Intervalne ocene. Interval zaupanja, verjetnost zaupanja - povzetek

Intervali zaupanja.

Izračun interval zaupanja temelji na povprečni napaki ustreznega parametra. Interval zaupanja prikazuje, v kakšnih mejah z verjetnostjo (1-a) je prava vrednost ocenjenega parametra. Tu je a stopnja pomembnosti, (1-a) se imenuje tudi verjetnost zaupanja.

V prvem poglavju smo pokazali, da je na primer za aritmetično sredino prava populacijska sredina v približno 95 % primerov znotraj 2 standardnih napak srednje vrednosti. Tako bodo meje 95-odstotnega intervala zaupanja za povprečje dvakrat dlje od vzorčnega povprečja povprečna napaka povprečje, tj. povprečno napako povprečja pomnožimo z določenim koeficientom glede na stopnjo zaupanja. Za povprečje in razliko povprečij se vzame Studentov koeficient (kritična vrednost Studentovega testa), za delež in razliko deležev pa kritična vrednost kriterija z. Zmnožek koeficienta in povprečne napake lahko imenujemo skrajna napaka tega parametra, tj. največ, kar lahko dobimo pri ocenjevanju.

Interval zaupanja za aritmetična sredina : .

Tukaj je vzorčno povprečje;

Povprečna napaka aritmetične sredine;

s – standardni odklon vzorca;

f = n-1 (Študentov koeficient).

Interval zaupanja za razlike aritmetičnih sredin :

Tukaj je razlika med vzorčnimi sredstvi;

- povprečna napaka razlike med aritmetičnimi sredinami;

s 1, s 2 – vzorec pomeni standardni odkloni;

n1,n2

Kritična vrednost Studentov t test za dano raven pomembnosti a in število prostostnih stopinj f=n 1 +n 2-2 (Študentov koeficient).

Interval zaupanja za delnice :

Tukaj je d delež vzorca;

– povprečna napaka ulomkov;

n– velikost vzorca (velikost skupine);

Interval zaupanja za razlika deležev :

Tukaj je razlika v vzorčnih deležih;

– povprečna napaka razlike med aritmetičnimi sredinami;

n1,n2– količine vzorcev (število skupin);

Kritična vrednost kriterija z pri dani ravni pomembnosti a ( , , ).

Z izračunom intervalov zaupanja za razliko med indikatorji najprej neposredno vidimo možne vrednosti učinka in ne le njegove točkovne ocene. Drugič, sklepamo lahko o sprejemljivosti ali zavrnitvi ničelne hipoteze in tretjič, sklepamo lahko o moči testa.

Pri testiranju hipotez z uporabo intervalov zaupanja je treba upoštevati naslednje pravilo:

Če 100(1-a) odstotni interval zaupanja razlike v povprečjih ne vsebuje nič, potem so razlike statistično značilne na ravni pomembnosti a; nasprotno, če ta interval vsebuje nič, potem razlike niso statistično značilne.

Dejansko, če ta interval vsebuje nič, to pomeni, da je lahko kazalnik, ki ga primerjamo, večji ali manjši v eni od skupin v primerjavi z drugo, tj. opažene razlike so posledica naključja.

Moč testa je mogoče oceniti glede na lokacijo ničle v intervalu zaupanja. Če je nič blizu spodnje ali zgornje meje intervala, potem je možno kdaj večje številke primerjanih skupinah bi razlike dosegle statistična pomembnost. Če je nič blizu sredine intervala, potem to pomeni, da sta povečanje in zmanjšanje indikatorja v eksperimentalni skupini enako verjetna in verjetno res ni razlik.

Primeri:

Za primerjavo kirurške umrljivosti pri uporabi dveh različnih vrst anestezije: s prvo vrsto anestezije je bilo operiranih 61 ljudi, 8 jih je umrlo, z drugo vrsto - 67 ljudi, 10 jih je umrlo.

d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Razlika v letalnosti primerjanih metod bo v območju (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) ali (-0,14; 0,104) z verjetnostjo 100(1-a) = 95 %. Interval vsebuje ničlo, tj. hipotezo o enaki smrtnosti v dveh različne vrste Anestezije ni mogoče zavrniti.

Tako se stopnja umrljivosti lahko in bo zmanjšala na 14% in povečala na 10,4% z verjetnostjo 95%, tj. ničla je približno na sredini intervala, zato lahko trdimo, da se najverjetneje ti dve metodi res ne razlikujeta po smrtnosti.

