Kako pomnožiti matrike 2x2. Matematika za telebane

1. letnik, višja matematika, štud matrice in osnovna dejanja na njih. Tukaj sistematiziramo osnovne operacije, ki jih lahko izvajamo z matricami. Kje začeti seznanjati z matricami? Seveda od najpreprostejših stvari – definicij, osnovnih pojmov in preprostih operacij. Zagotavljamo vam, da bo matrice razumel vsak, ki jim bo posvetil vsaj malo časa!

Definicija matrice

Matrix je pravokotna tabela elementov. No, preprosto povedano – tabela številk.

Običajno so matrike označene z velikimi latiničnimi črkami. Na primer matrica A , matrika B in tako naprej. Matrike so lahko različnih velikosti: pravokotne, kvadratne, obstajajo pa tudi vrstične in stolpčne matrike, ki jih imenujemo vektorji. Velikost matrike je določena s številom vrstic in stolpcev. Na primer, zapišimo pravokotno matriko velikosti m na n , Kje m – število vrstic in n – število stolpcev.

Predmeti, za katere i=j (a11, a22, .. ) tvorijo glavno diagonalo matrike in se imenujejo diagonale.

Kaj lahko storite z matricami? Dodaj/odštej, pomnoži s številom, množijo med sabo, prestaviti. Zdaj o vseh teh osnovnih operacijah na matricah po vrstnem redu.

Operacije seštevanja in odštevanja matrik

Naj vas takoj opozorimo, da lahko dodajate le enako velike matrice. Rezultat bo matrika enake velikosti. Seštevanje (ali odštevanje) matrik je preprosto - le sešteti morate njihove ustrezne elemente . Dajmo primer. Izvedimo seštevanje dveh matrik A in B velikosti dva krat dva.

Odštevanje se izvede po analogiji, le z nasprotnim predznakom.

Vsako matriko lahko pomnožimo s poljubnim številom. Da bi to naredil vsak njen element morate pomnožiti s tem številom. Na primer, pomnožimo matriko A iz prvega primera s številom 5:

Operacija množenja matrik

Vseh matrik ni mogoče množiti skupaj. Na primer, imamo dve matriki - A in B. Med seboj ju je mogoče pomnožiti le, če je število stolpcev matrike A enako številu vrstic matrike B. V tem primeru vsak element dobljene matrike, ki se nahaja v i-ti vrstici in j-tem stolpcu, bo enak vsoti zmnožkov ustreznih elementov v i-ti vrstici prvega faktorja in j-tem stolpcu faktorja drugo. Da bi razumeli ta algoritem, zapišimo, kako se pomnožita dve kvadratni matriki:

In primer z realnimi številkami. Pomnožimo matrike:

Transponiranje matrice

Transpozicija matrike je operacija, pri kateri se ustrezne vrstice in stolpci zamenjajo. Na primer, transponirajmo matriko A iz prvega primera:

Matrična determinanta

Determinanta ali determinanta je eden od osnovnih konceptov linearne algebre. Nekoč so se ljudje domislili linearnih enačb, za njimi pa je bilo treba priti do determinante. Na koncu je na tebi, da se spoprimeš z vsem tem, tako da, zadnji pritisk!

Determinanta je numerična značilnost kvadratne matrike, ki je potrebna za reševanje številnih problemov.
Če želite izračunati determinanto najpreprostejše kvadratne matrike, morate izračunati razliko med produkti elementov glavne in sekundarne diagonale.

Determinanta matrike prvega reda, ki je sestavljena iz enega elementa, je enaka temu elementu.

Kaj pa, če je matrika tri krat tri? To je težje, vendar lahko obvladate.

Za takšno matriko je vrednost determinante enaka vsoti zmnožkov elementov glavne diagonale in zmnožkov elementov, ki ležijo na trikotnikih s ploskvijo, vzporedno z glavno diagonalo, iz katere je produkt odštejemo elemente sekundarne diagonale in produkt elementov, ki ležijo na trikotnikih s ploskvijo vzporedne sekundarne diagonale.

