Kako najti površino prečnega prereza formule valja. Osni prerez ravnega in nagnjenega valja

Valj je lik, sestavljen iz cilindrična površina in dva vzporedna kroga. Izračun površine valja je problem v geometrijski veji matematike, ki ga je mogoče rešiti precej preprosto. Obstaja več metod za reševanje, ki se na koncu vedno skrčijo na eno formulo.

Kako najti površino valja - pravila za izračun

• Če želite izvedeti površino valja, morate dodati dve površini osnove s površino stranske površine: S = Sstran + 2Sosnova. V bolj razširjeni različici to formulo izgleda takole: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočno površino danega geometrijskega telesa je mogoče izračunati, če sta znana njegova višina in polmer kroga, ki leži na njegovem dnu. V tem primeru lahko polmer izrazite z obodom, če je podan. Višino je mogoče najti, če je v pogoju navedena vrednost generatorja. V tem primeru bo generatrisa enaka višini. Formula za stransko ploskev tega telesa izgleda takole: S= 2 π rh.
• Površina baze se izračuna po formuli za iskanje površine kroga: S osn= π r 2 . Pri nekaterih nalogah polmer morda ni podan, lahko pa je podan obseg. S to formulo se radij izrazi precej enostavno. С=2π r, r= С/2π. Zapomniti si morate tudi, da je polmer polovica premera.
• Pri vseh teh izračunih se število π običajno ne pretvori v 3,14159 ... Samo dodati ga je treba poleg številčna vrednost, ki je bila pridobljena kot rezultat izračunov.
• Nato morate le pomnožiti najdeno površino osnove z 2 in dobljeni številki dodati izračunano površino stranske površine figure.
• Če problem kaže, da ima valj osni prerez in da je pravokotnik, bo rešitev nekoliko drugačna. V tem primeru bo širina pravokotnika enaka premeru kroga, ki leži na dnu telesa. Dolžina figure bo enaka generatrisi ali višini valja. Treba je izračunati zahtevane vrednosti in že nadomestiti znana formula. V tem primeru je treba širino pravokotnika deliti z dvema, da bi našli površino osnove. Da bi našli stransko površino, dolžino pomnožimo z dvema polmeroma in številom π.
• Ploščino danega geometrijskega telesa lahko izračunate z njegovo prostornino. Če želite to narediti, morate manjkajočo vrednost izpeljati iz formule V=π r 2 h.
• Pri izračunu površine valja ni nič zapletenega. Samo poznati morate formule in znati iz njih izpeljati količine, potrebne za izvedbo izračunov.

obstaja veliko število težave v zvezi s cilindrom. V njih morate najti polmer in višino telesa ali vrsto njegovega odseka. Poleg tega morate včasih izračunati površino valja in njegovo prostornino.

Katero telo je valj?

Poznavanje šolski kurikulum proučuje se krožni valj, to je tisti na dnu. Odlikuje pa se tudi eliptični videz te figure. Iz imena je jasno, da bo njegova osnova elipsa ali oval.

Cilinder ima dve podstavki. Med seboj so enake in so povezane z odseki, ki združujejo ustrezne točke baz. Imenujejo se generatorji valja. Vsi generatorji so med seboj vzporedni in enaki. Sestavljajo stransko površino telesa.

Na splošno je valj nagnjeno telo. Če generatorji z osnovami tvorijo pravi kot, govorimo o ravni liku.

Zanimivo je, da je krožni valj vrtilno telo. Dobimo ga z vrtenjem pravokotnika okoli ene od njegovih stranic.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra izgledajo takole.

1. Višina. Je najkrajša razdalja med osnovama valja. Če je ravna, potem višina sovpada z generatriko.
2. Radij. Sovpada s tistim, ki ga lahko narišemo na dnu.
3. os. To je ravna črta, ki vsebuje središča obeh baz. Os je vedno vzporedna z vsemi generatorji. V ravnem valju je pravokotna na osnove.
4. Aksialni odsek. Nastane, ko valj seka ravnino, ki vsebuje os.
5. Tangentna ravnina. Poteka skozi eno od generatrik in je pravokotna na osni prerez, ki je narisan skozi to generatriso.