V primeru, ki smo ga obravnavali prej, so povprečni čas stiskanja med testom tapkanja primerjali v štirih skupinah študentov, ki so se razlikovali v rezultatih izpitov. Izračunajmo intervale zaupanja za povprečni čas stiskanja za študente, ki so izpit opravili z ocenama 2 in 5 ter interval zaupanja za razliko med temi povprečji.

Studentove koeficiente najdemo s pomočjo Studentovih distribucijskih tabel (glej prilogo): za prvo skupino: = t(0,05;48) = 2,011; za drugo skupino: = t(0,05;61) = 2,000. Tako so intervali zaupanja za prvo skupino: = (162,19-2,011*2,18; 162,19+2,011*2,18) = (157,8; 166,6), za drugo skupino (156,55- 2000*1,88 ; 156,55+2000*1,88) = (152,8). ; 160,3). Torej, za tiste, ki so opravili izpit z 2, se povprečni čas stiskanja giblje od 157,8 ms do 166,6 ms z verjetnostjo 95%, za tiste, ki so opravili izpit s 5, pa od 152,8 ms do 160,3 ms z verjetnostjo 95%. .

Ničelno hipotezo lahko preizkusite tudi z uporabo intervalov zaupanja za povprečja in ne samo za razliko v povprečjih. Na primer, kot v našem primeru, če se intervali zaupanja za povprečja prekrivajo, ničelne hipoteze ni mogoče zavrniti. Za zavrnitev hipoteze na izbrani stopnji pomembnosti se ustrezni intervali zaupanja ne smejo prekrivati.

Poiščemo interval zaupanja za razliko v povprečnem času stiskanja v skupinah, ki so izpit opravile z oceno 2 in 5. Razlika povprečij: 162,19 – 156,55 = 5,64. Študentov koeficient: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Standardni odkloni skupine bodo enaki: ; . Izračunamo povprečno napako razlike med sredinama: . Interval zaupanja: =(5,64-1,982*2,87; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044; 11,33).

Torej bo razlika v povprečnem času stiskanja v skupinah, ki so opravile izpit z 2 in 5, v območju od -0,044 ms do 11,33 ms. Ta interval vključuje ničlo, tj. Povprečni čas stiskanja za tiste, ki so izpit opravili dobro, se lahko poveča ali zmanjša v primerjavi s tistimi, ki so izpit opravili nezadovoljivo, tj. ničelne hipoteze ni mogoče zavrniti. Vendar je ničla zelo blizu spodnje meje in veliko bolj verjetno je, da se bo čas stiskanja zmanjšal za tiste, ki so opravili dobro. Tako lahko sklepamo, da še vedno obstajajo razlike v povprečnem času stiskanja med tistimi, ki so opravili 2 in 5, le glede na spremembo povprečnega časa, razpon povprečnega časa in velikosti vzorcev jih nismo mogli zaznati.

Moč testa je verjetnost zavrnitve nepravilne ničelne hipoteze, tj. najti razlike tam, kjer dejansko obstajajo.

Moč testa je določena na podlagi stopnje pomembnosti, velikosti razlik med skupinami, širjenja vrednosti v skupinah in velikosti vzorcev.

Za študentski test in analiza variance Uporabite lahko diagrame občutljivosti.

Moč kriterija lahko uporabimo za predhodno določitev potrebnega števila skupin.

Interval zaupanja pokaže, v kakšnih mejah dana verjetnost najde se prava vrednost ocenjenega parametra.

Z uporabo intervalov zaupanja lahko testirate statistične hipoteze in sklepate o občutljivosti kriterijev.

LITERATURA.

Glanz S. – Poglavje 6,7.

Rebrova O.Yu. – str.112-114, str.171-173, str.234-238.

Sidorenko E.V. – str.32-33.

Vprašanja za samotestiranje študentov.

1. Kakšna je moč merila?

2. V katerih primerih je potrebno ovrednotiti moč kriterijev?

3. Metode za izračun moči.

6. Kako preizkusiti statistično hipotezo z uporabo intervala zaupanja?

7. Kaj lahko rečemo o moči kriterija pri izračunu intervala zaupanja?

Naloge.

Natančnost ocene, verjetnost zaupanja(zanesljivost)

Interval zaupanja

Pri vzorčenju majhne količine je treba uporabiti intervalne ocene, ker s tem se izogne hude napake, v nasprotju s točkovnimi ocenami.

Interval je ocena, ki je določena z dvema številoma – koncima intervala, ki zajema parameter, ki se ocenjuje. Intervalne ocene nam omogočajo ugotavljanje točnosti in zanesljivosti ocen.

