Kako najti območje ukrivljenega trapeza. Določen integral

Izračun površine figure- To je morda eden najtežjih problemov v teoriji območij. Pri šolski geometriji te naučijo iskati ploščine osnovnih geometrijskih likov, kot so na primer trikotnik, romb, pravokotnik, trapez, krog itd. Vendar se morate pogosto ukvarjati z izračunavanjem površin bolj zapletenih figur. Pri reševanju takšnih problemov je zelo priročno uporabljati integralni račun.

Opredelitev.

Krivočrtni trapez imenujemo neko figuro G, ki je omejena s premicami y = f(x), y = 0, x = a in x = b, funkcija f(x) pa je zvezna na segmentu [a; b] in na njem ne spremeni predznaka (Slika 1). Ploščino ukrivljenega trapeza lahko označimo s S(G).

Določen integral ʃ a b f(x)dx za funkcijo f(x), ki je zvezna in nenegativna na intervalu [a; b], in je površina ustreznega ukrivljenega trapeza.

To pomeni, da je treba za iskanje površine figure G, omejene s črtami y = f(x), y = 0, x = a in x = b, izračunati določen integral ʃ a b f(x)dx .

torej S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Če funkcija y = f(x) ni pozitivna na [a; b], potem je območje ukrivljenega trapeza mogoče najti s formulo S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Primer 1.

Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x 3; y = 1; x = 2.

rešitev.

Dane črte tvorijo lik ABC, ki je prikazan s šrafuro riž. 2.

Zahtevana ploščina je enaka razliki ploščin krivočrtnega trapeza DACE in kvadrata DABE.

Z uporabo formule S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) poiščemo meje integracije. Da bi to naredili, rešimo sistem dveh enačb:

(y = x 3,
(y = 1.

Tako imamo x 1 = 1 – spodnja meja in x = 2 – zgornja meja.

Torej, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (kvadratne enote).

Odgovor: 11/4 kvadratnih metrov. enote

Primer 2.

Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = √x; y = 2; x = 9.

rešitev.

Dane črte tvorijo lik ABC, ki je zgoraj omejen z grafom funkcije

y = √x, spodaj pa je graf funkcije y = 2. Dobljena slika je prikazana s šrafurami riž. 3.

Zahtevana površina je S = ʃ a b (√x – 2). Poiščimo meje integracije: b = 9, da bi našli a, rešimo sistem dveh enačb:

(y = √x,
(y = 2.

Tako imamo x = 4 = a - to je spodnja meja.

Torej, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (kvadratne enote).

Odgovor: S = 2 2/3 kvadratnih metrov. enote

Primer 3.

Izračunajte površino figure, omejene s črtami y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

rešitev.

Narišimo funkcijo y = x 3 – 4x za x ≥ 0. Če želite to narediti, poiščite odvod y':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pri x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritične točke.

Če na številsko premico narišemo kritične točke in razporedimo predznake odvoda, ugotovimo, da funkcija pada od nič do 2/√3 in narašča od 2/√3 do plus neskončnosti. Potem je x = 2/√3 najmanjša točka, najmanjša vrednost funkcije y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Določimo presečišča grafa s koordinatnimi osemi:

če je x = 0, potem je y = 0, kar pomeni, da je A(0; 0) točka presečišča z osjo Oy;

če je y = 0, potem je x 3 – 4x = 0 ali x(x 2 – 4) = 0 ali x(x – 2)(x + 2) = 0, od koder je x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (ni primerno, ker je x ≥ 0).

Točki A(0; 0) in B(2; 0) sta točki presečišča grafa z osjo Ox.

Dane črte tvorijo sliko OAB, ki je prikazana s šrafuro riž. 4.

Ker ima funkcija y = x 3 – 4x negativno vrednost na (0; 2), potem

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Imamo: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, od koder je S = 4 sq. enote

Odgovor: S = 4 kv. enote

Primer 4.

Poiščite ploščino figure, ki jo omejujejo parabola y = 2x 2 – 2x + 1, premice x = 0, y = 0 in tangenta na to parabolo v točki z absciso x 0 = 2.

rešitev.

Najprej sestavimo enačbo za tangento na parabolo y = 2x 2 – 2x + 1 v točki z absciso x₀ = 2.