Kako je valj povezan s prizmo, ki je vanj včrtana ali okoli njega opisana?

Včasih obstajajo težave, pri katerih morate izračunati površino valja, vendar so nekateri elementi povezane prizme znani. Kako so te številke povezane?

Če je prizma včrtana v valj, potem sta njeni osnovi enaki poligoni. Poleg tega so vpisani v ustrezne osnove valja. Stranski robovi prizme sovpadajo z generatorji.

Opisana prizma ima baze pravilni poligoni. Opisane so okrog krogov valja, ki so njegove osnove. Ravnine, ki vsebujejo ploskve prizme, se dotikajo valja po svojih generatorjih.

Na območju stranske površine in podlage za desni krožni valj

Če odvijete stransko površino, boste dobili pravokotnik. Njegove stranice bodo sovpadale z generatriko in obodom baze. zato stransko območje valj bo enak produktu teh dveh količin. Če zapišete formulo, dobite naslednje:

S stran = l * n,

kjer je n generator, l je obseg.

Poleg tega se zadnji parameter izračuna po formuli:

l = 2 π * r,

tukaj je r polmer kroga, π je število "pi", enako 3,14.

Ker je osnova krog, se njegova ploščina izračuna z naslednjim izrazom:

S glavni = π * r 2 .

Na površini celotne površine desnega krožnega valja

Ker ga tvorita dve osnovi in ​​stranska površina, morate te tri količine sešteti. To pomeni, da bo skupna površina valja izračunana po formuli:

S nadstropje = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Pogosto je zapisano v drugačni obliki:

S nadstropje = 2 π * r (n + r).

Na ploskvah nagnjenega krožnega valja

Kar zadeva baze, so vse formule enake, ker so še vedno krogi. Ampak stransko površino ne ustvarja več pravokotnika.

Za izračun bočne površine nagnjen valj boste morali pomnožiti vrednosti generatrike in oboda odseka, ki bo pravokoten na izbrano generatriko.

Formula izgleda takole:

stran S = x * P,

kjer je x dolžina generatrise valja, P je obseg odseka.

Mimogrede, bolje je izbrati odsek tako, da tvori elipso. Potem bodo izračuni njegovega oboda poenostavljeni. Dolžina elipse se izračuna s formulo, ki daje približen odgovor. Toda za naloge šolskega tečaja pogosto zadostuje:

l = π * (a + b),

kjer sta "a" in "b" pol-osi elipse, to je razdalja od središča do najbližje in najbolj oddaljene točke.

Površino celotne površine je treba izračunati z naslednjim izrazom:

S nadstropje = 2 π * r 2 + x * R.

Kateri so nekateri deli pravilnega krožnega valja?

Ko prerez poteka skozi os, je njegova ploščina določena kot produkt generatrise in premera osnove. To je razloženo z dejstvom, da ima obliko pravokotnika, katerega stranice sovpadajo z označenimi elementi.

Če želite najti površino prečnega prereza valja, ki je vzporedna z osno, boste potrebovali tudi formulo za pravokotnik. V tem primeru bo ena od njegovih strani še vedno sovpadala z višino, druga pa bo enaka tetivi osnove. Slednji sovpada s prerezom vzdolž baze.

Ko je odsek pravokoten na os, je videti kot krog. Poleg tega je njegova površina enaka površini osnove figure.

Možno je tudi sekanje pod določenim kotom na os. Nato iz prereza nastane oval ali njegov del.

Vzorčne težave

Naloga št. 1. Podan je raven valj, katerega osnovna ploščina je 12,56 cm 2 . Treba je izračunati skupno površino valja, če je njegova višina 3 cm.

rešitev. Potrebno je uporabiti formulo za celotno površino krožnice ravni valj. Manjkajo pa podatki, in sicer radij baze. Toda območje kroga je znano. Iz tega je enostavno izračunati polmer.

