plošč boste morali kupiti za oblikovanje pobočij.

Zaključek

Trapez je priljubljena figura v vsakdanjem življenju, katere določitev parametrov bo morda potrebna v najbolj nepričakovanih situacijah. Izračun trapeznih obodov je potreben za številne strokovnjake: od inženirjev in arhitektov do oblikovalcev in mehanikov. Naš katalog spletnih kalkulatorjev vam bo omogočil izračune za poljubne geometrijske oblike in telesa.

Obstaja veliko načinov za iskanje območja trapeza. Običajno učitelj matematike pozna več metod za izračun, poglejmo jih podrobneje:
1) , kjer sta AD in BC osnovici, BH pa višina trapeza. Dokaz: narišite diagonalo BD in izrazite ploščini trikotnikov ABD in CDB skozi polovični produkt njunih osnov in višin:

, kjer je DP zunanja višina v

Seštejmo te enakosti člen za členom in ob upoštevanju, da sta višini BH in DP enaki, dobimo:

Dajmo iz oklepaja

Q.E.D.

Posledica formule za površino trapeza:
Ker je polovična vsota osnov enaka MN - srednji črti trapeza, potem

2) Uporaba splošne formule za površino štirikotnika.
Površina štirikotnika je enaka polovici produkta diagonal, pomnoženega s sinusom kota med njima
Da bi to dokazali, je dovolj, da trapez razdelite na 4 trikotnike, površino vsakega izrazite skozi "polovico produkta diagonal in sinusa kota med njimi" (vzemite kot kot, dodajte nastale izraze, vzemite jih iz oklepaja in faktorizirajte ta oklepaj z uporabo metode združevanja, da dobite njegovo enakost z izrazom Hence

3) Metoda diagonalnega premika
To je moje ime. Inštruktor matematike v šolskih učbenikih ne bo naletel na tak naslov. Opis tehnike lahko najdemo le v dodatnih učbenikih kot primer reševanja problema. Naj opozorim, da večino zanimivih in uporabnih dejstev o planimetriji študentom razkrijejo mentorji matematike v procesu praktičnega dela. To je izjemno neoptimalno, ker jih mora študent izolirati v ločene izreke in jih poimenovati "velika imena". Eden od teh je "diagonalni premik". O čem govorimo? Skozi oglišče B narišimo premico, vzporedno z AC, dokler se ne preseka s spodnjo osnovo v točki E. V tem primeru bo štirikotnik EBCA paralelogram (po definiciji) in je torej BC=EA in EB=AC. Prva enakost je za nas zdaj pomembna. Imamo:

Upoštevajte, da ima trikotnik BED, katerega površina je enaka površini trapeza, še več izjemnih lastnosti:
1) Njegova površina je enaka površini trapeza
2) Njegov enakokrak se pojavi hkrati z enakokrakim samim trapezom
3) Njegov zgornji kot pri točki B je enak kotu med diagonalama trapeza (kar se zelo pogosto uporablja pri nalogah)
4) Njegova mediana BK je enaka razdalji QS med razpoloviščema osnov trapeza. Nedavno sem naletel na uporabo te lastnosti, ko sem pripravljal študenta za mehaniko in matematiko na Moskovski državni univerzi z uporabo Tkačukovega učbenika, različica 1973 (problem je podan na dnu strani).

Posebne tehnike za inštruktorja matematike.

Včasih predlagam težave z uporabo zelo zapletenega načina iskanja površine trapeza. Uvrščam jih med posebne tehnike, ker jih v praksi mentor uporablja zelo redko. Če potrebujete pripravo na enotni državni izpit iz matematike samo v delu B, vam o njih ni treba brati. Za druge vam povem naprej. Izkazalo se je, da je površina trapeza dvakrat večja od površine trikotnika z oglišči na koncih ene strani in sredini druge strani, to je trikotnika ABS na sliki:
Dokaz: v trikotnika BCS in ADS nariši višini SM in SN in izrazi vsoto ploščin teh trikotnikov:

Ker je točka S razpolovišče CD, potem (dokažite sami) poiščemo vsoto ploščin trikotnikov:

Ker se je izkazalo, da je ta vsota enaka polovici površine trapeza, potem je njegova druga polovica. itd.

V mentorjevo zbirko posebnih tehnik bi vključil obliko izračuna ploščine enakokrakega trapeza vzdolž njegovih stranic: kjer je p polobod trapeza. Ne bom dal dokazov. V nasprotnem primeru bo vaš mentor matematike ostal brez službe :). Pridite v razred!