Ker je odvod y’ = 4x – 2, dobimo za x 0 = 2 k = y’(2) = 6.

Poiščemo ordinato tangentne točke: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Zato ima tangentna enačba obliko: y – 5 = 6(x ​​​​– 2) ali y = 6x – 7.

Zgradimo figuro, omejeno s črtami:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Presečišča s koordinatnimi osemi: A(0; 1) – z osjo Oy; z osjo Ox - ni presečišč, ker enačba 2x 2 – 2x + 1 = 0 nima rešitev (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, kar pomeni, da ima oglišče točke B parabole koordinate B(1/2; 1/2).

Torej je slika, katere ploščino je treba določiti, prikazana s šrafiranjem riž. 5.

Imamo: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Poiščimo koordinate točke D iz pogoja:

6x – 7 = 0, tj. x = 7/6, kar pomeni DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Površino trikotnika DBC najdemo s formulo S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. torej

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 kvadratnih metrov. enote

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (kvadratne enote).

Končno dobimo: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (kvadratne enote).

Odgovor: S = 1 1/4 kvadratnih metrov. enote

Ogledali smo si primere iskanje ploščin likov, ki jih omejujejo dane premice. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate znati risati črte in grafe funkcij na ravnini, poiskati presečišča črt, uporabiti formulo za iskanje površine, kar pomeni sposobnost izračuna določenih integralov.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Nazaj Naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Ključne besede: celostni, ukrivljeni trapez, območje figur, omejenih z lilijami

Oprema Kabina: označevalna tabla, računalnik, multimedijski projektor

Vrsta lekcije: lekcija-predavanje

Cilji lekcije:

• izobraževalni: ustvarjati kulturo miselnega dela, ustvarjati situacijo uspeha za vsakega učenca in ustvarjati pozitivno motivacijo za učenje; razvijati sposobnost govorjenja in poslušanja drugih.
• razvoj: oblikovanje samostojnega razmišljanja študenta pri uporabi znanja v različnih situacijah, sposobnost analiziranja in sklepanja, razvoj logike, razvoj sposobnosti pravilnega postavljanja vprašanj in iskanja odgovorov nanje. Izboljšanje oblikovanja računalniških in računalniških spretnosti, razvijanje razmišljanja učencev med izpolnjevanjem predlaganih nalog, razvijanje algoritemske kulture.
• izobraževalni: oblikovati pojme o krivočrtnem trapezu, o integralu, obvladati veščine računanja ploščin ravninskih likov.

Učna metoda: razlagalno in ilustrativno.

Napredek lekcije

V prejšnjih razredih smo se naučili izračunati ploščine likov, katerih meje so mnogokotnice. V matematiki obstajajo metode, ki vam omogočajo izračun površin figur, omejenih s krivuljami. Takšne figure se imenujejo krivuljasti trapezi, njihova površina pa se izračuna z uporabo antiizpeljank.

Krivočrtni trapez ( diapozitiv 1)

Ukrivljeni trapez je figura, omejena z grafom funkcije, ( sh.m.), naravnost x = a in x = b in x-os

Različne vrste ukrivljenih trapezov ( diapozitiv 2)

Upoštevamo različne vrste krivuljnih trapezov in opazimo: ena od ravnih črt je degenerirana v točko, vlogo omejitvene funkcije igra ravna črta

Območje ukrivljenega trapeza (slide 3)

Popravimo levi konec intervala A, in pravega X bomo spremenili, tj. premaknemo desno steno krivočrtnega trapeza in dobimo spreminjajoč se lik. Območje spremenljivega krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije, je antiizpeljava F za funkcijo f

In na segmentu [ a; b] območje krivuljnega trapeza, ki ga tvori funkcija f, je enak prirastku antiodvoda te funkcije:

Naloga 1:

Poiščite površino krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije: f(x) = x 2 in ravno y = 0, x = 1, x = 2.