Izkazalo se je, da je enako kvadratnemu korenu količnika, ki ga dobimo tako, da površino osnove delimo s pi. Po delitvi 12,56 s 3,14 je rezultat 4. Kvadratni koren od 4 je to 2. Zato bo polmer imel točno to vrednost.

Odgovor: S tla = 50,24 cm 2.

Naloga št. 2. Valj s polmerom 5 cm prereže ravnina, ki je vzporedna z osjo. Razdalja od preseka do osi je 4 cm. Najti morate površino prereza.

rešitev. Oblika prečnega prereza je pravokotna. Ena od njegovih stranic sovpada z višino valja, druga pa je enaka tetivi. Če je prva količina znana, je treba najti drugo.

Za to je treba narediti dodatno konstrukcijo. Na dnu narišemo dva segmenta. Oba bosta začela v središču kroga. Prvi se bo končal v središču tetive in je enak znani razdalji do osi. Drugi je na koncu akorda.

Dobili boste pravokotni trikotnik. V njem sta znana hipotenuza in eden od krakov. Hipotenuza sovpada s polmerom. Druga noga enaka polovici akordi. ne znamenita noga, pomnoženo z 2, bo dalo želeno dolžino strune. Izračunajmo njegovo vrednost.

Da bi našli neznani krak, boste morali kvadrirati hipotenuzo in znani krak, odšteti drugi od prvega in vzeti kvadratni koren. Kvadrata sta 25 in 9. Njuna razlika je 16. Ko vzamemo kvadratni koren, ostane 4. To je želeni krak.

Tetiva bo enaka 4 * 2 = 8 (cm). Zdaj lahko izračunate površino preseka: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odgovor: S križ je enak 32 cm 2.

Naloga št. 3. Potrebno je izračunati površino osnega prereza cilindra. Znano je, da je vanjo včrtana kocka z robom 10 cm.

rešitev. Osni odsek valja sovpada s pravokotnikom, ki poteka skozi štiri oglišča kocke in vsebuje diagonale njegovih baz. Stranica kocke je generatriksa valja, diagonala osnove pa sovpada s premerom. Zmnožek teh dveh količin bo dal površino, ki jo morate najti v problemu.

Če želite najti premer, boste morali uporabiti znanje, da je osnova kocke kvadrat, njena diagonala pa tvori enakostranično pravokotni trikotnik. Njegova hipotenuza je želena diagonala figure.

Za izračun boste potrebovali formulo Pitagorovega izreka. Stranico kocke morate kvadrirati, jo pomnožiti z 2 in izvleči kvadratni koren. Deset na drugo potenco je sto. Pomnoženo z 2 je dvesto. Kvadratni koren iz 200 je 10√2.

Odsek je spet pravokotnik s stranicama 10 in 10√2. Njegovo površino je mogoče enostavno izračunati z množenjem teh vrednosti.

Odgovori. S prerez = 100√2 cm 2.

Površina stranske površine valja je enaka površini pravokotnika, katerega osnova je 2π r, višina pa je enaka višini valja h, tj. 2π rh.

Celotna površina valja bo: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Območje stranske površine valja je vzeto območje pometanja njegovo stransko površino.

Zato je območje bočne površine ravne črte krožni valj enaka površini ustreznega pravokotnika (sl.) in se izračuna po formuli

S pr.n.št. = 2πRH, (1)

Če površini bočne površine valja prištejemo ploščini njegovih dveh baz, dobimo ploščino polna površina valj

S poln =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Prostornina ravnega valja

kjer je Q površina osnove, H pa višina valja.

Ker je ploščina osnove valja Q, potem obstajajo zaporedja opisanih in včrtanih poligonov s ploščinami Q n in Q' n tako da

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \desna puščica \infty)\) Q’ n= Q.

