Kako označite simetralo? Elementi trikotnika

Tema lekcije

Simetrala kota

Cilji lekcije

Okrepiti znanje šolarjev o simetrali kota in njegovih lastnostih;
Uvesti nove informacije o simetrali kota;
Razširiti znanje učencev, da je izrek o lastnostih simetrale mogoče dokazati na različne načine;
Razvijte logično razmišljanje, zanimanje za matematične vede, vztrajnost in sposobnost analize.

Cilji lekcije

Razširiti znanje učencev o simetrali kota;
Okrepiti veščine sestavljanja simetrale kota z uporabo risarskih orodij;
Pridobite dodatne in zanimive informacije o tej temi;
Podajte informacije o pomenu izreka v razvoju matematike;
Utrditi pridobljeno znanje z reševanjem nalog;
Gojiti vztrajnost, radovednost in željo po študiju matematičnih znanosti.

Načrt lekcije

1. Razkritje glavne teme lekcije o simetrali kota;
2. Ponovitev obravnavane snovi;
3. Zanimivi podatki o simetrali.
4. Zgodovinsko ozadje, grška geometrija.
5. Domača naloga.

Simetrala kota

Današnjo lekcijo bomo posvetili temi simetral. Spomnimo se definicije simetrale.

Simetrala je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.

Preprosto povedano, simetrala je premica, ki deli kot na pol.

Simetrala kota je žarek, ki izhaja iz oglišča kota in ga deli na dva druga enaka kota.

Beseda "simetrala" v prevodu iz francoščine pomeni nekaj, kar kot razpolovi ali enakomerno razdeli na polovico.

Simetrala trikotnika

Poleg simetrale kota obstaja tudi simetrala trikotnika, saj ima trikotnik kar tri kote, oziroma ima lahko vsak trikotnik tri različne simetrale.

Kaj je simetrala trikotnika? Simetrala trikotnika je odsek simetrale kota, ki povezuje njegovo oglišče v trikotniku s točko na nasprotni strani.

Simetralni trikotnik ima določene edinstvene lastnosti. Nasprotno stran na primer razdeli na segmente, ki so sorazmerni z drugima dvema stranema.

Kot pri pravokotnem trikotniku njegove simetrale ostrih kotov, ko se sekajo, tvorijo kot natanko 45 stopinj.

Poleg tega ne smemo pozabiti na takšno lastnost simetral trikotnika, kot je dejstvo, da se sekajo strogo v središču kroga, vpisanega v trikotnik.

No, najbolj zanimivo je, da bo za enakokraki trikotnik črta, narisana na osnovo, simetrala, mediana in višina. V skladu s tem velja obratno pravilo, da če mediana, višina in simetrala, ki je potegnjena iz enega oglišča trikotnika, sovpadajo, potem imamo enakokraki trikotnik.

Katere lastnosti pravokotnega in enakokrakega trikotnika se spomnite?

Konstrukcija simetrale

Simetralo kota izdelamo s kotomerjem z njegovo stopinjsko mero. Da bi začeli sestavljati simetralo, vzamemo in razdelimo stopinjsko mero na pol in postavimo stopinjsko mero polovičnega kota na eno stran oglišča, nato pa druga polovica postane simetrala danega kota.

Vzamemo dani kot, ki ima stopinjsko mero devetdeset stopinj in s simetralo dobimo dva sestavljena kota po 45 stopinj.

Ravni kot uporablja simetralo, da razdeli kot na 2 prava kota. Pri konstruiranju simetrale ga tupi kot razdeli na 2 ostra kota.

Iz definicije simetrale vemo, da je to žarek, ki razpolovi kot. Če želite sestaviti simetralo, to pomeni, da morate kot razdeliti na pol.

Algoritem za izdelavo simetrale kota

1. Najprej nariši krog s središčem na vrhu kota, tako da seka njegove stranice.

3. Nariši 2 kroga s polmerom, tako da imata presečišče znotraj tega kota.

4. Sedaj potegnemo žarek iz oglišča kota tako, da gre skozi presečišče teh krožnic. Ta žarek je simetrala tega kota.

Zdaj pa poskusimo dokazati, da je dobljeni žarek simetrala tega kota. Vzemimo za primer dva trikotnika, ki imata eno skupno stranico, to je odsek od oglišča do presečišča krogov, ki smo ga dobili v 3p.