Na srečo je v praksi redko potrebno izračunati determinante velikih matrik.

Tukaj smo si ogledali osnovne operacije na matricah. Seveda v resničnem življenju morda nikoli ne boste naleteli niti na kanček matričnega sistema enačb ali pa, nasprotno, naleteli boste na veliko bolj zapletene primere, ko boste morali res nabijati možgane. Prav za takšne primere obstajajo strokovni študentski servisi. Prosite za pomoč, pridobite kakovostno in natančno rešitev, uživajte v študijskem uspehu in prostem času.

To je ena najpogostejših matričnih operacij. Matriko, ki jo dobimo po množenju, imenujemo produkt matrik.

Izdelek Matrix Am × n na matrico Bn × k tam bo matrica Cm × k tako da matrični element C, ki se nahaja v i-ta vrstica in j-th stolpec, to je element c ij enaka vsoti produktov elementov i vrstico matrike A na ustrezne elemente j stolpec matrike B.

Proces matrično množenje je možno le, če je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike.

primer:
Ali je mogoče matriko pomnožiti z matriko?

m =n, kar pomeni, da je mogoče podatke matrike pomnožiti.

Če matriki zamenjamo, potem pri takih matricah množenje ne bo več mogoče.

m≠ n, zato množenja ni mogoče izvesti:

Pogosto lahko najdete naloge s trikom, ko je učenec vprašan množilne matrike, katerega množenje je očitno nemogoče.

Upoštevajte, da lahko včasih matrike pomnožite na kateri koli način. Na primer za matrike in morda kot množenje MN, in množenje N.M.

To ni zelo težko dejanje. Matrično množenje je bolje razumeti s posebnimi primeri, ker sama definicija je lahko zelo zmedena.

Začnimo z najpreprostejšim primerom:

Treba je pomnožiti z. Najprej podajamo formulo za ta primer:

- tukaj je jasen vzorec.

Pomnožite z .

Formula za ta primer je: .

Matrično množenje in rezultat:

Kot rezultat, t.i ničelna matrika.

Zelo pomembno si je zapomniti, da "pravilo preurejanja mest pojmov" tukaj ne deluje, saj skoraj vedno MN≠ N.M.. Zato proizvodnja operacija množenja matrik V nobenem primeru jih ne smete zamenjati.

Zdaj pa si poglejmo primere množenja matrik tretjega reda:

Pomnožite na .

Formula je zelo podobna prejšnjim:

Matrična rešitev: .

To je isto matrično množenje, le praštevilo je vzeto namesto druge matrike. Kot morda ugibate, je takšno množenje veliko lažje izvesti.

Primer množenja matrike s številom:

Tukaj je vse jasno - da bi pomnoži matriko s številom, mora biti vsak element matrike zaporedno pomnožen z določenim številom. V tem primeru - do 3.

Še en uporaben primer:

- množenje matrike z delnim številom.

Najprej vam bomo pokazali, česa ne smete storiti:

Pri množenju matrike z ulomkom ulomka ni treba vnašati v matriko, saj to, prvič, le oteži nadaljnja dejanja z matriko, in drugič, učitelju oteži preverjanje rešitve.

In poleg tega ni treba deliti vsakega elementa matrike z -7:

.

V tem primeru je treba matrici dodati minus:

.

Če bi imeli primer, kjer bi bili vsi elementi matrike deljivi s 7 brez ostanka, bi lahko (in morali!) deliti.

V tem primeru je možno in potrebno vse elemente matrike pomnožiti s ½, ker Vsak element matrike je deljiv z 2 brez ostanka.

Opomba: v teoriji visokošolske matematike ni pojma »delitev«. Namesto da rečete »to deljeno s tem«, lahko vedno rečete »to pomnoženo z ulomkom«. To pomeni, da je deljenje poseben primer množenja.

