Kako najti območje na 3 straneh. Kako najti območje trikotnika

Koncept območja

Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s figuro, kot je kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih likov.

Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.

Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti površin vseh njenih sestavnih številk.

Poglejmo si primer.

Primer 1

Očitno je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika, katerega ena stranica je dolga $5$ (ker je $5$ celic), druga pa $6$ (ker je $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je

Potem je površina trikotnika enaka

Odgovor: 15 $.

Nato bomo preučili več metod za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.

Kako najti površino trikotnika z njegovo višino in osnovo

1. izrek

Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine te strani.

Matematično je to videti takole

$S=\frac(1)(2)αh$

kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.

Dokaz.

Vzemimo trikotnik $ABC$, v katerem je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$, ki je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.

Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Zato je zahtevana površina trikotnika po lastnosti 2 enaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Izrek je dokazan.

Primer 2

Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena

Osnovica tega trikotnika je enaka $9$ (ker je $9$ kvadratov $9$). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 $.

Heronova formula

Izrek 2

Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.

Dokaz.

Razmislite o naslednji sliki:

Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$

Iz trikotnika $CBH$ imamo po Pitagorovem izreku

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz teh dveh odnosov dobimo enakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, kar pomeni

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Formula za površino je potrebno določiti površino figure, ki je realno vredna funkcija, definirana na določenem razredu likov evklidske ravnine in izpolnjuje 4 pogoje:

1. Pozitivnost – površina ne sme biti manjša od nič;
2. Normalizacija - kvadrat s stransko enoto ima ploščino 1;
3. Skladnost - skladni liki imajo enako ploščino;
4. Aditivnost - površina združitve dveh figur brez skupnih notranjih točk je enaka vsoti površin teh figur.

Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najpreprostejša in najpogosteje uporabljena ta, da višino pomnožimo z dolžino osnove in nato rezultat delimo z dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z uporabo različnih formul.

Ločeno si bomo ogledali načine za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnih, enakokrakih in enakostraničnih. Vsako formulo pospremimo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalne metode za iskanje območja trikotnika

Spodnje formule uporabljajo posebne zapise. Vsakega od njih bomo dešifrirali:

• a, b, c - dolžine treh strani figure, ki jo obravnavamo;
• r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
• R je polmer kroga, ki ga je mogoče opisati okoli njega;
• α je velikost kota, ki ga tvorita stranici b in c;
• β je velikost kota med a in c;
• γ je velikost kota, ki ga tvorita stranici a in b;
• h je višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
• p – polovična vsota strani a, b in c.

Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete površino trikotnika. Trikotnik je mogoče zlahka sestaviti v paralelogram, v katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Ploščino paralelograma najdemo tako, da dolžino ene od njegovih strani pomnožimo z vrednostjo višine, ki je na njej narisana. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S=½ a b sin γ

V skladu s to formulo se območje trikotnika najde tako, da se dolžini njegovih dveh strani, to je a in b, pomnoži s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če znižamo višino s kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotnega trikotnika, ko dolžino stranice a pomnožimo s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je h .

Območje zadevne figure se ugotovi tako, da se polovica polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnoži z njegovim obodom. Z drugimi besedami, poiščemo zmnožek polobodnega kroga in polmera omenjenega kroga.

S= a b c/4R

V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da produkt strani figure delimo s 4 polmeri kroga, opisanega okoli njega.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (razmerno, enakokrako, enakostranično, pravokotno). To je mogoče storiti tudi z bolj zapletenimi izračuni, o katerih se ne bomo podrobneje ukvarjali.

Površine trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najti območje pravokotnega trikotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kateta in c postane hipotenuza, potem območje najdemo takole:

Kako najti območje enakokrakega trikotnika? Ima dve strani z dolžino a in eno stran z dolžino b. Posledično lahko njegovo ploščino določimo tako, da produkt kvadrata stranice a in sinusa kota γ delimo z 2.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika? V njej je dolžina vseh stranic enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a in kvadratnega korena iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti s 4.

Koncept območja

Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s figuro, kot je kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih likov.

Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.

Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti površin vseh njenih sestavnih številk.

Poglejmo si primer.

Primer 1

Očitno je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika, katerega ena stranica je dolga $5$ (ker je $5$ celic), druga pa $6$ (ker je $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je

Potem je površina trikotnika enaka

Odgovor: 15 $.

Nato bomo preučili več metod za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.