2. par ustreznih stranic so odseki, dobljeni v 1. koraku, ki potekajo od vrha kota do točk presečišča kroga z njegovimi stranicami.

Tretji par ustreznih stranic so segmenti, dobljeni v 1p. od presečišča kroga, do presečišča krogov, vendar pridobljeno v 3p.

Zato sta 2 para teh segmentov enaka, saj sta polmera enega ali dveh krogov, vendar z enakim polmerom. Iz tega sledi, da so trikotniki enaki na vseh treh stranicah. Znano je, da ko so trikotniki enaki, so tudi njihovi koti enaki. Zato sta v oglišču oba nova kota in podana kota glede na pogoje problema enaka, torej bo konstruirani žarek simetrala.

Zanimiv podatek o simetrali

Ali ste vedeli, da obstaja veda, imenovana mnemotehnika, kar v prevodu iz grščine pomeni umetnost pomnjenja. In da bi si bolje zapomnili definicijo simetrale, obstaja mnemonično pravilo, po katerem je simetrala podgana, ki teče okoli vogalov in deli vogal na pol.

Ste vedeli, da je tudi Arhimed uporabljal izrek simetrale? Z njim je razdelil osnovo na dele, ki so sorazmerni s stranicami, da bi določil dolžine pol stranic dvanajsterokotnika, 24-kotnika itd.

Legenda simetrale kota

Pravljica o dveh kotih in simetrali ali o nastanku sosednjega kota.

Nekega dne sta se dva vogala srečala na istem kvadratu. Najstarejši kot je imel približno 130 stopinj, najmlajši pa le petdeset. Ker je to pravljica, letnice nadomestimo z diplomami. Tako sta se srečala in se začela prepirati, kateri od njiju je boljši in pomembnejši. Starejši je verjel, da je prednost na njegovi strani, saj je bil starejši, modrejši in je v svojem življenju v svojih 130° videl več. Mlajši pa je, nasprotno, vztrajal, da je mlajši, torej močnejši in bolj vzdržljiv. In da spor ne bi trajal večno, so se odločili za turnir. Simetrala je izvedela za ta tekmovanja in se odločila, da bo hkrati premagala svoje sovražnike in vodila Geometrijo.

In zdaj je prišel dolgo pričakovani čas za turnir, kjer sta bila 2 kota. V trenutku, ko so bile bitke v polnem razmahu, se je pojavil Simetral in se odločil sodelovati. Potem pa je v bitko s Simetralo najprej vstopil starejši Angle, nato se je pridružil mlajši, zmaga pa je vseeno pristala na strani Simetrale.

Simetrala je premica, ki razpolovi kot.

Ste v nalogi naleteli na simetralo? Poskusite uporabiti eno (ali včasih več) od naslednjih neverjetnih lastnosti.

1. Simetrala v enakokrakem trikotniku.

Se ne bojite besede "teorem"? Če te je strah, potem je zaman. Matematiki so navajeni, da izrek imenujejo vsako izjavo, ki jo je mogoče nekako izpeljati iz drugih, preprostejših izjav.

Torej, pozor, izrek!

Dokažimo ta izrek, to pomeni, da razumemo, zakaj se to zgodi? Poglejte enakokrake.

Pazljivo si jih oglejmo. In potem bomo to videli

1. - splošno.

In to pomeni (hitro se spomnite prvega znaka enakosti trikotnikov!), da.

kaj torej? Ali hočeš to reči? In dejstvo je, da tretjih stranic in preostalih kotov teh trikotnikov še nismo pogledali.

Zdaj pa poglejmo. Enkrat, potem absolutno, in še dodatno, .

Tako se je izkazalo, da

1. razdelil stran na polovico, to je, izkazalo se je, da je mediana
2. , kar pomeni, da sta oba podobna (poglej še enkrat sliko).