Torej, v prejšnji lekciji smo si ogledali pravila za seštevanje in odštevanje matrik. To so tako preproste operacije, da jih večina študentov razume dobesedno takoj.

Vendar se zgodaj veselite. Brezplačne ponudbe je konec - preidimo na množenje. Takoj vas opozorim: množenje dveh matrik sploh ni množenje števil v celicah z enakimi koordinatami, kot si morda mislite. Tukaj je vse veliko bolj zabavno. In začeti bomo morali s predhodnimi opredelitvami.

Ujemajoče se matrike

Ena najpomembnejših značilnosti matrice je njena velikost. O tem smo že stokrat govorili: zapis $A=\left[ m\times n \right]$ pomeni, da ima matrika točno $m$ vrstic in $n$ stolpcev. Prav tako smo že razpravljali o tem, kako ne zamenjati vrstic s stolpci. Zdaj je pomembno nekaj drugega.

Opredelitev. Matrike oblike $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$, v katerih število stolpcev v prvi matriki sovpada s številom vrstic v drugem pa se imenujejo dosledni.

Še enkrat: število stolpcev v prvi matriki je enako številu vrstic v drugi! Od tu dobimo dva sklepa hkrati:

1. Za nas je pomemben vrstni red matrik. Na primer, matriki $A=\left[ 3\times 2 \right]$ in $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sta skladni (2 stolpca v prvi matriki in 2 vrstici v drugi) , ampak obratno — matriki $B=\left[ 2\times 5 \right]$ in $A=\left[ 3\times 2 \right]$ nista več skladni (5 stolpcev v prvi matriki niso 3 vrstice v drugem).
2. Doslednost lahko enostavno preverimo tako, da eno za drugo zapišemo vse dimenzije. Na primeru iz prejšnjega odstavka: “3 2 2 5” - na sredini so enake številke, zato sta matriki konsistentni. Toda "2 5 3 2" nista dosledna, saj so na sredini različne številke.

Poleg tega se zdi, da Captain Obviousness namiguje, da so kvadratne matrike enake velikosti $\left[ n\times n \right]$ vedno skladne.

V matematiki, ko je pomemben vrstni red naštevanja objektov (npr. v zgoraj obravnavani definiciji je pomemben vrstni red matrik), pogosto govorimo o urejenih parih. Spoznali smo jih že v šoli: mislim, da ni pametno, da koordinate $\left(1;0 \right)$ in $\left(0;1 \right)$ določata različni točki na ravnini.

Torej: koordinate so tudi urejeni pari, ki so sestavljeni iz števil. Toda nič vam ne preprečuje, da bi naredili tak par iz matric. Potem lahko rečemo: "Urejen par matrik $\left(A;B \right)$ je skladen, če je število stolpcev v prvi matriki enako številu vrstic v drugi."

kaj torej?

Opredelitev množenja

Razmislite o dveh konsistentnih matrikah: $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$. In jim definiramo operacijo množenja.

Opredelitev. Zmnožek dveh ujemajočih se matrik $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrika $C=\left[ m\times k \ desno] $, katerega elementi se izračunajo po formuli:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Tak izdelek je označen na standarden način: $C=A\cdot B$.

Tisti, ki to definicijo vidijo prvič, imajo takoj dve vprašanji:

1. Kakšna ostra igra je to?
2. Zakaj je tako težko?

No, najprej najprej. Začnimo s prvim vprašanjem. Kaj pomenijo vsi ti indeksi? In kako ne delati napak pri delu z resničnimi matricami?

Najprej ugotavljamo, da je dolga vrstica za izračun $((c)_(i;j))$ (med indekse sem posebej postavil podpičje, da ne bi prišlo do zmede, vendar jih ni treba vstavljati splošno - tudi sam sem se naveličal vnašati formulo v definicijo) se pravzaprav skrči na preprosto pravilo:

1. Vzemite $i$to vrstico v prvi matriki;
2. Vzemite $j$th stolpec v drugi matriki;
3. Dobimo dve zaporedji števil. Elemente teh zaporedij pomnožimo z enakimi števili, nato pa nastale produkte seštejemo.