Naj tista, ki jo najdemo iz vzorčnih podatkov statistična značilnost* služi kot ocena neznanega parametra. Upoštevali ga bomo kot konstantno število (morda naključna spremenljivka). Jasno je, da * čim natančneje določa parameter b, tem manjši je absolutna vrednost razlike | - * |. Z drugimi besedami, če >0 in | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, pozitivno število označuje natančnost ocene.

Vendar statistične metode ne dovolijo, da bi kategorično trdili, da ocena * izpolnjuje neenakost | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Zanesljivost (verjetnost zaupanja) ocene z * je verjetnost, s katero se neenakost uresniči | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Naj bo verjetnost, da | - *|<, равна т.е.

Zamenjava neenakosti | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

P(*-< <*+)=.

Interval zaupanja (*-, *+) se imenuje interval zaupanja, ki pokriva neznan parameter z dano zanesljivostjo.

Intervali zaupanja za ocenjevanje matematičnega pričakovanja normalne porazdelitve ob znani porazdelitvi.

Intervalna ocena z zanesljivostjo matematičnega pričakovanja a normalno porazdeljene kvantitativne značilnosti X na podlagi vzorčne sredine x z znanim standardnim odklonom populacije je interval zaupanja

x - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

kjer je t(/n^?)= točnost ocene, n velikost vzorca, t vrednost argumenta Laplaceove funkcije Ф(t), pri kateri je Ф(t)=/2.

Iz enakosti t(/n^?)= lahko sklepamo naslednje:

1. z večanjem velikosti vzorca n se število zmanjšuje in s tem veča točnost ocene;

2. povečanje zanesljivosti ocene = 2Ф(t) vodi do povečanja t (Ф(t) je naraščajoča funkcija) in s tem do povečanja; z drugimi besedami, povečanje zanesljivosti klasične ocene povzroči zmanjšanje njene natančnosti.

Primer. Naključna spremenljivka X ima normalno porazdelitev z znanim standardnim odklonom =3. Poiščite intervale zaupanja za oceno neznanega matematičnega pričakovanja a z uporabo vzorčnega povprečja x, če je velikost vzorca n = 36 in je podana zanesljivost ocene = 0,95.

rešitev. Poiščimo t. Iz relacije 2Ф(t) = 0,95 dobimo Ф(t) = 0,475. Iz tabele najdemo t=1,96.

Ugotovimo točnost ocene:

natančnost merjenja intervala zaupanja

T(/n^?)= (1,96,3)//36 = 0,98.

Interval zaupanja je: (x - 0,98; x + 0,98). Na primer, če je x = 4,1, ima interval zaupanja naslednje meje zaupanja:

x - 0,98 = 4,1 - 0,98 = 3,12; x + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Tako vrednosti neznanega parametra a, skladne z vzorčnimi podatki, izpolnjujejo neenakost 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Razložimo pomen dane zanesljivosti. Zanesljivost = 0,95 pomeni, da če se vzame dovolj veliko število vzorcev, jih 95 % določi intervale zaupanja, v katerih je parameter dejansko vsebovan; le v 5% primerov lahko preseže interval zaupanja.

Če je treba oceniti matematično pričakovanje z vnaprej določeno natančnostjo in zanesljivostjo, se najmanjša velikost vzorca, ki bo zagotovila to natančnost, najde po formuli

Intervali zaupanja za ocenjevanje matematičnega pričakovanja normalne porazdelitve z neznanko

Intervalna ocena z zanesljivostjo matematičnega pričakovanja a normalno porazdeljene kvantitativne značilnosti X na podlagi vzorčne sredine x z neznanim standardnim odklonom populacije je interval zaupanja

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

kjer je s "popravljeno" standardno odstopanje vzorca, t() se najde iz tabele za dano in n.

Primer. Kvantitativna značilnost X populacije je normalno porazdeljena. Na podlagi velikosti vzorca n=16 sta bila ugotovljena vzorčna sredina x = 20,2 in »popravljeni« standardni odklon s = 0,8. Ocenite neznano matematično pričakovanje z uporabo intervala zaupanja z zanesljivostjo 0,95.

rešitev. Poiščimo t(). Z uporabo tabele za = 0,95 in n=16 dobimo t()=2,13.

Poiščimo meje zaupanja:

x - t() (s/n^?) = 20,2 - 2,13 *. 0,8/16^? = 19.774

x + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8/16^? = 20,626

Torej je z zanesljivostjo 0,95 neznani parameter a vsebovan v intervalu zaupanja 19,774< а < 20,626

Ocena prave vrednosti merjene količine

Naj bo opravljenih n neodvisnih enako natančnih meritev neke fizikalne količine, katere prava vrednost ni znana.