Rešitev: ( po diapozitivu algoritma 3)

Narišimo graf funkcije in premic

Poiščimo enega od protiodvodov funkcije f(x) = x 2 :

Samotestiranje diapozitivov

Integral

Razmislite o krivočrtnem trapezu, ki ga definira funkcija f na segmentu [ a; b]. Razčlenimo ta segment na več delov. Območje celotnega trapeza bo razdeljeno na vsoto površin manjših ukrivljenih trapezov. ( diapozitiv 5). Vsak tak trapez lahko približno štejemo za pravokotnik. Vsota površin teh pravokotnikov daje približno predstavo o celotnem območju ukrivljenega trapeza. Manjši delimo segment [ a; b], bolj natančno izračunamo površino.

Zapišimo te argumente v obliki formul.

Razdeli segment [ a; b] na n delov s pikami x 0 =a, x1,...,xn = b. Dolžina k- th označimo z xk = xk – xk-1. Naredimo vsoto

Geometrično ta vsota predstavlja površino figure, zasenčene na sliki ( sh.m.)

Vsote oblike imenujemo integralne vsote za funkcijo f. (š.m.)

Integralne vsote dajejo približno vrednost površine. Natančno vrednost dobimo s prehodom na mejo. Predstavljajmo si, da izboljšujemo particijo segmenta [ a; b], tako da se dolžine vseh majhnih segmentov nagibajo k nič. Nato se bo območje sestavljene figure približalo območju ukrivljenega trapeza. Lahko rečemo, da je ploščina ukrivljenega trapeza enaka meji integralnih vsot, Sc.t. (š.m.) ali integralno, tj.

definicija:

Integral funkcije f(x) od a do b imenovana limita integralnih vsot

= (š.m.)

Newton-Leibnizova formula.

Spomnimo se, da je meja integralnih vsot enaka površini krivuljnega trapeza, kar pomeni, da lahko zapišemo:

Sc.t. = (š.m.)

Po drugi strani pa se površina ukrivljenega trapeza izračuna po formuli

S k.t. (š.m.)

Če primerjamo te formule, dobimo:

Ta enakost se imenuje Newton-Leibnizova formula.

Za lažji izračun je formula zapisana kot:

Naloge: (š.m.)

1. Izračunajte integral z uporabo Newton-Leibnizove formule: ( preverite na diapozitivu 5)

2. Sestavite integrale po risbi ( preverite na diapozitivu 6)

3. Poiščite območje figure, omejeno s črtami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapozitiv 7)

Iskanje površin ravninskih likov ( diapozitiv 8)

Kako najti območje figur, ki niso ukrivljeni trapezi?

Naj sta podani dve funkciji, katerih grafe vidite na prosojnici . (š.m.) Poiščite območje zasenčene figure . (š.m.). Ali je zadevna figura ukrivljeni trapez? Kako lahko poiščete njegovo ploščino z uporabo lastnosti aditivnosti ploščine? Razmislite o dveh ukrivljenih trapezoidih in odštejte površino drugega od površine enega od njiju ( sh.m.)

Ustvarimo algoritem za iskanje območja z uporabo animacije na diapozitivu:

1. Graf funkcij
2. Projicirajte presečišča grafov na os x
3. Zasenči sliko, ki jo dobiš ob sekanju grafov
4. Poiščite krivulje trapeze, katerih presečišče ali unija je dani lik.
5. Izračunajte površino vsakega od njih
6. Poiščite razliko ali vsoto površin

Ustna naloga: Kako pridobiti ploščino zasenčene figure (povejte z animacijo, diapozitiva 8 in 9)

domača naloga: Preberite opombe, št. 353 (a), št. 364 (a).

Reference

1. Algebra in začetki analize: učbenik za 9.-11. razred večerne (izmenske) šole / ur. G.D. Glaser. - M: Razsvetljenje, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra in začetki analize: učbenik za 10-11 razred srednje šole / Bashmakov M.I. - M: Razsvetljenje, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: učbenik za zavode zač. in sredo prof. izobraževanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. izobraževalne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Izobraževanje, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Kako narediti predstavitev za lekcijo? / S.L. Ostrovski. – M.: 1. september 2010.

Izračunajte površino figure, omejene s črtami.

rešitev.

Poiščemo presečišča danih premic. Da bi to naredili, rešimo sistem enačb:

Da bi našli absciso presečišč danih premic, rešimo enačbo:

Najdemo: x 1 = -2, x 2 = 4.