Ta postopek je enostavno razumeti s slike:

Še enkrat: popravimo vrstico $i$ v prvi matriki, stolpec $j$ v drugi matriki, pomnožimo elemente z istimi številkami in nato seštejemo nastale produkte - dobimo $((c)_(ij))$ . In tako naprej za vse $1\le i\le m$ in $1\le j\le k$. Tisti. Takšnih “perverzij” bo skupaj $m\krat k$.

Pravzaprav smo matrično množenje že srečali v šolskem kurikulumu, le v močno okrnjeni obliki. Naj bodo podani vektorji:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \desno). \\ \end(align)\]

Potem bo njihov skalarni produkt natanko vsota produktov parov:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

V bistvu, ko so bila drevesa bolj zelena in je bilo nebo svetlejše, smo preprosto pomnožili vektor vrstice $\overrightarrow(a)$ z vektorjem stolpca $\overrightarrow(b)$.

Danes se ni nič spremenilo. Samo zdaj je več teh vektorjev vrstic in stolpcev.

Ampak dovolj teorije! Poglejmo resnične primere. In začnimo z najpreprostejšim primerom - kvadratnimi matricami.

Množenje kvadratne matrike

Naloga 1. Naredite množenje:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Torej imamo dve matriki: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ in $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Jasno je, da so konsistentne (kvadratne matrike enake velikosti so vedno konsistentne). Zato izvajamo množenje:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ začetek(matrika)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\konec(matrika) \desno]=\levo[ \začetek(matrika)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \desno)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \desno)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(matrika) \desno]= \\ & =\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ konec (matrika)\desno]. \end(align)\]

To je to!

Odgovor: $\left[ \begin(matrika)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(matrika) \desno]$.

Naloga 2. Naredite množenje:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Spet dosledne matrike, zato izvedemo naslednja dejanja:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrika) \right]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ levo(-3 \desno) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \desno) \\ 2\cdot 9+6\cdot \levo(-3 \desno) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \desno) \\\end(matrika) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]

Kot lahko vidite, je rezultat matrika, napolnjena z ničlami

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Iz zgornjih primerov je očitno, da množenje matrik ni tako zapletena operacija. Vsaj za kvadratne matrice 2 krat 2.

V procesu izračunov smo sestavili vmesno matriko, kjer smo neposredno opisali, katera števila so vključena v posamezno celico. Prav to je tisto, kar je treba storiti pri reševanju resničnih problemov.

Osnovne lastnosti produkta matrike

Na kratko. Matrično množenje:

1. Nekomutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$ v splošnem primeru. Seveda obstajajo posebne matrike, za katere velja enakost $A\cdot B=B\cdot A$ (na primer, če je $B=E$ identitetna matrika), vendar v veliki večini primerov to ne deluje ;
2. Asociativno: $\levo(A\cdot B \desno)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \desno)$. Tu ni nobenih možnosti: sosednje matrike je mogoče pomnožiti, ne da bi vas skrbelo, kaj je levo in desno od teh dveh matrik.
3. Distributivno: $A\cdot \left(B+C \desno)=A\cdot B+A\cdot C$ in $\left(A+B \desno)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (zaradi nekomutativnosti zmnožka je potrebno ločeno podati desno in levo distribucijo.

In zdaj - vse je enako, vendar bolj podrobno.

Matrično množenje je v marsičem podobno klasičnemu množenju števil. Vendar obstajajo razlike, med katerimi je najpomembnejša ta Matrično množenje je na splošno nekomutativno.