Rezultate posameznih meritev bomo obravnavali kot naključne spremenljivke Хl, Х2,…Хn. Te količine so neodvisne (meritve so neodvisne). Imajo enako matematično pričakovanje a (prava vrednost merjene količine), enake variance ^2 (meritve so enako natančne) in so porazdeljene normalno (to predpostavko potrjujejo izkušnje).

Tako so vse predpostavke, ki so bile narejene pri izpeljavi intervalov zaupanja, izpolnjene, zato lahko prosto uporabljamo formule. Z drugimi besedami, pravo vrednost izmerjene vrednosti lahko ocenimo iz aritmetične sredine rezultatov posameznih meritev z uporabo intervalov zaupanja.

Primer. Na podlagi podatkov devetih neodvisnih enako natančnih meritev fizikalne veličine je bila ugotovljena aritmetična sredina rezultatov posameznih meritev x = 42,319 in »popravljeni« standardni odklon s = 5,0. Potrebno je oceniti pravo vrednost izmerjene vrednosti z zanesljivostjo = 0,95.

rešitev. Prava vrednost izmerjene količine je enaka njenemu matematičnemu pričakovanju. Zato se problem zmanjša na ocenjevanje matematičnega pričakovanja (ob podani neznanki) z uporabo intervala zaupanja, ki pokriva a z dano zanesljivostjo = 0,95.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

S pomočjo tabele z uporabo y = 0,95 in l = 9 najdemo

Ugotovimo točnost ocene:

t())(s/n^?) = 2,31 * 5/9^?=3,85

Poiščimo meje zaupanja:

x - t() (s/n^?) = 42,319 - 3,85 = 38,469;

x + t() (s/n^?) = 42,319 +3,85 = 46,169.

Torej, z zanesljivostjo 0,95, je prava vrednost izmerjene vrednosti v intervalu zaupanja 38,469< а < 46,169.

Intervali zaupanja za oceno standardnega odklona normalne porazdelitve.

Naj bo kvantitativna značilnost X splošne populacije normalno porazdeljena. Neznano splošno standardno odstopanje je treba oceniti iz "popravljenega" vzorčnega standardnega odstopanja s. Za to bomo uporabili intervalno oceno.

Intervalna ocena (z zanesljivostjo) standardnega odklona o normalno porazdeljene kvantitativne značilnosti X na podlagi "popravljenega" vzorčnega standardnega odklona s je interval zaupanja

s (1 -- q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

kjer je q najden iz tabele za dano n n.

Primer 1. Kvantitativna značilnost X splošne populacije je porazdeljena normalno. Na podlagi velikosti vzorca n = 25 je bilo ugotovljeno "popravljeno" standardno odstopanje s = 0,8. Poiščite interval zaupanja, ki pokriva splošno standardno deviacijo z zanesljivostjo 0,95.

rešitev. Z uporabo tabele s podatki = 0,95 in n = 25 najdemo q = 0,32.

Zahtevani interval zaupanja s (1 -- q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Primer 2. Kvantitativna značilnost X splošne populacije je porazdeljena normalno. Na podlagi velikosti vzorca n=10 je bilo ugotovljeno "popravljeno" standardno odstopanje s = 0,16. Poiščite interval zaupanja, ki pokriva splošno standardno deviacijo z zanesljivostjo 0,999.

rešitev. Z uporabo tabele v dodatku na podlagi podatkov = 0,999 in n=10 najdemo 17= 1,80 (q > 1). Zahtevani interval zaupanja je:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Ocena natančnost merjenja

V teoriji napak je običajno, da se natančnost merjenja (natančnost instrumenta) označi s standardnim odklonom naključnih merilnih napak. Za vrednotenje se uporablja "popravljeno" standardno odstopanje s. Ker so običajno rezultati meritev med seboj neodvisni, imajo enako matematično pričakovanje (pravo vrednost izmerjene vrednosti) in enako disperzijo (v primeru meritev z enako natančnostjo), je teorija, opisana v prejšnjem odstavku, uporabna za ocenjevanje natančnost meritev.

Primer. Na podlagi 15 enako natančnih meritev je bilo ugotovljeno "popravljeno" standardno odstopanje s = 0,12. Poiščite merilno natančnost z zanesljivostjo 0,99.

rešitev. Natančnost merjenja je označena s standardnim odklonom naključnih napak, zato se problem zmanjša na iskanje intervala zaupanja s (1 -- q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

Z uporabo tabele v dodatku za = 0,99 in n = 15 najdemo q = 0,73.