Torej, ti črti, ki sta parabola in premica, se sekata v točkah A(-2; 0), B(4; 6).

Te črte tvorijo zaprto sliko, katere površina se izračuna po zgornji formuli:

Z uporabo Newton-Leibnizove formule ugotovimo:

Poiščite območje območja, ki ga omejuje elipsa.

rešitev.

Iz enačbe elipse za prvi kvadrant imamo. Od tu z uporabo formule dobimo

Uporabimo zamenjavo x = a greh t, dx = a cos t dt. Nove meje integracije t = α in t = β so določene iz enačb 0 = a greh t, a = a greh t. Lahko se postavi α = 0 in β = π /2.

Poiščite eno četrtino zahtevane površine

Od tukaj S = πab.

Poiščite območje figure, omejene s črtamil = - x 2 + x + 4 inl = - x + 1.

rešitev.

Poiščimo presečišča premic l = -x 2 + x + 4, l = -x+ 1, ki enači ordinate črt: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 oz x 2 - 2x- 3 = 0. Iskanje korenin x 1 = -1, x 2 = 3 in njihove ustrezne ordinate l 1 = 2, l 2 = -2.

Z uporabo formule za območje figure dobimo

Določite ploščino, ki jo oklepa parabolal = x 2 + 1 in ravnox + l = 3.

rešitev.

Reševanje sistema enačb

poiščite absciso presečišč x 1 = -2 in x 2 = 1.

Verjeti l 2 = 3 - x in l 1 = x 2 + 1, glede na formulo, ki jo dobimo

Izračunajte ploščino Bernoullijeve lemniskater 2 = a 2 cos 2 φ .

rešitev.

V polarnem koordinatnem sistemu je območje figure, omejeno z lokom krivulje r = f(φ ) in dva polmera φ 1 = ʅ in φ 2 = ʆ , bo izražen z integralom

Zaradi simetričnosti krivulje najprej določimo eno četrtino zahtevane površine

Zato je celotno območje enako S = a 2 .

Izračunaj dolžino loka astroidax 2/3 + l 2/3 = a 2/3 .

rešitev.

Zapišimo enačbo astroida v obliki

(x 1/3) 2 + (l 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Postavimo x 1/3 = a 1/3 cos t, l 1/3 = a 1/3 greha t.

Od tu dobimo parametrične enačbe astroida

x = a ker 3 t, l = a greh 3 t, (*)

kjer je 0 ≤ t ≤ 2π .

Zaradi simetrije krivulje (*) je dovolj, da najdemo eno četrtino dolžine loka L, ki ustreza spremembi parametra t od 0 do π /2.

Dobimo

dx = -3a ker 2 t greh t dt, dy = 3a greh 2 t cos t dt.

Od tu najdemo

Integracija dobljenega izraza od 0 do π /2, dobimo

Od tukaj L = 6a.

Poiščite območje, ki ga oklepa Arhimedova spiralar = aφ in dva radijska vektorja, ki ustrezata polarnim kotomφ 1 inφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

rešitev.

Območje, ki ga oklepa krivulja r = f(φ ) se izračuna po formuli, kjer je α in β - meje spremembe polarnega kota.

Tako dobimo

(*)

Iz (*) sledi, da je območje omejeno s polarno osjo in prvim obratom Arhimedove spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Podobno najdemo območje, omejeno s polarno osjo in drugim obratom Arhimedove spirale ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Zahtevana površina je enaka razliki teh površin

Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem okoli osiOx figure, omejene s parabolamil = x 2 inx = l 2 .

rešitev.

Rešimo sistem enačb

in dobimo x 1 = 0, x 2 = 1, l 1 = 0, l 2 = 1, od koder so presečišča krivulj O(0; 0), B(1; 1). Kot je razvidno iz slike, je zahtevana prostornina vrtilnega telesa enaka razliki med dvema prostorninama, ki ju tvorita vrtenje okoli osi. Ox ukrivljeni trapezi O.C.B.A. in ODBA:

Izračunajte ploščino, ki jo oklepa osOx in sinusoidl = grehx na segmentih: a) ; b) .

rešitev.

a) Na segmentu funkcija sin x ohranja znak in zato po formuli ob predpostavki l= greh x, najdemo

b) Na segmentu funkcija sin x spremeni znak. Za pravilno rešitev problema je potrebno segment razdeliti na dva in [ π , 2π ], pri čemer funkcija ohrani svoj predznak.