Ponovno poglejmo matrike iz 1. problema. Njihov neposredni produkt že poznamo:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(matrika) \right]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\konec(matrika) \desno]\]

Če pa matriki zamenjamo, dobimo popolnoma drugačen rezultat:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\desno]\]

Izkazalo se je, da $A\cdot B\ne B\cdot A$. Poleg tega je operacija množenja definirana le za konsistentni matriki $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$, vendar nihče ni zagotovil, da sta ostanejo dosledni, če se zamenjajo. Na primer, matriki $\left[ 2\times 3 \right]$ in $\left[ 3\times 5 \right]$ sta precej skladni v podanem vrstnem redu, vendar enaki matriki $\left[ 3\times 5 \right] $ in $\left[ 2\times 3 \right]$, zapisana v obratnem vrstnem redu, nista več skladna. Žalostno. :(

Med kvadratnimi matrikami dane velikosti $n$ bodo vedno tiste, ki dajejo enak rezultat tako pri množenju v neposrednem kot v obratnem vrstnem redu. Kako opisati vse takšne matrice (in koliko jih je na splošno) je tema za ločeno lekcijo. Danes ne bomo o tem.

Vendar je matrično množenje asociativno:

\[\levo(A\cdot B \desno)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \desno)\]

Zato, ko morate pomnožiti več matrik zaporedoma, sploh ni potrebno, da to storite takoj: povsem možno je, da nekatere sosednje matrike, ko jih pomnožite, dajo zanimiv rezultat. Na primer ničelna matrika, kot je opisana v problemu 2 zgoraj.

V realnih problemih moramo največkrat množiti kvadratne matrike velikosti $\left[ n\times n \right]$. Množica vseh takih matrik je označena z $((M)^(n))$ (tj. vnosa $A=\left[ n\times n \right]$ in \ pomenita isto) in bo nujno vsebujejo matriko $E$, ki jo imenujemo identitetna matrika.

Opredelitev. Identitetna matrika velikosti $n$ je matrika $E$, tako da za katero koli kvadratno matriko $A=\left[ n\times n \right]$ velja enakost:

Takšna matrika je vedno videti enako: na glavni diagonali so enice, v vseh ostalih celicah pa ničle.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \desno)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \levo(A+B \desno)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Z drugimi besedami, če morate eno matriko pomnožiti z vsoto dveh drugih, jo lahko pomnožite z vsako od teh "drugih dveh" in nato seštejete rezultate. V praksi moramo običajno izvesti obratno operacijo: opazimo isto matriko, jo vzamemo iz oklepaja, izvedemo seštevanje in si s tem poenostavimo življenje :).

Opomba: za opis distributivnosti smo morali napisati dve formuli: kjer je vsota v drugem faktorju in kjer je vsota v prvem. To se zgodi prav zato, ker je matrično množenje nekomutativno (in na splošno je v nekomutativni algebri veliko zabavnih stvari, ki sploh ne pridejo na misel pri delu z navadnimi števili). In če morate na primer to lastnost zapisati na izpitu, potem obvezno napišite obe formuli, sicer se lahko učitelj malo razjezi.

Ok, vse to so bile pravljice o kvadratnih matricah. Kaj pa pravokotne?

Primer pravokotnih matrik

A nič – vse je tako kot pri kvadratnih.

Naloga 3. Naredite množenje:

\[\levo[ \begin(matrika) \begin(matrika) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrika) & \begin(matrika) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrika) \ \\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Imamo dve matriki: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ in $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Zapišimo številke, ki označujejo velikosti v vrsti:

Kot lahko vidite, osrednji dve številki sovpadata. To pomeni, da so matrike konsistentne in jih je mogoče množiti. Poleg tega na izhodu dobimo matriko $C=\levo[ 3\krat 2 \desno]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrika) \\\end(matrika) \right]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \desno)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \desno)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \desno)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(matrika) \right]= \\ & =\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\konec(matrika) \desno]. \end(align)\]

Vse je jasno: končna matrika ima 3 vrstice in 2 stolpca. Precej $=\levo[ 3\krat 2 \desno]$.