Zahtevani interval zaupanja

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Ocena verjetnosti (binomska porazdelitev) iz relativne frekvence

Intervalna ocena (z zanesljivostjo) neznane verjetnosti p binomske porazdelitve z relativno frekvenco w je interval zaupanja (s približnima koncema p1 in p2)

p1< p < p2,

kjer je n skupno število testov; m je število pojavitev dogodka; w - relativna frekvenca, enaka razmerju m/n; t je vrednost argumenta Laplaceove funkcije, pri kateri je Ф(t) = /2.

Komentiraj. Za velike vrednosti n (vrste stotin) se lahko vzamejo kot približne meje intervala zaupanja

Merjenje naj se izvede večkrat, pri čemer naj bodo eksperimentalni pogoji čim bolj konstantni. Ker je nemogoče striktno vzdrževati konstantne pogoje, se bodo rezultati posameznih meritev nekoliko razlikovali. Lahko jih obravnavamo kot vrednosti naključne spremenljivke g, porazdeljene po nekem zakonu, ki nam je vnaprej neznan.

Očitno je matematično pričakovanje enako natančni vrednosti izmerjene količine (strogo gledano natančna vrednost plus sistematična napaka).

Obdelava meritev temelji na osrednjem mejnem izreku teorije verjetnosti: če je c naključna spremenljivka, porazdeljena po kateremkoli zakonu, potem

obstaja tudi naključna spremenljivka in

in porazdelitveni zakon količine teži k normalni (Gaussovi) pri . Zato je aritmetična sredina več neodvisnih meritev

je približna vrednost izmerjene vrednosti, z večjo zanesljivostjo pa je večje število meritev.

Vendar enakost ni natančna in ni mogoče niti strogo navesti meje njene napake; načeloma se lahko poljubno razlikujejo, čeprav je verjetnost takega dogodka zanemarljiva.

Napaka v približni enakosti (2) je verjetnostne narave in je opisana z intervalom zaupanja P, tj. mejo, ki je razlika ne preseže z verjetnostjo zaupanja. Simbolično je to zapisano takole:

Interval zaupanja je odvisen od porazdelitvenega zakona (in s tem od postavitve eksperimenta), od števila meritev, kot tudi od izbrane verjetnosti zaupanja. Iz (3) je razvidno, da čim bližje je enotnosti, tem širši je interval zaupanja.

Raven zaupanja je izbrana na podlagi praktičnih premislekov, povezanih z uporabo dobljenih rezultatov. Če na primer izdelujemo zmaja igračo, potem nam bo verjetnost varnega poleta ustrezala, če pa konstruiramo letalo, potem je tudi verjetnost premajhna. Pri številnih fizičnih meritvah se šteje za zadostno.

Opomba 1. Recimo, da moramo najti vrednost z, vendar je bolj priročno izmeriti vrednost, ki je z njo povezana z znanim razmerjem, na primer, zanima nas Joulova toplota in lažje je izmeriti tok. Treba je spomniti, da

Tako je povprečna vrednost izmeničnega toka enaka nič, povprečno Joulovo segrevanje pa je različno od nič. Torej, če najprej izračunamo in nato postavimo, bo to velika napaka. Za vsako meritev je potrebno izračunati in nadalje obdelati pridobljene vrednosti.

Širina intervala zaupanja. Če je gostota porazdelitve količine znana, lahko interval zaupanja določimo iz (3) z razrešitvijo enačbe

relativno. Zgoraj je bilo omenjeno, da ko se porazdelitev nagiba k normalni

tukaj je disperzija porazdelitve, vrednost pa se imenuje standardni odklon ali preprosto standard.

Z zamenjavo (5) v (4) in ob predpostavki , tj. merjenje intervala zaupanja v delčkih standarda, dobimo razmerje

(6)

Integral napake na desni strani (6) je prikazan v tabeli, tako da je mogoče iz tega razmerja določiti interval zaupanja. Odvisnost je podana v tabeli 23 z ustrezno vrstico

Iz tabele 23 je razvidno, da interval zaupanja ustreza verjetnosti zaupanja, tako da je odstopanje od več kot ena malo verjetno. A odstopanje je več kot povsem verjetno, saj širina ustreza

Če je torej varianca znana, ni težko določiti standarda in s tem absolutne širine intervala zaupanja. V tem primeru lahko tudi pri izvajanju ene meritve ocenite naključno napako, povečanje števila meritev pa vam omogoča zmanjšanje intervala zaupanja, saj

Študentov t test. Najpogosteje je varianca D? je neznana, zato običajno ni mogoče ovrednotiti napake z uporabo zgornje metode. Vendar natančnost posamezne meritve ni znana. Če pa meritev večkrat ponovimo, lahko varianco približno ugotovimo:

Natančnost tega izraza je nizka iz dveh razlogov: prvič, število členov vsote je običajno majhno; drugič, uporaba zamenjave povzroči pomembno napako pri majhnem n. Boljši približek zagotavlja tako imenovana nepristranska ocena variance:

kjer se vrednost s imenuje standard vzorčenja.

Ocena (8) je prav tako približna, zato ne morete uporabiti formule (6) in jo nadomestiti z Treba jo je spremeniti, večja je manjša . Če se porazdelitev šteje za normalno za katero koli , potem je povezava med intervalom zaupanja in vzorčnim standardom vzpostavljena s Studentovim testom:

kjer so študentski koeficienti predstavljeni v tabeli 23.

Tabela 23

Študentski koeficienti

Očitno je za velike vrednosti zadovoljen z dobro natančnostjo. Torej, ko se Studentov kriterij spremeni v formulo (6); Zgoraj je bilo ugotovljeno, da ta formula ustreza vrstici 23 tabele, vendar se za majhne vrednosti izkaže, da je interval zaupanja (8) veliko širši kot glede na merilo (6).

Primer 1: 3 izbrane in izvedene meritve; glede na tabelo 23 je interval zaupanja

Na žalost vsi fiziki in inženirji ne poznajo koncepta intervala zaupanja in Studentovega t testa. Pogosto so eksperimentalna dela, v katerih za majhno število meritev uporabijo kriterij ali celo menijo, da je vrednost napaka v količini , poleg tega pa ocenijo disperzijo s formulo (7).

Za zgornji primer bi bil pri prvi napaki odgovor podan pri drugi, pri tretji pa, ki se zelo razlikuje od pravilne vrednosti.

Opomba 2. Pogosto je ista vrednost izmerjena v različnih laboratorijih z uporabo različne opreme. Nato najdemo povprečje in standard s formulama (2) in (8), kjer se sešteje vse meritve v vseh laboratorijih, ter določimo interval zaupanja s Studentovim testom.

Pogosto se izkaže, da je skupni standard s večji od standardov, določenih po podatkih posameznih laboratorijev. To je naravno. Vsak laboratorij dela sistematske napake pri meritvah, pri čemer so nekatere sistematske napake v različnih laboratorijih enake, nekatere pa se razlikujejo. Med skupno obdelavo postanejo različne sistematične napake naključne, kar poveča standard.

To pomeni, da bo pri hkratni obdelavi različnih vrst meritev sistemska napaka vrednosti običajno manjša, naključna napaka pa večja. Toda naključno napako je mogoče po želji zmanjšati s povečanjem števila meritev. Zato vam ta metoda omogoča, da dobite končni rezultat z večjo natančnostjo.

Opomba 3. Če različni laboratoriji uporabljajo opremo različnih razredov točnosti, je treba med tako skupno obdelavo sešteti z lestvicami

kjer so kvadrati točnosti instrumentov.

Naključna porazdelitev. Najpogosteje je število meritev majhno in vnaprej ni jasno, ali lahko porazdelitev štejemo za normalno in uporabimo zgornje kriterije.

Za poljubno porazdelitev velja neenakost Čebiševa

Tukaj lahko ocenite interval zaupanja:

Koeficient v tej oceni je podan v dodatni vrstici tabele 23.

Tabela kaže, da če jo vzamemo kot verjetnost zaupanja, potem za poljuben porazdelitveni zakon z znano varianco interval zaupanja ne presega . Za simetrično porazdelitev z enim vozliščem podobne ocene kažejo, da interval zaupanja ne presega, da je za normalno porazdelitev enak (za izbrano ).

Seveda, če namesto tega uporabijo vrednost, ugotovljeno iz istih meritev, potem je treba sestaviti kriterij, podoben Studentovemu testu. Ocene bodo bistveno slabše od navedenih.

Preverjanje normalnosti porazdelitve. Iz primerjave kriterijev (6) in (11) je razvidno, da so tudi pri nizki verjetnosti zaupanja ocene intervala zaupanja za poljubno porazdelitev dvakrat slabše kot za normalno. Bližje kot je ena, slabše je razmerje teh ocen. Zato je priporočljivo preveriti, ali se porazdelitev bistveno razlikuje od običajne.

Pogost način preverjanja je preučevanje tako imenovanih osrednjih trenutkov porazdelitve:

Prva dva momenta sta po definiciji enaka, naslednja dva momenta sta običajno omejena na ta momenta. Njihove dejanske vrednosti se izračunajo iz opravljenih meritev in preverijo, ali so skladne z vrednostmi, ki ustrezajo normalni porazdelitvi.