Težave na območju trapeza:

Opomba inštruktorja matematike: Spodnji seznam ni metodološka spremljava teme, je le majhen izbor zanimivih nalog, ki temeljijo na zgoraj obravnavanih tehnikah.

1) Spodnja osnova enakokrakega trapeza je 13, zgornja pa 5. Poiščite površino trapeza, če je njegova diagonala pravokotna na stran.
2) Poiščite ploščino trapeza, če sta njegovi osnovi 2 cm in 5 cm, stranice pa 2 cm in 3 cm.
3) V enakokrakem trapezu je večja osnova 11, stranica 5, diagonala pa Poiščite ploščino trapeza.
4) Diagonala enakokrakega trapeza je 5, srednjica pa 4. Poiščite ploščino.
5) V enakokrakem trapezu sta osnovici 12 in 20, diagonali pa sta medsebojno pravokotni. Izračunajte ploščino trapeza
6) Diagonala enakokrakega trapeza tvori kot s spodnjo osnovo. Poiščite ploščino trapeza, če je njegova višina 6 cm.
7) Ploščina trapeza je 20, ena od njegovih strani pa 4 cm. Poiščite razdaljo do nje od sredine nasprotne stranice.
8) Diagonala enakokrakega trapeza ga deli na trikotnike s ploščinama 6 in 14. Poiščite višino, če je stranska stranica 4.
9) V trapezu so diagonale enake 3 in 5, segment, ki povezuje središča baz, pa je enak 2. Poiščite površino trapeza (Mekhmat MSU, 1970).

Izbral sem ne najtežje probleme (ne bojte se strojništva!) s pričakovanjem, da jih bom lahko rešil samostojno. Odločite se za svoje zdravje! Če potrebujete pripravo na enotni državni izpit iz matematike, potem brez sodelovanja formule za območje trapeza v tem procesu lahko pride do resnih težav tudi pri problemu B6 in še bolj pri C4. Ne začenjajte teme in v primeru težav prosite za pomoč. Inštruktor matematike vam vedno z veseljem pomaga.

Kolpakov A.N.
Inštruktor matematike v Moskvi, priprava na enotni državni izpit v Stroginu.

Območje trapeza. Lep pozdrav! V tej publikaciji si bomo ogledali to formulo. Zakaj je točno takšna in kako jo razumeti. Če obstaja razumevanje, potem vam ga ni treba učiti. Če želite samo pogledati to formulo in nujno, potem se lahko takoj pomaknete navzdol po strani))

Zdaj podrobno in po vrsti.

Trapez je štirikotnik, dve stranici tega štirikotnika sta vzporedni, drugi dve pa ne. Tiste, ki niso vzporedne, so osnove trapeza. Drugi dve se imenujeta strani.

Če sta stranici enaki, se trapez imenuje enakokrak. Če je ena od stranic pravokotna na osnove, se tak trapez imenuje pravokoten.

V svoji klasični obliki je trapez upodobljen na naslednji način - večja osnova je na dnu oziroma manjša je na vrhu. Toda nihče ne prepoveduje upodabljanja nje in obratno. Tukaj so skice:

Naslednji pomemben koncept.

Srednja črta trapeza je odsek, ki povezuje središča stranic. Srednja črta je vzporedna z osnovami trapeza in je enaka njihovi polvsoti.

Zdaj pa se poglobimo. Zakaj je temu tako?

Razmislite o trapezu z osnovami a in b in s srednjo črto l, in izvedimo nekaj dodatnih konstrukcij: narišite ravne črte skozi osnove in pravokotnice skozi konce srednje črte, dokler se ne sekajo z osnovami:

*Črkovne oznake za oglišča in druge točke niso vključene namerno, da bi se izognili nepotrebnim oznakam.

Poglejte, trikotnika 1 in 2 sta enaka glede na drugi znak enakosti trikotnikov, trikotnika 3 in 4 sta enaka. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost elementov, in sicer krakov (označeni so modro oziroma rdeče).

Zdaj pa pozor! Če mentalno "odrezamo" modre in rdeče segmente od spodnje baze, nam bo ostal segment (to je stranica pravokotnika), ki je enak srednji črti. Nato, če izrezane modre in rdeče segmente "prilepimo" na zgornjo osnovo trapeza, potem bomo dobili tudi segment (to je tudi stranica pravokotnika), ki je enak srednji črti trapeza.

razumeš Izkazalo se je, da bo vsota baz enaka dvema srednjima črtama trapeza:

Oglejte si drugo razlago

Naredimo naslednje - zgradimo ravno črto, ki poteka skozi spodnjo osnovo trapeza, in ravno črto, ki bo potekala skozi točki A in B:

Dobimo trikotnika 1 in 2, enaka sta vzdolž stranic in sosednjih kotov (drugi znak enakosti trikotnikov). To pomeni, da je dobljeni segment (na skici označen z modro) enak zgornji podlagi trapeza.