Odgovor: $\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(matrika) & \begin(matrika) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrika) \\\end(matrika) \right]$.

Zdaj pa si poglejmo eno najboljših nalog za usposabljanje za tiste, ki šele začenjajo delati z matricami. V njej vam ni treba samo pomnožiti nekaj dveh tablic, ampak najprej ugotoviti: ali je takšno množenje dovoljeno?

Problem 4. Poišči vse možne parne produkte matrik:

\\]; $B=\levo[ \začetek(matrika) \začetek(matrika) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\konec(matrika) & \začetek(matrika) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\konec(matrika) \\\konec(matrika) \desno]$; $C=\levo[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

rešitev. Najprej zapišimo velikosti matrik:

\;\ B=\levo[ 4\krat 2 \desno];\ C=\levo[ 2\krat 2 \desno]\]

Ugotovimo, da lahko matriko $A$ uskladimo le z matriko $B$, saj je število stolpcev $A$ 4 in samo $B$ ima toliko vrstic. Zato lahko najdemo izdelek:

\\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(matrika) \desno]=\ levo[ \začetek(matrika)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\konec(matrika) \desno]\]

Predlagam, da bralec samostojno opravi vmesne korake. Opozoril bom le, da je bolje določiti velikost nastale matrike vnaprej, še pred kakršnimi koli izračuni:

\\cdot \left[ 4\krat 2 \desno]=\levo[ 2\krat 2 \desno]\]

Z drugimi besedami, preprosto odstranimo »tranzitne« koeficiente, ki so zagotavljali konsistentnost matrik.

Katere druge možnosti so možne? Seveda lahko najdemo $B\cdot A$, saj je $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, torej urejen par $\ left(B ;A \right)$ je skladen in dimenzija izdelka bo:

\\cdot \left[ 2\krat 4 \desno]=\levo[ 4\krat 4 \desno]\]

Skratka, rezultat bo matrika $\left[ 4\times 4 \right]$, katere koeficiente je mogoče enostavno izračunati:

\\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(matrika) \desno]=\ levo[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrika) \desno]\]

Očitno se lahko dogovorite tudi za $C\cdot A$ in $B\cdot C$ - in to je to. Zato dobljene izdelke preprosto zapišemo:

Bilo je enostavno. :)

Odgovor: $AB=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(matrika) \desno]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrika) \desno]$; $CA=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(matrika) \desno]$; $BC=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(matrika) \desno]$.

Na splošno toplo priporočam, da to nalogo opravite sami. In še ena podobna naloga, ki je v domači nalogi. Te na videz preproste misli vam bodo pomagale pri vadbi vseh ključnih stopenj množenja matrik.

A zgodba se tu ne konča. Preidimo na posebne primere množenja :)

Vektorji vrstic in vektorji stolpcev

Ena najpogostejših matričnih operacij je množenje z matriko, ki ima eno vrstico ali en stolpec.

Opredelitev. Vektor stolpec je matrika velikosti $\left[ m\times 1 \right]$, tj. sestavljen iz več vrstic in samo enega stolpca.

Vrstni vektor je matrika velikosti $\left[ 1\times n \right]$, tj. sestavljen iz ene vrstice in več stolpcev.

Pravzaprav smo te predmete že srečali. Na primer, navaden tridimenzionalni vektor iz stereometrije $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ ni nič drugega kot vektor vrstice. S teoretičnega vidika skorajda ni razlike med vrsticami in stolpci. Previdni morate biti le pri usklajevanju z okoliškimi matrikami množiteljev.

Naloga 5. Naredite množenje:

\[\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \desno] \cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(matrika) \desno]\]

rešitev. Tukaj imamo produkt ujemajočih se matrik: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Poiščimo ta kos:

\[\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \desno] \cdot \left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\levo(-1 \desno)\cdot 2+3\cdot \levo(-1 \desno) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \desno) \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\konec(matrika) \desno]\]

Odgovor: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Naloga 6. Naredite množenje:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrika) \right]\]

rešitev. Spet je vse dogovorjeno: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Izdelek štejemo:

\[\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrika) \desno]=\levo[ \begin(matrika)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(matrika) \desno]\]

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Kot lahko vidite, ko pomnožimo vektor vrstice in vektor stolpca s kvadratno matriko, je rezultat vedno vrstica ali stolpec enake velikosti. To dejstvo ima veliko uporab - od reševanja linearnih enačb do vseh vrst transformacij koordinat (ki na koncu pridejo tudi do sistemov enačb, a da ne govorimo o žalostnih stvareh).

Mislim, da je bilo tukaj vse očitno. Preidimo na zadnji del današnje lekcije.

Matrično potenciranje

Med vsemi operacijami množenja si posebno pozornost zasluži potenciranje - to je takrat, ko isti predmet večkrat pomnožimo sam s seboj. Matrike niso nobena izjema; prav tako jih je mogoče dvigniti na različne potence.

Takšna dela so vedno dogovorjena:

\\cdot \left[ n\krat n \desno]=\levo[ n\krat n \desno]\]

In označeni so na popolnoma enak način kot običajne stopnje:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \podoklepaj(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

Na prvi pogled je vse preprosto. Poglejmo, kako to izgleda v praksi:

Naloga 7. Dvignite matriko na navedeno moč:

$((\levo[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \desno])^(3))$

rešitev. No OK, gradimo. Najprej ga kvadriramo:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]= \\ & =\levo[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(matrika) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(matrika) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrika) \desno]= \\ & =\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \levo[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno] \end(align)\]

To je vse :)

Odgovor: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problem 8. Dvignite matriko na navedeno moč:

\[((\levo[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \desno])^(10))\]

rešitev. Samo ne jokajte zdaj zaradi dejstva, da je "diploma prevelika", "svet ni pravičen" in "učitelji so popolnoma izgubili svoje obale." Pravzaprav je preprosto:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ konec(matrika) \desno])^(3))\cdot ((\levo[ \začetek(matrika) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec(matrika) \desno])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno] \desno)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \desno)= \\ & =\levo[ \begin(matrika) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Upoštevajte, da smo v drugi vrstici uporabili asociativnost množenja. Pravzaprav smo ga uporabili v prejšnji nalogi, vendar je bil tam impliciten.

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega pri dvigovanju matrike na potenco. Zadnji primer lahko povzamemo:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\]

To dejstvo je enostavno dokazati z matematično indukcijo ali neposrednim množenjem. Vendar ni vedno mogoče ujeti takšnih vzorcev pri dvigu na stopnjo. Zato bodite previdni: pogosto se "naključno" množenje več matrik izkaže za lažje in hitrejše kot iskanje nekakšnih vzorcev.

Na splošno ne iščite višjega smisla tam, kjer ga ni. Za zaključek razmislimo o potenciranju večje matrike - toliko kot $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problem 9. Dvignite matriko na navedeno moč:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

rešitev. Ne iščimo vzorcev. Delamo naprej:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrika)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \desno]\]

Najprej kvadriramo to matriko:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\levo[ \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \desno]\cdot \left[ \begin(matrika ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrika) \right] \end(align)\]

Zdaj pa ga narežemo na kocke:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrika) \desno] \cdot \left[ \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \desno]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

To je vse. Problem je rešen.

Odgovor: $\levo[ \begin(matrika) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrika) \desno]$.

Kot vidite, se je obseg izračunov povečal, pomen pa se ni nič spremenil :).

S tem se lekcija zaključi. Naslednjič bomo upoštevali inverzno operacijo: z obstoječim produktom bomo iskali originalne faktorje.

Kot ste verjetno že uganili, bomo govorili o inverzni matriki in metodah za njeno iskanje.