Tako se je izkazalo, da je tudi simetrala in višina!

Hura! Izrek smo dokazali. Ampak veš kaj, to še ni vse. Tudi zvest obratni izrek:

Dokaz? Te res zanima? Preberi naslednjo stopnjo teorije!

In če te ne zanima, potem trdno si zapomni:

Zakaj si to trdno zapomniti? Kako lahko to pomaga? Toda predstavljajte si, da imate nalogo:

podano: .

Najdi: .

Takoj ugotoviš, simetrala in glej ga zlomka, razdelila je stranico na pol! (glede na stanje...). Če se trdno spomnite, da se to zgodi samo v enakokrakem trikotniku, potem sklepaš, kar pomeni, da zapišeš odgovor: . Super, kajne? Seveda vse naloge ne bodo tako lahke, a znanje bo zagotovo pomagalo!

In zdaj naslednja nepremičnina. pripravljena

2. Simetrala kota je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.

Prestrašen? Res ni nič hudega. Leni matematiki so štiri skrili v dve vrstici. Torej, kaj pomeni "simetrala - mesto točk"? To pomeni, da se izvršijo takoj dvaizjave:

1. Če točka leži na simetrali, so razdalje od nje do stranic kota enake.
2. Če so na neki točki razdalje do stranic kota enake, potem je ta točka Nujno leži na simetrali.

Ali vidite razliko med izjavama 1 in 2? Če ne zelo veliko, potem se spomnite Klobučarja iz "Alice v čudežni deželi": "Pa kaj boste še rekli, kot da sta "Vidim, kar jem" in "Jem, kar vidim" ista stvar!"

Torej moramo dokazati izjavi 1 in 2, nato pa še izjavo: “Simetrala je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota” bo dokazano!

Zakaj je 1 res?

Vzemimo katero koli točko na simetrali in jo imenujemo .

Iz te točke spustimo navpičnici na stranice kota.

In zdaj...pripravite se, da si zapomnite znake enakosti pravokotnih trikotnikov! Če ste jih pozabili, si oglejte razdelek.

Torej ... dva pravokotna trikotnika: in. Imajo:

• Splošna hipotenuza.
• (ker je simetrala!)

To pomeni - s kotom in hipotenuzo. Zato sta ustrezna kraka teh trikotnikov enaka! To je.

Dokazali smo, da je točka enako (oz. enako) oddaljena od stranic kota. Točka 1 je obravnavana. Zdaj pa preidimo na točko 2.

Zakaj je 2 res?

In povežimo pike in.

To pomeni, da leži na simetrali!

To je to!

Kako vse to uporabiti pri reševanju problemov? Na primer, v težavah je pogosto naslednji stavek: "Krog se dotika stranic kota ...". No, nekaj moraš najti.

Potem to hitro ugotoviš

In lahko uporabite enakost.

3. Tri simetrale v trikotniku se sekajo v eni točki

Iz lastnosti simetrale, da je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od stranic kota, sledi naslednja izjava:

Kako točno se izkaže? Ampak poglej: dve simetrali se bosta zagotovo sekali, kajne?

In tretja simetrala bi lahko šla takole:

Toda v resnici je vse veliko bolje!

Oglejmo si presečišče dveh simetral. Pokličimo ga.

Kaj smo uporabili tukaj obakrat? ja točka 1, seveda! Če točka leži na simetrali, potem je enako oddaljena od stranic kota.

In tako se je zgodilo.

Toda pozorno poglejte ti dve enakosti! Navsezadnje iz njih izhaja, da in torej .

In zdaj bo prišel v poštev točka 2: če sta razdalji do stranic kota enaki, potem leži točka na simetrali...kakšnega kota? Poglej sliko še enkrat:

in sta razdalji do stranic kota in sta enaki, kar pomeni, da točka leži na simetrali kota. Tretja simetrala je potekala skozi isto točko! Vse tri simetrale se sekajo v eni točki! In kot dodatno darilo -

Polmeri vpisana krogih.

(Da se prepričate, poglejte drugo temo).

No, zdaj ne boste nikoli pozabili:

Točka presečišča simetral trikotnika je središče vanj včrtane krožnice.

Pojdimo na naslednjo lastnost ... Vau, simetrala ima veliko lastnosti, kajne? In to je super, kajti več kot je lastnosti, več je orodij za reševanje simetralnih problemov.

4. Simetrala in vzporednost, simetrale sosednjih kotov

Dejstvo, da simetrala deli kot na pol, v nekaterih primerih vodi do povsem nepričakovanih rezultatov. Tukaj npr.

Primer 1

Super, kajne? Razumejmo, zakaj je tako.

Na eni strani narišemo simetralo!

Toda po drugi strani obstajajo koti, ki ležijo navzkrižno (zapomnite si temo).

In zdaj se je izkazalo, da; vrzi sredino: ! - enakokraki!

Primer 2

Predstavljajte si trikotnik (ali poglejte sliko)

Nadaljujmo stran za točko. Zdaj imamo dva kota:

• - notranji kotiček
• - zunanji kot je zunaj, kajne?

Torej, in zdaj je nekdo želel narisati ne eno, ampak dve simetrali hkrati: za in za. Kaj se bo zgodilo?

Se bo izšlo? pravokoten!

Presenetljivo je natanko tako.

Ugotovimo.

Kaj mislite, kakšen je znesek?

Seveda, - navsezadnje vsi skupaj tvorijo takšen kot, da se izkaže za ravno črto.

Zdaj se spomnite, da in sta simetrali in vidite, da je znotraj kota točno pol iz vsote vseh štirih kotov: in - - torej točno. Lahko ga zapišete tudi kot enačbo:

Torej, neverjetno, a resnično:

Kot med simetralama notranjega in zunanjega kota trikotnika je enak.

Primer 3

Ali vidite, da je tukaj vse enako kot pri notranjih in zunanjih kotih?

Ali pa razmislimo še enkrat, zakaj se to zgodi?

Še enkrat, kar zadeva sosednje vogale,

(kot ustreza vzporednim osnovam).

In spet se pobotajo točno polovico od zneska

Zaključek:Če problem vsebuje simetrale sosednji koti ali simetrale ustrezen koti paralelograma ali trapeza, potem v tej nalogi seveda gre za pravokotni trikotnik ali morda celo za cel pravokotnik.

5. Simetrala in nasprotna stranica

Izkazalo se je, da simetrala kota trikotnika deli nasprotno stranico ne samo na nek način, temveč na poseben in zelo zanimiv način:

To je:

Neverjetno dejstvo, kajne?

Zdaj bomo dokazali to dejstvo, vendar se pripravite: malo bo težje kot prej.

Spet - izhod v "prostor" - dodatna formacija!

Pojdimo naravnost.

za kaj? Bomo videli zdaj.

Simetralo nadaljujemo, dokler se ne preseka s premico.

Je to znana slika? Da, da, da, popolnoma enako kot v točki 4, primer 1 - izkaže se, da (- simetrala)

Leži navzkrižno

Torej tudi to.

Zdaj pa poglejmo trikotnike in.

Kaj lahko rečete o njih?

So si ... podobni. No ja, njuni koti so enaki kot navpični. Torej v dveh kotih.

Zdaj imamo pravico pisati razmerja zadevnih strank.

In zdaj na kratko:

Oh! Spominja me na nekaj, kajne? Ali ni to tisto, kar smo želeli dokazati? Da, da, točno tako!

Vidite, kako odličen se je izkazal "vesoljski sprehod" - izgradnja dodatne ravne črte - brez tega se ne bi zgodilo nič! In tako smo to dokazali

Zdaj ga lahko varno uporabljate! Poglejmo še eno lastnost simetral kotov trikotnika – ne bodite prestrašeni, zdaj je najtežji del mimo – bo lažje.