Zdaj razmislite o trikotniku:

*Srednja črta tega trapeza in sredinska črta trikotnika sovpadata.

Znano je, da je trikotnik enak polovici osnove, ki je vzporedna z njim, to je:

V redu, smo ugotovili. Zdaj o območju trapeza.

Formula površine trapeza:

Pravijo: površina trapeza je enaka produktu polovice vsote njegovih baz in višine.

Se pravi, izkaže se, da je enak produktu središčne črte in višine:

Verjetno ste že opazili, da je to očitno. Geometrično lahko to izrazimo takole: če v mislih odrežemo trikotnika 2 in 4 od trapeza in ju postavimo na trikotnika 1 oziroma 3:

Nato bomo dobili pravokotnik s površino, ki je enaka površini našega trapeza. Površina tega pravokotnika bo enaka zmnožku središčne črte in višine, kar pomeni, da lahko zapišemo:

Ampak tu seveda ni bistvo v pisavi, ampak v razumevanju.

Prenesite (oglejte si) material članka v *pdf formatu

To je vse. Vso srečo!

Lep pozdrav, Alexander.

Praksa lanskega enotnega državnega izpita in državnega izpita kaže, da težave z geometrijo mnogim šolarjem povzročajo težave. Z njimi se zlahka spopadete, če si zapomnite vse potrebne formule in vadite reševanje problemov.

V tem članku boste videli formule za iskanje območja trapeza, pa tudi primere težav z rešitvami. Na iste lahko naletite v KIM-ih med certifikacijskimi izpiti ali na olimpijadah. Zato z njimi ravnajte previdno.

Kaj morate vedeti o trapezu?

Za začetek si zapomnimo to trapez imenujemo štirikotnik, pri katerem sta dve nasprotni stranici, imenovani tudi osnovici, vzporedni, drugi dve pa nista.

V trapezu lahko višino (pravokotno na osnovo) tudi znižamo. Narisana je srednja črta - to je ravna črta, ki je vzporedna z bazami in je enaka polovici njihove vsote. Kot tudi diagonale, ki se lahko sekajo in tvorijo ostre in tupe kote. Ali v nekaterih primerih pod pravim kotom. Poleg tega, če je trapez enakokrak, lahko vanj vpišemo krog. In okoli njega opišite krog.

Formule ploščine trapeza

Najprej si poglejmo standardne formule za iskanje površine trapeza. Spodaj bomo obravnavali načine za izračun površine enakokrakih in krivuljnih trapezov.

Predstavljajte si torej, da imate trapez z osnovama a in b, v katerem je višina h spuščena na večjo osnovo. Izračun površine figure je v tem primeru tako enostaven kot luščenje hrušk. Samo vsoto dolžin baz delite z dvema in rezultat pomnožite z višino: S = 1/2(a + b)*h.

Vzemimo drug primer: predpostavimo, da je v trapezu poleg višine še srednja črta m. Poznamo formulo za iskanje dolžine srednjice: m = 1/2(a + b). Zato lahko formulo za območje trapeza upravičeno poenostavimo na naslednjo obliko: S = m* h. Z drugimi besedami, če želite najti območje trapeza, morate srednjo črto pomnožiti z višino.

Razmislimo o drugi možnosti: trapez vsebuje diagonali d 1 in d 2, ki se ne sekata pod pravim kotom α. Če želite izračunati površino takšnega trapeza, morate produkt diagonal razdeliti na dva in rezultat pomnožiti s grehom kota med njimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Zdaj razmislite o formuli za iskanje območja trapeza, če o njem ni znano nič, razen dolžin vseh njegovih strani: a, b, c in d. To je okorna in zapletena formula, vendar vam bo koristno, da si jo zapomnite za vsak slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mimogrede, zgornji primeri veljajo tudi za primer, ko potrebujete formulo za območje pravokotnega trapeza. To je trapez, katerega stranica meji na osnove pod pravim kotom.

Enakokraki trapez

Trapez, katerega stranice so enake, se imenuje enakokrak. Razmislili bomo o več možnostih formule za območje enakokrakega trapeza.

Prva možnost: za primer, ko je v enakokraki trapez vpisan krog s polmerom r, stranica in večja osnova pa tvorita ostri kot α. V trapez lahko vpišemo krog, če je vsota dolžin njegovih osnov enaka vsoti dolžin stranic.