Kako najti površino trikotnika z njegovo višino in osnovo

1. izrek

Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine te strani.

Matematično je to videti takole

$S=\frac(1)(2)αh$

kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.

Dokaz.

Vzemimo trikotnik $ABC$, v katerem je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$, ki je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.

Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Zato je zahtevana površina trikotnika po lastnosti 2 enaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Izrek je dokazan.

Primer 2

Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena

Osnovica tega trikotnika je enaka $9$ (ker je $9$ kvadratov $9$). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 $.

Heronova formula

Izrek 2

Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.

Dokaz.

Razmislite o naslednji sliki:

Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$

Iz trikotnika $CBH$ imamo po Pitagorovem izreku

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz teh dveh odnosov dobimo enakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, kar pomeni

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Definicija trikotnika

Trikotnik je geometrijska figura, ki nastane kot posledica presečišča treh segmentov, katerih konci ne ležijo na isti ravni črti. Vsak trikotnik ima tri stranice, tri oglišča in tri kote.

Spletni kalkulator

Trikotniki so različnih vrst. Na primer, obstaja enakostranični trikotnik (v katerem so vse stranice enake), enakokraki (v njem sta dve strani enaki) in pravokotni trikotnik (v katerem je eden od kotov raven, tj. Enak 90 stopinj).

Območje trikotnika je mogoče najti na različne načine, odvisno od tega, kateri elementi figure so znani iz pogojev problema, naj bodo to koti, dolžine ali celo polmeri krogov, povezanih s trikotnikom. Oglejmo si vsako metodo posebej s primeri.

Formula za površino trikotnika glede na njegovo osnovo in višino

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- osnova trikotnika;
h h h- višina trikotnika, narisana na dano osnovo a.

Poiščite ploščino trikotnika, če je znana dolžina njegove osnove, enaka 10 (cm) in višina, narisana na to osnovo, enaka 5 (cm).

rešitev

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

To nadomestimo s formulo za površino in dobimo:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (glej kvadrat)

odgovor: 25 (cm2)

Formula za površino trikotnika, ki temelji na dolžinah vseh strani

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- dolžine stranic trikotnika;
p str str- polovica vsote vseh strani trikotnika (to je polovica obsega trikotnika):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b+c)

Ta formula se imenuje Heronova formula.

Poiščite površino trikotnika, če so znane dolžine njegovih treh strani, ki so enake 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

rešitev

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Poiščimo polovico oboda p str str:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Potem je po Heronovi formuli površina trikotnika:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (glej kvadrat)

Odgovor: 6 (glej kvadratek)

Formula za površino trikotnika z eno stranico in dvema kotoma

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gama))S=2 a 2 ​ ⋅ sin(β + γ)greh β greh γ ​ ,

A a a- dolžina stranice trikotnika;
β, γ \beta, \gama β , γ - koti, ki mejijo na stran a a a.

Dana je stranica trikotnika, ki je enaka 10 (cm) in dva sosednja kota po 30 stopinj. Poiščite območje trikotnika.

rešitev

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Po formuli:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\približno 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ greh (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) greh 3 0 ∘ greh 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (glej kvadrat)

odgovor: 14,4 (glej kvadrat)

Formula za ploščino trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru okroglega kroga

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- stranice trikotnika;
R R R- polmer okoli trikotnika opisane krožnice.

Vzemimo števila iz našega drugega problema in jim prištejmo polmer R R R krogih. Naj bo enako 10 (cm).

rešitev

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (glej kvadrat)

odgovor: 1,5 (cm2)

Formula za območje trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru včrtanega kroga

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= str⋅ r,

p strstr- polovica obsega trikotnika:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)str= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- stranice trikotnika;
r rr- polmer kroga, včrtanega v trikotnik.

Naj bo polmer včrtanega kroga 2 (cm). Dolžine stranic bomo vzeli iz prejšnje naloge.

rešitev

$a=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$str=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (glej kvadrat)

odgovor: 12 (cm2)

Formula za površino trikotnika, ki temelji na dveh stranicah in kotu med njima

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ greh(α ) ,

b , c b, cb, c- stranice trikotnika;

α\alfaα - kot med stranicama b bb in c cc.

Stranici trikotnika sta 5 (cm) in 6 (cm), kot med njima je 30 stopinj. Poiščite območje trikotnika.

rešitev

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ greh(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (glej kvadrat)

odgovor: 7,5 (cm2)