To razumemo

To znanje je mogoče uporabiti pri tistih nalogah, kjer sta vključeni dve simetrali in je podan samo kot, zahtevane količine pa se ohranjajo ali, nasprotno, podane, vendar morate najti nekaj, kar vključuje kot.

Osnovnega znanja o simetrali je konec. Če združite ta dejstva, boste našli ključ do katerega koli problema simetrale!

SEMEKTRICA. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Izrek 1:

Izrek 2:

Izrek 3:

Izrek 4:

Izrek 5:

Izrek 6:

Znotraj kota, enako oddaljena od stranic kota.

Mnemotehnično pravilo

Simetrala je podgana, ki teče okoli vogalov in razpolovi vogal.

Olajša zapomnitev besedila. Najpogosteje ga uporabljajo otroci.

Fundacija Wikimedia.

• Sopomenke
• Slovar izrazov planimetrije

Včrtana krožnica

Oglejte si, kaj je "simetrala" v drugih slovarjih: simetrala - y, w. bissecrice f. matematika. Ravna črta, ki gre skozi oglišče kota in ga deli na pol. BAS 2. Nariši simetralo. Vasyukova 1999. Simetrala je podgana, ki teče okoli vogalov in deli vogal na pol. 1994. Belyanin. Lex. Brokg.....

Oglejte si, kaj je "simetrala" v drugih slovarjih: Zgodovinski slovar galicizmov ruskega jezika - matematika, črta, ravna Slovar ruskih sinonimov. simetrala samostalnik, število sinonimov: 3. vrstica (182) ...

Slovar sinonimov SEMEKTRICA - (iz latinščine bis dvakrat in seco režem) kot je polpremica (žarek), ki izhaja iz oglišča kota in ga deli na pol...

Slovar sinonimov Veliki enciklopedični slovar - [ise], simetrale, ženski. (iz lat. bissectrix secant čez) (mat.). 1. V kotu je ravna črta, ki deli kot na pol. 2. V trikotniku je ravna črta, ki poteka iz nekega kota na nasprotno stran in deli to stran na dele, ravna ... ...

Slovar sinonimov Razlagalni slovar Ušakova - BISEXECTRISE, s, samica. V matematiki: žarek (3 števke), ki izhaja iz vrha kota in ga deli na pol. Razlagalni slovar Ozhegova. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 …

Oglejte si, kaj je "simetrala" v drugih slovarjih: Razlagalni slovar Ozhegov - BISEXTER, s, f. Učiteljica matematike v šoli. Iz šole...

Oglejte si, kaj je "simetrala" v drugih slovarjih: Slovar ruskega argota - - [A.S. Goldberg. Angleško-ruski energetski slovar. 2006] Energetske teme na splošno EN mean line ...

Slovar sinonimov Priročnik za tehnične prevajalce - žarek, ki izhaja iz vrha kota in ga deli na pol; vsaka točka B. je enako oddaljena od stranic kota. Trije koti B. trikotnika se sekajo v eni točki v središču kroga, včrtanega v trikotnik ...

Oglejte si, kaj je "simetrala" v drugih slovarjih: Velika politehnična enciklopedija - (francosko bissectrice lat. bis sectrix (bissectricis) rezanje na dvoje) geom. žarek, ki gre skozi oglišče kota in ga deli na pol. Nov slovar tujih besed. by EdwART, 2009. simetrala [ise], simetrale, w. [iz latinščine. bisektrisa –… …

Oglejte si, kaj je "simetrala" v drugih slovarjih: Slovar tujih besed ruskega jezika - s; in. [francosko bissecrice iz lat. bis dvakrat in secare razčleniti] Mat. Žarek, ki izhaja iz vrha vogala in ga deli na pol. * * * simetrala (iz latinščine bis dvakrat in seco sečem) kota, polpremica (žarek), ki izhaja iz oglišča kota in ga deli...

Enciklopedični slovar

• Simetrala je taka podgana ..., Natalija Tsitronova. Avtorjeva prva knjiga so zgodbe in eseji o drznih devetdesetih ... Napisana lahkotno, s humorjem, brez krvavih ali spolnih prizorov ...