V skladu s pravilom znakov na segmentu [ π , 2π ] območje je vzeto z znakom minus.

Posledično je zahtevana površina enaka

Določite prostornino telesa, ki ga omejuje ploskev, dobljena z vrtenjem elipseokoli velike osia .

rešitev.

Glede na to, da je elipsa simetrična glede na koordinatne osi, je dovolj, da poiščemo prostornino, ki nastane z vrtenjem okoli osi. Ox območje OAB, enako eni četrtini površine elipse, in podvojite rezultat.

Označimo prostornino vrtilnega telesa z V x; potem na podlagi formule imamo , kjer je 0 in a- abscise točk B in A. Iz enačbe elipse najdemo. Od tukaj

Tako je zahtevana prostornina enaka. (Ko se elipsa vrti okoli male osi b, prostornina telesa je enaka )

Poiščite območje, ki ga omejujejo parabolel 2 = 2 px inx 2 = 2 py .

rešitev.

Najprej poiščemo koordinate točk presečišča parabol, da določimo segment integracije. S pretvorbo izvirnih enačb dobimo in . Z enačenjem teh vrednosti dobimo oz x 4 - 8str 3 x = 0.

x 4 - 8str 3 x = x(x 3 - 8str 3) = x(x - 2str)(x 2 + 2px + 4str 2) = 0.

Iskanje korenin enačb:

Upoštevajoč dejstvo, da točka A presečišče parabol je v prvi četrtini, nato meje integracije x= 0 in x = 2str.

Zahtevano območje najdemo s formulo

Ugotovili smo, kako najti območje ukrivljenega trapeza G. Tukaj so nastale formule:
za zvezno in nenegativno funkcijo y=f(x) na segmentu,
za zvezno in nepozitivno funkcijo y=f(x) na segmentu.

Vendar pa se morate pri reševanju problemov pri iskanju površine pogosto ukvarjati s kompleksnejšimi figurami.

V tem članku bomo govorili o izračunu površine figur, katerih meje so določene s funkcijami eksplicitno, to je kot y=f(x) ali x=g(y), in podrobno bomo analizirali rešitev tipične primeri.

Navigacija po straneh.

Formula za izračun površine figure, omejene s črtami y=f(x) ali x=g(y).

Izrek.

Naj sta funkciji in definirani in zvezni na intervalu in za poljubno vrednost x iz . Potem območje slike G, omejeno s črtami x=a , x=b , in se izračuna po formuli .

Podobna formula velja za površino figure, ki je omejena s črtami y=c, y=d in: .

Dokaz.

Pokažimo veljavnost formule za tri primere:

V prvem primeru, ko sta obe funkciji nenegativni, je zaradi lastnosti aditivnosti površine vsota ploščine prvotne figure G in krivuljnega trapeza enaka površini figure. torej

Zato,. Zadnji prehod je možen zaradi tretje lastnosti določenega integrala.

Podobno je v drugem primeru enakost resnična. Tukaj je grafična ilustracija:

V tretjem primeru, ko sta obe funkciji nepozitivni, imamo . Naj ponazorimo to:

Zdaj lahko preidemo na splošni primer, ko funkcije in sekajo os Ox.

Označimo točke presečišča. Te točke delijo segment na n delov, kjer je . Lik G lahko predstavimo z unijo likov . Očitno je, da na svojem intervalu spada pod enega od treh predhodno obravnavanih primerov, zato so njihova območja ugotovljena kot

torej

Zadnji prehod velja zaradi pete lastnosti določenega integrala.

Torej formula dokazano.

Čas je, da preidemo na reševanje primerov iskanja ploščine figur, omejenih s črtami y=f(x) in x=g(y).

Primeri izračuna ploščine figure, omejene s črtami y=f(x) ali x=g(y) .

Vsako nalogo bomo začeli reševati s sestavo figure na ravnini. To nam bo omogočilo, da si kompleksno figuro predstavljamo kot zvezo enostavnejših figur. Če imate kakršne koli težave pri gradnji, si oglejte članke: ; In .