Primerno je izračunati ne same trenutke, temveč brezdimenzionalne kombinacije, ki jih sestavljajo - asimetrija in kurtoza za normalno porazdelitev se spremenijo v nič. Podobno kot varianco jih izračunamo z uporabo nepristranskih ocen:

kjer je s določen s formulo (8). Lastne disperzije teh količin so znane in odvisne samo od števila meritev:

in A-jeva lastna porazdelitev je simetrična.

Torej, če so razmerja zadovoljna

potem je po Čebiševljevem kriteriju (11) razlika med A in E od nič nezanesljiva, zato lahko sprejmemo hipotezo o normalnosti porazdelitve

Formule (13)-(15) se neposredno nanašajo na porazdelitev posamezne meritve. Pravzaprav morate preveriti, ali je porazdelitev aritmetične sredine normalna za izbrano. Da bi to naredili, se izvede veliko število meritev, v vsaki so razdeljene v skupine meritev, povprečna vrednost v vsaki skupini pa se šteje kot ena sama meritev. Nato se preverjanje izvede z uporabo formul (13)-(15), kjer morate zamenjati .

Seveda se tako temeljito preverjanje ne izvaja na vsaki merilni točki, temveč le med razvojem eksperimentalne tehnike.

Opomba 4. Vsaka naravoslovna hipoteza se preverja na enak način. Izvedejo veliko število poskusov in ugotovijo, ali so med njimi dogodki, ki so z vidika te hipoteze malo verjetni. Če so takšni dogodki najdeni, je hipoteza zavrnjena; če ne, je pogojno sprejeta.

izbira S povečanjem števila meritev se lahko interval zaupanja znižuje za nedoločen čas. Vendar se sistematična napaka ne zmanjša, zato bo skupna napaka še vedno večja. Zato je priporočljivo izbrati i tako, da je širina intervala zaupanja Nadaljnje povečevanje števila meritev je nesmiselno.

Razmislimo gradbeništvo interval zaupanja za oceno matematičnega pričakovanja.

Naj bo prostornina vzorca od obsega prebivalstva
;- povprečje vzorca; - standardno odstopanje vzorca.

Interval zaupanja stopnje zanesljivosti za matematično pričakovanje (splošna povprečja) izgleda kot

kje -mejna napaka vzorčenja, kar je odvisno od velikosti vzorca , verjetnost zaupanja in je enaka polovici intervala zaupanja.

splošna srednja neznano služi kot interval zaupanja:

kje - povprečje vzorca; -popravljeno standardni odklon vzorca; - parameter, ki ga najdemo iz distribucijske tabele študentov za (
) stopnje svobode in verjetnost zaupanja .

Intervalna ocena z zanesljivostjo splošna srednja v primeru normalne porazdelitve prebivalstva pri slavni standardni odklon služi kot interval zaupanja:

kje - povprečje vzorca;
- standardno odstopanje vzorca; - vrednost argumenta Laplaceove funkcije
, pri kateri
;- velikost vzorca.

Sklepi. Interval zaupanja kajti povprečje predstavlja interval vrednosti okoli ocene, kjer se z določeno stopnjo zaupanja nahaja "prava" (neznana) povprečna vrednost atributa.

Znano je na primer, da bolj kot je vremenska napoved »negotova« (tj. širši kot je interval zaupanja), večja je verjetnost, da bo pravilna.

Primer. Poiščite interval zaupanja z zanesljivostjo 0,95 za oceno matematičnega pričakovanja normalno porazdeljene naključne spremenljivke, če je znan njen standardni odklon
, povprečje vzorca
in velikost vzorca
.

Uporabimo formulo
. Pomen poiščite iz tabele vrednosti Laplaceove funkcije
, ob upoštevanju dejstva, da
, tj.
. Poiščite vrednost funkcije iz tabele
vrednost argumenta
. Dobimo interval zaupanja:

; oz
.

Testne naloge

1. Dolžina intervala zaupanja se z naraščanjem zmanjšuje:

1) vzorčne vrednosti 2) velikost vzorca

3) verjetnost zaupanja 4) povprečje vzorca

2. Dolžina intervala zaupanja z naraščajočo velikostjo vzorca:

1) zmanjša; 2) poveča;

3) se ne spremeni; 4) niha.

3. Dolžina intervala zaupanja z naraščajočo verjetnostjo zaupanja:

1) spremembe, 2) zmanjšanja,

3) narašča, 4) je konstanten.

4. Prosim označite dva pravilna odgovora. Simboli in v formuli intervala zaupanja pomeni:

1) ocena parametrov; 2) interval zaupanja;

3) velikost vzorca; 4) verjetnost zaupanja.

odgovori. 2). 2. 1 3. 2). 4. 1.

4) in 3).

Varnostna vprašanja

Kaj je mišljeno z izrazom "intervalna ocena parametra porazdelitve"?

Določite interval zaupanja.

Kaj je točnost in zanesljivost ocene?

Kaj je verjetnost zaupanja?

Zapišite formulo za iskanje intervala zaupanja matematičnega pričakovanja normalno porazdeljene naključne spremenljivke, če je splošna varianca: 1) znana; 2) neznano.

stran 2

Kakovost začetnih podatkov (statistika) o kazalnikih zanesljivosti električne opreme (skupaj s kazalniki škode zaradi izpadov napajanja in informacijami o načinih delovanja in varnostnih popravilih) se ocenjuje z natančnostjo - širino intervala zaupanja, ki zajema indikator, in zanesljivost - verjetnost, da pri izbiri tega intervala ne naredite napake. Natančnost matematičnih modelov zanesljivosti ocenjujemo z njihovo ustreznostjo realnemu objektu, natančnost metode izračuna zanesljivosti pa z ustreznostjo dobljene rešitve idealni.

Zdaj je koeficient variacije pretoka, pa tudi sam pretok, bistveno odvisen od &0 / &1 - Torej, na primer, pri pi 1 m in ku / k 5 se povprečni pretok zmanjša v primerjavi z izvirnikom za približno 2-krat, širina intervala zaupanja pa skoraj 3-krat. Očitno pojasnitev parametrov območja blizu vrtine v tem primeru zagotavlja pomembne informacije in bistveno izboljša kakovost napovedi.

Nespremenljivost števila testov n na vsaki stopnji pomembno vpliva na točnost rezultatov. Širina intervala zaupanja se zmanjšuje z večanjem velikosti vzorca.

Intervali zaupanja so tisti, znotraj katerih se z določenimi verjetnostmi (zaupanja) nahajajo prave vrednosti ocenjenih parametrov. Običajno je širina intervala zaupanja izražena s standardnim odklonom rezultatov posameznih opazovanj ax.

Širina intervala zaupanja je odvisna od želene statistične zanesljivosti e, velikosti vzorca n in porazdelitve naključnih vrednosti, predvsem razmika. Dolžino in širino intervalov zaupanja določa tudi razpoložljiv (naključni) vzorec.

Vendar se izkaže, da je širina intervala zaupanja nesprejemljivo velika. Vendar je v tem primeru širina intervala zaupanja prevelika.

Zato so meje intervala zaupanja (23 85 - 2 776 - 0 13; 23 85 2 776Х Х0 13) (23 49; 24 21) MPa. Iz rezultatov je razvidno, da bi morala biti širina intervala zaupanja za isto verjetnost skoraj 15-krat večja, saj je pri manjšem številu meritev zaupanje v le-te manjše.

Iz relacije (2.29) sledi, da je verjetnost, da bo interval zaupanja (0 - D; v D) z naključnimi mejami pokril znani parameter 0 enaka y. Vrednost D, ki je enaka polovici širine intervala zaupanja, se imenuje točnost ocene, verjetnost y pa je verjetnost zaupanja (ali zanesljivost) ocene.

Interval (04, 042) se imenuje interval zaupanja, njegove meje so 04 in 0W, ki sta naključni spremenljivki, oziroma spodnja in zgornja meja zaupanja. Vsako intervalno oceno lahko označimo s kombinacijo dveh števil: širine intervala zaupanja H 04 - 0I, ki je merilo točnosti ocenjevanja parametra 0, in verjetnosti zaupanja y, ki označuje stopnjo zanesljivosti (zanesljivost ) rezultatov.

Pod temi pogoji se določijo meje zaupanja: za Me in a z uporabo porazdelitve, za Mn pa s pomočjo Studentove porazdelitve. Iz grafov je razvidno, da je pri majhnem številu opaženih okvar n širina intervala zaupanja, ki označuje možno odstopanje v oceni porazdelitvenega parametra, velika. Dejanska vrednost parametra se lahko večkrat razlikuje od vrednosti ustrezne statistične ocene, pridobljene iz izkušenj. Ko n narašča, se meje intervala zaupanja postopoma zožijo. Za pridobitev dovolj natančnih in zanesljivih ocen je potrebno med testiranjem opaziti veliko število okvar, kar pa zahteva precejšnjo količino testiranja, še posebej, če so objekti zelo zanesljivi.