Ploščino enakokrakega trapeza izračunamo na naslednji način: pomnožimo kvadrat polmera včrtanega kroga s štiri in vse delimo s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseben primer za možnost, ko je kot med veliko osnovo in stranico 30 0: S = 8r2.

Druga možnost: tokrat vzamemo enakokraki trapez, v katerem sta poleg tega narisani diagonali d 1 in d 2 ter višina h. Če sta diagonali trapeza medsebojno pravokotni, je višina polovica vsote osnov: h = 1/2(a + b). Če veste to, je formulo za območje trapeza, ki vam je že znano, enostavno preoblikovati v to obliko: S = h 2.

Formula za območje ukrivljenega trapeza

Začnimo z ugotavljanjem, kaj je ukrivljeni trapez. Predstavljajte si koordinatno os in graf zvezne in nenegativne funkcije f, ki znotraj danega segmenta na osi x ne spremeni predznaka. Krivočrtni trapez tvori graf funkcije y = f(x) - na vrhu je os x spodaj (segment), na straneh pa ravne črte, narisane med točkama a in b ter grafom funkcijo.

Z zgornjimi metodami je nemogoče izračunati površino takšne nestandardne figure. Tukaj morate uporabiti matematično analizo in uporabiti integral. Namreč: Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tej formuli je F antiodvod naše funkcije na izbranem segmentu. In območje krivuljnega trapeza ustreza prirastku antiderivacije na danem segmentu.

Vzorčne težave

Da bi vse te formule lažje razumeli v vaši glavi, je tukaj nekaj primerov težav za iskanje površine trapeza. Najbolje bo, če težave najprej poskusite rešiti sami, šele nato primerjate prejeti odgovor z že pripravljeno rešitvijo.

Naloga #1: Podan trapez. Njegova večja osnova je 11 cm, manjša pa 4 cm. Trapez ima diagonali, ena dolga 12 cm, druga 9 cm.

Rešitev: Konstruirajte trapez AMRS. Skozi oglišče P nariši premico РХ tako, da je vzporedna z diagonalo MC in seka premico AC v točki X. Dobil boš trikotnik APХ.

Upoštevali bomo dve sliki, dobljeni kot rezultat teh manipulacij: trikotnik APX in paralelogram CMRX.

Zahvaljujoč paralelogramu izvemo, da je PX = MC = 12 cm in CX = MR = 4 cm. Od koder lahko izračunamo stranico AX trikotnika ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Prav tako lahko dokažemo, da je trikotnik APX pravokoten (za to uporabimo Pitagorov izrek - AX 2 = AP 2 + PX 2). In izračunajte njegovo ploščino: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Nato boste morali dokazati, da sta trikotnika AMP in PCX enako velika. Osnova bo enakopravnost strank MR in CX (že dokazano zgoraj). In tudi višine, ki jih spustiš na te stranice - enake so višini trapeza AMRS.

Vse to vam bo omogočilo, da rečete, da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Naloga št. 2: Podan je trapez KRMS. Na njegovih stranskih stranicah sta točki O in E, OE in KS pa sta vzporedni. Znano je tudi, da sta ploščini trapeza ORME in OKSE v razmerju 1:5. RM = a in KS = b. Najti morate OE.

Rešitev: Skozi točko M nariši premico, ki je vzporedna z RK, točko njenega presečišča z OE pa označi s T. A je presečišče premice, narisane skozi točko E vzporedno z RK, z osnovo KS.

Uvedimo še en zapis - OE = x. In tudi višina h 1 za trikotnik TME in višina h 2 za trikotnik AEC (podobnost teh trikotnikov lahko neodvisno dokažeš).

Predpostavili bomo, da je b > a. Ploščini trapeza ORME in OKSE sta v razmerju 1:5, kar nam daje pravico sestaviti naslednjo enačbo: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo in dobimo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Ker sta si trikotnika TME in AEC podobna, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Združimo oba vnosa in dobimo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Tako je OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zaključek

Geometrija ni najlažja veda, a zagotovo ste kos izpitnim vprašanjem. Dovolj je pokazati malo vztrajnosti pri pripravi. In seveda si zapomnite vse potrebne formule.

Poskušali smo zbrati vse formule za izračun ploščine trapeza na enem mestu, da jih lahko uporabite, ko se pripravljate na izpite in obnavljate gradivo.

Ne pozabite povedati svojim sošolcem in prijateljem na družbenih omrežjih o tem članku. Naj bo več dobrih ocen za enotni državni izpit in državne izpite!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.