Primer.

Izračunajte ploščino figure, omejene s parabolo in ravne črte, x=1, x=4.

rešitev.

Narišimo te črte na ravnini.

Povsod na segmentu graf parabole nad ravno črto. Zato uporabimo prej pridobljeno formulo za ploščino in izračunamo določeni integral z uporabo Newton-Leibnizove formule:

Malce zakomplicirajmo primer.

Primer.

Izračunajte površino figure, omejene s črtami.

rešitev.

Kako se to razlikuje od prejšnjih primerov? Prej smo vedno imeli dve ravni črti, vzporedni z osjo x, zdaj pa imamo samo eno x=7. Takoj se pojavi vprašanje: kje dobiti drugo mejo integracije? Oglejmo si risbo za to.

Postalo je jasno, da je spodnja meja integracije pri iskanju območja figure abscisa presečišča grafa ravne črte y=x in polparabole. To absciso najdemo iz enakosti:

Zato je abscisa presečišča x=2.

Prosimo, upoštevajte.

V našem primeru in na risbi je jasno razvidno, da se premice in y=x sekata v točki (2;2) in prejšnji izračuni se zdijo nepotrebni. Toda v drugih primerih stvari morda niso tako očitne. Zato priporočamo, da vedno analitično izračunate abscise in ordinate presečišč premic.

Očitno se graf funkcije y=x nahaja nad grafom funkcije na intervalu. Za izračun površine uporabimo formulo:

Nalogo še otežimo.

Primer.

Izračunajte površino figure, ki jo omejujejo grafi funkcij in .

rešitev.

Zgradimo graf obratne sorazmernosti in parabole .

Preden uporabimo formulo za iskanje površine figure, se moramo odločiti o mejah integracije. Da bi to naredili, bomo našli absciso točk presečišča črt, izenačili izraze in .

Za neničelne vrednosti x velja enakost je enakovredna enačbi tretje stopnje s celimi koeficienti. Lahko se obrnete na razdelek in si zapomnite algoritem za reševanje.

Preprosto je preveriti, da je x=1 koren te enačbe: .

Z delitvijo izraza za binom x-1 imamo:

Tako so preostali koreni najdeni iz enačbe :

Zdaj je iz risbe postalo razvidno, da je lik G vsebovan nad modro in pod rdečo črto na intervalu . Tako bo zahtevana površina enaka

Poglejmo še en tipičen primer.

Primer.

Izračunajte površino figure, omejene s krivuljami in abscisno os.

rešitev.

Naredimo risbo.

To je navadna potenčna funkcija z eksponentom ene tretjine, graf funkcije lahko dobite iz grafa tako, da ga prikažete simetrično glede na os x in ga dvignete za eno.

Poiščimo presečišča vseh premic.

Abscisna os ima enačbo y=0.

Grafa funkcij in y=0 se sekata v točki (0;0), saj je x=0 edini pravi koren enačbe.

Funkcijski grafi in y=0 sekata v točki (2;0), ker je x=2 edini koren enačbe .

Funkcijski grafi in sekata v točki (1;1), ker je x=1 edini koren enačbe . Ta izjava ni povsem očitna, vendar se funkcija strogo povečuje in - torej strogo padajoča enačba ima največ en koren.

Edina pripomba: v tem primeru boste morali za iskanje območja uporabiti formulo obrazca . To pomeni, da morajo biti mejne črte predstavljene kot funkcije argumenta y in črna črta.

Določimo presečišča premic.

Začnimo z grafi funkcij in:

Poiščimo točko presečišča grafov funkcij in:

Ostaja najti točko presečišča črt in:

Kot lahko vidite, so vrednosti enake.

Naj povzamemo.

Analizirali smo vse najpogostejše primere iskanja območja figure, omejene z izrecno določenimi črtami. Če želite to narediti, morate biti sposobni zgraditi črte na ravnini, poiskati presečišča črt in uporabiti formulo za iskanje območja, kar pomeni sposobnost izračuna določenih integralov.

Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. V razredu sem rekel, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA.

to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju določene figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa določeno krivuljo na ravnini (po želji jo lahko vedno narišemo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivuljnega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o dodelitvi. Prva in najpomembnejša točka pri odločitvi je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo sestaviti PRAV.