Konstruirajmo zaporedja prizem, katerih osnove so opisani in včrtani poligoni, obravnavani zgoraj, in stranska rebra vzporedni z generatriso danega valja in imajo dolžino H. Te prizme so opisane in včrtane za dani valj. Njihove prostornine najdemo s formulami

V n=Q n H in V' n= Q' n H.

torej

V= \(\lim_(n \desna puščica \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \desna puščica \infty)\) Q’ n H = QH.

Posledica.
Prostornina pravega krožnega valja se izračuna po formuli

V = π R 2 H

kjer je R polmer osnove in H višina valja.

Ker je osnova krožnega valja krog s polmerom R, potem je Q = π R 2 in zato

Cilinder (prihaja iz grški jezik, iz besed "drsališče", "roler") - to je geometrijsko telo, ki je navzven omejena s površino, imenovano cilindrična in dve ravnini. Te ravnine sekajo površino figure in so med seboj vzporedne.

Valjasta ploskev je ploskev, ki jo tvori premica v prostoru. Ti premiki so takšni, da se izbrana točka te premice premika po krivulji ploščati tip. Tako ravno črto imenujemo generatrisa, krivo črto pa vodilo.

Valj je sestavljen iz para baz in stranske cilindrične površine. Obstaja več vrst cilindrov:

1. Okrogel, raven valj. Tak valj ima osnovo in vodilo, pravokotno na tvorno črto, in obstaja

2. Nagnjeni valj. Njegov kot med nastajajočo premico in bazo ni prem.

3. Valj drugačne oblike. Hiperbolični, eliptični, parabolični in drugi.

Območje valja, kot tudi skupno površino katerega koli valja, se ugotovi tako, da seštejejo površine baz te figure in površine stranske površine.

Formula za izračun skupne površine valja za krožni ravni valj:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Ugotovljeno je, da je površina stranske površine nekoliko bolj zapletena kot površina celotnega valja; izračuna se tako, da se dolžina generatrične črte pomnoži z obodom odseka, ki ga tvori pravokotna ravnina; na generatrično črto.

Dani valj za krožni, ravni valj je prepoznan po razvoju tega predmeta.

Razvitek je pravokotnik, ki ima višino h in dolžino P, ki je enaka obsegu osnove.

Iz tega sledi, da je stransko območje valja enako površino pometanje in se lahko izračuna s to formulo:

Če vzamemo okrogel, raven valj, potem zanj:

P = 2p R in Sb = 2p Rh.

Če je valj nagnjen, mora biti površina stranske površine enaka zmnožku dolžine njegove tvorne črte in oboda odseka, ki je pravokoten na to generacijsko črto.

Na žalost ni preproste formule za izražanje bočne površine nagnjenega valja glede na njegovo višino in parametre njegove osnove.

Če želite izračunati valj, morate vedeti nekaj dejstev. Če odsek s svojo ravnino seka osnovki, potem je tak odsek vedno pravokotnik. Toda ti pravokotniki bodo različni, odvisno od položaja odseka. Ena od stranic osnega prereza figure, ki je pravokotna na osnove, je enaka višini, druga pa premeru osnove valja. In površina takega odseka je v skladu s tem enaka zmnožku ene strani pravokotnika z drugo, pravokotno na prvo, ali zmnožku višine dane figure in premera njene osnove.

Če je odsek pravokoten na osnove figure, vendar ne poteka skozi os vrtenja, bo površina tega odseka enaka zmnožku višine tega valja in določene tetive. Če želite dobiti tetivo, morate zgraditi krog na dnu valja, narisati polmer in nanj narisati razdaljo, na kateri se nahaja odsek. In od te točke morate potegniti pravokotnice na polmer iz presečišča s krogom. Presečišča so povezana s središčem. In osnova trikotnika je želena, ki jo iščemo takole: "Vsota kvadratov dveh nog je enaka hipotenuzi na kvadrat":

C2 = A2 + B2.

Če odsek ne vpliva na osnovo valja in je valj sam krožen in raven, potem je območje tega odseka najdeno kot območje kroga.

Površina kroga je:

S okolj. = 2п R2.

Če želite najti R, morate njegovo dolžino C deliti z 2n:

R = C\2n, kjer je n pi, matematična konstanta, izračunana za delo s krožnimi podatki in enaka 3,14.

Kako izračunati površino valja je tema tega članka. kadarkoli matematična težava začeti morate z vnosom podatkov, ugotoviti, kaj je znano in s čim operirati v prihodnje, in šele nato nadaljevati neposredno z izračunom.

To volumetrično telo je geometrijski lik cilindrične oblike, omejena z dvema zgoraj in spodaj vzporedne ravnine. Če boste uporabili malo domišljije, boste opazili, da geometrijsko telo nastane z vrtenjem pravokotnika okoli osi, pri čemer je ena od njegovih stranic os.

Iz tega sledi, da bo krivulja, opisana nad in pod valjem, krog, katerega glavni indikator je polmer ali premer.

Površina valja - spletni kalkulator

Ta funkcija popolnoma poenostavi postopek izračuna in vse se zmanjša na samodejno zamenjavo nastavite vrednosti višina in polmer (premer) osnove figure. Edino, kar je potrebno, je natančno določiti podatke in se ne zmotiti pri vnosu številk.

Površina bočne površine cilindra

Najprej si morate predstavljati, kako izgleda skeniranje v dvodimenzionalnem prostoru.

To ni nič drugega kot pravokotnik, katerega ena stran je enaka obodu. Njegova formula je znana že od nekdaj - 2π*r, Kje r- polmer kroga. Druga stranica pravokotnika je enaka višini h. Najti, kar iščete, ne bo težko.

Sstrani= 2π *r*h,

kje je številka π = 3,14.

Skupna površina valja

Če želite najti skupno površino valja, morate uporabiti dobljeno S stran seštejte ploščini dveh krogov, zgornjega in spodnjega dela valja, ki ju izračunate po formuli S o =2π * r 2 .

Končna formula izgleda takole:

Snadstropje= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Površina valja - formula skozi premer

Za lažje izračune je včasih potrebno izvesti izračune skozi premer. Na primer, obstaja kos votle cevi znanega premera.

Ne da bi se obremenjevali z nepotrebnimi izračuni, imamo že pripravljeno formulo. Na pomoč priskoči algebra 5. razred.

Sspol = 2π*r 2 + 2 π * r * h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Namesto r V polna formula treba vnesti vrednost r =d/2.

Primeri izračuna površine valja

Oboroženi z znanjem, začnimo vaditi.

Primer 1. Treba je izračunati površino okrnjenega kosa cevi, to je valja.

Imamo r = 24 mm, h = 100 mm. Uporabiti morate formulo skozi polmer:

S tla = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Preračunamo na običajne m2 in dobimo 0,01868928, približno 0,02 m2.

Primer 2. Potrebno je poznati območje notranja površina azbestna pečna cev, katere stene so obložene z ognjevzdržnimi opekami.

Podatki so naslednji: premer 0,2 m; višina 2 m Uporabimo formulo glede na premer:

S tla = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Primer 3. Kako ugotoviti, koliko materiala potrebujemo za šivanje torbe, r = 1 m in 1 m višine.

Trenutek, obstaja formula:

S stran = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Zaključek

Na koncu članka se je pojavilo vprašanje: ali so vsi ti izračuni in pretvorbe ene vrednosti v drugo res potrebni? Zakaj je vse to potrebno in predvsem za koga? Vendar ne zanemarite in pozabite preproste formule od srednja šola.

Svet je stal in bo stal na elementarnem znanju, tudi matematiki. In nekaj začnem pomembno delo, ni nikoli slaba ideja, da si osvežite spomin na te izračune in jih uporabite v praksi z odličnim učinkom. Natančnost je vljudnost kraljev.