Pri izdelavi risbe priporočam naslednji vrstni red: sprva bolje je zgraditi vse ravne črte (če obstajajo) in samo Potem– parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Bolj donosno je graditi grafe funkcij točka za točko, tehniko gradnje po točkah najdete v referenčnem gradivu.

Tam lahko najdete tudi zelo uporaben material za našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo risbo (upoštevajte, da enačba določa os):

Ukrivljenega trapeza ne bom senčil, tukaj je očitno, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu se nahaja graf funkcije nad osjo, zato:

odgovor:

Kdor ima težave z izračunom določenega integrala in uporabo Newton-Leibnizove formule, naj si ogleda predavanje. Določen integral. Primeri rešitev.

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru štejemo število celic na risbi "na oko" - no, približno 9 jih bo, zdi se res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Primer 2

Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami , , in osjo

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.

Rešitev: Narišimo:

Če je ukrivljen trapez popolnoma nameščen pod osjo, potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:
V tem primeru:

Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite ploščino ravninske figure, omejene s črtami, .

Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo točke presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična. Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije , zgornja meja integracije pa .
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite.

Veliko bolj dobičkonosno in hitreje je graditi črte točko za točko, meje integracije pa postanejo jasne »same od sebe«. Tehnika gradnje od točke do točke za različne grafe je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.

Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.

In zdaj delovna formula:Če je na segmentu neka zvezna funkcija večji ali enak nekaj zvezne funkcije, potem je območje ustrezne figure mogoče najti s formulo:

Tukaj vam ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je kateri graf je VIŠJE(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Končana rešitev bi lahko izgledala takole:

Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.

odgovor:

Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polovici ravnine (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule. Ker je os določena z enačbo in se graf funkcije nahaja pod osjo, potem

In zdaj nekaj primerov za vašo rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite območje figure, omejeno s črtami , .

Pri reševanju nalog, ki vključujejo izračun ploščine z določenim integralom, se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, a zaradi neprevidnosti ... najdeno je bilo območje napačne figure, točno tako se je tvoj ponižni služabnik večkrat zajebal. Tukaj je primer iz resničnega življenja:

Primer 7

Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .

Najprej naredimo risbo:

Slika, katere območje moramo najti, je osenčena modro(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi, da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!

Ta primer je uporaben tudi zato, ker izračuna površino figure z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu nad osjo je graf ravne črte;

2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Primer 8

Izračunaj površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in naredimo risbo po točkah:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja "dobra": .
Toda kaj je spodnja meja?! Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj je? Morda? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, lahko se izkaže, da ... Ali pa korenina. Kaj pa, če smo graf sestavili narobe?

V takih primerih morate porabiti dodaten čas in analitično razjasniti meje integracije.

Poiščimo presečišča premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo:

Zato,.

Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih; izračuni tukaj niso najpreprostejši.

Na segmentu po ustrezni formuli:

No, za zaključek lekcije si oglejmo še dve težji nalogi.

Primer 9

Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , ,

Rešitev: Upodobimo to figuro na risbi.

Če želite sestaviti risbo po točkah, morate poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno vedeti grafi vseh elementarnih funkcij), kot tudi nekaj sinusnih vrednosti, jih lahko najdete v trigonometrična tabela. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je mogoče sestaviti shematsko risbo, na kateri bi morali biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.

Tukaj ni težav z mejami integracije; izhajajo neposredno iz pogoja: "x" se spremeni iz nič v "pi". Odločimo se še naprej:

Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:

(1) Vidite lahko, kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihih potencah v lekciji Integrali trigonometričnih funkcij. To je tipična tehnika, odščipnemo en sinus.

(2) V obrazcu uporabimo glavno trigonometrično identiteto

(3) Spremenimo spremenljivko in nato:

Nova področja integracije:

Vsakdo, ki je res slab z zamenjavami, prosim za lekcijo. Substitucijska metoda v nedoločenem integralu. Za tiste, ki ne razumete povsem algoritma zamenjave v določenem integralu, obiščite stran Določen integral. Primeri rešitev.

Primer 5: Rešitev: , torej:

odgovor: Opomba: